กฎสำหรับการแก้อัลกอริทึมสำหรับอสมการตรีโกณมิติอย่างง่าย อสมการตรีโกณมิติและวิธีการแก้ไข

จุดแรกตามปกติคือ arcsin(-a)=-arcsina ในการไปยังจุดที่สอง เราไปด้านบน นั่นคือไปในทิศทางของการเพิ่มมุม

คราวนี้เรากำลังเคลื่อนที่ไปไกลกว่า n เราจะไปนานแค่ไหน? บนอาร์คซิน x ซึ่งหมายความว่าจุดที่สองคือ n+arcsin x ทำไมไม่มีลบ? เพราะเครื่องหมายลบในสัญกรณ์ -arcsin a หมายถึงการเคลื่อนไหวตามเข็มนาฬิกา แต่เราไปทวนเข็มนาฬิกา และสุดท้าย เพิ่ม 2pn ที่ปลายแต่ละด้านของช่วงเวลา

5) sinx>a ถ้า a>1

วงกลมหน่วยอยู่ใต้เส้นตรง y=a ทั้งหมด ไม่มีจุดใดอยู่เหนือเส้นตรง ดังนั้นจึงไม่มีวิธีแก้ปัญหา

6) sinx>-a โดยที่ a>1

ในกรณีนี้ วงกลมหน่วยทั้งหมดจะอยู่เหนือเส้นตรง y=a ทั้งหมด ดังนั้น จุดใดๆ เป็นไปตามเงื่อนไข sinx>a หมายความว่า x เป็นตัวเลขใดๆ

และตรงนี้ x คือจำนวนใดๆ เนื่องจากจุด -n/2+2nn รวมอยู่ในคำตอบแล้ว ตรงกันข้ามกับอสมการเข้มงวด sinx>-1 ไม่จำเป็นต้องยกเว้นสิ่งใด

จุดเดียวบนวงกลมที่น่าพอใจ เงื่อนไขนี้คือ p/2 เมื่อคำนึงถึงคาบของไซน์แล้ว คำตอบของอสมการนี้คือเซตของจุด x=n/2+2n

ตัวอย่างเช่น แก้อสมการ sinx>-1/2:

1.5 อสมการตรีโกณมิติและวิธีการแก้ไข

1.5.1 การแก้อสมการตรีโกณมิติอย่างง่าย

ผู้เขียนตำราคณิตศาสตร์สมัยใหม่ส่วนใหญ่แนะนำให้เริ่มพิจารณาหัวข้อนี้ด้วยการแก้อสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด หลักการแก้อสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดนั้นขึ้นอยู่กับความรู้และทักษะในการกำหนดค่าไม่เพียง แต่ค่าพื้นฐานบนวงกลมตรีโกณมิติ มุมตรีโกณมิติแต่ยังมีความหมายอื่นๆ อีกด้วย

ในขณะเดียวกัน การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ , , สามารถดำเนินการได้ดังต่อไปนี้: ขั้นแรกเราค้นหาช่วงเวลา () ที่ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกันนี้แล้วเขียนคำตอบสุดท้ายโดยการเพิ่มที่จุดสิ้นสุดของช่วงเวลาที่พบ a จำนวนที่เป็นผลคูณของคาบของไซน์หรือโคไซน์: ( - ในกรณีนี้หาค่าได้ง่ายเพราะว่า หรือ . การค้นหาความหมายขึ้นอยู่กับสัญชาตญาณของนักเรียน ความสามารถในการสังเกตความเท่าเทียมกันของส่วนโค้งหรือส่วนต่างๆ โดยใช้ประโยชน์จากความสมมาตรของแต่ละส่วนของกราฟไซน์หรือโคไซน์ และบางครั้งก็เกินความสามารถของนักเรียนจำนวนมากทีเดียว เพื่อเอาชนะความยากลำบากที่ระบุไว้ในตำราเรียนค่ะ ปีที่ผ่านมามีการใช้แนวทางต่างๆ เพื่อแก้อสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด แต่ไม่ได้ช่วยปรับปรุงผลการเรียนรู้แต่อย่างใด

เป็นเวลาหลายปีแล้วที่เราประสบความสำเร็จในการใช้สูตรสำหรับรากของสมการที่เกี่ยวข้องเพื่อค้นหาคำตอบของอสมการตรีโกณมิติ

เราศึกษาหัวข้อนี้ด้วยวิธีต่อไปนี้:

1. เราสร้างกราฟและ y = a โดยสมมติว่า

จากนั้นเราเขียนสมการและคำตอบของมันลงไป ให้ n 0; 1; 2 เราจะพบรากทั้งสามของสมการที่คอมไพล์แล้ว: ค่าต่างๆ คือค่า abscissa ของจุดตัดกันสามจุดติดต่อกันของกราฟ และ y = a เห็นได้ชัดว่าความไม่เท่าเทียมกันจะคงอยู่ตามช่วงเวลา () เสมอ และความไม่เท่าเทียมกันจะคงอยู่ตามช่วงเวลา () เสมอ

โดยการเพิ่มตัวเลขที่เป็นผลคูณของคาบของไซน์ที่จุดสิ้นสุดของช่วงเวลาเหล่านี้ ในกรณีแรก เราจะได้คำตอบสำหรับอสมการในรูปแบบ: ; และในกรณีที่สอง วิธีแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันในรูปแบบ:

ตรงกันข้ามกับไซน์จากสูตรซึ่งเป็นวิธีแก้สมการเท่านั้น สำหรับ n = 0 เราได้สองรากและรากที่สามสำหรับ n = 1 ในรูปแบบ - และอีกครั้ง พวกมันคือจุดตัดกันสามจุดติดต่อกันของจุดตัดของกราฟ และ ในช่วง () ความไม่เท่าเทียมกันคงอยู่ ในช่วง () ความไม่เท่าเทียมกัน

ตอนนี้ การเขียนวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียม และ ไม่ใช่เรื่องยาก ในกรณีแรกที่เราได้รับ: ;

และในวินาที: .

สรุป. เพื่อแก้อสมการหรือคุณต้องสร้างสมการที่เกี่ยวข้องและแก้สมการนั้น จากสูตรผลลัพธ์ ให้ค้นหารากของ และ และเขียนคำตอบของอสมการในรูปแบบ: .

เมื่อแก้อสมการ จากสูตรสำหรับรากของสมการที่สอดคล้องกันเราจะค้นหารากและ และเขียนคำตอบของอสมการในรูปแบบ: .

เทคนิคนี้ช่วยให้คุณสอนนักเรียนทุกคนถึงวิธีการแก้อสมการตรีโกณมิติได้เพราะว่า เทคนิคนี้อาศัยทักษะที่นักเรียนมีความสามารถในการควบคุมที่ดีทั้งหมด ทักษะเหล่านี้เป็นทักษะในการแก้ปัญหาง่ายๆ และค้นหาค่าของตัวแปรโดยใช้สูตร นอกจากนี้การแก้ปัญหาอย่างระมัดระวังภายใต้คำแนะนำของครูก็ไม่จำเป็นเลย ปริมาณมากแบบฝึกหัดเพื่อแสดงเทคนิคการใช้เหตุผลทุกประเภท ขึ้นอยู่กับสัญลักษณ์ของความไม่เท่าเทียมกัน ค่าของมอดุลัสของจำนวน a และเครื่องหมายของมัน และกระบวนการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันนั้นก็กลายเป็นเรื่องสั้นและสม่ำเสมอ ซึ่งสำคัญมาก

ข้อดีอีกประการของวิธีนี้คือช่วยให้คุณสามารถแก้อสมการได้อย่างง่ายดาย แม้ว่าด้านขวาจะไม่ใช่ค่าตารางไซน์หรือโคไซน์ก็ตาม

มาสาธิตสิ่งนี้ด้วยตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจงกัน สมมติว่าเราจำเป็นต้องแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน มาสร้างสมการที่เกี่ยวข้องแล้วแก้มันกัน:

ลองหาค่าของ และ .

เมื่อ n = 1

เมื่อ n = 2

เราเขียนคำตอบสุดท้ายของความไม่เท่าเทียมกันนี้:

ในตัวอย่างที่พิจารณาของการแก้ไขอสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดอาจมีข้อเสียเปรียบเพียงข้อเดียวเท่านั้น - การมีอยู่ของพิธีการจำนวนหนึ่ง แต่ถ้าทุกอย่างได้รับการประเมินจากตำแหน่งเหล่านี้เท่านั้นก็เป็นไปได้ที่จะกล่าวหาว่าสูตรรากของพิธีการนิยม สมการกำลังสองและสูตรทั้งหมดสำหรับการแก้สมการตรีโกณมิติ และอื่นๆ อีกมากมาย

แม้ว่าวิธีการที่นำเสนอจะมีสถานที่ที่คุ้มค่าในการสร้างทักษะในการแก้ไขอสมการตรีโกณมิติ แต่ความสำคัญและคุณสมบัติของวิธีการอื่นในการแก้ไขอสมการตรีโกณมิติไม่สามารถประมาทได้ ซึ่งรวมถึงวิธีช่วงเวลาด้วย

พิจารณาสาระสำคัญของมัน

เรียบเรียงโดย A.G. Mordkovich แม้ว่าคุณจะไม่ควรมองข้ามหนังสือเรียนที่เหลือเช่นกัน § 3. วิธีการสอนหัวข้อ “ฟังก์ชันตรีโกณมิติ” ในหลักสูตรพีชคณิตและการวิเคราะห์พื้นฐาน ในการศึกษาฟังก์ชันตรีโกณมิติที่โรงเรียน สามารถแยกแยะได้สองขั้นตอนหลัก: ü ความคุ้นเคยเบื้องต้นกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ...

ในระหว่างการวิจัย งานต่อไปนี้ได้รับการแก้ไข: 1) วิเคราะห์พีชคณิตและตำราเรียนประถมศึกษาในปัจจุบัน การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์เพื่อระบุวิธีการที่นำเสนอในการแก้สมการไม่ลงตัวและอสมการ การวิเคราะห์ช่วยให้เราสามารถสรุปผลได้ดังต่อไปนี้: มัธยมให้ความสนใจไม่เพียงพอกับวิธีการแก้สมการไร้เหตุผลต่างๆ ส่วนใหญ่...

วิธีการแก้อสมการตรีโกณมิติ

ความเกี่ยวข้อง ในอดีต สมการตรีโกณมิติและอสมการถูกกำหนดไว้เป็นพิเศษ หลักสูตรของโรงเรียน- เราสามารถพูดได้ว่าตรีโกณมิติเป็นหนึ่งในส่วนที่สำคัญที่สุดของหลักสูตรของโรงเรียนและวิทยาศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดโดยทั่วไป

สมการตรีโกณมิติและอสมการครอบครองหนึ่งในศูนย์กลางในหลักสูตรคณิตศาสตร์ระดับมัธยมศึกษาทั้งในแง่ของเนื้อหาของสื่อการศึกษาและวิธีการของกิจกรรมการศึกษาและความรู้ความเข้าใจที่สามารถและควรเกิดขึ้นระหว่างการศึกษาและนำไปใช้กับการแก้ปัญหา จำนวนมากปัญหาทางทฤษฎีและลักษณะประยุกต์

การแก้สมการตรีโกณมิติและอสมการสร้างข้อกำหนดเบื้องต้นสำหรับการจัดระบบความรู้ของนักเรียนที่เกี่ยวข้องกับทุกสิ่ง สื่อการศึกษาในตรีโกณมิติ (เช่น คุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติ วิธีการแปลงนิพจน์ตรีโกณมิติ ฯลฯ) และทำให้สามารถสร้างการเชื่อมต่อที่มีประสิทธิภาพกับเนื้อหาที่ศึกษาในพีชคณิต (สมการ ความเท่าเทียมกันของสมการ อสมการ การแปลงเอกลักษณ์ นิพจน์พีชคณิตฯลฯ)

กล่าวอีกนัยหนึ่ง การพิจารณาเทคนิคในการแก้สมการตรีโกณมิติและอสมการเกี่ยวข้องกับการถ่ายทอดทักษะเหล่านี้ไปยังเนื้อหาใหม่

ความสำคัญของทฤษฎีและการประยุกต์มากมายเป็นข้อพิสูจน์ถึงความเกี่ยวข้องของหัวข้อที่เลือก ซึ่งจะช่วยให้คุณกำหนดเป้าหมาย วัตถุประสงค์ และหัวข้อการวิจัยของงานในหลักสูตรได้

วัตถุประสงค์ของการศึกษา: สรุปประเภทอสมการตรีโกณมิติที่มีอยู่วิธีการพื้นฐานและพิเศษในการแก้ปัญหาเลือกชุดปัญหาสำหรับการแก้ไขอสมการตรีโกณมิติโดยเด็กนักเรียน

วัตถุประสงค์ของการวิจัย:

1. จากการวิเคราะห์วรรณกรรมที่มีอยู่ในหัวข้อการวิจัย จัดระบบเนื้อหา

2. จัดเตรียมชุดงานที่จำเป็นในการรวมหัวข้อ “อสมการตรีโกณมิติ”

วัตถุประสงค์ของการศึกษา เป็นอสมการตรีโกณมิติในวิชาคณิตศาสตร์ของโรงเรียน

หัวข้อการศึกษา: ประเภทของอสมการตรีโกณมิติและวิธีการแก้ไข

นัยสำคัญทางทฤษฎี คือการจัดระบบวัสดุ

นัยสำคัญในทางปฏิบัติ: การประยุกต์ความรู้ทางทฤษฎีในการแก้ปัญหา การวิเคราะห์วิธีการทั่วไปหลักในการแก้อสมการตรีโกณมิติ

วิธีการวิจัย : การวิเคราะห์ วรรณกรรมทางวิทยาศาสตร์การสังเคราะห์และสรุปความรู้ที่ได้รับ การวิเคราะห์การแก้ปัญหา ค้นหาวิธีการที่เหมาะสมที่สุดในการแก้ไขอสมการ

§1. ประเภทของอสมการตรีโกณมิติและวิธีการพื้นฐานในการแก้ปัญหา

1.1. อสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด

นิพจน์ตรีโกณมิติสองนิพจน์ที่เชื่อมต่อกันด้วยเครื่องหมายหรือ > เรียกว่าอสมการตรีโกณมิติ

การแก้อสมการตรีโกณมิติหมายถึงการค้นหาชุดของค่าที่ไม่รู้จักซึ่งรวมอยู่ในอสมการที่ความไม่เท่าเทียมกันเป็นที่พอใจ

ส่วนหลักของอสมการตรีโกณมิติได้รับการแก้ไขโดยการลดให้เป็นวิธีแก้ปัญหาที่ง่ายที่สุด:

นี่อาจเป็นวิธีการแยกตัวประกอบ การเปลี่ยนแปลงตัวแปร (
,
ฯลฯ) โดยที่ความไม่เท่าเทียมกันตามปกติได้รับการแก้ไขก่อน จากนั้นจึงแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม
ฯลฯ หรือวิธีการอื่นๆ

อสมการที่ง่ายที่สุดสามารถแก้ไขได้สองวิธี: การใช้วงกลมหนึ่งหน่วยหรือแบบกราฟิก

อนุญาตฉ(x  – หนึ่งในฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐาน เพื่อแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน
ก็เพียงพอที่จะค้นหาวิธีแก้ปัญหาในช่วงเวลาหนึ่งนั่นคือ บนส่วนใดๆ ที่มีความยาวเท่ากับคาบของฟังก์ชันฉ  x  - จากนั้นจะพบวิธีแก้ปัญหาของความไม่เท่าเทียมกันแบบเดิมทั้งหมดx เช่นเดียวกับค่าเหล่านั้นที่แตกต่างจากค่าที่พบตามจำนวนงวดของฟังก์ชันจำนวนเต็ม ในกรณีนี้ จะสะดวกในการใช้วิธีการแบบกราฟิก

ให้เรายกตัวอย่างอัลกอริทึมสำหรับแก้อสมการ
(
) และ
.

อัลกอริทึมสำหรับการแก้ไขอสมการ
(
).

1. กำหนดนิยามของไซน์ของตัวเลขx บนวงกลมหน่วย

3. บนแกนกำหนด ให้ทำเครื่องหมายจุดด้วยพิกัดก .

4. ผ่านทาง จุดนี้วาดเส้นตรงขนานกับแกน OX และทำเครื่องหมายจุดตัดด้วยวงกลม

5. เลือกส่วนโค้งของวงกลม โดยทุกจุดจะมีพิกัดน้อยกว่าก .

6. ระบุทิศทางของวงกลม (ทวนเข็มนาฬิกา) แล้วเขียนคำตอบโดยบวกคาบของฟังก์ชันที่ปลายช่วงเวลา2πn ,
.

อัลกอริทึมสำหรับการแก้ไขอสมการ
.

1. กำหนดนิยามแทนเจนต์ของตัวเลขx บนวงกลมหน่วย

2. วาดวงกลมหนึ่งหน่วย

3. วาดเส้นแทนเจนต์และทำเครื่องหมายจุดที่มีการกำหนดไว้ก .

4. เชื่อมต่อจุดนี้กับจุดเริ่มต้นและทำเครื่องหมายจุดตัดของส่วนผลลัพธ์ด้วยวงกลมหน่วย

5. เลือกส่วนโค้งของวงกลม โดยทุกจุดจะมีพิกัดบนเส้นสัมผัสกันน้อยกว่าก .

6. ระบุทิศทางของการเคลื่อนที่และเขียนคำตอบโดยคำนึงถึงโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันโดยเพิ่มจุดπn ,
(ตัวเลขด้านซ้ายในรายการจะเป็นเสมอ จำนวนน้อยลงยืนทางขวา)

การตีความแบบกราฟิกของการแก้สมการและสูตรอย่างง่ายสำหรับการแก้อสมการ ปริทัศน์ระบุไว้ในภาคผนวก (ภาคผนวก 1 และ 2)

ตัวอย่างที่ 1 แก้ความไม่เท่าเทียมกัน
.

ลากเส้นตรงบนวงกลมหนึ่งหน่วย
ซึ่งตัดวงกลมที่จุด A และ B

ความหมายทั้งหมดย ในช่วงเวลา NM มีค่ามากกว่า ทุกจุดของส่วนโค้ง AMB เป็นไปตามอสมการนี้ ทุกมุมการหมุนขนาดใหญ่ แต่เล็กกว่า ,
จะรับเอาคุณค่าที่มากขึ้น (แต่ไม่เกินหนึ่ง)

รูปที่ 1

ดังนั้นการแก้อสมการจะเป็นค่าทั้งหมดในช่วงเวลานั้น
, เช่น.
- เพื่อให้ได้คำตอบทั้งหมดสำหรับอสมการนี้ ก็เพียงพอแล้วที่จะบวกเข้ากับจุดสิ้นสุดของช่วงเวลานี้
, ที่ไหน
, เช่น.
,
. โปรดทราบว่าค่าต่างๆ
และ
คือรากของสมการ
,

เหล่านั้น.
;
.

คำตอบ:
,
.

1.2. วิธีการแบบกราฟิก

ในทางปฏิบัติ วิธีการแก้อสมการตรีโกณมิติแบบกราฟิกมักจะมีประโยชน์ ให้เราพิจารณาสาระสำคัญของวิธีการโดยใช้ตัวอย่างของความไม่เท่าเทียมกัน
:

1. ถ้าข้อโต้แย้งมีความซับซ้อน (แตกต่างจากเอ็กซ์ ) จากนั้นแทนที่ด้วยที .

2. เราสร้างในระนาบพิกัดเดียวของเล่น กราฟฟังก์ชัน
และ
.

3. เราพบสิ่งนี้จุดตัดกันสองจุดที่อยู่ติดกันของกราฟซึ่งระหว่างนั้นคลื่นไซน์ตั้งอยู่สูงกว่า ตรง
- เราพบจุดขาดของจุดเหล่านี้

4. เขียนความไม่เท่าเทียมกันสองเท่าสำหรับการโต้แย้งที โดยคำนึงถึงคาบโคไซน์ (ที จะอยู่ระหว่างฝีที่พบ)

5. ทำการทดแทนแบบย้อนกลับ (กลับไปที่อาร์กิวเมนต์ดั้งเดิม) และแสดงค่าเอ็กซ์ จากความไม่เท่าเทียมกันสองเท่า เราเขียนคำตอบในรูปของช่วงตัวเลข

ตัวอย่างที่ 2 แก้ความไม่เท่าเทียมกัน: .

เมื่อแก้ไขอสมการโดยใช้วิธีกราฟิก จำเป็นต้องสร้างกราฟของฟังก์ชันให้แม่นยำที่สุด มาแปลงความไม่เท่าเทียมกันให้อยู่ในรูปแบบ:

เรามาสร้างกราฟของฟังก์ชันในระบบพิกัดเดียวกันดีกว่า
และ
(รูปที่ 2)

รูปที่ 2

กราฟของฟังก์ชันตัดกันที่จุดก พร้อมพิกัด
;
- ในระหว่าง
จุดกราฟ
ใต้จุดกราฟ
- และเมื่อ
ค่าฟังก์ชันจะเหมือนกัน นั่นเป็นเหตุผล
ที่
.

คำตอบ:
.

1.3. วิธีพีชคณิต

บ่อยครั้ง อสมการตรีโกณมิติดั้งเดิมสามารถลดลงเป็นอสมการเชิงพีชคณิต (เชิงตรรกยะหรืออตรรกยะ) ผ่านการแทนที่ที่เลือกมาอย่างดี วิธีนี้เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลงความไม่เท่าเทียมกัน การแนะนำการทดแทน หรือการแทนที่ตัวแปร

มาดูกัน ตัวอย่างเฉพาะการประยุกต์ใช้วิธีนี้

ตัวอย่างที่ 3 ลดขนาดให้เป็นรูปแบบที่ง่ายที่สุด
.

(รูปที่ 3)

รูปที่ 3

,
.

คำตอบ:
,

ตัวอย่างที่ 4 แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน:

ODZ:
,
.

การใช้สูตร:
,

ลองเขียนอสมการในรูปแบบ:
.

หรือเชื่อ
หลังจากการแปลงอย่างง่าย ๆ ที่เราได้รับ

,

,

.

การแก้ปัญหาอสมการสุดท้ายโดยใช้วิธีช่วงเวลาเราได้รับ:

รูปที่ 4

ตามลำดับ
- แล้วจากรูป.. 4 ตามมา
, ที่ไหน
.

รูปที่ 5

คำตอบ:
,
.

1.4. วิธีช่วงเวลา

โครงการทั่วไปการแก้อสมการตรีโกณมิติโดยใช้วิธีช่วงเวลา:

ตัวประกอบโดยใช้สูตรตรีโกณมิติ

ค้นหาจุดไม่ต่อเนื่องและศูนย์ของฟังก์ชันแล้ววางลงบนวงกลม

เอาจุดไหนก็ได้ถึง (แต่ไม่พบก่อนหน้านี้) และค้นหาสัญลักษณ์ของผลิตภัณฑ์ หากผลคูณเป็นบวก ให้วางจุดนอกวงกลมหน่วยบนรังสีที่สอดคล้องกับมุม มิฉะนั้นให้วางจุดนั้นไว้ภายในวงกลม

ถ้าจุดหนึ่งเกิดขึ้นเป็นจำนวนคู่ เราจะเรียกมันว่าจุดของการคูณถ้า เลขคี่ครั้ง - จุดของการคูณคี่ วาดส่วนโค้งดังนี้: เริ่มจากจุดถึง ถ้าจุดถัดไปมีหลายหลากเป็นเลขคี่ ส่วนโค้งจะตัดวงกลมที่จุดนี้ แต่ถ้าจุดนั้นมีหลายหลากคู่ ส่วนโค้งจะไม่ตัดกัน

ส่วนโค้งด้านหลังวงกลมเป็นช่วงที่เป็นบวก ภายในวงกลมมีช่องว่างเชิงลบ

ตัวอย่างที่ 5 แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน

,
.

ประเด็นของซีรีส์แรก:
.

ประเด็นของซีรีส์ที่สอง:
.

แต่ละจุดเกิดขึ้นเป็นจำนวนคี่ กล่าวคือ ทุกจุดมีหลายหลากเป็นคี่

ให้เราค้นหาสัญลักษณ์ของสินค้าได้ที่
- ทำเครื่องหมายจุดทั้งหมดบนวงกลมหน่วย (รูปที่ 6):

ข้าว. 6

คำตอบ:
,
;
,
;
,
.

ตัวอย่างที่ 6 - แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน.

สารละลาย:

ลองหาศูนย์ของนิพจน์กัน .

รับเอ้ม :

,
;

,
;

,
;

,
;

บนค่าอนุกรมหน่วยวงกลมเอ็กซ์ 1 แสดงด้วยจุด
- ชุดเอ็กซ์ 2 ให้คะแนน
- ชุดเอ็กซ์ 3 เราได้สองแต้ม
- ในที่สุดก็มีซีรีส์เอ็กซ์ 4 จะเป็นตัวแทนของคะแนน
- ลองพลอตจุดทั้งหมดเหล่านี้บนวงกลมหนึ่งหน่วย โดยระบุความหลายหลากในวงเล็บถัดจากแต่ละจุด

ตอนนี้ให้หมายเลข จะเท่ากัน ลองประมาณตามสัญลักษณ์:

งั้นก็หยุดให้เต็มที่ก ควรเลือกบนรังสีที่สร้างมุม ด้วยลำแสงโอ้, นอกวงกลมหน่วย (โปรดทราบว่าลำแสงเสริมเกี่ยวกับ ก ไม่จำเป็นเลยที่จะต้องบรรยายเป็นภาพ จุดก จะถูกเลือกโดยประมาณ)

ตอนนี้จากจุดก ลากเส้นหยักอย่างต่อเนื่องตามลำดับไปยังจุดที่ทำเครื่องหมายไว้ทั้งหมด และตามจุดต่างๆ
เส้นของเราไปจากพื้นที่หนึ่งไปอีกพื้นที่หนึ่ง: ถ้าอยู่นอกวงกลมหน่วยก็จะเข้าไปข้างใน เข้าใกล้จุด เส้นจะย้อนกลับไปยังบริเวณด้านใน เนื่องจากจุดหลายหลากของจุดนี้เป็นเลขคู่ ในทำนองเดียวกัน ณ จุดนั้น (ที่มีหลายหลากคู่) จะต้องหมุนเส้นไปทางด้านนอก ดังนั้นเราจึงวาดภาพบางอย่างที่แสดงในรูปที่. 7. ช่วยเน้นบริเวณที่ต้องการบนวงกลมหน่วย มีเครื่องหมาย "+" กำกับไว้

รูปที่ 7

คำตอบสุดท้าย:

บันทึก. ถ้าเส้นหยักเมื่อวนครบทุกจุดที่ทำเครื่องหมายไว้บนวงกลมหน่วยแล้ว ไม่สามารถกลับจุดนั้นได้ก , โดยไม่ต้องข้ามวงกลมในตำแหน่งที่ "ผิดกฎหมาย" ซึ่งหมายความว่ามีข้อผิดพลาดเกิดขึ้นในการแก้ปัญหา กล่าวคือ พลาดรากจำนวนคี่

คำตอบ: .

§2 ชุดปัญหาสำหรับแก้อสมการตรีโกณมิติ

ในกระบวนการพัฒนาความสามารถของเด็กนักเรียนในการแก้อสมการตรีโกณมิติสามารถแยกแยะได้ 3 ขั้นตอน

1. เตรียมความพร้อม

2. การพัฒนาความสามารถในการแก้อสมการตรีโกณมิติอย่างง่าย

3. การแนะนำอสมการตรีโกณมิติประเภทอื่น

วัตถุประสงค์ของขั้นตอนการเตรียมการคือจำเป็นต้องพัฒนาความสามารถในการใช้วงกลมหรือกราฟตรีโกณมิติในเด็กนักเรียนเพื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันกล่าวคือ:

ความสามารถในการแก้ความไม่เท่าเทียมกันของแบบฟอร์มอย่างง่าย
,
,
,
, การใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

ความสามารถในการสร้างอสมการสองเท่าสำหรับส่วนโค้งของวงกลมจำนวนหรือส่วนโค้งของกราฟของฟังก์ชัน

ความสามารถในการแปลงนิพจน์ตรีโกณมิติต่างๆ

ขอแนะนำให้ดำเนินการขั้นตอนนี้ในกระบวนการจัดระบบความรู้ของเด็กนักเรียนเกี่ยวกับคุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติ วิธีการหลักอาจเป็นงานที่เสนอให้กับนักเรียนและดำเนินการภายใต้การแนะนำของครูหรือโดยอิสระตลอดจนทักษะที่พัฒนาในการแก้สมการตรีโกณมิติ

นี่คือตัวอย่างของงานดังกล่าว:

1 - ทำเครื่องหมายจุดบนวงกลมหน่วย , ถ้า

.

2. จุดนั้นอยู่ที่ไตรมาสใดของระนาบพิกัด? , ถ้า เท่ากับ:

3. ทำเครื่องหมายจุดบนวงกลมตรีโกณมิติ , ถ้า:

4. แปลงนิพจน์เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติฉันไตรมาส

ก)
, ข)
, วี)

5. MR ส่วนโค้งจะได้รับม - กลางฉัน- ไตรมาสที่ร - กลางครั้งที่สองไตรมาสที่ 3 จำกัดค่าของตัวแปรที สำหรับ: (สร้างความไม่เท่าเทียมกันสองเท่า) a) arc MR; b) ส่วนโค้ง RM

6. เขียนความไม่เท่าเทียมกันสองเท่าสำหรับส่วนที่เลือกของกราฟ:

ข้าว. 1

7. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน
,
,
,
.

8. แปลงนิพจน์ .

ในขั้นตอนที่สองของการเรียนรู้เพื่อแก้อสมการตรีโกณมิติเราสามารถเสนอคำแนะนำต่อไปนี้ที่เกี่ยวข้องกับระเบียบวิธีในการจัดกิจกรรมของนักเรียน ในกรณีนี้ มีความจำเป็นต้องมุ่งเน้นไปที่ทักษะที่มีอยู่ของนักเรียนในการทำงานกับวงกลมหรือกราฟตรีโกณมิติที่เกิดขึ้นพร้อมกับการแก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด

ประการแรก กระตุ้นความเป็นไปได้ในการได้รับ การรับเข้าเรียนทั่วไปวิธีแก้ปัญหาของอสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดสามารถทำได้โดยการเปลี่ยนค่าอสมการของแบบฟอร์ม เช่น
. โดยใช้ความรู้และทักษะที่ได้รับจาก ขั้นตอนการเตรียมการนักศึกษาจะลดความไม่เท่าเทียมกันที่เสนอให้อยู่ในรูปแบบ
แต่อาจพบว่าเป็นการยากที่จะหาชุดวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นเพราะว่า เป็นไปไม่ได้ที่จะแก้มันโดยใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันไซน์เท่านั้น ความยากลำบากนี้สามารถหลีกเลี่ยงได้โดยหันไปใช้ภาพประกอบที่เหมาะสม (การแก้สมการแบบกราฟิกหรือใช้วงกลมหน่วย)

ประการที่สอง ครูต้องดึงดูดความสนใจของนักเรียน วิธีต่างๆทำงานให้เสร็จยกตัวอย่างที่เหมาะสมในการแก้ไขอสมการทั้งแบบกราฟิกและการใช้วงกลมตรีโกณมิติ

ให้เราพิจารณาวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันต่อไปนี้
.

1. แก้อสมการโดยใช้วงกลมหน่วย

ในบทเรียนแรกเกี่ยวกับการแก้อสมการตรีโกณมิติ เราจะเสนออัลกอริธึมการแก้ปัญหาโดยละเอียดแก่นักเรียน ซึ่งในการนำเสนอทีละขั้นตอนจะสะท้อนถึงทักษะพื้นฐานทั้งหมดที่จำเป็นในการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน

ขั้นตอนที่ 1.ลองวาดวงกลมหนึ่งหน่วยแล้วทำเครื่องหมายจุดบนแกนกำหนด แล้วลากเส้นตรงผ่านมันขนานกับแกน x เส้นนี้จะตัดวงกลมหน่วยที่จุดสองจุด แต่ละจุดเหล่านี้แสดงถึงตัวเลขที่มีไซน์เท่ากับ .

ขั้นตอนที่ 2.เส้นตรงนี้แบ่งวงกลมออกเป็นสองส่วนโค้ง ให้เราเลือกอันที่แสดงตัวเลขที่มีไซน์มากกว่า - โดยธรรมชาติแล้วส่วนโค้งนี้จะอยู่เหนือเส้นตรงที่วาดไว้

ข้าว. 2

ขั้นตอนที่ 3เลือกปลายด้านหนึ่งของส่วนโค้งที่ทำเครื่องหมายไว้ ลองเขียนตัวเลขตัวใดตัวหนึ่งที่แสดงโดยจุดนี้ของวงกลมหน่วย .

ขั้นตอนที่ 4ในการเลือกหมายเลขที่ตรงกับปลายที่สองของส่วนโค้งที่เลือก เราจะ "เดิน" ไปตามส่วนโค้งนี้จากปลายที่มีชื่อไปยังอีกด้านหนึ่ง ขณะเดียวกันให้จำไว้ว่าเวลาเคลื่อนที่ทวนเข็มนาฬิกา ตัวเลขที่เราผ่านจะเพิ่มขึ้น (เมื่อเคลื่อนที่ไปในทิศทางตรงกันข้าม ตัวเลขจะลดลง) ลองเขียนตัวเลขที่ปรากฎบนวงกลมหน่วยตรงปลายที่สองของส่วนโค้งที่ทำเครื่องหมายไว้ .

ดังนั้นเราจึงเห็นความไม่เท่าเทียมกันนั้น
ตอบสนองตัวเลขที่อสมการเป็นจริง
- เราแก้ไขอสมการของตัวเลขที่อยู่ในคาบเดียวกันของฟังก์ชันไซน์ ดังนั้นคำตอบทั้งหมดของอสมการจึงสามารถเขียนได้ในรูปแบบ

ควรขอให้นักเรียนตรวจสอบภาพวาดอย่างรอบคอบ และหาคำตอบว่าเหตุใดจึงแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันทั้งหมดได้
สามารถเขียนเป็นแบบฟอร์มได้
,
.

ข้าว. 3

จำเป็นต้องดึงความสนใจของนักเรียนไปที่ความจริงที่ว่าเมื่อแก้ไขอสมการของฟังก์ชันโคไซน์เราจะวาดเส้นตรงขนานกับแกนพิกัด

วิธีกราฟิกสำหรับการแก้อสมการ

เราสร้างกราฟ
และ
เมื่อพิจารณาถึงสิ่งนั้นแล้ว
.

ข้าว. 4

จากนั้นเราก็เขียนสมการ
และการตัดสินใจของเขา
,
,
พบว่าใช้สูตร
,
,
.

(การให้n ค่า 0, 1, 2 เราจะพบรากทั้งสามของสมการที่คอมไพล์แล้ว) ค่านิยม
คือจุดตัดกันสามจุดติดต่อกันของจุดตัดของกราฟ
และ
- แน่นอนอยู่ในช่วงเวลาเสมอ
ความไม่เท่าเทียมกันถือ
และตามช่วงเวลา
– ความไม่เท่าเทียมกัน
- เราสนใจในกรณีแรก แล้วบวกเข้ากับจุดสิ้นสุดของช่วงเวลานี้ด้วยตัวเลขที่เป็นผลคูณของคาบของไซน์ เราจะได้คำตอบของอสมการ
เช่น:
,
.

ข้าว. 5

สรุป. เพื่อแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน
คุณต้องสร้างสมการที่เกี่ยวข้องแล้วแก้สมการนั้น ค้นหารากจากสูตรผลลัพธ์ และ และเขียนคำตอบของอสมการในรูปแบบ: ,
.

ประการที่สาม ข้อเท็จจริงเกี่ยวกับชุดรากของอสมการตรีโกณมิติที่สอดคล้องกันนั้นได้รับการยืนยันอย่างชัดเจนมากเมื่อทำการแก้ไขแบบกราฟิก

ข้าว. 6

จำเป็นต้องแสดงให้นักเรียนเห็นว่าการเลี้ยวซึ่งเป็นคำตอบของอสมการนั้นเกิดขึ้นซ้ำๆ ในช่วงเวลาเดียวกัน ซึ่งเท่ากับคาบของฟังก์ชันตรีโกณมิติ คุณยังสามารถพิจารณาภาพประกอบที่คล้ายกันสำหรับกราฟของฟังก์ชันไซน์ได้

ประการที่สี่ ขอแนะนำให้ดำเนินการอัปเดตเทคนิคของนักเรียนในการแปลงผลรวม (ผลต่าง) ของฟังก์ชันตรีโกณมิติให้เป็นผลิตภัณฑ์ และเพื่อดึงความสนใจของนักเรียนไปยังบทบาทของเทคนิคเหล่านี้ในการแก้ไขอสมการตรีโกณมิติ

งานนี้จัดได้ผ่านทาง การดำเนินการด้วยตนเองนักเรียนของงานที่ครูเสนอโดยที่เราเน้นดังต่อไปนี้:

ประการที่ห้า นักเรียนจะต้องแสดงวิธีแก้ปัญหาของอสมการตรีโกณมิติอย่างง่ายแต่ละอย่างโดยใช้กราฟหรือวงกลมตรีโกณมิติ คุณควรใส่ใจกับความสะดวกของมันอย่างแน่นอนโดยเฉพาะอย่างยิ่งการใช้วงกลมเนื่องจากเมื่อแก้ไขอสมการตรีโกณมิติภาพประกอบที่เกี่ยวข้องจะทำหน้าที่เป็นวิธีที่สะดวกมากในการบันทึกชุดวิธีแก้ปัญหาสำหรับอสมการที่กำหนด

ขอแนะนำให้นักเรียนแนะนำวิธีการแก้อสมการตรีโกณมิติที่ไม่ใช่วิธีที่ง่ายที่สุดตามรูปแบบต่อไปนี้: เปลี่ยนเป็นอสมการตรีโกณมิติเฉพาะ เปลี่ยนเป็นสมการตรีโกณมิติที่สอดคล้องกัน ค้นหาร่วม (ครู - นักเรียน) เพื่อหาวิธีแก้ปัญหา ถ่ายโอนอิสระของ พบวิธีการแก้อสมการอื่นที่เป็นประเภทเดียวกัน

เพื่อจัดระบบความรู้ของนักเรียนเกี่ยวกับตรีโกณมิติ เราขอแนะนำให้เลือกความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าวเป็นพิเศษ ซึ่งการแก้ปัญหานั้นจำเป็นต้องมีการเปลี่ยนแปลงต่างๆ ที่สามารถนำไปใช้ในกระบวนการแก้ปัญหาได้ และเน้นความสนใจของนักเรียนไปที่คุณลักษณะของพวกเขา

เนื่องจากความไม่เท่าเทียมทางประสิทธิผลดังกล่าว เราสามารถเสนอได้ เช่น ต่อไปนี้:

โดยสรุป เรายกตัวอย่างชุดปัญหาสำหรับแก้อสมการตรีโกณมิติ

1. แก้อสมการ:

ก)
, เป็นไปตามเงื่อนไข
;

ข)
, เป็นไปตามเงื่อนไข
.

5. ค้นหาวิธีแก้ไขอสมการทั้งหมด:

ก) ;

ข) ;

วี)
;

ช)
;

จ)
.

6. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

ก) ;

ข) ;

วี) ;

ช)
;

ง) ;

จ) ;

และ)
.

7. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

ก)
;

ข) ;

วี) ;

ช) .

8. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

ก) ;

ข) ;

วี) ;

ช)
;

จ)
;

จ) ;

และ)
;

ชม) .

ขอแนะนำให้เสนองานที่ 6 และ 7 ให้กับนักเรียนที่เรียนคณิตศาสตร์ในระดับสูง งานที่ 8 ให้กับนักเรียนในชั้นเรียนที่มีการศึกษาคณิตศาสตร์ขั้นสูง

§3 วิธีการพิเศษคำตอบของอสมการตรีโกณมิติ

วิธีพิเศษในการแก้สมการตรีโกณมิติ - นั่นคือวิธีการเหล่านั้นที่สามารถใช้เพื่อแก้สมการตรีโกณมิติเท่านั้น วิธีการเหล่านี้ขึ้นอยู่กับการใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ตลอดจนการใช้สูตรและอัตลักษณ์ตรีโกณมิติต่างๆ

3.1. วิธีการภาค

ลองพิจารณาวิธีการเซกเตอร์สำหรับแก้อสมการตรีโกณมิติ การแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม

, ที่ไหนป ( x ) และถาม ( x ) – ฟังก์ชันตรีโกณมิติเชิงตรรกยะ (ไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์รวมอยู่ในเหตุผลแล้ว) คล้ายกับการแก้อสมการเชิงตรรกยะ สะดวกในการแก้อสมการเชิงตรรกยะโดยใช้วิธีช่วงเวลาบนเส้นจำนวน อะนาล็อกในการแก้อสมการตรีโกณมิติเชิงตรรกยะคือวิธีการของเซกเตอร์ในวงกลมตรีโกณมิติสำหรับบาป และคอกซ์ (
) หรือครึ่งวงกลมตรีโกณมิติสำหรับทีจีเอ็กซ์ และซีทีจีเอ็กซ์ (
).

ในวิธีช่วงเวลา แต่ละปัจจัยเชิงเส้นของตัวเศษและส่วนของแบบฟอร์ม
บนแกนตัวเลขตรงกับจุด และเมื่อผ่านจุดนี้ไปแล้ว
เครื่องหมายการเปลี่ยนแปลง ในวิธีการเซกเตอร์แต่ละแฟคเตอร์จะมีรูปแบบ
, ที่ไหน
- หนึ่งในฟังก์ชั่นบาป หรือคอกซ์ และ
ในวงกลมตรีโกณมิติจะมีมุมสองมุมตรงกัน และ
ซึ่งแบ่งวงกลมออกเป็นสองส่วน เมื่อผ่าน และ การทำงาน
เครื่องหมายการเปลี่ยนแปลง

ต้องจำสิ่งต่อไปนี้:

ก) ปัจจัยของรูปแบบ
และ
, ที่ไหน
, คงเครื่องหมายไว้ทุกค่า - ตัวประกอบของตัวเศษและส่วนดังกล่าวจะถูกยกเลิกโดยการเปลี่ยน (ถ้า
) ในการปฏิเสธแต่ละครั้ง เครื่องหมายความไม่เท่าเทียมกันจะกลับกัน

b) ปัจจัยของรูปแบบ
และ
ก็ถูกทิ้งเช่นกัน ยิ่งไปกว่านั้น หากสิ่งเหล่านี้เป็นตัวประกอบของตัวส่วน อสมการในรูปแบบนี้จะถูกบวกเข้ากับระบบอสมการที่เทียบเท่ากัน
และ
- หากสิ่งเหล่านี้เป็นปัจจัยของตัวเศษ ในระบบข้อจำกัดที่เทียบเท่า ค่าเหล่านี้จะสอดคล้องกับอสมการ
และ
ในกรณีของความไม่เท่าเทียมกันเริ่มต้นที่เข้มงวดและความเท่าเทียมกัน
และ
ในกรณีของความไม่เท่าเทียมกันเริ่มต้นที่ไม่เข้มงวด เมื่อละทิ้งตัวคูณ
หรือ
เครื่องหมายอสมการกลับด้าน

ตัวอย่างที่ 1 แก้ความไม่เท่าเทียมกัน: ก)
, ข)
. เรามีฟังก์ชัน b) . แก้ความไม่เท่าเทียมกันที่เรามี

3.2. วิธีวงกลมศูนย์กลาง

วิธีนี้เป็นอะนาล็อกของวิธีแกนจำนวนขนานสำหรับการแก้ระบบอสมการเชิงตรรกยะ

ลองพิจารณาตัวอย่างของระบบความไม่เท่าเทียมกัน

ตัวอย่างที่ 5 แก้ระบบอสมการตรีโกณมิติอย่างง่าย

ขั้นแรก เราจะแก้ความไม่เท่าเทียมกันแต่ละรายการแยกกัน (รูปที่ 5) ที่มุมขวาบนของรูป เราจะระบุว่ากำลังพิจารณาอาร์กิวเมนต์ใดที่วงกลมตรีโกณมิติกำลังพิจารณา

รูปที่ 5

ต่อไป เราจะสร้างระบบวงกลมศูนย์กลางสำหรับการโต้แย้งเอ็กซ์ - เราวาดวงกลมและแรเงาตามวิธีแก้ปัญหาของอสมการแรก จากนั้นเราวาดวงกลมที่มีรัศมีใหญ่กว่าและแรเงาตามวิธีแก้ปัญหาของอสมการที่สอง จากนั้นเราสร้างวงกลมสำหรับอสมการที่สามและวงกลมฐาน เราวาดรังสีจากศูนย์กลางของระบบผ่านปลายส่วนโค้งเพื่อให้พวกมันตัดกันวงกลมทั้งหมด เราสร้างวิธีแก้ปัญหาบนวงกลมฐาน (รูปที่ 6)

รูปที่ 6

คำตอบ:
,
.

บทสรุป

วัตถุประสงค์ทั้งหมดของการวิจัยหลักสูตรเสร็จสมบูรณ์ เนื้อหาทางทฤษฎีได้รับการจัดระบบ: ประเภทหลักของอสมการตรีโกณมิติและวิธีการหลักในการแก้ปัญหาจะได้รับ (กราฟิก, พีชคณิต, วิธีช่วงเวลา, เซกเตอร์และวิธีการวงกลมศูนย์กลาง) มีตัวอย่างการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันสำหรับแต่ละวิธี ด้านหลัง ส่วนทางทฤษฎีตามด้วยภาคปฏิบัติ ประกอบด้วยชุดงานสำหรับแก้อสมการตรีโกณมิติ

นักเรียนสามารถใช้รายวิชานี้เพื่อ งานอิสระ- เด็กนักเรียนสามารถตรวจสอบระดับความเชี่ยวชาญของหัวข้อนี้และฝึกฝนการทำงานที่มีความซับซ้อนต่างกันให้สำเร็จ

ได้ศึกษาวรรณกรรมที่เกี่ยวข้องแล้ว ปัญหานี้เห็นได้ชัดว่าเราสามารถสรุปได้ว่าความสามารถและทักษะในการแก้ไขอสมการตรีโกณมิติในหลักสูตรพีชคณิตของโรงเรียนและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์มีความสำคัญมากซึ่งการพัฒนาต้องใช้ความพยายามอย่างมากในส่วนของครูคณิตศาสตร์

นั่นเป็นเหตุผล งานนี้จะเป็นประโยชน์สำหรับครูคณิตศาสตร์เนื่องจากสามารถจัดฝึกอบรมนักเรียนในหัวข้อ “อสมการตรีโกณมิติ” ได้อย่างมีประสิทธิภาพ

การวิจัยสามารถดำเนินต่อไปได้โดยการขยายไปสู่งานที่มีคุณสมบัติครบถ้วนขั้นสุดท้าย.

รายชื่อวรรณกรรมที่ใช้แล้ว

โบโกโมลอฟ, N.V. รวบรวมปัญหาทางคณิตศาสตร์ [ข้อความ] / N.V. โบโกโมลอฟ. – อ.: อีแร้ง, 2552. – 206 น.

Vygodsky, M.Ya. คู่มือคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา [ข้อความ] / ม.ย. วีก็อดสกี้ – อ.: อีแร้ง, 2549. – 509 น.

Zhurbenko, L.N. คณิตศาสตร์ในตัวอย่างและโจทย์ [ข้อความ] / L.N. ซูร์เบนโก. – อ.: อินฟรา-เอ็ม, 2552. – 373 หน้า

อีวานอฟ โอ.เอ. คณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษาสำหรับเด็กนักเรียน นักเรียน และครู [ข้อความ] / O.A. อีวานอฟ. – อ.: MTsNMO, 2009. – 384 หน้า

คาร์ป, เอ.พี. การมอบหมายพีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์เพื่อจัดการการทำซ้ำขั้นสุดท้ายและการรับรองในระดับ 11 [ข้อความ] / A.P. ปลาคาร์พ – อ.: การศึกษา, 2548. – 79 น.

นพ. กุลานิน โจทย์การแข่งขันคณิตศาสตร์ 3,000 ข้อ [ข้อความ] / E.D. กุลานิน. – อ.: Iris-press, 2550. – 624 หน้า

ไลบ์สัน, เค.แอล. ของสะสม งานภาคปฏิบัติในวิชาคณิตศาสตร์ [ข้อความ] / K.L. ไลบ์สัน. – อ.: อีแร้ง, 2010. – 182 น.

ข้อศอก, V.V. ปัญหาเกี่ยวกับพารามิเตอร์และแนวทางแก้ไข ตรีโกณมิติ: สมการ อสมการ ระบบ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 [ข้อความ] / V.V. ข้อศอก. – อ.: ARKTI, 2551. – 64 หน้า

มาโนวา, A.N. คณิตศาสตร์. ครูสอนพิเศษด่วนสำหรับการเตรียมตัวสอบ Unified State: นักเรียน คู่มือ [ข้อความ] / A.N. มาโนวา. – Rostov-on-Don: ฟีนิกซ์, 2012. – 541 หน้า

มอร์ดโควิช, เอ.จี. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เกรด 10-11 หนังสือเรียนสำหรับนักเรียน สถาบันการศึกษา[ข้อความ] / A.G. มอร์ดโควิช. – อ.: Iris-press, 2552. – 201 น.

Novikov, A.I. ฟังก์ชันตรีโกณมิติ สมการ และอสมการ [ข้อความ] / A.I. โนวิคอฟ – อ.: FIZMATLIT, 2010. – 260 หน้า

โอกาเนเซียน เวอร์จิเนีย วิธีสอนคณิตศาสตร์ระดับมัธยมศึกษา: ระเบียบวิธีทั่วไป หนังสือเรียน คู่มือสำหรับนักศึกษาฟิสิกส์ - เสื่อ ปลอม เท้า. สถาบัน [ข้อความ] / วี.เอ. โอกาเนเซียน. – อ.: การศึกษา, 2549 – 368 หน้า

Olehnik, S.N. สมการและอสมการ วิธีการที่ไม่ได้มาตรฐานโซลูชั่น [ข้อความ] / S.N. โอเลห์นิค. – อ.: สำนักพิมพ์แฟคทอเรียล, 1997. – 219 น.

เซฟริวคอฟ, P.F. สมการตรีโกณมิติ เลขชี้กำลัง และลอการิทึม และอสมการ [ข้อความ] / P.F. เซฟริวคอฟ – อ.: การศึกษาสาธารณะ, 2551. – 352 น.

Sergeev, I.N. การสอบ Unified State: 1,000 ปัญหาพร้อมคำตอบและคำตอบทางคณิตศาสตร์ งานทั้งหมดของกลุ่ม C [ข้อความ] / I.N. เซอร์เกฟ. – อ.: สอบ พ.ศ. 2555 – 301 น.

โซโบเลฟ, เอ.บี. คณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา [ข้อความ] / A.B. โซโบเลฟ. – เอคาเทรินเบิร์ก: สถาบันการศึกษาของรัฐสำหรับการศึกษาวิชาชีพขั้นสูง USTU-UPI, 2548. – 81 หน้า

เฟนโก, แอล.เอ็ม. วิธีหาช่วงเวลาในการแก้อสมการและศึกษาฟังก์ชัน [ข้อความ] / ล.ม. เฟนโก. – อ.: อีแร้ง, 2548. – 124 น.

ฟรีดแมน, แอล.เอ็ม. พื้นฐานทางทฤษฎีวิธีสอนคณิตศาสตร์ [ข้อความ] / ล.ม. ฟรีดแมน. – อ.: บ้านหนังสือ “LIBROKOM”, 2552. – 248 หน้า

ภาคผนวก 1

การตีความแบบกราฟิกของการแก้อสมการเชิงง่าย

ข้าว. 1

ข้าว. 2

รูปที่ 3

รูปที่ 4

รูปที่ 5

รูปที่ 6

รูปที่ 7

รูปที่ 8

ภาคผนวก 2

คำตอบของอสมการง่ายๆ

อสมการคือความสัมพันธ์ในรูปแบบ a › b โดยที่ a และ b คือนิพจน์ที่มีตัวแปรอย่างน้อยหนึ่งตัว อสมการสามารถเข้มงวดได้ - ‹, › และไม่เข้มงวด - ≥, ≤

อสมการตรีโกณมิติคือการแสดงออกของรูปแบบ: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a โดยที่ F(x) จะแสดงด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติหนึ่งฟังก์ชันขึ้นไป .

ตัวอย่างของอสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดคือ: sin x ‹ 1/2 เป็นเรื่องปกติที่จะแก้ไขปัญหาดังกล่าวแบบกราฟิกสองวิธีได้รับการพัฒนาสำหรับสิ่งนี้

วิธีที่ 1 - การแก้ไขอสมการโดยการสร้างกราฟฟังก์ชัน

หากต้องการค้นหาช่วงเวลาที่ตรงตามเงื่อนไขของความไม่เท่าเทียมกัน sin x ‹ 1/2 คุณต้องทำตามขั้นตอนต่อไปนี้:

1. บนแกนพิกัด สร้างไซน์ซอยด์ y = sin x
2. บนแกนเดียวกัน ให้วาดกราฟของอาร์กิวเมนต์เชิงตัวเลขของความไม่เท่าเทียมกัน เช่น เส้นตรงที่ลากผ่านจุด ½ ของพิกัด OY
3. ทำเครื่องหมายจุดตัดของกราฟทั้งสอง
4. แรเงาส่วนที่เป็นวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่าง

เมื่อมีสัญลักษณ์ที่เข้มงวดในนิพจน์ จุดตัดกันจะไม่ใช่วิธีแก้ปัญหา เนื่องจากคาบไซน์ซอยด์ที่เป็นบวกน้อยที่สุดคือ 2π เราจึงเขียนคำตอบได้ดังนี้:

หากสัญญาณของนิพจน์ไม่เข้มงวด ช่วงเวลาของการแก้ปัญหาจะต้องอยู่ในวงเล็บเหลี่ยม - . คำตอบของปัญหาสามารถเขียนได้เป็นอสมการต่อไปนี้:

วิธีที่ 2 - การแก้อสมการตรีโกณมิติโดยใช้วงกลมหน่วย

ปัญหาที่คล้ายกันสามารถแก้ไขได้ง่ายโดยใช้วงกลมตรีโกณมิติ อัลกอริทึมในการค้นหาคำตอบนั้นง่ายมาก:

1. ก่อนอื่นคุณต้องวาดวงกลมหนึ่งหน่วย
2. จากนั้นคุณจะต้องสังเกตค่าของฟังก์ชันส่วนโค้งของอาร์กิวเมนต์ทางด้านขวาของอสมการในส่วนโค้งของวงกลม
3. จำเป็นต้องวาดเส้นตรงที่ผ่านค่าของฟังก์ชันส่วนโค้งขนานกับแกน abscissa (OX)
4. หลังจากนั้น สิ่งที่เหลืออยู่คือการเลือกส่วนโค้งของวงกลมซึ่งเป็นชุดคำตอบของอสมการตรีโกณมิติ
5. เขียนคำตอบลงในแบบฟอร์มที่ต้องการ

ให้เราวิเคราะห์ขั้นตอนของการแก้ปัญหาโดยใช้ตัวอย่างของอสมการ sin x › 1/2 จุดαและβถูกทำเครื่องหมายบนวงกลม - ค่า

จุดของส่วนโค้งที่อยู่เหนือ α และ β คือช่วงเวลาในการแก้อสมการที่กำหนด

หากคุณต้องการแก้ตัวอย่างสำหรับ cos ส่วนโค้งของคำตอบจะอยู่ในตำแหน่งแบบสมมาตรกับแกน OX ไม่ใช่ OY คุณสามารถพิจารณาความแตกต่างระหว่างช่วงการแก้ปัญหาของ sin และ cos ได้ในแผนภาพด้านล่างในข้อความ

คำตอบแบบกราฟิกสำหรับอสมการแทนเจนต์และโคแทนเจนต์จะแตกต่างจากทั้งไซน์และโคไซน์ นี่เป็นเพราะคุณสมบัติของฟังก์ชัน

อาร์กแทนเจนต์และอาร์กโคแทนเจนต์เป็นเส้นสัมผัสกันของวงกลมตรีโกณมิติ และคาบบวกขั้นต่ำสำหรับฟังก์ชันทั้งสองคือ π หากต้องการใช้วิธีที่สองอย่างรวดเร็วและถูกต้องคุณต้องจำไว้ว่าค่าของ sin, cos, tg และ ctg ถูกพล็อตบนแกนใด

แทนเจนต์แทนเจนต์วิ่งขนานกับแกน OY หากเราพล็อตค่าของอาร์กแทน a บนวงกลมหนึ่งหน่วย จุดที่ต้องการที่สองจะอยู่ในควอเตอร์แนวทแยง มุม

พวกมันเป็นจุดพักสำหรับฟังก์ชัน เนื่องจากกราฟมีแนวโน้มไปหาพวกมัน แต่ไม่เคยไปถึงพวกมันเลย

ในกรณีของโคแทนเจนต์ แทนเจนต์จะขนานกับแกน OX และฟังก์ชันถูกขัดจังหวะที่จุด π และ 2π

อสมการตรีโกณมิติเชิงซ้อน

หากอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันอสมการไม่ได้แสดงด้วยตัวแปรเท่านั้น แต่แสดงด้วยนิพจน์ทั้งหมดที่มีสิ่งที่ไม่ทราบ แสดงว่าเรากำลังพูดถึงอสมการที่ซับซ้อน กระบวนการและขั้นตอนในการแก้ปัญหาค่อนข้างแตกต่างจากวิธีที่อธิบายไว้ข้างต้น สมมติว่าเราจำเป็นต้องค้นหาวิธีแก้ปัญหาของอสมการต่อไปนี้:

วิธีแก้ปัญหาแบบกราฟิกเกี่ยวข้องกับการสร้างไซน์ซอยด์ธรรมดา y = sin x โดยใช้ค่า x ที่เลือกโดยพลการ มาคำนวณตารางที่มีพิกัดสำหรับจุดควบคุมของกราฟกัน:

ผลลัพธ์ที่ได้ควรเป็นเส้นโค้งที่สวยงาม

เพื่อให้การค้นหาวิธีแก้ปัญหาง่ายขึ้น เรามาแทนที่อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนกันดีกว่า

อัลกอริทึมสำหรับแก้อสมการตรีโกณมิติอย่างง่ายและการจดจำวิธีการแก้อสมการตรีโกณมิติ

ครูที่มีคุณวุฒิสูงสุดประเภท:

เชอร์โกะ เอฟ.เอ็ม. หน้า ความก้าวหน้า โรงเรียนมัธยม MOBU ครั้งที่ 6

ซันคินา แอล.เอส. Armavir โรงเรียนมัธยมเอกชน "วิถีใหม่"

ไม่มีวิธีการสากลในการสอนสาขาวิชาวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ครูแต่ละคนพบวิธีการสอนของตนเองซึ่งมีเพียงเขาเท่านั้นที่ยอมรับได้

ของเรา ประสบการณ์หลายปีการสอนแสดงให้เห็นว่านักเรียนเรียนรู้เนื้อหาที่ต้องใช้สมาธิและการเก็บรักษาข้อมูลจำนวนมากในหน่วยความจำได้ง่ายขึ้นหากพวกเขาได้รับการสอนให้ใช้อัลกอริทึมในกิจกรรมของพวกเขาในระยะเริ่มแรกของการเรียนรู้หัวข้อที่ซับซ้อน ในความเห็นของเรา หัวข้อดังกล่าวเป็นหัวข้อของการแก้อสมการตรีโกณมิติ

ดังนั้น ก่อนที่เราจะเริ่มต้นกับนักเรียนเพื่อระบุเทคนิคและวิธีการแก้อสมการตรีโกณมิติ เราฝึกฝนและรวบรวมอัลกอริทึมสำหรับแก้อสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด

อัลกอริทึมสำหรับแก้อสมการตรีโกณมิติอย่างง่าย

ทำเครื่องหมายจุดบนแกนที่สอดคล้องกัน ( สำหรับ บาป x– แกน OU สำหรับเพราะ x– แกน OX)

เราคืนค่าตั้งฉากกับแกนที่จะตัดวงกลมที่จุดสองจุด

จุดแรกบนวงกลมคือจุดที่อยู่ในช่วงของช่วงฟังก์ชันส่วนโค้งตามคำจำกัดความ

เริ่มจากจุดที่มีป้ายกำกับ แรเงาส่วนโค้งของวงกลมให้สอดคล้องกับส่วนที่แรเงาของแกน

โปรดทราบ ความสนใจเป็นพิเศษสู่ทิศทางแห่งทางเบี่ยง หากการเคลื่อนที่เสร็จสิ้นตามเข็มนาฬิกา (เช่น มีการเปลี่ยนแปลงผ่าน 0) จุดที่สองบนวงกลมจะเป็นลบ หากทวนเข็มนาฬิกาจะเป็นค่าบวก

เราเขียนคำตอบในรูปแบบของช่วงเวลาโดยคำนึงถึงช่วงเวลาของฟังก์ชัน

ลองดูการทำงานของอัลกอริทึมโดยใช้ตัวอย่าง

1) บาป ≥ 1/2;

สารละลาย:

เราพรรณนาวงกลมหน่วย.;

เราทำเครื่องหมายจุด ½ บนแกน OU

เราคืนค่าตั้งฉากกับแกน

ซึ่งตัดวงกลมด้วยจุดสองจุด

ตามคำจำกัดความของอาร์คไซน์ เราทราบก่อน

จุด π/6

แรเงาส่วนของแกนที่สอดคล้องกับ

เมื่อพิจารณาถึงความไม่เท่าเทียมกัน เหนือจุด ½

แรเงาส่วนโค้งของวงกลมให้สอดคล้องกับส่วนที่แรเงาของแกน

การเคลื่อนที่ทวนเข็มนาฬิกา เราได้จุด 5π/6

เราเขียนคำตอบในรูปแบบของช่วงเวลาโดยคำนึงถึงช่วงเวลาของฟังก์ชัน

คำตอบ:x;[π/6 + 2π n, 5π/6 + 2π n], n Z.

อสมการที่ง่ายที่สุดแก้ไขได้โดยใช้อัลกอริธึมเดียวกันหากบันทึกคำตอบไม่มีค่าตาราง

เมื่อนักเรียนแก้ไขความไม่เท่าเทียมบนกระดานในบทเรียนแรก ให้ท่องอัลกอริธึมแต่ละขั้นตอนออกมาดังๆ

2) 5 เพราะ x – 1 ≥ 0;

ร สารละลาย:ที่

5 เพราะ x – 1 ≥ 0;

เพราะ x ≥ 1/5;

วาดวงกลมหนึ่งหน่วย

เราทำเครื่องหมายจุดด้วยพิกัด 1/5 บนแกน OX

เราคืนค่าตั้งฉากกับแกนซึ่ง

ตัดวงกลมด้วยจุดสองจุด

จุดแรกบนวงกลมคือจุดที่อยู่ในช่วงของช่วงโคไซน์ส่วนโค้งตามคำจำกัดความ (0;π)

เราแรเงาส่วนของแกนที่สอดคล้องกับความไม่เท่าเทียมกันนี้

เริ่มจากจุดที่ลงนาม อาร์คคอส 1/5 แรเงาส่วนโค้งของวงกลมให้สอดคล้องกับส่วนที่แรเงาของแกน

การเคลื่อนที่จะกระทำตามเข็มนาฬิกา (เช่น มีการเปลี่ยนแปลงผ่าน 0) ซึ่งหมายความว่าจุดที่สองบนวงกลมจะเป็นลบ - อาร์คคอส 1/5.

เราเขียนคำตอบในรูปแบบของช่วงเวลาโดยคำนึงถึงช่วงเวลาของฟังก์ชันด้วย ค่าที่น้อยลงมากขึ้น

คำตอบ: x  [-อาร์คคอส 1/5 + 2π n, อาร์คคอส 1/5 + 2π n], n Z.

การปรับปรุงความสามารถในการแก้อสมการตรีโกณมิติได้รับการอำนวยความสะดวกโดยคำถามต่อไปนี้: "เราจะแก้ไขกลุ่มความไม่เท่าเทียมกันได้อย่างไร"; “ความไม่เท่าเทียมกันอย่างหนึ่งแตกต่างจากที่อื่นอย่างไร?”; “ความไม่เท่าเทียมกันอย่างหนึ่งมีความคล้ายคลึงกับอีกประการหนึ่งอย่างไร?”; คำตอบจะเปลี่ยนไปอย่างไรหากได้รับความไม่เท่าเทียมกันอย่างเข้มงวด"; คำตอบจะเปลี่ยนไปอย่างไรถ้าแทนที่จะเป็นเครื่องหมาย "" มีเครื่องหมาย "

งานวิเคราะห์รายการความไม่เท่าเทียมกันจากมุมมองของวิธีการแก้ไขทำให้คุณสามารถฝึกฝนการรับรู้ได้

นักเรียนจะได้รับความไม่เท่าเทียมที่ต้องแก้ไขในชั้นเรียน

คำถาม:เน้นความไม่เท่าเทียมกันที่ต้องใช้การแปลงที่เท่ากันเมื่อลดความไม่เท่าเทียมกันทางตรีโกณมิติให้อยู่ในรูปแบบที่ง่ายที่สุดหรือไม่

คำตอบ 1, 3, 5.

คำถาม:อะไรคือความไม่เท่าเทียมกันที่คุณต้องพิจารณาข้อโต้แย้งที่ซับซ้อนให้เป็นเรื่องง่าย?

คำตอบ: 1, 2, 3, 5, 6.

คำถาม:ตั้งชื่อความไม่เท่าเทียมกันที่สามารถนำไปใช้ได้ สูตรตรีโกณมิติ?

คำตอบ: 2, 3, 6.

คำถาม:ตั้งชื่ออสมการที่สามารถนำวิธีการแนะนำตัวแปรใหม่มาใช้ได้?

คำตอบ: 6.

งานวิเคราะห์รายการความไม่เท่าเทียมกันจากมุมมองของวิธีการแก้ไขทำให้คุณสามารถฝึกฝนการรับรู้ได้ เมื่อพัฒนาทักษะสิ่งสำคัญคือต้องระบุขั้นตอนของการนำไปปฏิบัติและกำหนดในรูปแบบทั่วไปซึ่งนำเสนอในอัลกอริทึมสำหรับการแก้ไขอสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด