1 แบบง่ายหรือแบบผสม ตัวเลขที่ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ

จำนวนเฉพาะคือจำนวนธรรมชาติที่หารด้วยตัวมันเองและหนึ่งลงตัวเท่านั้น

จำนวนที่เหลือเรียกว่าจำนวนประกอบ

จำนวนเฉพาะธรรมชาติ

แต่ไม่ใช่ว่าจำนวนธรรมชาติทั้งหมดจะเป็นจำนวนเฉพาะ

จำนวนธรรมชาติเฉพาะเป็นเพียงจำนวนที่หารด้วยตัวมันเองและหนึ่งเท่านั้น

ตัวอย่างของจำนวนเฉพาะ:

2; 3; 5; 7; 11; 13;...

จำนวนเต็มเฉพาะ

ตามมาว่าเฉพาะจำนวนธรรมชาติเท่านั้นที่เป็นจำนวนเฉพาะ

ซึ่งหมายความว่าจำนวนเฉพาะต้องเป็นจำนวนธรรมชาติเสมอไป

แต่จำนวนธรรมชาติทั้งหมดก็เป็นจำนวนเต็มเช่นกัน

ดังนั้น จำนวนเฉพาะทั้งหมดจึงเป็นจำนวนเต็ม

ตัวอย่างของจำนวนเฉพาะ:

2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23;...

แม้แต่จำนวนเฉพาะ

มีเพียงจำนวนเฉพาะคู่เพียงตัวเดียวเท่านั้น - เลขสอง

จำนวนเฉพาะอื่นๆ ทั้งหมดเป็นเลขคี่

เหตุใดจำนวนคู่ที่มากกว่า 2 จึงเป็นจำนวนเฉพาะไม่ได้

แต่เนื่องจากจำนวนคู่ใดๆ ที่มากกว่าสองจะหารด้วยตัวมันเอง ไม่ใช่หนึ่งหรือสอง กล่าวคือ จำนวนนั้นจะต้องมีตัวหารสามตัวเสมอ และอาจมากกว่านั้นด้วย

คำตอบของ Ilya นั้นถูกต้อง แต่ไม่ละเอียดมาก อย่างไรก็ตาม ในศตวรรษที่ 18 เลขหนึ่งยังถือว่าเป็นจำนวนเฉพาะ ตัวอย่างเช่น นักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่อย่างออยเลอร์และโกลด์บัค Goldbach เป็นผู้เขียนหนึ่งในเจ็ดปัญหาของสหัสวรรษ - สมมติฐานของ Goldbach สูตรดั้งเดิมระบุว่าเลขคู่ทุกจำนวนสามารถแสดงเป็นผลรวมของจำนวนเฉพาะสองตัวได้ ยิ่งไปกว่านั้น ในตอนแรก 1 ถูกนับว่าเป็นจำนวนเฉพาะ และเราจะเห็นว่า 2 = 1+1 นี้ ตัวอย่างที่เล็กที่สุดเป็นไปตามสูตรดั้งเดิมของสมมติฐาน ต่อมาได้มีการแก้ไขและกลายเป็นถ้อยคำ ดูทันสมัย: “เลขคู่ทุกตัวที่เริ่มต้นด้วย 4 สามารถแสดงเป็นผลรวมของจำนวนเฉพาะสองตัวได้”

เรามาจำคำจำกัดความกัน จำนวนเฉพาะคือจำนวนธรรมชาติ p ที่มีตัวหารตามธรรมชาติเพียง 2 ตัวเท่านั้น คือ p เองและ 1 ข้อพิสูจน์จากคำจำกัดความ: จำนวนเฉพาะ p มีตัวหารเฉพาะเพียงตัวเดียว - ตัว p เอง

ทีนี้สมมุติว่า 1 เป็นจำนวนเฉพาะ ตามคำนิยาม จำนวนเฉพาะจะมีตัวหารเพียงตัวเดียวเท่านั้น นั่นคือตัวมันเอง จากนั้นปรากฎว่าจำนวนเฉพาะใดๆ ที่มากกว่า 1 หารด้วยจำนวนเฉพาะที่ไม่ใช่จำนวนนั้นลงตัว (ด้วย 1) แต่จำนวนเฉพาะสองตัวที่ต่างกันจะหารกันไม่ได้เพราะว่า มิฉะนั้นจะไม่ใช่จำนวนเฉพาะ แต่เป็นจำนวนประกอบ และสิ่งนี้ขัดแย้งกับคำจำกัดความ ด้วยวิธีการนี้ ปรากฎว่ามีจำนวนเฉพาะเพียง 1 ตัวเท่านั้น - หน่วยนั้นเอง แต่นี่เป็นเรื่องไร้สาระ ดังนั้น 1 จึงไม่ใช่จำนวนเฉพาะ

1 และ 0 ก่อให้เกิดคลาสของตัวเลขอีกประเภทหนึ่ง ซึ่งเป็นคลาสขององค์ประกอบที่เป็นกลางที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการ n-ary ในบางเซตย่อยของสนามพีชคณิต ยิ่งไปกว่านั้น ในส่วนของการดำเนินการบวก 1 ยังเป็นองค์ประกอบสร้างวงแหวนของจำนวนเต็มอีกด้วย

ด้วยการพิจารณานี้ การค้นหาสิ่งที่คล้ายคลึงกันของจำนวนเฉพาะในโครงสร้างพีชคณิตอื่นๆ จึงไม่ใช่เรื่องยาก สมมติว่าเรามีกลุ่มการคูณที่สร้างจากยกกำลัง 2 โดยเริ่มจาก 1: 2, 4, 8, 16, ... เป็นต้น 2 ทำหน้าที่เป็นองค์ประกอบที่สร้างสรรค์ที่นี่ จำนวนเฉพาะในกลุ่มนี้คือจำนวนที่มากกว่าองค์ประกอบที่เล็กที่สุด และหารด้วยตัวมันเองและองค์ประกอบที่เล็กที่สุดเท่านั้น ในกลุ่มของเรามีเพียง 4 คนเท่านั้นที่มีคุณสมบัติดังกล่าว ไม่มีจำนวนเฉพาะในกลุ่มของเราอีกต่อไป

ถ้า 2 เป็นจำนวนเฉพาะในกลุ่มของเราด้วย โปรดดูย่อหน้าแรก - อีกครั้งปรากฎว่ามีเพียง 2 เท่านั้นที่เป็นจำนวนเฉพาะ

การแบ่งจำนวนธรรมชาติเป็นจำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบมีสาเหตุมาจากพีทาโกรัส นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณ และถ้าคุณติดตามพีทาโกรัส ชุดของจำนวนธรรมชาติสามารถแบ่งออกเป็นสามประเภท: (1) - ชุดที่ประกอบด้วยตัวเลขหนึ่งตัว - หนึ่ง; (2, 3, 5, 7, 11, 13, ) – ชุดของจำนวนเฉพาะ; (4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ) – ชุดของจำนวนประกอบ

ชุดที่สองซ่อนความลึกลับต่างๆมากมาย แต่ก่อนอื่น ลองหาว่าจำนวนเฉพาะคืออะไร. เปิด "คณิตศาสตร์ พจนานุกรมสารานุกรม"(Yu. V. Prokhorov สำนักพิมพ์ " สารานุกรมโซเวียต", 1988) และอ่านว่า:

“จำนวนเฉพาะคือจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 ซึ่งไม่มีตัวหารนอกจากตัวมันเองและ 1: 2,3,5,7,11,13,

แนวคิดเรื่องจำนวนเฉพาะเป็นพื้นฐานในการศึกษาเรื่องการหารจำนวนธรรมชาติลงตัว กล่าวคือ ทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิตระบุว่าจำนวนเต็มบวกทุกจำนวนยกเว้น 1 สามารถแยกย่อยเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะได้โดยไม่ซ้ำกัน (ไม่คำนึงถึงลำดับของตัวประกอบ) มีจำนวนเฉพาะจำนวนอนันต์จำนวนมาก (ข้อเสนอนี้เรียกว่าทฤษฎีบทของยุคลิด ซึ่งนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณรู้จัก การพิสูจน์นี้มีอยู่ในเล่มที่ 9 ขององค์ประกอบของยุคลิด) P. Dirichlet (1837) กำหนดว่าในการก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ a + bx สำหรับ x = 1 ,2,c ที่มีจำนวนเต็มโคไพรม์ a และ b ยังมีจำนวนเฉพาะจำนวนอนันต์อีกด้วย

การค้นหาจำนวนเฉพาะตั้งแต่ 1 ถึง x นั้นเป็นที่รู้จักตั้งแต่ศตวรรษที่ 3 พ.ศ จ. วิธีตะแกรงของเอราทอสเธเนส การตรวจสอบลำดับ (*) ของจำนวนเฉพาะตั้งแต่ 1 ถึง x แสดงให้เห็นว่าเมื่อ x เพิ่มขึ้น โดยเฉลี่ยแล้วจะหายากขึ้น มีส่วนที่ยาวตามใจชอบของชุดจำนวนธรรมชาติ ซึ่งในจำนวนนี้ไม่มีจำนวนเฉพาะเพียงตัวเดียว (ทฤษฎีบท 4) ในเวลาเดียวกันก็มีจำนวนเฉพาะเช่นกันซึ่งความแตกต่างระหว่างนั้นเท่ากับ 2 (ที่เรียกว่าแฝด) ยังไม่ทราบแน่ชัด (1987) ว่าชุดของฝาแฝดดังกล่าวมีขอบเขตจำกัดหรือไม่มีที่สิ้นสุด ตารางจำนวนเฉพาะภายใน 11 ล้านจำนวนธรรมชาติแรกแสดงถึงจำนวนแฝดที่มีขนาดใหญ่มาก (เช่น 10,006,427 และ 10,006,429)

การค้นหาการแจกแจงของจำนวนเฉพาะในชุดตัวเลขธรรมชาติถือเป็นปัญหาที่ยากมากในทฤษฎีจำนวน จัดทำขึ้นเพื่อเป็นการศึกษาพฤติกรรมเชิงเส้นกำกับของฟังก์ชันที่แสดงถึงจำนวนเฉพาะที่ไม่เกินจำนวนบวก x จากทฤษฎีบทของยุคลิด ชัดเจนว่าเมื่อใด แอล. ออยเลอร์แนะนำฟังก์ชันซีตาในปี 1737

เขายังพิสูจน์ให้เห็นว่าเมื่อ

โดยที่ผลรวมของจำนวนธรรมชาติทั้งหมด และผลิตภัณฑ์ถูกนำไปที่จำนวนเฉพาะทั้งหมด อัตลักษณ์นี้และลักษณะทั่วไปของมันมีบทบาทสำคัญในทฤษฎีการกระจายตัวของจำนวนเฉพาะ จากข้อมูลนี้ แอล. ออยเลอร์ได้พิสูจน์ว่าอนุกรมและผลิตภัณฑ์ที่เกี่ยวข้องกับไพรม์ p แตกต่างกัน นอกจากนี้ แอล. ออยเลอร์ยังยืนยันว่ามีจำนวนเฉพาะ "จำนวนมาก" เนื่องจาก

และในเวลาเดียวกัน จำนวนธรรมชาติเกือบทั้งหมดจะถูกประกอบเข้าด้วยกัน เนื่องจากเมื่อ

และสำหรับสิ่งใด ๆ (เช่น สิ่งที่เติบโตเป็นฟังก์ชัน) ตามลำดับเวลาผลลัพธ์ที่สำคัญถัดไปที่ปรับแต่งทฤษฎีบทของเชบีเชฟคือสิ่งที่เรียกว่า กฎเส้นกำกับของการแจกแจงจำนวนเฉพาะ (J. Hadamard, 1896, C. La Vallée Poussin, 1896) ซึ่งระบุว่าขีดจำกัดของอัตราส่วนเท่ากับ 1 ต่อมา ความพยายามที่สำคัญของนักคณิตศาสตร์ได้รับการกำกับเพื่อชี้แจงชี้แจงเส้นกำกับ กฎการกระจายตัวของจำนวนเฉพาะ คำถามเกี่ยวกับการแจกแจงจำนวนเฉพาะมีการศึกษาโดยใช้ทั้งวิธีเบื้องต้นและวิธีการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์”

ต่อไปนี้เป็นเรื่องสมเหตุสมผลที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบทบางส่วนที่ให้ไว้ในบทความ

บทแทรก 1 ถ้า GCD(a, b)=1 แล้ว จะมีจำนวนเต็ม x, y เป็นเช่นนั้น

การพิสูจน์. ให้ a และ b เป็นจำนวนเฉพาะที่ค่อนข้างมาก พิจารณาเซต J ของจำนวนธรรมชาติ z ทั้งหมดที่สามารถแทนได้ในรูปแบบ และเลือกจากเซตนั้น จำนวนที่น้อยที่สุดง.

ลองพิสูจน์ว่า a หารด้วย d ลงตัว หาร a ด้วย d ด้วยเศษ: และปล่อยให้ เนื่องจากมีรูปแบบดังนั้น

เราเห็นสิ่งนั้น

เนื่องจากเราถือว่า d เป็นจำนวนที่น้อยที่สุดใน J เราจึงได้ความขัดแย้ง นี่หมายความว่า a หารด้วย d ลงตัว

ลองพิสูจน์ด้วยวิธีเดียวกับว่า b หารด้วย d ลงตัว ดังนั้น d=1 บทแทรกได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบท 1 ถ้าตัวเลข a และ b เป็นจำนวนเฉพาะและผลิตภัณฑ์ bx หารด้วย a ลงตัว แล้ว x ก็หารด้วย a ลงตัว

หลักฐาน1. เราต้องพิสูจน์ว่าขวานหารด้วย b ลงตัว และ gcd(a,b)=1 แล้ว x หารด้วย b ลงตัว

โดยบทแทรก 1 มี x, y อยู่เช่นนั้น แน่นอนว่ามันหารด้วย b ลงตัว.

หลักฐานที่ 2 พิจารณาเซต J ของจำนวนธรรมชาติทั้งหมด z โดยที่ zc หารด้วย b ลงตัว ให้ d เป็นจำนวนที่น้อยที่สุดใน J จะเห็นว่าง่าย คล้ายกับการพิสูจน์บทแทรก 1 พิสูจน์ได้ว่า a หารด้วย d ลงตัว และ b หารด้วย d ลงตัว

บทแทรก 2 ถ้าตัวเลข q,p1,p2,pn เป็นจำนวนเฉพาะและผลิตภัณฑ์หารด้วย q ลงตัว แล้วหนึ่งในตัวเลข pi จะเท่ากับ q

การพิสูจน์. ก่อนอื่น โปรดทราบว่าหากจำนวนเฉพาะ p หารด้วย q ลงตัว แล้ว p=q สิ่งนี้จะเป็นไปตามคำสั่งบทแทรกสำหรับ n=1 ทันที สำหรับ n=2 จะเป็นไปตามทฤษฎีบทที่ 1 โดยตรง: ถ้า p1p2 หารด้วยจำนวนเฉพาะ q ลงตัว แล้ว p2 ก็หารด้วย q(เช่น) ลงตัว

เราจะพิสูจน์บทแทรกสำหรับ n=3 ดังนี้ ให้ p1 p2 p3 หารด้วย q ถ้า p3 =q แสดงว่าทุกอย่างได้รับการพิสูจน์แล้ว ถ้าตามทฤษฎีบท 1 แล้ว p1 p2 หารด้วย q ลงตัว ดังนั้นเราจึงลดกรณี n=3 ลงเหลือกรณีที่พิจารณาแล้ว n=2

ในทำนองเดียวกัน จาก n=3 เราสามารถไปที่ n=4 จากนั้นไปที่ n=5 และโดยทั่วไป สมมติว่าคำสั่ง n=k ของบทแทรกได้รับการพิสูจน์ เราก็สามารถพิสูจน์ได้อย่างง่ายดายสำหรับ n=k+ 1. นี่ทำให้เรามั่นใจว่าบทแทรกเป็นจริงสำหรับ n ทุกตัว

ทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิต จำนวนธรรมชาติทุกจำนวนสามารถแยกตัวประกอบได้ด้วยวิธีที่ไม่ซ้ำกัน

การพิสูจน์. สมมติว่ามีการสลายตัวของจำนวน a ออกเป็นปัจจัยเฉพาะสองรายการ:

เนื่องจากด้านขวาหารด้วย q1 ลงตัว ดังนั้นด้านซ้ายของความเสมอภาคจึงต้องหารด้วย q1 ลงตัว ตามบทแทรก 2 ตัวเลขตัวใดตัวหนึ่งจะเท่ากับ q1 ขอเราลดความเสมอภาคทั้งสองข้างลง q1

ลองใช้เหตุผลเดียวกันสำหรับ q2 จากนั้นสำหรับ q3 สำหรับ qi ในที่สุดปัจจัยทั้งหมดทางด้านขวาจะถูกยกเลิก และ 1 จะยังคงอยู่ โดยธรรมชาติแล้วทางด้านซ้ายจะไม่เหลืออะไรเลยนอกจากหนึ่งตัว จากนี้เราสรุปได้ว่าทั้งสองการขยายตัวและสามารถแตกต่างกันได้เฉพาะในลำดับของปัจจัยเท่านั้น ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบทของยุคลิด อนุกรมของจำนวนเฉพาะนั้นไม่มีที่สิ้นสุด

การพิสูจน์. สมมติว่าชุดของจำนวนเฉพาะนั้นมีจำกัด และเราแสดงจำนวนเฉพาะตัวสุดท้ายด้วยตัวอักษร N ให้เราสร้างผลคูณกัน

ลองบวก 1 เข้าไป เราจะได้:

จำนวนนี้เป็นจำนวนเต็มจะต้องมีตัวประกอบเฉพาะอย่างน้อยหนึ่งตัว กล่าวคือ จะต้องหารด้วยจำนวนเฉพาะอย่างน้อยหนึ่งตัว แต่ตามสมมติฐานแล้ว จำนวนเฉพาะทั้งหมดจะต้องไม่เกิน N และจำนวน M+1 ไม่สามารถหารลงตัวด้วยจำนวนเฉพาะใดๆ ที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ N ได้ ในแต่ละครั้งที่เศษเหลือเป็น 1 ทฤษฎีบทนี้ได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบท 4 ส่วนของจำนวนประกอบระหว่างจำนวนเฉพาะสามารถมีความยาวเท่าใดก็ได้ ตอนนี้เราจะพิสูจน์ว่าอนุกรมประกอบด้วยจำนวนประกอบ n จำนวนที่ต่อเนื่องกัน

ตัวเลขเหล่านี้มาติดกันโดยตรงในชุดข้อมูลธรรมชาติ เนื่องจากแต่ละหมายเลขถัดไปมีค่ามากกว่าหมายเลขก่อนหน้า 1 มันยังคงต้องพิสูจน์ว่าพวกมันทั้งหมดประกอบกัน

หมายเลขแรก

คู่ เนื่องจากทั้งสองพจน์มีค่าตัวประกอบเป็น 2 และจำนวนคู่ทุกจำนวนที่มากกว่า 2 จะถูกประกอบเข้าด้วยกัน

จำนวนที่สองประกอบด้วยพจน์สองพจน์ ซึ่งแต่ละพจน์เป็นผลคูณของ 3 ซึ่งหมายความว่าจำนวนนี้เป็นจำนวนประกอบกัน

ในทำนองเดียวกัน เรากำหนดว่าจำนวนถัดไปเป็นผลคูณของ 4 เป็นต้น กล่าวอีกนัยหนึ่ง แต่ละตัวเลขในชุดของเรามีตัวประกอบที่แตกต่างจากความสามัคคีและตัวมันเอง มันจึงเป็นองค์ประกอบ ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

เมื่อศึกษาการพิสูจน์ทฤษฎีบทแล้วเราจะพิจารณาบทความนี้ต่อไป ข้อความกล่าวถึงวิธีการกรองของเอราทอสเทนีสว่าเป็นวิธีการหาจำนวนเฉพาะ ลองอ่านเกี่ยวกับวิธีการนี้จากพจนานุกรมเดียวกัน:

“ตะแกรง Eratosthenes เป็นวิธีการที่พัฒนาโดย Eratosthenes ซึ่งช่วยให้คุณสามารถแยกจำนวนประกอบออกจากอนุกรมธรรมชาติได้ สาระสำคัญของตะแกรง Eratosthenes มีดังนี้ หน่วยถูกขีดฆ่า หมายเลขสองเป็นจำนวนเฉพาะ จำนวนธรรมชาติทั้งหมดที่หารด้วย 2 จะถูกขีดฆ่าออก หมายเลข 3 – จำนวนแรกที่ไม่ถูกขีดฆ่าจะเป็นจำนวนเฉพาะ ถัดไป จำนวนธรรมชาติทั้งหมดที่หารด้วย 3 ลงตัวจะถูกขีดฆ่าออก โดยหมายเลข 5 ซึ่งเป็นจำนวนถัดไปที่ไม่ถูกขีดฆ่าจะเป็นจำนวนเฉพาะ เมื่อทำการคำนวณที่คล้ายกันต่อไป คุณจะพบส่วนที่ยาวๆ ของลำดับจำนวนเฉพาะได้ ตะแกรงเอราทอสเธเนสซึ่งเป็นวิธีทางทฤษฎีสำหรับการศึกษาทฤษฎีจำนวนได้รับการพัฒนาโดย V. Brun (1919)

ที่นี่ จำนวนมากที่สุดซึ่งปัจจุบันทราบกันดีว่าง่าย:

ตัวเลขนี้มีทศนิยมประมาณเจ็ดร้อยตำแหน่ง การคำนวณที่กำหนดว่าจำนวนนี้เป็นจำนวนเฉพาะนั้นดำเนินการบนคอมพิวเตอร์สมัยใหม่

“ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ -ฟังก์ชัน เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ของตัวแปรเชิงซ้อน สำหรับ σ>1 ที่กำหนดอย่างแน่นอนและสม่ำเสมอโดยอนุกรมไดริชเลต์แบบลู่เข้า:

สำหรับ σ>1 การแสดงในรูปของผลิตภัณฑ์ออยเลอร์ใช้ได้:

(2) โดยที่ p วิ่งผ่านจำนวนเฉพาะทั้งหมด

เอกลักษณ์ของอนุกรม (1) และผลิตภัณฑ์ (2) เป็นหนึ่งในคุณสมบัติหลักของฟังก์ชันซีตา ช่วยให้เราได้รับความสัมพันธ์ต่างๆ ที่เชื่อมโยงฟังก์ชันซีตากับฟังก์ชันทางทฤษฎีจำนวนที่สำคัญที่สุด ดังนั้นฟังก์ชันซีตาจึงมีบทบาทสำคัญในทฤษฎีจำนวน

ฟังก์ชันซีตาถูกนำมาใช้เป็นฟังก์ชันของตัวแปรจริงโดยแอล. ออยเลอร์ (1737, publ. 1744) ซึ่งระบุตำแหน่งของฟังก์ชันในผลิตภัณฑ์ (2) จากนั้น P. Dirichlet พิจารณาฟังก์ชันซีตาและประสบความสำเร็จโดยเฉพาะอย่างยิ่งโดย P. L. Chebyshev ที่เกี่ยวข้องกับการศึกษากฎการกระจายตัวของจำนวนเฉพาะ อย่างไรก็ตาม คุณสมบัติที่ลึกซึ้งที่สุดของฟังก์ชันซีตาถูกค้นพบหลังจากงานของบี. รีมันน์ ซึ่งเป็นครั้งแรกในปี พ.ศ. 2402 ถือว่าฟังก์ชันซีตาเป็นฟังก์ชันของตัวแปรที่ซับซ้อน เขายังแนะนำชื่อ "ฟังก์ชันซีตา" และ การกำหนด """

แต่คำถามก็เกิดขึ้น: อะไร การใช้งานจริงมีอยู่สำหรับงานทั้งหมดนี้เกี่ยวกับจำนวนเฉพาะเหรอ? อันที่จริงแทบจะไม่มีประโยชน์อะไรสำหรับพวกมันเลย แต่มีพื้นที่หนึ่งที่ใช้จำนวนเฉพาะและคุณสมบัติของพวกมันมาจนถึงทุกวันนี้ นี่คือการเข้ารหัส หมายเลขเฉพาะในที่นี้ใช้ในระบบเข้ารหัสโดยไม่ต้องถ่ายโอนคีย์

น่าเสียดายที่นี่คือทั้งหมดที่ทราบเกี่ยวกับจำนวนเฉพาะ ยังมีความลึกลับเหลืออยู่อีกมากมาย ตัวอย่างเช่น ไม่ทราบว่าเซตของจำนวนเฉพาะที่แสดงเป็นกำลังสองสองตัวนั้นเป็นจำนวนอนันต์หรือไม่

"ไพรม์ที่ยากลำบาก"

ฉันตัดสินใจค้นคว้าข้อมูลเล็กๆ น้อยๆ เพื่อหาคำตอบสำหรับคำถามบางข้อเกี่ยวกับจำนวนเฉพาะ ก่อนอื่น ฉันรวบรวมโปรแกรมที่สร้างจำนวนเฉพาะต่อเนื่องกันทั้งหมดน้อยกว่า 1,000,000,000 นอกจากนี้ ฉันยังได้รวบรวมโปรแกรมที่กำหนดว่าจำนวนเฉพาะที่ป้อนนั้นเป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ เพื่อศึกษาปัญหาของจำนวนเฉพาะ ฉันได้สร้างกราฟที่แสดงการขึ้นต่อกันของค่าของจำนวนเฉพาะ หมายเลขซีเรียลสำหรับแผนการวิจัยเพิ่มเติม ฉันตัดสินใจใช้บทความของ I. S. Zeltser และ B. A. Kordemsky เรื่อง "ฝูงจำนวนเฉพาะที่น่าสนใจ" ผู้เขียนระบุเส้นทางการวิจัยดังต่อไปนี้:

1. 168 ตำแหน่งในจำนวนธรรมชาติพันแรกถูกครอบครองโดยจำนวนเฉพาะ ในจำนวนนี้มี 16 ตัวเลขที่เป็นพาลินโดรมิก โดยแต่ละตัวมีค่าผกผัน: 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929

จำนวนเฉพาะสี่หลักมีเพียง 1,061 ตัวเท่านั้น และไม่มีตัวใดที่เป็นพาลินโดรมิก

มีตัวเลขพาลินโดรมิกจำนวนห้าหลักหลายตัว รวมถึงความสวยงามดังกล่าว: 13331, 15551, 16661, 19991 ไม่ต้องสงสัยเลยว่ามีฝูงแกะประเภทนี้: ,. แต่แต่ละฝูงมีตัวอย่างกี่ตัวอย่าง?

3+x+x+x+3 = 6+3x = 3(2+x)

9+x+x+x+9 = 18+3x =3(6+x)

จะเห็นได้ว่าผลรวมของตัวเลขหารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้นตัวเลขเหล่านี้เองก็หารด้วย 3 ด้วยเช่นกัน

ในส่วนของตัวเลขในรูปแบบนั้น มีจำนวนเฉพาะได้แก่ 72227, 75557, 76667, 78887, 79997.

2. ในพันตัวเลขแรก มี "สี่" ห้าชุดที่ประกอบด้วยจำนวนเฉพาะที่อยู่ติดกัน โดยหลักสุดท้ายอยู่ในลำดับ 1, 3, 7, 9: (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109 ), (191, 193, 197, 199), (211, 223, 227, 229), (821, 823, 827, 829)

จำนวนเฉพาะจำนวนเฉพาะ n หลักสำหรับ n›3 มีกี่ควอร์เตต?

เมื่อใช้โปรแกรมที่ฉันเขียน พบว่ามีสี่กลุ่มที่ผู้เขียนพลาด: (479, 467, 463, 461) และสี่กลุ่มสำหรับ n = 4, 5, 6 สำหรับ n = 4 มี 11 ควอร์เตต

3. ฝูงเลขเฉพาะเก้าตัว: 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879 มีความน่าดึงดูดไม่เพียงเพราะสิ่งที่เป็นตัวแทนเท่านั้น ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ด้วยผลต่าง 210 แต่ยังมีความสามารถที่จะใส่ลงในเก้าเซลล์เพื่อให้เกิดสี่เหลี่ยมมหัศจรรย์ที่มีค่าคงที่เท่ากับผลต่างของจำนวนเฉพาะสองตัว: 3119 – 2:

ระยะที่สิบถัดไปของความก้าวหน้าที่กำลังพิจารณาคือ 2089 ก็เป็นจำนวนเฉพาะเช่นกัน หากคุณลบหมายเลข 199 ออกจากฝูง แต่รวม 2089 ไว้ด้วย แม้แต่ในองค์ประกอบนี้ ฝูงก็ยังสามารถสร้างสี่เหลี่ยมมหัศจรรย์ซึ่งเป็นหัวข้อที่ต้องค้นหา

ควรสังเกตว่ายังมีสี่เหลี่ยมมหัศจรรย์อื่นที่ประกอบด้วยจำนวนเฉพาะ:

1847 6257 6197 3677 1307 1877 2687

2267 1427 5987 5927 1667 2027 4547

2897 947 2357 4517 3347 5867 3917

3557 4157 4397 3407 2417 2657 3257

4337 5717 3467 2297 4457 1097 2477

4817 4767 827 887 5147 5387 1997

4127 557 617 3137 5507 4937 4967

ตารางที่นำเสนอมีความน่าสนใจเพราะว่า

1. เป็นสี่เหลี่ยมมหัศจรรย์ขนาด 7x7

2. ประกอบด้วยสี่เหลี่ยมวิเศษขนาด 5x5

3. สี่เหลี่ยมเวทย์มนตร์ 5x5 มีสี่เหลี่ยมเวทย์มนตร์ 3x3

4. สี่เหลี่ยมเหล่านี้ทั้งหมดมีหมายเลขกลางทั่วไปหนึ่งหมายเลข - 3407

5. ตัวเลขทั้งหมด 49 ตัวรวมอยู่ในช่องสี่เหลี่ยมขนาด 7x7 พร้อมด้วยหมายเลข 7

6. ตัวเลขทั้งหมด 49 ตัวที่อยู่ในสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 7x7 เป็นตัวเลขเฉพาะ

7. ตัวเลข 49 ตัวแต่ละตัวที่อยู่ในสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 7x7 สามารถแสดงเป็น 30n + 17 ได้

ฉันเขียนโปรแกรมที่ใช้ในภาษาการเขียนโปรแกรม Dev-C++ และฉันได้จัดเตรียมข้อความไว้ในภาคผนวก (ดูไฟล์ที่มีนามสกุล .srr) นอกเหนือจากที่กล่าวมาทั้งหมดแล้ว ฉันยังเขียนโปรแกรมที่แยกจำนวนธรรมชาติที่ต่อเนื่องกันให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ (ดูตัวหาร 1. срр) และโปรแกรมที่แยกเฉพาะจำนวนที่ป้อนให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ (ดูตัวหาร 2. срр) เนื่องจากโปรแกรมเหล่านี้ใช้พื้นที่มากเกินไปในรูปแบบคอมไพล์ จึงมีเพียงข้อความเท่านั้นที่ได้รับ อย่างไรก็ตาม ใครๆ ก็สามารถคอมไพล์ได้หากมีโปรแกรมที่เหมาะสม

ชีวประวัติของนักวิทยาศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับปัญหาไพรม์

ยูคลิด

(ประมาณ 330 ปีก่อนคริสตกาล – ประมาณ 272 ​​ปีก่อนคริสตกาล)

ข้อมูลที่เชื่อถือได้น้อยมากเกี่ยวกับชีวิตของนักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงที่สุดในยุคโบราณได้รับการเก็บรักษาไว้ เชื่อกันว่าเขาเรียนที่เอเธนส์ซึ่งอธิบายความเชี่ยวชาญด้านเรขาคณิตอันยอดเยี่ยมของเขาซึ่งพัฒนาโดยโรงเรียนของเพลโต อย่างไรก็ตาม เห็นได้ชัดว่าเขาไม่คุ้นเคยกับผลงานของอริสโตเติล เขาสอนในเมืองอเล็กซานเดรีย ซึ่งเขาได้รับการยกย่องอย่างสูงจากเขา กิจกรรมการสอนในรัชสมัยของปโตเลมีที่ 1 โซเตอร์ มีตำนานเล่าว่ากษัตริย์องค์นี้เรียกร้องให้เขาค้นพบวิธีที่จะประสบความสำเร็จอย่างรวดเร็วในวิชาคณิตศาสตร์ ซึ่ง Euclid ตอบว่าไม่มีวิถีทางของราชวงศ์ในเรขาคณิต (อย่างไรก็ตาม มีการเล่าเรื่องราวที่คล้ายกันเกี่ยวกับ Menchem ที่ถูกกล่าวหาว่าถูกถามเกี่ยวกับ เช่นเดียวกันกับอเล็กซานเดอร์มหาราช) ประเพณีได้รักษาความทรงจำของ Euclid ในฐานะบุคคลที่มีเมตตาและถ่อมตัว Euclid เป็นผู้เขียนบทความในหัวข้อต่างๆ แต่ชื่อของเขามีความเกี่ยวข้องกับบทความเรื่องหนึ่งที่เรียกว่า Elements เป็นหลัก เป็นการรวบรวมผลงานของนักคณิตศาสตร์ที่ทำงานก่อนหน้าเขา (ผลงานที่โด่งดังที่สุดคือ Hippocrates of Kos) ผลลัพธ์ที่เขานำมาสู่ความสมบูรณ์แบบด้วยความสามารถของเขาในการสรุปและการทำงานหนัก

ออยเลอร์ ลีโอนาร์ด

(บาเซิล สวิตเซอร์แลนด์ 1707 – เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก 1783)

นักคณิตศาสตร์ ช่างเครื่อง และนักฟิสิกส์ เกิดมาในครอบครัวของศิษยาภิบาลผู้ยากจน พอล ออยเลอร์ เขาได้รับการศึกษาจากบิดาก่อน และในปี 1720–24 ที่มหาวิทยาลัยบาเซิล ซึ่งเขาเข้าร่วมการบรรยายวิชาคณิตศาสตร์โดย I. Bernoulli

ในตอนท้ายของปี 1726 ออยเลอร์ได้รับเชิญให้ไปที่สถาบันวิทยาศาสตร์เซนต์ปีเตอร์สเบิร์กและในเดือนพฤษภาคมปี 1727 เขาก็มาถึงเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก ในสถาบันการศึกษาที่จัดตั้งขึ้นใหม่ ออยเลอร์พบเงื่อนไขที่เอื้ออำนวยสำหรับ กิจกรรมทางวิทยาศาสตร์ซึ่งทำให้เขาสามารถเริ่มเรียนคณิตศาสตร์และกลศาสตร์ได้ทันที ในช่วง 14 ปีของช่วงชีวิตแรกของเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก ออยเลอร์ได้เตรียมผลงานประมาณ 80 ชิ้นเพื่อตีพิมพ์และตีพิมพ์มากกว่า 50 ชิ้น ในเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก เขาศึกษาภาษารัสเซีย

ออยเลอร์เข้าร่วมกิจกรรมหลายด้านของสถาบันวิทยาศาสตร์เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก เขาบรรยายให้กับนักศึกษาในมหาวิทยาลัยวิชาการ เข้าร่วมในการสอบทางเทคนิคต่างๆ ทำงานเกี่ยวกับการรวบรวมแผนที่ของรัสเซีย และเขียน "คู่มือเลขคณิต" ที่เปิดเผยต่อสาธารณะ (1738–40) ตามคำแนะนำพิเศษจาก Academy ออยเลอร์ได้เตรียม "วิทยาศาสตร์ทางทะเล" (1749) เพื่อการตีพิมพ์ - งานพื้นฐานเรื่องทฤษฎีการต่อเรือและการเดินเรือ

ในปี ค.ศ. 1741 ออยเลอร์ยอมรับข้อเสนอของกษัตริย์ปรัสเซียนเฟรดเดอริกที่ 2 ที่จะย้ายไปเบอร์ลิน ซึ่งเป็นที่ซึ่งมีการจัดโครงสร้างใหม่ของ Academy of Sciences ที่ Berlin Academy of Sciences ออยเลอร์เข้ารับตำแหน่งผู้อำนวยการชั้นเรียนคณิตศาสตร์และสมาชิกของคณะกรรมการ และหลังจากการเสียชีวิตของประธานาธิบดีคนแรก P. Maupertuis เขาก็เป็นผู้นำสถาบันนี้เป็นเวลาหลายปี (ตั้งแต่ปี 1759) ตลอด 25 ปีของชีวิตในกรุงเบอร์ลิน เขาได้จัดเตรียมผลงานประมาณ 300 ชิ้น รวมถึงเอกสารขนาดใหญ่จำนวนหนึ่ง

ในขณะที่อาศัยอยู่ในเบอร์ลิน ออยเลอร์ไม่ได้หยุดทำงานอย่างเข้มข้นให้กับสถาบันวิทยาศาสตร์แห่งเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก โดยยังคงรักษาตำแหน่งสมาชิกกิตติมศักดิ์เอาไว้ เขาดำเนินการติดต่อทางวิทยาศาสตร์และวิทยาศาสตร์-องค์กรอย่างกว้างขวาง โดยเฉพาะอย่างยิ่งเขาติดต่อกับ M. Lomonosov ซึ่งเขาให้ความสำคัญอย่างสูง ออยเลอร์เป็นบรรณาธิการแผนกคณิตศาสตร์ของหน่วยงานวิทยาศาสตร์เชิงวิชาการของรัสเซีย ซึ่งในช่วงเวลานี้เขาได้ตีพิมพ์บทความเกือบมากเท่ากับใน "บันทึกความทรงจำ" ของ Berlin Academy of Sciences เขามีส่วนร่วมอย่างแข็งขันในการฝึกอบรมนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย นักวิชาการในอนาคต S. Kotelnikov, S. Rumovsky และ M. Sofronov ถูกส่งไปยังเบอร์ลินเพื่อศึกษาภายใต้การนำของเขา ออยเลอร์ให้ความช่วยเหลืออย่างมากแก่สถาบันวิทยาศาสตร์แห่งเซนต์ปีเตอร์สเบิร์กเพื่อได้มาซึ่งสิ่งนี้ วรรณกรรมทางวิทยาศาสตร์และอุปกรณ์ การเจรจาต่อรองกับผู้สมัครชิงตำแหน่งในสถาบันการศึกษา เป็นต้น

17 กรกฎาคม (28) พ.ศ. 2309 ออยเลอร์และครอบครัวของเขากลับไปเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก แม้ว่าเขาจะอายุมากแล้วและเกือบจะตาบอดสนิทแล้วก็ตาม แต่เขาก็ยังทำงานอย่างมีประสิทธิผลไปจนบั้นปลายชีวิต ในช่วง 17 ปีของการพำนักครั้งที่สองในเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก เขาได้เตรียมงานประมาณ 400 ชิ้น รวมถึงหนังสือเล่มใหญ่หลายเล่ม ออยเลอร์ยังคงมีส่วนร่วมในงานองค์กรของสถาบันการศึกษาต่อไป ในปี พ.ศ. 2319 เขาเป็นหนึ่งในผู้เชี่ยวชาญในโครงการสะพานโค้งเดียวข้ามแม่น้ำเนวาซึ่งเสนอโดย I. Kulibin และจากคณะกรรมาธิการทั้งหมด เขาเป็นคนเดียวที่ให้การสนับสนุนโครงการอย่างกว้างขวาง

ข้อดีของออยเลอร์ในฐานะนักวิทยาศาสตร์และผู้จัดงานรายใหญ่ การวิจัยทางวิทยาศาสตร์ได้รับการยกย่องอย่างสูงตลอดพระชนม์ชีพ นอกเหนือจากสถาบันการศึกษาของเซนต์ปีเตอร์สเบิร์กและเบอร์ลินแล้ว เขายังเป็นสมาชิกของสถาบันวิทยาศาสตร์ที่ใหญ่ที่สุด: Paris Academy of Sciences, Royal Society of London และอื่นๆ

ลักษณะที่โดดเด่นประการหนึ่งของงานของออยเลอร์คือผลงานอันยอดเยี่ยมของเขา ในช่วงชีวิตของเขาเพียงลำพัง หนังสือและบทความของเขาประมาณ 550 เล่มได้รับการตีพิมพ์ (รายชื่อผลงานของออยเลอร์มีประมาณ 850 ชื่อเรื่อง) ในปี พ.ศ. 2452 สมาคมวิทยาศาสตร์ธรรมชาติแห่งสวิสได้เริ่มตีพิมพ์ผลงานฉบับสมบูรณ์ของออยเลอร์ ซึ่งสร้างเสร็จในปี พ.ศ. 2518 ประกอบด้วย 72 เล่ม จดหมายโต้ตอบทางวิทยาศาสตร์ขนาดมหึมาของออยเลอร์ (ประมาณ 3,000 ฉบับ) ซึ่งได้รับการตีพิมพ์เพียงบางส่วนจนถึงขณะนี้ก็น่าสนใจเช่นกัน

กิจกรรมของออยเลอร์มีขอบเขตกว้างผิดปกติ ครอบคลุมทุกแผนกวิชาคณิตศาสตร์และกลศาสตร์ร่วมสมัย ทฤษฎีความยืดหยุ่น ฟิสิกส์คณิตศาสตร์ ทัศนศาสตร์ ทฤษฎีดนตรี ทฤษฎีเครื่อง ขีปนาวุธ วิทยาศาสตร์ทางทะเล การประกันภัย ฯลฯ ประมาณ 3/5 ของผลงานของออยเลอร์เกี่ยวข้องกับ สำหรับคณิตศาสตร์ ส่วนที่เหลืออีก 2/5 ส่วนใหญ่เป็นการใช้งาน นักวิทยาศาสตร์จัดระบบผลลัพธ์ของเขาและผลลัพธ์ที่ผู้อื่นได้รับเป็นเอกสารคลาสสิกหลายฉบับซึ่งเขียนด้วยความชัดเจนที่น่าทึ่งและมาพร้อมกับตัวอย่างอันมีค่า ตัวอย่างเช่น "กลศาสตร์หรือศาสตร์แห่งการเคลื่อนที่นำเสนอเชิงวิเคราะห์" (1736), "บทนำสู่การวิเคราะห์" (1748), "แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์" (1755), "ทฤษฎีการเคลื่อนไหวของร่างกายแข็ง" (1765) “เลขคณิตสากล” (พ.ศ. 2311–69) ซึ่งตีพิมพ์ประมาณ 30 ฉบับใน 6 ภาษา, “แคลคูลัสอินทิกรัล” (พ.ศ. 2311–94) เป็นต้น ในศตวรรษที่ 18 และส่วนหนึ่งในศตวรรษที่ 19 "จดหมายเกี่ยวกับเรื่องทางกายภาพและปรัชญาต่างๆ ที่เขียนถึงเจ้าหญิงชาวเยอรมัน" ที่เปิดเผยต่อสาธารณะได้รับความนิยมอย่างมาก "(พ.ศ. 2311-2317) ซึ่งมีการพิมพ์มากกว่า 40 ฉบับใน 10 ภาษา เนื้อหาส่วนใหญ่ในเอกสารของออยเลอร์ก็รวมอยู่ในนั้น คู่มือการฝึกอบรมสำหรับโรงเรียนมัธยมศึกษาตอนปลายและมัธยมศึกษาบางส่วน เป็นไปไม่ได้ที่จะแสดงรายการทฤษฎีบท วิธีการ และสูตรของออยเลอร์ที่ยังคงใช้อยู่ทั้งหมด ซึ่งมีเพียงไม่กี่รายการเท่านั้นที่ปรากฏในวรรณกรรมภายใต้ชื่อของเขา [เช่น วิธีเส้นหักของออยเลอร์ การแทนที่ของออยเลอร์ ค่าคงที่ของออยเลอร์ สมการของออยเลอร์ สูตรของออยเลอร์ ฟังก์ชันของออยเลอร์, ตัวเลขของออยเลอร์, สูตรของออยเลอร์ - แมคคลอริน, สูตรออยเลอร์–ฟูริเยร์, คุณลักษณะของออยเลอร์, ปริพันธ์ของออยเลอร์, มุมออยเลอร์]

ในวิชากลศาสตร์ ออยเลอร์ได้สรุปไดนามิกของจุดโดยใช้การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์เป็นครั้งแรก นั่นคือ การเคลื่อนที่อย่างอิสระของจุดภายใต้อิทธิพลของแรงต่างๆ ทั้งในความว่างเปล่าและในตัวกลางที่มีการต้านทาน การเคลื่อนที่ของจุดตามเส้นหรือพื้นผิวที่กำหนด การเคลื่อนไหวภายใต้อิทธิพลของกองกำลังส่วนกลาง ในปี 1744 เขาได้กำหนดหลักการทางกลที่มีการดำเนินการน้อยที่สุดเป็นครั้งแรกอย่างถูกต้อง และแสดงให้เห็นการใช้งานครั้งแรก ใน "ทฤษฎีการเคลื่อนที่ของร่างกายแข็ง" ออยเลอร์ได้พัฒนาจลนศาสตร์และไดนามิกของวัตถุแข็งเกร็ง และให้สมการสำหรับการหมุนรอบจุดคงที่ ซึ่งเป็นการวางรากฐานสำหรับทฤษฎีไจโรสโคป ในทฤษฎีเรือของเขา ออยเลอร์มีส่วนช่วยอันทรงคุณค่าต่อทฤษฎีเสถียรภาพ การค้นพบของออยเลอร์มีความสำคัญในกลศาสตร์ท้องฟ้า (เช่น ในทฤษฎีการเคลื่อนที่ของดวงจันทร์) กลศาสตร์ต่อเนื่อง (สมการพื้นฐานของการเคลื่อนที่ของของไหลในอุดมคติในรูปแบบของออยเลอร์และในสิ่งที่เรียกว่าตัวแปรลากรองจ์ การแกว่งของก๊าซในท่อ ฯลฯ) ในด้านทัศนศาสตร์ ออยเลอร์ให้สูตรสำหรับเลนส์นูนสองด้าน (ค.ศ. 1747) และเสนอวิธีการคำนวณดัชนีการหักเหของแสงของตัวกลาง ออยเลอร์ยึดถือทฤษฎีคลื่นแสง เขาเชื่ออย่างนั้น สีที่ต่างกันสอดคล้องกับความยาวคลื่นแสงที่แตกต่างกัน ออยเลอร์เสนอวิธีกำจัด ความคลาดเคลื่อนของสีเลนส์และให้วิธีการคำนวณส่วนประกอบทางแสงของกล้องจุลทรรศน์ ออยเลอร์อุทิศผลงานมากมายซึ่งเริ่มในปี 1748 ให้กับฟิสิกส์คณิตศาสตร์: ปัญหาการสั่นสะเทือนของเชือก แผ่น เมมเบรน ฯลฯ การศึกษาทั้งหมดนี้กระตุ้นการพัฒนาของทฤษฎี สมการเชิงอนุพันธ์, วิธีการวิเคราะห์โดยประมาณ, ข้อมูลจำเพาะ ฟังก์ชัน เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ ฯลฯ การค้นพบทางคณิตศาสตร์หลายอย่างของออยเลอร์มีอยู่ในผลงานเหล่านี้

งานหลักของออยเลอร์ในฐานะนักคณิตศาสตร์คือการพัฒนาการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เขาวางรากฐานของสาขาวิชาคณิตศาสตร์หลายสาขาวิชา ซึ่งอยู่ในรูปแบบพื้นฐานเท่านั้นหรือขาดหายไปอย่างสิ้นเชิงในแคลคูลัสของจิ๋วโดย I. Newton, G. Leibniz และพี่น้อง Bernoulli ดังนั้นออยเลอร์จึงเป็นคนแรกที่แนะนำฟังก์ชันต่างๆ อาร์กิวเมนต์ที่ซับซ้อนและตรวจสอบคุณสมบัติของฟังก์ชันพื้นฐานเบื้องต้นของตัวแปรเชิงซ้อน (ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ลอการิทึม และตรีโกณมิติ) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เขาได้สูตรที่เชื่อมโยงฟังก์ชันตรีโกณมิติกับฟังก์ชันเลขชี้กำลัง งานของออยเลอร์ในทิศทางนี้วางรากฐานสำหรับทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน

ออยเลอร์เป็นผู้สร้างแคลคูลัสของการแปรผัน ดังที่กล่าวไว้ในงาน “วิธีการหาเส้นโค้งที่มีคุณสมบัติเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุด "(1744) วิธีการที่ออยเลอร์ได้รับมาในปี ค.ศ. 1744 สภาพที่จำเป็นสุดขั้วของฟังก์ชัน - สมการของออยเลอร์เป็นต้นแบบของวิธีการทางตรงของแคลคูลัสของการแปรผันของศตวรรษที่ 20 ออยเลอร์ได้สร้างทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์สามัญขึ้นมาเป็นวินัยอิสระ และวางรากฐานสำหรับทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย ที่นี่เขาเป็นเจ้าของการค้นพบมากมาย: วิธีคลาสสิกโซลูชั่น สมการเชิงเส้นด้วยค่าสัมประสิทธิ์คงที่ วิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจ การชี้แจงคุณสมบัติพื้นฐานของสมการริคคาติ การบูรณาการสมการเชิงเส้นกับสัมประสิทธิ์ตัวแปรโดยใช้อนุกรมอนันต์ เกณฑ์สำหรับคำตอบพิเศษ หลักคำสอนเรื่องตัวประกอบการอินทิเกรต วิธีการประมาณค่าต่างๆ และ จำนวนเทคนิคในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย ออยเลอร์รวบรวมส่วนสำคัญของผลลัพธ์เหล่านี้ไว้ใน "แคลคูลัสอินทิกรัล" ของเขา

ออยเลอร์ยังได้เสริมแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และอินทิกรัลในความหมายแคบของคำนี้ (เช่น หลักคำสอนเรื่องการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร ทฤษฎีบทเกี่ยวกับฟังก์ชันเอกพันธ์ แนวคิดเรื่องอินทิกรัลสองเท่า และการคำนวณอินทิกรัลพิเศษหลายตัว) ใน “แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์” ออยเลอร์แสดงและสนับสนุนด้วยตัวอย่างความเชื่อของเขาในความเหมาะสมของการใช้อนุกรมลู่ออกและวิธีการที่เสนอสำหรับการสรุปอนุกรมทั่วไป โดยคาดการณ์แนวความคิดของทฤษฎีสมัยใหม่ที่เข้มงวดของอนุกรมลู่ออก ซึ่งสร้างขึ้นบน ช่วงเปลี่ยนผ่านของศตวรรษที่ 19และศตวรรษที่ 20 นอกจากนี้ ออยเลอร์ยังได้รับผลลัพธ์ที่เป็นรูปธรรมมากมายในทฤษฎีอนุกรม เขาได้ค้นพบสิ่งที่เรียกว่า สูตรการรวมออยเลอร์–แมคคลอริน เสนอการแปลงอนุกรมตามชื่อของเขา คำนวณผลรวมของอนุกรมจำนวนมาก และแนะนำอนุกรมประเภทใหม่ที่สำคัญในคณิตศาสตร์ (เช่น อนุกรมตรีโกณมิติ) รวมถึงงานวิจัยของออยเลอร์เกี่ยวกับทฤษฎีเศษส่วนต่อเนื่องและกระบวนการอนันต์อื่นๆ ด้วย

ออยเลอร์เป็นผู้ก่อตั้งทฤษฎีฟังก์ชันพิเศษ เขาเป็นคนแรกที่พิจารณาไซน์และโคไซน์เป็นฟังก์ชัน ไม่ใช่เซ็กเมนต์ในวงกลม เขาได้รับการขยายฟังก์ชันพื้นฐานแบบคลาสสิกเกือบทั้งหมดให้เป็นซีรีส์และผลิตภัณฑ์ที่ไม่สิ้นสุด ผลงานของเขาได้สร้างทฤษฎีฟังก์ชัน γ เขาตรวจสอบคุณสมบัติของปริพันธ์ทรงรี ฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกและฟังก์ชันทรงกระบอก ฟังก์ชัน ζ ฟังก์ชัน θ บางตัว ลอการิทึมอินทิกรัล และ ชั้นเรียนที่สำคัญพหุนามพิเศษ

ตามคำกล่าวของ P. Chebyshev ออยเลอร์ได้วางรากฐานสำหรับการวิจัยทั้งหมดที่ประกอบขึ้นเป็นส่วนทั่วไปของทฤษฎีจำนวน ดังนั้น ออยเลอร์ได้พิสูจน์ข้อความจำนวนหนึ่งที่ทำโดยพี. แฟร์มาต์ (เช่น ทฤษฎีบทเล็กๆ ของแฟร์มาต์) ได้พัฒนารากฐานของทฤษฎีกำลังตกค้างและทฤษฎีรูปแบบกำลังสอง ซึ่งค้นพบ (แต่ไม่ได้พิสูจน์) กฎการตอบแทนกำลังสอง และศึกษาปัญหาหลายประการในการวิเคราะห์ไดโอแฟนไทน์ ในงานของเขาเกี่ยวกับการหารตัวเลขเป็นเทอมและทฤษฎีจำนวนเฉพาะ ออยเลอร์เป็นคนแรกที่ใช้วิธีการวิเคราะห์ จึงกลายเป็นผู้สร้างทฤษฎีการวิเคราะห์ตัวเลข โดยเฉพาะอย่างยิ่งเขาได้แนะนำฟังก์ชัน ζ และพิสูจน์สิ่งที่เรียกว่า เอกลักษณ์ของออยเลอร์ที่เชื่อมโยงจำนวนเฉพาะกับจำนวนธรรมชาติทั้งหมด

ออยเลอร์ยังประสบความสำเร็จอย่างมากในด้านอื่นๆ ของคณิตศาสตร์อีกด้วย ในพีชคณิต เขาเขียนงานเกี่ยวกับการแก้สมการในอนุมูล องศาที่สูงขึ้นและเกี่ยวกับสมการที่มีสองสิ่งที่ไม่ทราบ เช่นเดียวกับสิ่งที่เรียกว่า อัตลักษณ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสของออยเลอร์ ออยเลอร์มีความก้าวหน้าอย่างมากในเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งหลักคำสอนของพื้นผิวลำดับที่สอง ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์เขาศึกษารายละเอียดคุณสมบัติของเส้น geodesic เป็นคนแรกที่ใช้สมการธรรมชาติของเส้นโค้งและที่สำคัญที่สุดคือวางรากฐานของทฤษฎีพื้นผิว เขาแนะนำแนวคิดเกี่ยวกับทิศทางหลักที่จุดหนึ่งบนพื้นผิว พิสูจน์ความเป็นมุมฉากของพวกมัน ได้สูตรสำหรับความโค้งของส่วนปกติใดๆ เริ่มการศึกษาพื้นผิวที่พัฒนาได้ ฯลฯ ในงานตีพิมพ์หลังมรณกรรมชิ้นหนึ่ง (พ.ศ. 2405) เขาคาดการณ์ไว้บางส่วนถึงงานวิจัยของ K. Gauss เกี่ยวกับเรขาคณิตภายในของพื้นผิว ออยเลอร์ยังจัดการกับคำถามบางประการเกี่ยวกับโทโพโลยีและได้พิสูจน์ ตัวอย่างเช่น ทฤษฎีบทที่สำคัญเกี่ยวกับรูปทรงหลายเหลี่ยมนูน ออยเลอร์ นักคณิตศาสตร์มักถูกมองว่าเป็น "เครื่องคิดเลข" ที่เก่งกาจ แท้จริงแล้ว เขาเป็นผู้เชี่ยวชาญด้านการคำนวณและการแปลงอย่างเป็นทางการที่ไม่มีใครเทียบได้ ในงานของเขา สูตรทางคณิตศาสตร์และสัญลักษณ์จำนวนมากได้รับรูปลักษณ์ที่ทันสมัย ​​(เช่น เขาเป็นเจ้าของสัญกรณ์สำหรับ e และ π) อย่างไรก็ตาม ออยเลอร์ยังได้แนะนำแนวคิดที่ลึกซึ้งหลายประการเกี่ยวกับวิทยาศาสตร์ ซึ่งขณะนี้ได้รับการพิสูจน์อย่างเข้มงวดและทำหน้าที่เป็นตัวอย่างของการเจาะลึกในเรื่องการวิจัย

ตามคำกล่าวของ P. Laplace ออยเลอร์เป็นครูของนักคณิตศาสตร์คนที่สอง ครึ่งหนึ่งของ XVIIIวี.

ดิริชเล็ต ปีเตอร์ กุสตาฟ

(Düren ปัจจุบันเป็นเยอรมนี ค.ศ. 1805 - Göttingen อ้างแล้ว ค.ศ. 1859)

เขาศึกษาที่ปารีสและรักษาความสัมพันธ์ฉันมิตรกับนักคณิตศาสตร์ที่โดดเด่น โดยเฉพาะกับฟูริเยร์ เมื่อได้รับ ระดับวิทยาศาสตร์เป็นศาสตราจารย์ที่มหาวิทยาลัย Breslau (พ.ศ. 2369 - 2371), เบอร์ลิน (พ.ศ. 2371 - 2398) และ Göttingen ซึ่งเขาได้เป็นหัวหน้าภาควิชาคณิตศาสตร์หลังจากนักวิทยาศาสตร์ Carl Friedrich Gauss เสียชีวิต ผลงานที่โดดเด่นที่สุดของเขาในด้านวิทยาศาสตร์เกี่ยวข้องกับทฤษฎีจำนวน โดยเฉพาะอย่างยิ่งการศึกษาชุดข้อมูล สิ่งนี้ทำให้เขาสามารถพัฒนาทฤษฎีอนุกรมที่เสนอโดยฟูริเยร์ได้ สร้างการพิสูจน์ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ในเวอร์ชันของเขาเอง โดยใช้ฟังก์ชันการวิเคราะห์ในการแก้โจทย์ ปัญหาทางคณิตศาสตร์และแนะนำเกณฑ์การลู่เข้าสำหรับซีรีส์ ในสาขาการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เขาได้ปรับปรุงคำจำกัดความและแนวคิดของฟังก์ชันในสาขานี้ กลศาสตร์เชิงทฤษฎีมุ่งเน้นไปที่การศึกษาเสถียรภาพของระบบและแนวคิดเกี่ยวกับศักยภาพของนิวตัน

เชบีเชฟ ปาฟนูตี ลโววิช

นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียผู้ก่อตั้งโรงเรียนวิทยาศาสตร์เซนต์ปีเตอร์สเบิร์กนักวิชาการของสถาบันวิทยาศาสตร์เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก (พ.ศ. 2399) ผลงานของ Chebyshev วางรากฐานสำหรับการพัฒนาสาขาคณิตศาสตร์ใหม่ๆ มากมาย

ผลงานจำนวนมากที่สุดของ Chebyshev อยู่ในสาขาการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเขาได้อุทิศวิทยานิพนธ์เรื่องสิทธิในการบรรยายซึ่ง Chebyshev ได้ตรวจสอบความสามารถในการบูรณาการของการแสดงออกที่ไม่ลงตัวบางอย่างในฟังก์ชันพีชคณิตและลอการิทึม Chebyshev ยังอุทิศงานอื่น ๆ อีกมากมายเพื่อบูรณาการฟังก์ชันพีชคณิต. หนึ่งในนั้น (พ.ศ. 2396) ได้รับทฤษฎีบทที่รู้จักกันดีตามเงื่อนไขสำหรับการรวมเข้าด้วยกันใน ฟังก์ชั่นเบื้องต้นทวินามเชิงอนุพันธ์ งานวิจัยที่สำคัญเกี่ยวกับ การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ประกอบด้วยผลงานของเขาในการสร้างทฤษฎีทั่วไปของพหุนามมุมฉาก เหตุผลในการสร้างสรรค์สิ่งนี้คือการประมาณค่าพาราโบลาโดยใช้วิธีกำลังสองน้อยที่สุด งานวิจัยของ Chebyshev เกี่ยวกับปัญหาของโมเมนต์และสูตรการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสอยู่ติดกับแนวความคิดเดียวกันนี้ ด้วยมุมมองในการลดการคำนวณ Chebyshev เสนอ (1873) ให้พิจารณาสูตรการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีค่าสัมประสิทธิ์เท่ากัน (การบูรณาการโดยประมาณ) การวิจัยเกี่ยวกับสูตรการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสและทฤษฎีการแก้ไขมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับงานที่ Chebyshev มอบหมายในแผนกปืนใหญ่ของคณะกรรมการวิทยาศาสตร์ทางทหาร

ในทฤษฎีความน่าจะเป็น Chebyshev ให้เครดิตกับการแนะนำอย่างเป็นระบบ ตัวแปรสุ่มและการสร้างเทคนิคใหม่ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทลิมิตในทฤษฎีความน่าจะเป็น - ที่เรียกว่า วิธีช่วงเวลา (1845, 1846, 1867, 1887) เขาพิสูจน์กฎของคนจำนวนมากในรูปแบบทั่วไป นอกจากนี้ ข้อพิสูจน์ของเขายังโดดเด่นด้วยความเรียบง่ายและความเรียบง่าย Chebyshev ไม่ได้นำการศึกษาเงื่อนไขสำหรับการลู่เข้าของฟังก์ชันการกระจายของผลรวมของตัวแปรสุ่มอิสระมาสู่กฎปกติเพื่อให้เสร็จสมบูรณ์ อย่างไรก็ตามด้วยการเพิ่มวิธีการของ Chebyshev ทำให้ A. A. Markov สามารถทำเช่นนี้ได้ หากไม่มีข้อสรุปที่เข้มงวด เชบีเชฟยังสรุปถึงความเป็นไปได้ในการชี้แจงทฤษฎีบทขีดจำกัดนี้ในรูปแบบของการขยายเส้นกำกับของฟังก์ชันการกระจายของผลรวมของเทอมอิสระที่กำลังยกกำลัง n21/2 โดยที่ n คือจำนวนเทอม ผลงานของเชบีเชฟเกี่ยวกับทฤษฎีความน่าจะเป็น ขั้นตอนสำคัญในการพัฒนา; นอกจากนี้ยังเป็นพื้นฐานที่ทำให้โรงเรียนทฤษฎีความน่าจะเป็นของรัสเซียเติบโตขึ้น โดยเริ่มแรกประกอบด้วยนักเรียนโดยตรงของ Chebyshev

รีมันน์ จอร์จ ฟรีดริกก์ เบิร์นฮาร์ด

(Breselenz, Lower Saxony, 1826 - Selaska, ใกล้ Intra, อิตาลี 66)

นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ในปี 1846 เขาเข้ามหาวิทยาลัย Göttingen: เขาฟังการบรรยายของ K. Gauss ซึ่งหลายแนวคิดของเขาได้รับการพัฒนาในภายหลัง ในปีพ.ศ. 2390–49 เขาเข้าเรียนบรรยายที่มหาวิทยาลัยเบอร์ลิน ในปี 1849 เขากลับไปที่เกิตทิงเงน ซึ่งเขาสนิทสนมกับผู้ร่วมมือของเกาส์ นั่นคือนักฟิสิกส์ ดับบลิว. เวเบอร์ ซึ่งกระตุ้นความสนใจในตัวเขาอย่างลึกซึ้งในคำถามเกี่ยวกับวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์

ในปี ค.ศ. 1851 เขาได้ปกป้องวิทยานิพนธ์ระดับปริญญาเอกของเขาเรื่อง “พื้นฐานของทฤษฎีทั่วไปของฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนตัวเดียว” ตั้งแต่ปี 1854 เขาเป็นผู้ช่วยศาสตราจารย์ส่วนตัว และตั้งแต่ปี 1857 เขาเป็นศาสตราจารย์ที่ University of Göttingen

งานของ Riemann มีอิทธิพลอย่างมากต่อการพัฒนาคณิตศาสตร์ครั้งที่ 2 ครึ่งหนึ่งของศตวรรษที่ 19วี. และในศตวรรษที่ 20 ในวิทยานิพนธ์ระดับปริญญาเอกของเขา รีมันน์ได้วางรากฐานสำหรับทิศทางเรขาคณิตของทฤษฎีฟังก์ชันการวิเคราะห์ เขาแนะนำสิ่งที่เรียกว่าพื้นผิวรีมันน์ ซึ่งมีความสำคัญในการศึกษาฟังก์ชันหลายค่า พัฒนาทฤษฎีของการแมปโครงสร้าง และให้แนวคิดพื้นฐานของโทโพโลยี ศึกษาเงื่อนไขสำหรับการดำรงอยู่ของฟังก์ชันการวิเคราะห์ ภายในโดเมน หลากหลายชนิด(ที่เรียกว่าหลักการดิริชเลต์) ฯลฯ วิธีการที่พัฒนาโดย Riemann ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในงานต่อไปของเขาเกี่ยวกับทฤษฎีฟังก์ชันพีชคณิตและปริพันธ์ในทฤษฎีการวิเคราะห์ของสมการเชิงอนุพันธ์ (โดยเฉพาะสมการที่กำหนดฟังก์ชันไฮเปอร์เรขาคณิต) บน ทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์ (เช่น Riemann ระบุความเชื่อมโยงระหว่างการแจกแจงของจำนวนเฉพาะและคุณสมบัติของฟังก์ชัน ζ โดยเฉพาะอย่างยิ่งกับการแจกแจงของศูนย์ในพื้นที่ที่ซับซ้อน - ที่เรียกว่าสมมติฐานของ Riemann ซึ่งมีความถูกต้อง ยังไม่ได้รับการพิสูจน์) ฯลฯ

ในงานจำนวนหนึ่ง รีมันน์ได้ศึกษาการสลายตัวของฟังก์ชันเป็นอนุกรมตรีโกณมิติ และได้พิจารณาเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการบูรณาการในความหมายของรีแมนเนียน ซึ่งมีความสำคัญต่อทฤษฎีเซตและฟังก์ชันของตัวแปรจริง รีมันน์ยังเสนอวิธีการในการอินทิเกรตสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย (ตัวอย่างเช่น การใช้สิ่งที่เรียกว่าค่าคงที่ของรีมันน์และฟังก์ชันรีมันน์)

ในการบรรยายอันโด่งดังของเขาในปี ค.ศ. 1854 เรื่อง “On the Hypotheses behind geometic” (1867) รีมันน์ได้ให้ไว้ ความคิดทั่วไปปริภูมิทางคณิตศาสตร์ (ในคำว่า "หลากหลาย") รวมถึงปริภูมิฟังก์ชันและทอพอโลยี ที่นี่เขาพิจารณาเรขาคณิตในความหมายกว้างๆ ว่าเป็นการศึกษาท่อร่วม n มิติที่ต่อเนื่อง กล่าวคือ การรวมตัวกันของวัตถุที่เป็นเนื้อเดียวกัน และเมื่อสรุปผลลัพธ์ของเกาส์เกี่ยวกับเรขาคณิตภายในของพื้นผิวแล้ว เขาให้แนวคิดทั่วไปเกี่ยวกับองค์ประกอบเชิงเส้น ( ส่วนต่างของระยะห่างระหว่างจุดต่างๆ ของท่อร่วม) จึงกำหนดสิ่งที่เรียกว่าปริภูมิฟินสเลอร์ ในรายละเอียดมากขึ้น รีมันน์ได้ตรวจสอบสิ่งที่เรียกว่าปริภูมิรีมันน์ ซึ่งสรุปปริภูมิของเรขาคณิตยุคลิด โลบาเชฟสกี และรีมันเนียน มีลักษณะเฉพาะคือ ชนิดพิเศษองค์ประกอบเชิงเส้นและพัฒนาหลักคำสอนเรื่องความโค้ง เมื่อพูดถึงการนำแนวคิดของเขาไปประยุกต์ใช้กับปริภูมิทางกายภาพ รีมันน์ได้ตั้งคำถามถึง "สาเหตุของคุณสมบัติเมตริก" ของมัน ราวกับว่าคาดการณ์ถึงสิ่งที่จะเกิดขึ้นในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป

แนวคิดและวิธีการที่นำเสนอโดยรีมันน์ได้เปิดเส้นทางใหม่ในการพัฒนาคณิตศาสตร์และพบการประยุกต์ใช้ในกลศาสตร์และทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป นักวิทยาศาสตร์เสียชีวิตในปี พ.ศ. 2409 จากวัณโรค

ตัวเลขมีความแตกต่างกัน: ธรรมชาติ ตรรกศาสตร์ ตรรกศาสตร์ จำนวนเต็มและเศษส่วน บวกและลบ เชิงซ้อนและนายก คี่และคู่ จริง ฯลฯ จากบทความนี้ คุณจะพบว่าจำนวนเฉพาะคืออะไร

ตัวเลขใดในภาษาอังกฤษเรียกว่า "ง่าย"

บ่อยครั้งที่เด็กนักเรียนไม่ทราบวิธีตอบคำถามที่ง่ายที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์ตั้งแต่แรกเห็นว่าจำนวนเฉพาะคืออะไร พวกเขามักจะสับสนระหว่างจำนวนเฉพาะกับจำนวนธรรมชาติ (นั่นคือ ตัวเลขที่ผู้คนใช้ในการนับวัตถุ ในขณะที่ในบางแหล่งจะขึ้นต้นด้วยศูนย์ และในบางแหล่งก็เริ่มต้นด้วยหนึ่ง) แต่นี่เป็นสองแนวคิดที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง จำนวนเฉพาะ- เป็นจำนวนธรรมชาติ กล่าวคือ จำนวนเต็มและจำนวนบวกที่มากกว่า 1 และมีตัวหารธรรมชาติเพียง 2 ตัว ยิ่งกว่านั้น ตัวหารตัวใดตัวหนึ่งคือตัวเลขที่กำหนด และตัวที่สองคือหนึ่ง ตัวอย่างเช่น สามเป็นจำนวนเฉพาะ เนื่องจากไม่สามารถหารโดยไม่มีเศษด้วยจำนวนใดๆ นอกจากตัวมันเองและหนึ่ง

ตัวเลขประกอบ

สิ่งที่ตรงกันข้ามกับจำนวนเฉพาะคือจำนวนประกอบ พวกมันยังเป็นธรรมชาติเช่นกัน มากกว่าหนึ่ง แต่ไม่มีสองตัว แต่มีตัวหารมากกว่า ตัวอย่างเช่น ตัวเลข 4, 6, 8, 9 ฯลฯ นั้นเป็นจำนวนธรรมชาติ ประกอบ แต่ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ อย่างที่คุณเห็น พวกนี้ส่วนใหญ่เป็นเลขคู่ แต่ไม่ใช่ทั้งหมด แต่ “สอง” เป็นจำนวนคู่และเป็น “จำนวนแรก” ในชุดจำนวนเฉพาะ

ลำดับต่อมา

ในการสร้างชุดของจำนวนเฉพาะ จำเป็นต้องเลือกจากจำนวนธรรมชาติทั้งหมด โดยคำนึงถึงคำจำกัดความของจำนวนนั้น กล่าวคือ คุณต้องกระทำการโดยขัดแย้งกัน ก็ต้องคำนึงถึงธรรมชาติแต่ละอย่างด้วย ตัวเลขบวกเพื่อดูว่ามีตัวหารมากกว่าสองตัวหรือไม่ เรามาลองสร้างอนุกรม (ลำดับ) ที่ประกอบด้วยจำนวนเฉพาะกัน รายการเริ่มต้นด้วยสอง ตามด้วยสาม เนื่องจากรายการจะหารด้วยตัวมันเองและหนึ่งเท่านั้น พิจารณาหมายเลขสี่ มันมีตัวหารนอกเหนือจากสี่และหนึ่งหรือเปล่า? ใช่ จำนวนนั้นคือ 2 ดังนั้น 4 จึงไม่ใช่จำนวนเฉพาะ ห้ายังเป็นจำนวนเฉพาะ (หารด้วยจำนวนอื่นไม่ลงตัว ยกเว้น 1 และ 5) แต่หกหารลงตัว และโดยทั่วไป หากคุณติดตามเลขคู่ทั้งหมด คุณจะสังเกตได้ว่ายกเว้น "สอง" ไม่มีตัวใดที่เป็นจำนวนเฉพาะ จากนี้ เราสรุปได้ว่าจำนวนคู่ (ยกเว้น 2) ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ การค้นพบอีกอย่าง: จำนวนทั้งหมดที่หารด้วยสามลงตัว ยกเว้นสามตัวนั้น ไม่ว่าจะเป็นเลขคู่หรือคี่ ก็ไม่ใช่จำนวนเฉพาะเช่นกัน (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 ฯลฯ) เช่นเดียวกับตัวเลขที่หารด้วยห้าและเจ็ดลงตัว ฝูงชนทั้งหมดของพวกเขาก็ไม่ง่ายเช่นกัน มาสรุปกัน ดังนั้น ตัวเลขหลักเดียวแบบธรรมดาจะรวมเลขคี่ทั้งหมด ยกเว้น 1 และ 9 และแม้แต่ "สอง" ก็เป็นเลขคู่ ตัวหลักสิบ (10, 20,... 40 ฯลฯ) ไม่ใช่เรื่องง่าย จำนวนเฉพาะสองหลัก สามหลัก ฯลฯ สามารถกำหนดได้ตามหลักการข้างต้น: หากไม่มีตัวหารอื่นนอกจากตัวมันเองและหนึ่งตัว

ทฤษฎีเกี่ยวกับคุณสมบัติของจำนวนเฉพาะ

มีวิทยาศาสตร์ที่ศึกษาคุณสมบัติของจำนวนเต็มรวมทั้งจำนวนเฉพาะด้วย นี่คือสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่เรียกว่าสูงกว่า นอกจากคุณสมบัติของจำนวนเต็มแล้ว เธอยังเกี่ยวข้องกับพีชคณิตและจำนวนเหนือธรรมชาติ ตลอดจนฟังก์ชันของต้นกำเนิดต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับเลขคณิตของตัวเลขเหล่านี้ ในการศึกษาเหล่านี้นอกเหนือจากระดับประถมศึกษาและ วิธีการพีชคณิต, การวิเคราะห์และเรขาคณิตก็ใช้เช่นกัน โดยเฉพาะ “ทฤษฎีจำนวน” เกี่ยวข้องกับการศึกษาจำนวนเฉพาะ

จำนวนเฉพาะคือ "ส่วนประกอบ" ของจำนวนธรรมชาติ

ในวิชาเลขคณิตมีทฤษฎีบทหนึ่งเรียกว่าทฤษฎีบทพื้นฐาน จากข้อมูลดังกล่าว จำนวนธรรมชาติใดๆ ยกเว้น 1 สามารถแสดงเป็นผลคูณได้ โดยตัวประกอบที่เป็นจำนวนเฉพาะและลำดับของตัวประกอบไม่ซ้ำกัน ซึ่งหมายความว่าวิธีการแทนจะไม่ซ้ำกัน เรียกว่าการสลายตัว จำนวนธรรมชาติเป็นปัจจัยสำคัญ มีอีกชื่อหนึ่งสำหรับกระบวนการนี้ - การแยกตัวประกอบของตัวเลข จากนี้จึงสามารถเรียกจำนวนเฉพาะได้ “ วัสดุก่อสร้าง”, “บล็อก” สำหรับสร้างจำนวนธรรมชาติ

ค้นหาจำนวนเฉพาะ การทดสอบความเรียบง่าย

นักวิทยาศาสตร์หลายคนจากยุคต่างๆ พยายามค้นหาหลักการ (ระบบ) บางประการในการค้นหารายการจำนวนเฉพาะ วิทยาศาสตร์รู้จักระบบที่เรียกว่าตะแกรงแอตกิน ตะแกรงซุนดาร์ธรรม และตะแกรงเอราทอสเธเนส อย่างไรก็ตาม ไม่ได้ให้ผลลัพธ์ที่มีนัยสำคัญใดๆ และใช้การทดสอบง่ายๆ เพื่อค้นหาจำนวนเฉพาะ นักคณิตศาสตร์ยังสร้างอัลกอริธึมด้วย มักเรียกว่าการทดสอบปฐมภูมิ ตัวอย่างเช่น มีการทดสอบที่พัฒนาโดย Rabin และ Miller มันถูกใช้โดยนักเข้ารหัส นอกจากนี้ยังมีการทดสอบ Kayal-Agrawal-Sasquena อย่างไรก็ตาม แม้จะมีความแม่นยำเพียงพอ แต่ก็เป็นเรื่องยากมากในการคำนวณ ซึ่งทำให้ความสำคัญในทางปฏิบัติลดลง

เซตของจำนวนเฉพาะมีขีดจำกัดหรือไม่?

นักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกโบราณ Euclid เขียนไว้ในหนังสือ “Elements” ของเขาว่าเซตของจำนวนเฉพาะนั้นไม่มีที่สิ้นสุด เขากล่าวว่า: “ลองจินตนาการดูว่าจำนวนเฉพาะมีขีดจำกัด จากนั้นลองคูณมันเข้าด้วยกัน แล้วบวกหนึ่งเข้าไปในผลคูณ ตัวเลขที่เกิดจากสิ่งเหล่านี้ การกระทำง่ายๆไม่สามารถหารด้วยจำนวนเฉพาะใดๆ ได้ เพราะเศษที่เหลือจะเป็นหนึ่งเสมอ ซึ่งหมายความว่ายังมีจำนวนอื่นที่ยังไม่รวมอยู่ในรายการจำนวนเฉพาะ ดังนั้นสมมติฐานของเราจึงไม่เป็นจริง และชุดนี้ไม่มีขีดจำกัด นอกจากข้อพิสูจน์ของ Euclid แล้ว ยังมีสูตรที่ทันสมัยกว่าซึ่งมอบให้โดย Leonhard Euler นักคณิตศาสตร์ชาวสวิสในศตวรรษที่ 18 จากข้อมูลดังกล่าว ผลรวมส่วนกลับของผลรวมของตัวเลข n ตัวแรกจะเพิ่มขึ้นอย่างไม่จำกัดเมื่อจำนวน n เพิ่มขึ้น และนี่คือสูตรของทฤษฎีบทเกี่ยวกับการแจกแจงของจำนวนเฉพาะ: (n) เพิ่มขึ้นเมื่อ n/ln (n)

จำนวนเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดคืออะไร?

ลีโอนาร์ด ออยเลอร์ คนเดียวกันสามารถหาจำนวนเฉพาะที่มีค่ามากที่สุดในช่วงเวลาของเขาได้ นี่คือ 2 31 - 1 = 2147483647 อย่างไรก็ตามภายในปี 2013 มีการคำนวณหมายเลขเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดอีกรายการหนึ่งที่แม่นยำที่สุด - 2 57885161 - 1 เรียกว่าหมายเลข Mersenne ประกอบด้วยทศนิยมประมาณ 17 ล้านหลัก อย่างที่คุณเห็น จำนวนที่นักวิทยาศาสตร์ในศตวรรษที่ 18 พบนั้นน้อยกว่าจำนวนนี้หลายเท่า มันควรจะเป็นเช่นนั้น เพราะออยเลอร์ดำเนินการคำนวณนี้ด้วยตนเอง ในขณะที่คอมพิวเตอร์ร่วมสมัยของเราอาจได้รับความช่วยเหลือจากคอมพิวเตอร์ ยิ่งไปกว่านั้น หมายเลขนี้ได้มาจากคณะคณิตศาสตร์ในแผนกหนึ่งของอเมริกา ตัวเลขที่ตั้งชื่อตามนักวิทยาศาสตร์คนนี้ผ่านการทดสอบความเป็นเอกของ Luc-Lemaire อย่างไรก็ตาม วิทยาศาสตร์ไม่ต้องการหยุดอยู่แค่นั้น มูลนิธิ Electronic Frontier Foundation ซึ่งก่อตั้งขึ้นในปี 1990 ในสหรัฐอเมริกา (EFF) ได้เสนอรางวัลเป็นเงินสำหรับการค้นหาจำนวนเฉพาะจำนวนมาก และหากจนถึงปี 2013 รางวัลดังกล่าวจะมอบให้กับนักวิทยาศาสตร์ที่จะค้นพบพวกเขาจากจำนวน 1 ถึง 10 ล้านคน ตัวเลขทศนิยมแล้ววันนี้ตัวเลขนี้ก็เพิ่มขึ้นจาก 100 ล้านเป็น 1 พันล้านแล้ว รางวัลมีตั้งแต่ 150 ถึง 250,000 ดอลลาร์สหรัฐ

ชื่อของจำนวนเฉพาะพิเศษ

ตัวเลขเหล่านั้นที่พบเนื่องจากอัลกอริธึมที่สร้างขึ้นโดยนักวิทยาศาสตร์บางคนและผ่านการทดสอบความเรียบง่ายเรียกว่าพิเศษ นี่คือบางส่วนของพวกเขา:

1. เมอร์สเซ่น.

4. คัลเลน.

6. มิลส์ และคณะ

ความเรียบง่ายของตัวเลขเหล่านี้ ซึ่งตั้งชื่อตามนักวิทยาศาสตร์ข้างต้น สร้างขึ้นโดยใช้การทดสอบต่อไปนี้:

1. ลุค-เลอแมร์

2. เปปิน่า.

3. รีเซล.

4. Billhart - Lemaire - เซลฟริดจ์ และคนอื่นๆ

วิทยาศาสตร์สมัยใหม่ไม่ได้หยุดอยู่แค่นั้น และในอนาคตอันใกล้นี้ โลกจะได้เรียนรู้ชื่อของผู้ที่สามารถรับรางวัล 250,000 ดอลลาร์ได้จากการค้นหาจำนวนเฉพาะที่มากที่สุด

การแจงนับตัวหารตามคำนิยามจำนวน nเป็นจำนวนเฉพาะก็ต่อเมื่อหารด้วย 2 และจำนวนเต็มอื่นๆ ไม่ลงตัว ยกเว้น 1 และตัวมันเอง สูตรข้างต้นจะขจัดขั้นตอนที่ไม่จำเป็นและประหยัดเวลา เช่น หลังจากตรวจสอบว่าตัวเลขหารด้วย 3 ลงตัวหรือไม่ ก็ไม่จำเป็นต้องตรวจสอบว่าตัวเลขหารด้วย 9 ลงตัวหรือไม่

• ฟังก์ชัน floor(x) ปัดเศษ x เป็นจำนวนเต็มที่ใกล้ที่สุดซึ่งน้อยกว่าหรือเท่ากับ x

เรียนรู้เกี่ยวกับเลขคณิตแบบโมดูลาร์การดำเนินการ "x mod y" (mod เป็นตัวย่อของคำภาษาละติน "modulo" นั่นคือ "โมดูล") หมายถึง "หาร x ด้วย y และค้นหาส่วนที่เหลือ" กล่าวอีกนัยหนึ่งในเลขคณิตแบบแยกส่วนเมื่อถึงค่าที่แน่นอนซึ่งเรียกว่า โมดูลตัวเลขจะ "เปลี่ยน" ให้เป็นศูนย์อีกครั้ง ตัวอย่างเช่น นาฬิการักษาเวลาด้วยโมดูลัส 12 โดยจะแสดงที่ 10, 11 และ 12 นาฬิกา แล้วจึงกลับไปเป็น 1

• เครื่องคิดเลขหลายเครื่องมีปุ่มดัดแปลง ส่วนท้ายของส่วนนี้จะแสดงวิธีประเมินฟังก์ชันนี้ด้วยตนเองสำหรับตัวเลขจำนวนมาก