ชื่อตัวเลข. จำนวนที่มากที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์

บางครั้งคนที่ไม่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ก็สงสัยว่าอะไรคือที่สุด จำนวนมาก- ในด้านหนึ่ง คำตอบนั้นชัดเจน - อนันต์ บอเรสจะชี้แจงด้วยว่านักคณิตศาสตร์ใช้ "บวกอนันต์" หรือ "+∞" แต่คำตอบนี้จะไม่โน้มน้าวให้คำตอบที่มีฤทธิ์กัดกร่อนมากที่สุด โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อนี่ไม่ใช่จำนวนธรรมชาติ แต่เป็นนามธรรมทางคณิตศาสตร์ แต่เมื่อเข้าใจปัญหาดีแล้ว พวกเขาก็สามารถค้นพบปัญหาที่น่าสนใจมากได้

แท้จริงแล้วขีดจำกัดของขนาดก็คือ ในกรณีนี้ไม่มีอยู่จริง แต่จินตนาการของมนุษย์มีขีดจำกัด แต่ละหมายเลขมีชื่อ: สิบ หนึ่งร้อย พันล้าน เจ็ดล้าน และอื่นๆ แต่จินตนาการของผู้คนจะจบลงที่ไหน?

อย่าสับสนกับเครื่องหมายการค้าของ Google Corporation แม้ว่าจะมีก็ตาม ต้นกำเนิดทั่วไป- ตัวเลขนี้เขียนเป็น 10100 นั่นคือ 1 ตามด้วยศูนย์ 100 ตัว เป็นการยากที่จะจินตนาการ แต่มีการใช้อย่างแข็งขันในวิชาคณิตศาสตร์

เป็นเรื่องตลกที่เด็กประดิษฐ์ขึ้น - หลานชายของนักคณิตศาสตร์ Edward Kasner ในปี 1938 ลุงของฉันให้ความบันเทิงแก่ญาติที่อายุน้อยกว่าด้วยการพูดคุยเกี่ยวกับคนจำนวนมาก สำหรับความขุ่นเคืองของเด็กปรากฎว่าตัวเลขที่ยอดเยี่ยมเช่นนี้ไม่มีชื่อและเขาก็ให้เวอร์ชั่นของเขาเอง ต่อมาลุงของฉันใส่มันลงในหนังสือของเขาเล่มหนึ่งและคำนี้ติดอยู่

ตามทฤษฎี googol เป็นจำนวนธรรมชาติ เนื่องจากสามารถใช้ในการนับได้ แต่ไม่น่าเป็นไปได้ที่ทุกคนจะมีความอดทนที่จะนับจนจบ ดังนั้นในทางทฤษฎีเท่านั้น

สำหรับชื่อของบริษัท Google มีข้อผิดพลาดทั่วไปเกิดขึ้นที่นี่ นักลงทุนรายแรกและผู้ร่วมก่อตั้งคนหนึ่งรีบเขียนเช็คและพลาดตัวอักษร "O" แต่เพื่อที่จะขึ้นเงิน บริษัทจะต้องลงทะเบียนด้วยการสะกดคำนี้โดยเฉพาะ

กูเกิลเพล็กซ์

จำนวนนี้เป็นอนุพันธ์ของ googol แต่มากกว่าจำนวนนั้นมาก คำนำหน้า “เพล็กซ์” หมายถึงการยกกำลัง 10 ให้เท่ากับเลขฐาน ดังนั้น กูโลเพล็กซ์จึงเป็น 10 ยกกำลัง 10 ยกกำลัง 100 หรือ 101000

จำนวนผลลัพธ์ที่ได้เกินจำนวนอนุภาคในเอกภพที่สังเกตได้ ซึ่งประมาณว่าอยู่ที่ประมาณ 1,080 องศา แต่สิ่งนี้ไม่ได้หยุดนักวิทยาศาสตร์จากการเพิ่มจำนวนเพียงเพิ่มคำนำหน้า "plex" เข้าไป: googolplexplex, googolplexplex เป็นต้น และสำหรับนักคณิตศาสตร์ที่ในทางที่ผิดโดยเฉพาะพวกเขาคิดค้นรูปแบบการขยายโดยไม่ต้องเติมคำนำหน้า "เพล็กซ์" ซ้ำอย่างไม่สิ้นสุด - พวกเขาเพียงแค่ใส่ตัวเลขกรีกไว้ข้างหน้า: เตตร้า (สี่), เพนตา (ห้า) และอื่น ๆ จนถึงเดคา ( สิบ). ตัวเลือกสุดท้ายฟังดูเหมือน googoldecaplex และหมายถึงการทำซ้ำสะสมสิบเท่าของขั้นตอนการยกเลข 10 ให้เป็นกำลังของฐาน สิ่งสำคัญคือไม่ต้องจินตนาการถึงผลลัพธ์ คุณยังไม่สามารถตระหนักได้ แต่เป็นเรื่องง่ายที่จะได้รับบาดเจ็บทางจิตใจ

หมายเลขเมอร์เซนที่ 48

ตัวละครหลัก: คูเปอร์ คอมพิวเตอร์ของเขา และหมายเลขเฉพาะใหม่

เมื่อไม่นานมานี้ ประมาณหนึ่งปีที่แล้ว เราสามารถค้นพบหมายเลขเมอร์เซนลำดับที่ 48 ถัดไปได้ บน ช่วงเวลานี้เป็นจำนวนเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดในโลก ให้เรานึกถึงสิ่งนั้น จำนวนเฉพาะ- สิ่งเหล่านี้คือสิ่งที่หารได้โดยไม่มีเศษเหลือเพียงตัวเดียวและตัวมันเอง ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดคือ 3, 5, 7, 11, 13, 17 และอื่นๆ ปัญหาก็คือ ยิ่งเข้าไปในป่ามากเท่าไหร่ ตัวเลขดังกล่าวก็จะยิ่งน้อยลงเท่านั้น แต่สิ่งที่มีค่ามากกว่าคือการค้นพบสิ่งต่อไป เช่น จำนวนเฉพาะใหม่ประกอบด้วย 17,425,170 หลัก หากแสดงอยู่ในระบบเลขทศนิยมที่เราคุ้นเคย ก่อนหน้านี้มีอักขระประมาณ 12 ล้านตัว

มันถูกค้นพบโดยนักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน เคอร์ติส คูเปอร์ ซึ่งสร้างความพึงพอใจให้กับชุมชนนักคณิตศาสตร์ด้วยสถิติที่คล้ายกันเป็นครั้งที่สาม คอมพิวเตอร์ส่วนบุคคลของเขาใช้เวลา 39 วันในการตรวจสอบผลลัพธ์และพิสูจน์ว่าตัวเลขนี้เป็นจำนวนเฉพาะจริงๆ

นี่คือลักษณะของเลข Graham ในรูปแบบลูกศร Knuth เป็นการยากที่จะบอกว่าจะถอดรหัสสิ่งนี้อย่างไรโดยไม่ต้องกรอกข้อมูลให้ครบถ้วน อุดมศึกษาในวิชาคณิตศาสตร์เชิงทฤษฎี เป็นไปไม่ได้ที่จะเขียนมันลงในรูปแบบทศนิยมตามปกติของเรา: จักรวาลที่สังเกตได้ไม่สามารถรองรับมันได้ การสร้างทีละระดับ เช่นเดียวกับกรณีของ googolplexes ก็ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาเช่นกัน

สูตรดีแต่ไม่ชัดเจน

แล้วทำไมเราถึงต้องการตัวเลขที่ดูเหมือนไร้ประโยชน์นี้? ประการแรก สำหรับผู้ที่อยากรู้อยากเห็น มันถูกบันทึกไว้ใน Guinness Book of Records และนี่ก็เป็นจำนวนมากแล้ว ประการที่สอง มันถูกใช้เพื่อแก้ปัญหาที่รวมอยู่ในปัญหาแรมซีย์ ซึ่งยังไม่ชัดเจนเช่นกัน แต่ฟังดูจริงจัง ประการที่สาม ตัวเลขนี้ได้รับการยอมรับว่าเป็นตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดเท่าที่เคยมีมาในวิชาคณิตศาสตร์ และไม่ใช่ในการพิสูจน์การ์ตูนหรือ เกมทางปัญญาแต่เพื่อแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่เฉพาะเจาะจงมาก

ความสนใจ! ข้อมูลต่อไปนี้เป็นอันตรายต่อสุขภาพจิตของคุณ! เมื่ออ่านแล้ว แสดงว่าคุณยอมรับความรับผิดชอบต่อผลที่ตามมาทั้งหมด!

สำหรับใครที่อยากทดสอบจิตใจและนั่งสมาธิเลขเกรแฮม เราก็ลองอธิบายได้นะ (แต่ลองเท่านั้น)

ลองนึกภาพ 33 ง่ายมาก ปรากฎว่า 3*3*3=27 จะเป็นอย่างไรถ้าเราเพิ่มสามเป็นจำนวนนี้? ผลลัพธ์คือ 3 3 ยกกำลัง 3 หรือ 3 27 ในรูปแบบทศนิยม จะเท่ากับ 7,625,597,484,987 มาก แต่ตอนนี้สามารถเข้าใจได้แล้ว

ในสัญลักษณ์ลูกศรของ Knuth หมายเลขนี้สามารถแสดงได้ค่อนข้างง่ายกว่า - 33 แต่ถ้าคุณเพิ่มเพียงลูกศรเดียวก็จะซับซ้อนมากขึ้น: 33 ซึ่งหมายถึง 33 ยกกำลัง 33 หรือในรูปแบบกำลัง ถ้าเราขยายเป็นทศนิยม เราจะได้ 7,625,597,484,987 7,625,597,484,987 คุณยังสามารถติดตามความคิดของคุณได้หรือไม่?

ขั้นต่อไป: 33= 33 33 . นั่นคือคุณต้องคำนวณตัวเลขเสริมนี้จากการกระทำครั้งก่อนและเพิ่มเป็นกำลังเดียวกัน

และ 33 เป็นเพียงเทอมแรกจาก 64 เทอมของจำนวนเกรแฮม เพื่อให้ได้อันที่ 2 คุณต้องคำนวณผลลัพธ์ของสูตรที่น่าทึ่งนี้ และแทนที่จำนวนลูกศรที่สอดคล้องกันลงในแผนภาพ 3(...)3 เป็นเช่นนี้อีก 63 ครั้ง

ฉันสงสัยว่ามีใครนอกจากเขาและนักคณิตศาสตร์ชั้นยอดอีกนับสิบคน จะสามารถไปถึงกลางลำดับเป็นอย่างน้อยโดยไม่บ้าไปเลยได้ไหม?

คุณเข้าใจอะไรบางอย่างไหม? พวกเราไม่. แต่ช่างน่าตื่นเต้นจริงๆ!

ทำไมเราถึงต้องการมากที่สุด ตัวเลขใหญ่- นี่เป็นเรื่องยากสำหรับคนทั่วไปที่จะเข้าใจและเข้าใจ แต่ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา มีผู้เชี่ยวชาญเพียงไม่กี่คนเท่านั้นที่สามารถแนะนำของเล่นเทคโนโลยีใหม่ ๆ ให้กับคนทั่วไปได้ เช่น โทรศัพท์ คอมพิวเตอร์ แท็บเล็ต คนธรรมดายังไม่เข้าใจวิธีการทำงานของพวกเขา แต่พวกเขายินดีที่จะใช้มันเพื่อความบันเทิง และทุกคนก็มีความสุข คนธรรมดาได้ของเล่น ส่วน "ซุปเปอร์เนิร์ด" มีโอกาสเล่นเกมฝึกสมองต่อไป

ตอบคำถามยาก ๆ ว่ามันคืออะไรซึ่งเป็นจำนวนที่ใหญ่ที่สุดในโลกก่อนอื่นควรสังเกตว่าวันนี้มีการตั้งชื่อตัวเลข 2 วิธีที่ยอมรับได้ - อังกฤษและอเมริกัน ตามระบบภาษาอังกฤษ คำต่อท้าย -พันล้าน หรือ -ล้าน จะถูกบวกเข้ากับตัวเลขจำนวนมากแต่ละตัวตามลำดับ ส่งผลให้กลายเป็นตัวเลข ล้าน พันล้าน ล้านล้าน ล้านล้าน และอื่นๆ หากเราดำเนินการต่อจากระบบอเมริกัน ตามนั้น จะต้องบวกส่วนต่อท้าย -million เข้ากับตัวเลขจำนวนมากแต่ละตัว ส่งผลให้เกิดการก่อตัวของตัวเลขล้านล้าน สี่ล้านล้าน และขนาดใหญ่ ควรสังเกตที่นี่ด้วยว่าระบบตัวเลขภาษาอังกฤษนั้นพบได้ทั่วไปมากกว่า โลกสมัยใหม่และตัวเลขในนั้นก็เพียงพอต่อการทำงานปกติของทุกระบบในโลกของเรา

แน่นอนว่าคำตอบสำหรับคำถามเกี่ยวกับจำนวนที่มากที่สุดจากมุมมองเชิงตรรกะนั้นไม่สามารถคลุมเครือได้ เพราะหากคุณบวกหนึ่งตัวเข้ากับแต่ละหลักถัดไป คุณจะได้จำนวนที่มากขึ้นใหม่ ดังนั้น กระบวนการนี้จึงไม่มีขีดจำกัด อย่างไรก็ตาม น่าแปลกที่ยังคงมีตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดในโลกและมีรายชื่ออยู่ใน Guinness Book of Records

เลขเกรแฮมเป็นตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดในโลก

เป็นตัวเลขนี้ที่ได้รับการยอมรับในโลกว่าใหญ่ที่สุดใน Book of Records แต่เป็นการยากมากที่จะอธิบายว่ามันคืออะไรและมีขนาดใหญ่แค่ไหน ในความหมายทั่วไป สิ่งเหล่านี้คือแฝดสามคูณกัน ส่งผลให้ตัวเลขที่มีขนาด 64 ลำดับความสำคัญสูงกว่าความเข้าใจของแต่ละคน ด้วยเหตุนี้ เราจึงให้เลขเกรแฮมได้เพียง 50 หลักสุดท้ายเท่านั้น – 0322234872396701848518 64390591045756272 62464195387.

เบอร์กูเกิล

ประวัติความเป็นมาของตัวเลขนี้ไม่ซับซ้อนเท่าที่กล่าวไว้ข้างต้น ดังนั้น Edward Kasner นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกันที่พูดคุยกับหลานชายเกี่ยวกับตัวเลขจำนวนมากไม่สามารถตอบคำถามว่าจะตั้งชื่อตัวเลขที่มีศูนย์ 100 ตัวขึ้นไปได้อย่างไร หลานชายผู้มีไหวพริบแนะนำชื่อของตัวเองสำหรับตัวเลขดังกล่าว - googol ควรสังเกตว่ามีขนาดใหญ่ ความสำคัญในทางปฏิบัติอย่างไรก็ตาม จำนวนนี้ไม่ได้ใช้ในคณิตศาสตร์เพื่อแสดงค่าอนันต์ในบางครั้ง

กูเกิลเพล็กซ์

ตัวเลขนี้ยังถูกคิดค้นโดยนักคณิตศาสตร์ Edward Kasner และหลานชายของเขา Milton Sirotta โดยทั่วไปแล้วมันแสดงถึงตัวเลขยกกำลังสิบของ googol ตอบคำถามของคนที่อยากรู้อยากเห็นว่า Googleplex มีศูนย์กี่ตัวเป็นที่น่าสังเกตว่าใน รุ่นคลาสสิกไม่มีทางจินตนาการถึงตัวเลขนี้ได้ แม้ว่าคุณจะครอบคลุมรายงานทั้งหมดบนโลกด้วยเลขศูนย์แบบคลาสสิกก็ตาม

ตัวเลขสกิว

ผู้เข้าแข่งขันอีกคนสำหรับตำแหน่งหมายเลขที่มากที่สุดคือหมายเลข Skewes ซึ่งพิสูจน์โดย John Littwood ในปี 1914 ตามหลักฐานที่ให้มา ตัวเลขนี้อยู่ที่ประมาณ 8.185 10370

หมายเลขโมเซอร์

วิธีการตั้งชื่อตัวเลขจำนวนมากนี้คิดค้นโดย Hugo Steinhaus ซึ่งเสนอให้แทนค่าเหล่านี้ด้วยรูปหลายเหลี่ยม จากผลการคำนวณทางคณิตศาสตร์สามครั้ง เลข 2 จึงเกิดเป็นรูปเมกะเหลี่ยม (รูปหลายเหลี่ยมที่มีด้านเมกะ)

อย่างที่คุณเห็นแล้วนักคณิตศาสตร์จำนวนมากได้พยายามค้นหามันซึ่งเป็นจำนวนที่ใหญ่ที่สุดในโลก แน่นอนว่าความพยายามเหล่านี้ประสบความสำเร็จนั้นไม่ได้มีไว้สำหรับเราที่จะตัดสิน แต่ต้องสังเกตว่าการใช้งานจริงของตัวเลขดังกล่าวนั้นเป็นที่น่าสงสัยเนื่องจากไม่คล้อยตามความเข้าใจของมนุษย์ด้วยซ้ำ นอกจากนี้ จะมีตัวเลขที่มากกว่าเสมอหากคุณดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างง่ายๆ +1

คุณเคยคิดบ้างไหมว่าหนึ่งล้านมีศูนย์กี่ตัว? นี่เป็นคำถามที่ค่อนข้างง่าย แล้วพันล้านหรือล้านล้านล่ะ? หนึ่งตามด้วยศูนย์เก้าตัว (1000000000) - ชื่อของตัวเลขคืออะไร?

รายการตัวเลขสั้นๆ และการกำหนดเชิงปริมาณ

• สิบ (1 ศูนย์)
• หนึ่งร้อย (ศูนย์ 2 ตัว)
• หนึ่งพัน (3 ศูนย์)
• หนึ่งหมื่น (ศูนย์ 4 ตัว)
• หนึ่งแสน (5 ศูนย์)
• ล้าน (6 ศูนย์)
• พันล้าน (9 ศูนย์)
• ล้านล้าน (12 ศูนย์)
• สี่ล้านล้าน (15 ศูนย์)
• ควินติเลียน (ศูนย์ 18 ตัว)
• Sextillion (21 ศูนย์)
• เซทิลเลียน (24 ศูนย์)
• แปดเหลี่ยม (27 ศูนย์)
• โนนาลิออน (30 ศูนย์)
• Decalion (33 ศูนย์)

การจัดกลุ่มของศูนย์

1000000000 - ชื่อของตัวเลขที่มีศูนย์ 9 ตัวคืออะไร? นี่คือพันล้าน เพื่อความสะดวก โดยทั่วไปตัวเลขจำนวนมากจะถูกจัดกลุ่มเป็นชุดสามชุด โดยแยกจากกันด้วยการเว้นวรรคหรือเครื่องหมายวรรคตอน เช่น เครื่องหมายลูกน้ำหรือจุด

สิ่งนี้ทำเพื่อให้ง่ายต่อการอ่านและทำความเข้าใจ มูลค่าเชิงปริมาณ- เช่น เลข 1000000000 ชื่ออะไร? ในรูปแบบนี้ คุ้มค่าที่จะเครียดเล็กน้อยและคำนวณ และถ้าคุณเขียน 1,000,000,000 งานจะมองเห็นได้ง่ายขึ้นทันทีเนื่องจากคุณต้องนับไม่ใช่ศูนย์ แต่ต้องนับสามเท่าของศูนย์

ตัวเลขที่มีศูนย์จำนวนมาก

ความนิยมมากที่สุดคือล้านและพันล้าน (1000000000) ชื่อของตัวเลขที่มีศูนย์ 100 ตัวคืออะไร? นี่คือหมายเลข Googol ซึ่งเรียกโดย Milton Sirotta นี่เป็นจำนวนเงินที่มหาศาลมาก คุณคิดว่าตัวเลขนี้มีขนาดใหญ่หรือไม่? แล้ว googolplex อันหนึ่งตามด้วย googol ที่เป็นศูนย์ล่ะ? ตัวเลขนี้มีขนาดใหญ่มากจนเป็นการยากที่จะให้ความหมาย ในความเป็นจริง ไม่จำเป็นต้องมียักษ์เช่นนั้น ยกเว้นการนับจำนวนอะตอมในจักรวาลอันไม่มีที่สิ้นสุด

1 พันล้านมากมั้ย?

มีสเกลวัดสองแบบ - สั้นและยาว ทั่วโลกในด้านวิทยาศาสตร์และการเงิน 1 พันล้านคือ 1,000 ล้าน นี่เป็นเรื่องในระยะสั้น ตามที่กล่าวไว้นี่คือตัวเลขที่มีศูนย์ 9 ตัว

นอกจากนี้ยังมีสเกลยาวซึ่งใช้ในบางอัน ประเทศในยุโรปรวมถึงในฝรั่งเศสด้วย และก่อนหน้านี้เคยใช้ในสหราชอาณาจักร (จนถึงปี 1971) โดยที่ 1 พันล้านคือ 1 ล้านล้าน นั่นคือหนึ่งตามด้วยศูนย์ 12 ตัว การไล่ระดับนี้เรียกอีกอย่างว่าสเกลระยะยาว ขณะนี้มาตราส่วนระยะสั้นมีความโดดเด่นในการตัดสินใจประเด็นทางการเงินและวิทยาศาสตร์

บาง ภาษายุโรปภาษาต่างๆ เช่น สวีเดน เดนมาร์ก โปรตุเกส สเปน อิตาลี ดัตช์ นอร์เวย์ โปแลนด์ เยอรมัน ใช้นับพันล้าน (หรือพันล้าน) ในระบบนี้ ในภาษารัสเซีย จำนวนที่มีศูนย์ 9 ตัวก็หมายถึงระดับสั้นๆ ของหนึ่งพันล้าน และล้านล้านก็คือหนึ่งล้านล้าน เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนที่ไม่จำเป็น

ตัวเลือกการสนทนา

ในภาษารัสเซีย คำพูดภาษาพูดหลังเหตุการณ์ปี 1917 - มหาราช การปฏิวัติเดือนตุลาคม- และช่วงเงินเฟ้อรุนแรงในช่วงต้นทศวรรษ 1920 1 พันล้านรูเบิลเรียกว่า "ลิมาร์ด" และในช่วงทศวรรษ 1990 สำนวนคำสแลงใหม่ "แตงโม" ปรากฏต่อคนนับพันล้านเรียกว่า "มะนาว"

ปัจจุบันมีการใช้คำว่า "พันล้าน" แล้ว ระดับนานาชาติ- นี่คือจำนวนธรรมชาติซึ่งแสดงในระบบทศนิยมเป็น 10 9 (หนึ่งตามด้วยศูนย์ 9 ตัว) นอกจากนี้ยังมีชื่ออื่น - พันล้านซึ่งไม่ได้ใช้ในรัสเซียและกลุ่มประเทศ CIS

พันล้าน = พันล้าน?

คำเช่นพันล้านใช้เพื่อระบุพันล้านเฉพาะในรัฐที่ใช้ "มาตราส่วนสั้น" เป็นพื้นฐานเท่านั้น เหล่านี้เป็นประเทศเช่น สหพันธรัฐรัสเซีย, สหราชอาณาจักรบริเตนใหญ่ และ ไอร์แลนด์เหนือ, สหรัฐอเมริกา, แคนาดา, กรีซ และตุรกี ในประเทศอื่นๆ แนวคิดเรื่องพันล้านหมายถึงเลข 10 12 ซึ่งก็คือหนึ่งตามด้วยศูนย์ 12 ตัว ในประเทศที่มี "ขนาดสั้น" รวมถึงรัสเซีย ตัวเลขนี้สอดคล้องกับ 1 ล้านล้าน

ความสับสนดังกล่าวเกิดขึ้นในฝรั่งเศสในช่วงเวลาที่การก่อตัวของวิทยาศาสตร์เช่นพีชคณิตเกิดขึ้น ในตอนแรก หนึ่งพันล้านคนมีศูนย์ 12 ตัว อย่างไรก็ตาม ทุกอย่างเปลี่ยนไปหลังจากการปรากฏของคู่มือหลักเกี่ยวกับเลขคณิต (ผู้เขียน Tranchan) ในปี 1558) โดยที่หนึ่งพันล้านเป็นตัวเลขที่มีศูนย์ 9 ตัวอยู่แล้ว (หนึ่งพันล้าน)

เป็นเวลาหลายศตวรรษต่อมา แนวคิดทั้งสองนี้ถูกนำมาใช้อย่างเท่าเทียมกัน ในช่วงกลางศตวรรษที่ 20 คือในปี 1948 ฝรั่งเศสได้เปลี่ยนมาใช้ระบบการตั้งชื่อตัวเลขแบบยาว ในเรื่องนี้ สเกลสั้นซึ่งครั้งหนึ่งเคยยืมมาจากภาษาฝรั่งเศส ยังคงแตกต่างจากสเกลที่ใช้อยู่ในปัจจุบัน

ในอดีต สหราชอาณาจักรใช้เงินหลายพันล้านในระยะยาว แต่ตั้งแต่ปี 1974 สถิติอย่างเป็นทางการของสหราชอาณาจักรได้ใช้มาตราส่วนระยะสั้น นับตั้งแต่ทศวรรษ 1950 เป็นต้นมา มาตราส่วนระยะสั้นถูกนำมาใช้มากขึ้นในสาขาการเขียนเชิงเทคนิคและวารสารศาสตร์ แม้ว่ามาตราส่วนระยะยาวยังคงมีอยู่ก็ตาม

10 ยกกำลัง 3003

ข้อพิพาทเกี่ยวกับอันไหนมากที่สุด จำนวนมากในโลกอย่างต่อเนื่อง เสนอระบบแคลคูลัสที่แตกต่างกัน ตัวแปรที่แตกต่างกันและผู้คนไม่รู้ว่าจะเชื่ออะไร และตัวเลขใดที่ควรพิจารณามากที่สุด

คำถามนี้ทำให้นักวิทยาศาสตร์สนใจมาตั้งแต่สมัยจักรวรรดิโรมัน ปัญหาที่ใหญ่ที่สุดอยู่ที่คำจำกัดความว่า "ตัวเลข" คืออะไร และ "ตัวเลข" คืออะไร ครั้งหนึ่งคนเคยถือว่าจำนวนที่มากที่สุดคือหน่วยเดซิล้าน ซึ่งก็คือ 10 ยกกำลัง 33 แต่หลังจากที่นักวิทยาศาสตร์เริ่มศึกษาระบบเมตริกของอเมริกาและอังกฤษอย่างจริงจัง ก็พบว่าจำนวนที่ใหญ่ที่สุดในโลกคือ 10 ยกกำลัง 3003 - หนึ่งล้าน ผู้ชายเข้า. ชีวิตประจำวันพวกเขาเชื่อว่าตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดคือหนึ่งล้านล้าน ยิ่งกว่านั้น นี่ค่อนข้างเป็นทางการ เนื่องจากหลังจากหนึ่งล้านล้านชื่อก็ไม่ได้รับการบอกกล่าว เนื่องจากการนับเริ่มซับซ้อนเกินไป อย่างไรก็ตาม ตามทฤษฎีแล้ว คุณสามารถเพิ่มจำนวนศูนย์ได้อย่างไม่มีกำหนด ดังนั้นจึงแทบเป็นไปไม่ได้เลยที่จะจินตนาการถึงล้านล้านด้วยสายตาล้วนๆ และสิ่งที่ตามมา

ในเลขโรมัน

ในทางกลับกัน คำจำกัดความของ "ตัวเลข" ที่นักคณิตศาสตร์เข้าใจนั้นแตกต่างออกไปเล็กน้อย ตัวเลข หมายถึง เครื่องหมายที่เป็นที่ยอมรับในระดับสากล และใช้เพื่อระบุปริมาณที่แสดงเป็นตัวเลขที่เทียบเท่ากัน แนวคิดที่สองของ "ตัวเลข" หมายถึง การแสดงคุณลักษณะเชิงปริมาณในรูปแบบที่สะดวกโดยใช้ตัวเลข จากนี้ไปตัวเลขจะประกอบด้วยตัวเลข สิ่งสำคัญคือตัวเลขนั้นมีคุณสมบัติเชิงสัญลักษณ์ เป็นสิ่งกำหนดเงื่อนไข เป็นที่จดจำ ไม่เปลี่ยนแปลง ตัวเลขก็มีคุณสมบัติเครื่องหมายเช่นกัน แต่ตามมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าตัวเลขประกอบด้วยตัวเลข จากนี้เราสามารถสรุปได้ว่าล้านล้านไม่ใช่ตัวเลข แต่เป็นตัวเลข แล้วตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดในโลกถ้าไม่ใช่ล้านล้านจะเป็นตัวเลขอะไร?

สิ่งสำคัญคือมีการใช้ตัวเลขเป็นส่วนประกอบของตัวเลข แต่ไม่ใช่แค่นั้น อย่างไรก็ตาม ตัวเลขก็คือตัวเลขเดียวกันหากเรากำลังพูดถึงบางสิ่ง โดยนับจากศูนย์ถึงเก้า คุณลักษณะของระบบนี้ไม่เพียงแต่ใช้กับเลขอารบิกที่คุ้นเคยเท่านั้น แต่ยังใช้กับเลขโรมัน I, V, X, L, C, D, M อีกด้วย ซึ่งเป็นเลขโรมัน ในทางกลับกัน V I I I เป็นเลขโรมัน ในแคลคูลัสภาษาอาหรับจะตรงกับเลขแปด

ในเลขอารบิค

ดังนั้นปรากฎว่าการนับหน่วยตั้งแต่ศูนย์ถึงเก้าถือเป็นตัวเลข และสิ่งอื่น ๆ ก็เป็นตัวเลข จึงสรุปได้ว่าจำนวนที่มากที่สุดในโลกคือเก้า 9 เป็นเครื่องหมาย และตัวเลขเป็นนามธรรมเชิงปริมาณอย่างง่าย ล้านล้านเป็นตัวเลข ไม่ใช่ตัวเลขเลย ดังนั้นจึงไม่สามารถเป็นตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดในโลกได้ ล้านล้านสามารถเรียกได้ว่าเป็นจำนวนที่ใหญ่ที่สุดในโลก และนั่นเป็นเพียงการนามเท่านั้น เนื่องจากสามารถนับจำนวนได้ไม่จำกัด จำนวนหลักถูกจำกัดอย่างเคร่งครัด - ตั้งแต่ 0 ถึง 9

ก็ควรจะจำตัวเลขและตัวเลขนั้นด้วย ระบบที่แตกต่างกันการคำนวณไม่ตรงกันดังที่เราเห็นจากตัวอย่างที่มีตัวเลขและตัวเลขอารบิกและโรมัน สิ่งนี้เกิดขึ้นเพราะตัวเลขและตัวเลขเป็นแนวคิดง่ายๆ ที่มนุษย์ประดิษฐ์ขึ้นมาเอง ดังนั้นตัวเลขในระบบตัวเลขหนึ่งอาจเป็นตัวเลขในอีกระบบหนึ่งและในทางกลับกันได้อย่างง่ายดาย

ดังนั้น จำนวนที่มากที่สุดจึงมีนับไม่ถ้วน เนื่องจากสามารถบวกจากตัวเลขต่อไปได้ไม่จำกัด สำหรับตัวเลขนั้น ในระบบที่ยอมรับกันโดยทั่วไป 9 ถือเป็นจำนวนที่มากที่สุด

เป็นไปไม่ได้ที่จะตอบคำถามนี้ให้ถูกต้อง เนื่องจากชุดตัวเลขไม่มีขีดจำกัดบน ดังนั้น สำหรับตัวเลขใดๆ ก็ตาม คุณเพียงแค่ต้องบวกหนึ่งตัวเพื่อให้ได้จำนวนที่มากขึ้น แม้ว่าตัวเลขจะไม่มีที่สิ้นสุด แต่ก็มีชื่อเฉพาะไม่มากนัก เนื่องจากส่วนใหญ่จะพอใจกับชื่อที่ประกอบด้วยตัวเลขที่น้อยกว่า ตัวอย่างเช่น ตัวเลขมีชื่อของตัวเองว่า "หนึ่ง" และ "หนึ่งร้อย" และชื่อของตัวเลขนั้นประกอบขึ้นแล้ว ("หนึ่งร้อยหนึ่ง") เป็นที่ชัดเจนว่าในชุดตัวเลขอันจำกัดที่มนุษยชาติมอบให้ ชื่อของตัวเอง, จะต้องมีจำนวนมากที่สุดจำนวนหนึ่ง แต่มันเรียกว่าอะไรและมันเท่ากับอะไร? ลองคิดดูและในขณะเดียวกันก็ค้นหาว่านักคณิตศาสตร์มีจำนวนเท่าใด

ระดับ "สั้น" และ "ยาว"

ในระบบ Chuquet จำนวนระหว่างหนึ่งล้านถึงหนึ่งพันล้านไม่มีชื่อของตัวเองและเรียกง่ายๆว่า "พันล้าน" หรือเรียกในทำนองเดียวกันว่า "พันล้าน" "พันล้านล้าน" เป็นต้น สิ่งนี้ไม่สะดวกนัก และในปี 1549 นักเขียนและนักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Jacques Peletier du Mans (1517–1582) เสนอให้ตั้งชื่อตัวเลข "กลาง" ดังกล่าวโดยใช้คำนำหน้าภาษาละตินเดียวกัน แต่ลงท้ายด้วย "-billion" ดังนั้นจึงเริ่มถูกเรียกว่า "พันล้าน" - "บิลเลียด" - "ล้านล้าน" เป็นต้น

ระบบ Chuquet-Peletier ค่อยๆ ได้รับความนิยมและถูกใช้ทั่วยุโรป อย่างไรก็ตาม ในศตวรรษที่ 17 เกิดปัญหาที่ไม่คาดคิดเกิดขึ้น ปรากฎว่าด้วยเหตุผลบางอย่างนักวิทยาศาสตร์บางคนเริ่มสับสนและเรียกตัวเลขไม่ใช่ "พันล้าน" หรือ "พันล้าน" แต่เป็น "พันล้าน" ในไม่ช้าข้อผิดพลาดนี้ก็แพร่กระจายอย่างรวดเร็วและสถานการณ์ที่ขัดแย้งกันก็เกิดขึ้น - "พันล้าน" ก็มีความหมายเหมือนกันกับ "พันล้าน" () และ "ล้านล้าน" () พร้อม ๆ กัน

ความสับสนนี้ดำเนินต่อไปเป็นเวลานานและนำไปสู่ความจริงที่ว่าสหรัฐอเมริกาสร้างระบบของตนเองในการตั้งชื่อตัวเลขจำนวนมาก ตามระบบอเมริกัน ชื่อของตัวเลขถูกสร้างขึ้นในลักษณะเดียวกับในระบบ Schuquet - คำนำหน้าภาษาละตินและคำลงท้าย "ล้าน" อย่างไรก็ตาม ขนาดของตัวเลขเหล่านี้แตกต่างกัน หากในระบบ Schuquet ชื่อที่ลงท้ายด้วย "illion" ได้รับเลขยกกำลังหนึ่งล้าน ในระบบอเมริกัน คำลงท้าย "-illion" จะได้รับเลขยกกำลังหนึ่งพัน นั่นคือหนึ่งพันล้าน () เริ่มถูกเรียกว่า "พันล้าน", () - "ล้านล้าน", () - "สี่ล้านล้าน" ฯลฯ

ระบบการตั้งชื่อตัวเลขแบบเก่ายังคงใช้กันในบริเตนใหญ่แบบอนุรักษ์นิยม และเริ่มถูกเรียกว่า "บริติช" ทั่วโลก แม้ว่าจะถูกประดิษฐ์ขึ้นโดย French Chuquet และ Peletier ก็ตาม อย่างไรก็ตาม ในปี 1970 สหราชอาณาจักรได้เปลี่ยนมาใช้ "ระบบอเมริกัน" อย่างเป็นทางการ ซึ่งนำไปสู่ความจริงที่ว่าการเรียกระบบหนึ่งว่าอเมริกันและอีกระบบหนึ่งเป็นเรื่องแปลก เป็นผลให้ระบบอเมริกันในปัจจุบันถูกเรียกว่า "มาตราส่วนสั้น" และระบบอังกฤษหรือชูเกต์-เปเลติเยร์เรียกว่า "มาตราส่วนยาว"

เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสน ให้สรุป:

เป็นที่น่าสงสัยว่าในประเทศของเราการเปลี่ยนแปลงครั้งสุดท้ายไปสู่ระดับสั้นนั้นเกิดขึ้นเฉพาะในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 20 เท่านั้น ตัวอย่างเช่น Yakov Isidorovich Perelman (2425-2485) ใน "เลขคณิตบันเทิง" ของเขากล่าวถึงการดำรงอยู่คู่ขนานของสองระดับในสหภาพโซเวียต ตามข้อมูลของ Perelman มาตราส่วนสั้นถูกใช้ในชีวิตประจำวันและการคำนวณทางการเงิน และมาตราส่วนยาวถูกใช้ในหนังสือวิทยาศาสตร์เกี่ยวกับดาราศาสตร์และฟิสิกส์ อย่างไรก็ตาม ตอนนี้การใช้สเกลยาวในรัสเซียเป็นเรื่องผิด แม้ว่าจะมีจำนวนมากก็ตาม

แต่ลองกลับไปค้นหาหมายเลขที่ใหญ่ที่สุดกันดีกว่า หลังจากหน่วยล้าน ชื่อของตัวเลขจะได้มาจากการรวมคำนำหน้าเข้าด้วยกัน สิ่งนี้ทำให้เกิดตัวเลขเช่น undecillion, duodecillion, tredecillion, quattordecillion, quindecillion, sexdecillion, septemdecillion, octodecillion, novemdecillion เป็นต้น อย่างไรก็ตาม ชื่อเหล่านี้ไม่น่าสนใจสำหรับเราอีกต่อไป เนื่องจากเราตกลงที่จะค้นหาจำนวนที่มากที่สุดด้วยชื่อที่ไม่ใช่ชื่อประกอบของมันเอง

หากเราหันไปใช้ไวยากรณ์ละตินเราจะพบว่าชาวโรมันมีชื่อที่ไม่ประสมเพียงสามชื่อสำหรับตัวเลขที่มากกว่าสิบ: viginti - "ยี่สิบ", centum - "ร้อย" และ mille - "พัน" ชาวโรมันไม่มีชื่อของตนเองสำหรับจำนวนที่มากกว่าหนึ่งพัน เช่น หนึ่งล้าน () ชาวโรมันเรียกสิ่งนี้ว่า "decies centena milia" ซึ่งก็คือ "สิบคูณแสน" ตามกฎของ Chuquet เลขละตินทั้งสามที่เหลือนี้ให้ชื่อตัวเลขเช่น "vigintillion", "centillion" และ "millillion"

ดังนั้นเราจึงพบว่าใน "สเกลสั้น" จำนวนสูงสุดที่มีชื่อของตัวเองและไม่ได้ประกอบกับจำนวนที่น้อยกว่าคือ "ล้าน" () หากรัสเซียใช้ "สเกลยาว" ในการตั้งชื่อตัวเลข จำนวนที่มากที่สุดที่มีชื่อของตัวเองก็จะเป็น "พันล้าน" ()

อย่างไรก็ตาม ยังมีชื่อสำหรับตัวเลขที่ใหญ่กว่าอีกด้วย

ตัวเลขนอกระบบ

จนถึงศตวรรษที่ 17 รุสใช้ระบบของตัวเองในการตั้งชื่อตัวเลข นับหมื่นถูกเรียกว่า "ความมืด" หลายแสนถูกเรียกว่า "พยุหเสนา" หลายล้านถูกเรียกว่า "ลีโอเดอร์" หลายสิบล้านถูกเรียกว่า "อีกา" และหลายร้อยล้านถูกเรียกว่า "สำรับ" จำนวนมากถึงหลายร้อยล้านนี้เรียกว่า “จำนวนน้อย” และในต้นฉบับบางฉบับผู้เขียนถือว่า “ คะแนนดีมาก” ซึ่งใช้ชื่อเดียวกันสำหรับจำนวนมาก แต่มีความหมายต่างกัน ดังนั้น “ความมืด” จึงไม่ได้หมายถึงหมื่นอีกต่อไป แต่หมายถึงหมื่น () , “พยุหะ” - ความมืดของสิ่งเหล่านั้น () - "leodr" - กองพันพยุหเสนา () , "กา" - ลีโอเดอร์ ลีโอดรอฟ (). ด้วยเหตุผลบางประการ "สำรับ" ในการนับสลาฟที่ยิ่งใหญ่ไม่ได้ถูกเรียกว่า "อีกาแห่งอีกา" () แต่มีเพียง "กา" เพียงสิบตัวเท่านั้น (ดูตาราง)

ชื่อหมายเลข	ความหมายในภาษา "จำนวนน้อย"	ความหมายในคำว่า "นับมาก"	การกำหนด
มืด
พยุหะ
ลีโอเดร
เรเวน (คอร์วิด)
เด็ค
ความมืดของหัวข้อ

ชื่อของจำนวนที่มากกว่า googol เกิดขึ้นในปี 1950 ต้องขอบคุณบิดาแห่งวิทยาการคอมพิวเตอร์ Claude Elwood Shannon (1916–2001) ในบทความของเขาเรื่อง "การเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์เพื่อเล่นหมากรุก" เขาพยายามประมาณจำนวน ตัวเลือกที่เป็นไปได้เกมหมากรุก ตามที่ระบุไว้ แต่ละเกมใช้เวลาโดยเฉลี่ยของการเคลื่อนไหว และในแต่ละการเคลื่อนไหว ผู้เล่นจะเลือกตัวเลือกโดยเฉลี่ย ซึ่งสอดคล้องกับ (ประมาณเท่ากับ) ตัวเลือกของเกม งานนี้เป็นที่รู้จักอย่างกว้างขวาง และหมายเลขนี้กลายเป็นที่รู้จักในชื่อ “หมายเลขแชนนอน”

ในตำราทางพุทธศาสนาที่มีชื่อเสียงเรื่อง Jaina Sutra ย้อนหลังไปถึง 100 ปีก่อนคริสตกาล ตัวเลข “อสังเหยา” มีค่าเท่ากับ เชื่อกันว่าจำนวนนี้เท่ากับจำนวนรอบจักรวาลที่ต้องใช้เพื่อบรรลุนิพพาน

Milton Sirotta วัย 9 ขวบลงไปในประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ ไม่เพียงเพราะเขาคิดเลข googol ได้เท่านั้น แต่ยังเป็นเพราะในเวลาเดียวกันเขาก็เสนอตัวเลขอีกตัวหนึ่ง - "googolplex" ซึ่งเท่ากับพลังของ " googol” ซึ่งก็คืออันหนึ่งที่มี googol เป็นศูนย์

Stanley Skewes นักคณิตศาสตร์ชาวแอฟริกาใต้ (พ.ศ. 2442-2531) เสนอตัวเลขที่ใหญ่กว่า googolplex อีกสองตัวเพื่อพิสูจน์สมมติฐานรีมันน์ ตัวเลขตัวแรกซึ่งต่อมากลายเป็นที่รู้จักในชื่อ “ตัวเลข Skuse” มีค่าเท่ากับ ยกกำลัง ยกกำลัง ของ นั่นคือ . อย่างไรก็ตาม “หมายเลข Skewes ที่สอง” จะมีขนาดใหญ่กว่าและมีจำนวนเท่ากับ

แน่นอนว่า ยิ่งมีพลังมากเท่าไร การเขียนตัวเลขและเข้าใจความหมายเมื่ออ่านก็จะยิ่งยากขึ้นเท่านั้น ยิ่งกว่านั้นเป็นไปได้ที่จะเกิดตัวเลขดังกล่าว (และโดยวิธีการนั้นพวกมันได้ถูกประดิษฐ์ขึ้นแล้ว) เมื่อระดับองศาไม่พอดีกับหน้า ใช่แล้ว นั่นมันหน้าเพจ! พวกมันไม่สามารถบรรจุลงในหนังสือที่มีขนาดเท่าจักรวาลได้เลยด้วยซ้ำ! ในกรณีนี้เกิดคำถามว่าจะเขียนตัวเลขดังกล่าวอย่างไร โชคดีที่ปัญหาสามารถแก้ไขได้ และนักคณิตศาสตร์ได้พัฒนาหลักการหลายประการในการเขียนตัวเลขดังกล่าว จริงอยู่ที่นักคณิตศาสตร์ทุกคนที่สงสัยเกี่ยวกับปัญหานี้มีวิธีการเขียนของตัวเองซึ่งนำไปสู่การมีอยู่ของวิธีการเขียนจำนวนมากที่ไม่เกี่ยวข้องกัน - นี่คือสัญลักษณ์ของ Knuth, Conway, Steinhaus เป็นต้น ตอนนี้เราต้องจัดการ กับบางส่วนของพวกเขา

สัญกรณ์อื่น ๆ

“ในรูปสามเหลี่ยม” แปลว่า “”,
"กำลังสอง" แปลว่า "ในรูปสามเหลี่ยม"
"เป็นวงกลม" แปลว่า "เป็นสี่เหลี่ยม"

อธิบายวิธีการบันทึกนี้ สไตน์เฮาส์คิดเลข "เมกะ" ซึ่งเท่ากันในวงกลม และแสดงว่ามีค่าเท่ากันใน "สี่เหลี่ยมจัตุรัส" หรือสามเหลี่ยม ในการคำนวณ คุณต้องยกกำลังของ จำนวนผลลัพธ์ให้ยกกำลังของ จากนั้นยกจำนวนผลลัพธ์ยกกำลังของจำนวนผลลัพธ์ และอื่นๆ ยกกำลังของจำนวนครั้ง ตัวอย่างเช่น เครื่องคิดเลขใน MS Windows ไม่สามารถคำนวณได้เนื่องจากมีการล้นแม้จะอยู่ในรูปสามเหลี่ยมสองรูปก็ตาม จำนวนมหาศาลนี้อยู่ที่ประมาณ

เมื่อพิจารณาตัวเลข "เมกะ" แล้ว Steinhaus ขอเชิญชวนผู้อ่านให้ประมาณตัวเลขอื่นอย่างอิสระ - "เมดซอน" ซึ่งเท่ากันในวงกลม ในหนังสือฉบับอื่น Steinhaus แทนที่จะใช้ medzone แนะนำให้ประมาณจำนวนที่มากกว่า - "megiston" ซึ่งเท่ากันในวงกลม ตาม Steinhaus ฉันขอแนะนำให้ผู้อ่านแยกตัวออกจากข้อความนี้สักพักแล้วลองเขียนตัวเลขเหล่านี้ด้วยตนเองโดยใช้พลังธรรมดาเพื่อที่จะรู้สึกถึงขนาดมหึมา

อย่างไรก็ตาม มีชื่อสำหรับตัวเลขจำนวนมาก ดังนั้นนักคณิตศาสตร์ชาวแคนาดา Leo Moser (Leo Moser, 1921–1970) จึงแก้ไขสัญกรณ์ Steinhaus ซึ่งถูกจำกัดด้วยความจริงที่ว่าหากจำเป็นต้องเขียนตัวเลขที่ใหญ่กว่า megiston มาก ปัญหาและความไม่สะดวกก็จะเกิดขึ้น เนื่องจากมันจะเป็น จำเป็นต้องวาดวงกลมหลายวงเข้าหากัน โมเซอร์แนะนำว่าหลังจากสี่เหลี่ยมจัตุรัสแล้ว อย่าวาดวงกลม แต่วาดเป็นรูปห้าเหลี่ยม จากนั้นก็เป็นรูปหกเหลี่ยม และอื่นๆ นอกจากนี้เขายังเสนอสัญลักษณ์อย่างเป็นทางการสำหรับรูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้เพื่อให้สามารถเขียนตัวเลขได้โดยไม่ต้องวาดรูป ภาพวาดที่ซับซ้อน- สัญกรณ์โมเซอร์มีลักษณะดังนี้:

"สามเหลี่ยม" = = ;
"กำลังสอง" = = "สามเหลี่ยม" = ;
"ในรูปห้าเหลี่ยม" = = "เป็นรูปสี่เหลี่ยม" = ;
"ใน -gon" = = "ใน -gon" =

ดังนั้น ตามสัญกรณ์ของโมเซอร์ "เมกะ" ของสไตน์เฮาส์จึงเขียนว่า "เมดโซน" เป็น และ "เมกิสตัน" เป็น นอกจากนี้ Leo Moser ยังเสนอให้เรียกรูปหลายเหลี่ยมที่มีจำนวนด้านเท่ากับเมกะ - "เมกะกอน" และแนะนำเบอร์มา « ในเมกะกอน" กล่าวคือ หมายเลขนี้เป็นที่รู้จักในชื่อหมายเลขโมเซอร์หรือเรียกง่ายๆ ว่า "โมเซอร์"

แต่แม้แต่ “โมเซอร์” ก็ไม่ใช่จำนวนที่มากที่สุด ดังนั้น จำนวนที่มากที่สุดที่เคยใช้ในการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์คือ "จำนวนเกรแฮม" หมายเลขนี้ถูกใช้ครั้งแรกโดยนักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน โรนัลด์ เกรแฮม ในปี 1977 เพื่อพิสูจน์ค่าประมาณหนึ่งในทฤษฎีแรมซีย์ กล่าวคือ เมื่อคำนวณมิติของค่าที่แน่นอน -มิติไฮเปอร์คิวบ์แบบสองสี หมายเลขของ Graham มีชื่อเสียงหลังจากที่มีการอธิบายไว้ในหนังสือของ Martin Gardner ในปี 1989 เรื่อง From Penrose Mosaics to Trusted Ciphers

เพื่ออธิบายว่าจำนวนเกรแฮมมีขนาดใหญ่เพียงใด เราต้องอธิบายวิธีเขียนตัวเลขจำนวนมากอีกวิธีหนึ่ง ซึ่งแนะนำโดยโดนัลด์ คนุธในปี 1976 ศาสตราจารย์ชาวอเมริกัน โดนัลด์ คนุธ เกิดแนวคิดเรื่องมหาอำนาจขึ้นมา ซึ่งเขาเสนอให้เขียนโดยมีลูกศรชี้ขึ้น

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ธรรมดา—การบวก การคูณ และการยกกำลัง—สามารถขยายไปสู่ลำดับของไฮเปอร์โอเปอเรเตอร์ได้ดังนี้

การคูณ ตัวเลขธรรมชาติสามารถกำหนดได้โดยการดำเนินการบวกซ้ำๆ (“เพิ่มสำเนาของตัวเลข”):

ตัวอย่างเช่น,

การเพิ่มจำนวนเป็นกำลังสามารถกำหนดได้ว่าเป็นการดำเนินการคูณซ้ำๆ ("การคูณสำเนาของตัวเลข") และในสัญกรณ์ของ Knuth สัญกรณ์นี้ดูเหมือนลูกศรเดียวชี้ขึ้น:

ตัวอย่างเช่น,

ลูกศรขึ้นเดี่ยวนี้ถูกใช้เป็นไอคอนองศาในภาษาการเขียนโปรแกรม Algol

ตัวอย่างเช่น,

ที่นี่และด้านล่าง นิพจน์จะถูกประเมินจากขวาไปซ้ายเสมอ และตัวดำเนินการลูกศรของ Knuth (รวมถึงการดำเนินการยกกำลัง) ตามคำจำกัดความมีความสัมพันธ์ที่ถูกต้อง (ลำดับจากขวาไปซ้าย) ตามคำจำกัดความนี้

สิ่งนี้นำไปสู่ตัวเลขที่ค่อนข้างมาก แต่ระบบสัญกรณ์ไม่ได้จบเพียงแค่นั้น ตัวดำเนินการลูกศรสามตัวใช้เพื่อเขียนการยกกำลังซ้ำของตัวดำเนินการลูกศรคู่ (หรือที่เรียกว่า Pentation):

จากนั้นตัวดำเนินการ "ลูกศรรูปสี่เหลี่ยม":

ฯลฯ กฎทั่วไปตัวดำเนินการ "-ฉันลูกศร" ซึ่งสอดคล้องกับความสัมพันธ์ที่ถูกต้อง จะดำเนินต่อไปทางขวาในชุดตัวดำเนินการตามลำดับ « ลูกศร” โดยเชิงสัญลักษณ์สามารถเขียนได้ดังนี้

ตัวอย่างเช่น:

แบบฟอร์มสัญลักษณ์มักจะใช้สำหรับสัญลักษณ์ที่มีลูกศร

ตัวเลขบางตัวมีขนาดใหญ่มากจนแม้แต่การเขียนด้วยลูกศรของ Knuth ก็ยุ่งยากเกินไป ในกรณีนี้ การใช้ตัวดำเนินการ -arrow จะดีกว่า (และสำหรับคำอธิบายที่มีจำนวนลูกศรแปรผันด้วย) หรือเทียบเท่ากับตัวดำเนินการไฮเปอร์เปอร์เตอร์ แต่ตัวเลขบางตัวก็ใหญ่มากจนแม้แต่สัญกรณ์ดังกล่าวยังไม่เพียงพอ เช่น เลขเกรแฮม

การใช้สัญลักษณ์ลูกศรของ Knuth สามารถเขียนเลข Graham ได้เป็น

โดยที่จำนวนลูกศรในแต่ละชั้นโดยเริ่มจากด้านบนถูกกำหนดโดยหมายเลขในชั้นถัดไป นั่นคือ โดยที่ โดยที่ตัวยกของลูกศรระบุจำนวนลูกศรทั้งหมด กล่าวอีกนัยหนึ่ง คำนวณเป็นขั้นตอน: ในขั้นตอนแรกเราคำนวณด้วยลูกศรสี่ลูกระหว่างสาม ในวินาที - ด้วยลูกศรระหว่างสาม ในขั้นตอนที่สาม - ด้วยลูกศรระหว่างสาม และอื่นๆ ในตอนท้ายเราคำนวณด้วยลูกศรระหว่างแฝดสาม

สิ่งนี้สามารถเขียนเป็น , โดยที่ โดยที่ตัวยก y หมายถึงการวนซ้ำของฟังก์ชัน

หากสามารถจับคู่ตัวเลขอื่นที่มี "ชื่อ" กับจำนวนวัตถุที่สอดคล้องกันได้ (เช่น จำนวนดาวฤกษ์ในส่วนที่มองเห็นได้ของเอกภพนั้นประมาณไว้ที่หกล้านล้าน - และจำนวนอะตอมที่ประกอบกันเป็น โลกมีลำดับของ dodecalions) ดังนั้น googol จึงเป็น "เสมือน" อยู่แล้ว ไม่ต้องพูดถึงหมายเลข Graham ระดับของเทอมแรกเพียงอย่างเดียวนั้นใหญ่มากจนแทบเป็นไปไม่ได้เลยที่จะเข้าใจ แม้ว่าสัญลักษณ์ข้างต้นจะค่อนข้างเข้าใจง่ายก็ตาม แม้ว่านี่จะเป็นเพียงจำนวนหอคอยในสูตรนี้ แต่ตัวเลขนี้ก็มากกว่าจำนวนปริมาตรของพลังค์ (ปริมาตรทางกายภาพที่เล็กที่สุดที่เป็นไปได้) ที่มีอยู่ในจักรวาลที่สังเกตได้ (โดยประมาณ) อยู่แล้ว หลังจากสมาชิกคนแรก เราคาดว่าจะมีสมาชิกอีกคนในลำดับที่เติบโตอย่างรวดเร็ว