Правило за решаване на алгоритъма за прости тригонометрични неравенства. Тригонометрични неравенства и методи за решаването им

Първата точка е, както обикновено, arcsin(-a)=-arcsina. За да стигнем до втората точка, вървим по горния път, тоест в посока на увеличаване на ъгъла.

Този път преминаваме отвъд n. Колко време ще продължим? На arcsin x. Това означава, че втората точка е n+arcsin x. Защо няма минус? Тъй като минусът в обозначението -arcsin a означава движение по посока на часовниковата стрелка, но ние вървим обратно на часовниковата стрелка. И накрая, добавете 2pn към всеки край на интервала.

5) sinx>a, ако a>1.

Единичната окръжност лежи изцяло под правата линия y=a. Над правата линия няма нито една точка. Така че няма решения.

6) sinx>-a, където a>1.

В този случай цялата единична окръжност лежи изцяло над правата линия y=a. Следователно всяка точка удовлетворява условието sinx>a. Това означава, че x е произволно число.

И тук x е произволно число, тъй като точките -n/2+2nn са включени в решението, за разлика от строгото неравенство sinx>-1. Няма нужда да изключвате нищо.

Единствената удовлетворяваща точка от кръга това състояние, е p/2. Като вземем предвид периода на синуса, решението на това неравенство е множеството от точки x=n/2+2n.

Например, решете неравенството sinx>-1/2:

1.5 Тригонометрични неравенства и методи за решаването им

1.5.1 Решаване на прости тригонометрични неравенства

Повечето автори на съвременни учебници по математика предлагат да започнете да разглеждате тази тема чрез решаване на най-простите тригонометрични неравенства. Принципът за решаване на най-простите тригонометрични неравенства се основава на знанията и уменията за определяне не само на основните стойности на тригонометричен кръг тригонометрични ъгли, но и други значения.

Междувременно решението на неравенства от формата , , , може да се извърши по следния начин: първо намираме някакъв интервал (), на който това неравенство е изпълнено, и след това записваме крайния отговор, като добавяме към краищата на намерения интервал a число, което е кратно на периода на синуса или косинуса: ( ). В този случай стойността е лесна за намиране, т.к или . Търсенето на смисъл се основава на интуицията на учениците, тяхната способност да забелязват равенството на дъги или сегменти, като се възползват от симетрията на отделните части на синусовата или косинусовата графика. А това понякога е извън възможностите на доста голям брой ученици. За да се преодолеят констатираните трудности в учебниците по последните годинибяха използвани различни подходи за решаване на най-простите тригонометрични неравенства, но това не доведе до подобрение на резултатите от обучението.

От няколко години доста успешно използваме формули за корените на съответните уравнения, за да намираме решения на тригонометрични неравенства.

Ние изучаваме тази тема по следния начин:

1. Изграждаме графики и y = a, като приемаме, че .

След това записваме уравнението и неговото решение. Давайки n 0; 1; 2 намираме трите корена на съставеното уравнение: . Стойностите са абсцисата на три последователни точки на пресичане на графиките и y = a. Очевидно е, че неравенството винаги важи за интервала (), а неравенството винаги важи за интервала ().

Добавяйки към краищата на тези интервали число, кратно на периода на синуса, в първия случай получаваме решение на неравенството във вида: ; а във втория случай решение на неравенството във вида:

Само за разлика от синуса от формулата, която е решение на уравнението, за n = 0 получаваме два корена, а третият корен за n = 1 във формата . И отново, те са три последователни абсцисни точки на пресечните точки на графиките и . В интервала () неравенството е в сила, в интервала () неравенството

Сега не е трудно да напишем решенията на неравенствата и . В първия случай получаваме: ;

а във втория: .

Обобщете. За да разрешите неравенството или, трябва да създадете съответното уравнение и да го решите. От получената формула намерете корените на и и запишете отговора на неравенството във вида: .

При решаване на неравенства , от формулата за корените на съответното уравнение намираме корените и , и записваме отговора на неравенството във вида: .

Тази техника ви позволява да научите всички ученици как да решават тригонометрични неравенства, защото Тази техника разчита изцяло на умения, които учениците владеят добре. Това са умения за решаване на прости задачи и намиране на стойността на променлива с помощта на формула. Освен това внимателното разрешаване под ръководството на учител става напълно ненужно. голямо количествоупражнения, за да демонстрирате всички видове техники за разсъждение в зависимост от знака на неравенството, стойността на модула на числото a и неговия знак. И самият процес на решаване на неравенството става кратък и, което е много важно, еднообразен.

Друго предимство на този метод е, че ви позволява лесно да решавате неравенства, дори когато дясната страна не е таблична стойност на синус или косинус.

Нека демонстрираме това с конкретен пример. Да предположим, че трябва да решим неравенство. Нека съставим съответното уравнение и го решим:

Нека намерим стойностите на и.

Когато n = 1

Когато n = 2

Записваме крайния отговор на това неравенство:

В разглеждания пример за решаване на най-простите тригонометрични неравенства може да има само един недостатък - наличието на известна доза формализъм. Но ако всичко се оценява само от тези позиции, тогава ще бъде възможно да се обвинят коренните формули във формализъм квадратно уравнениеи всички формули за решаване на тригонометрични уравнения и много други.

Въпреки че предложеният метод заема достойно място във формирането на умения за решаване на тригонометрични неравенства, значението и характеристиките на други методи за решаване на тригонометрични неравенства не могат да бъдат подценени. Те включват интервалния метод.

Нека разгледаме неговата същност.

Комплект, редактиран от A.G. Мордкович, въпреки че не трябва да пренебрегвате и останалите учебници. § 3. Методика на преподаване на темата „Тригонометрични функции” в курса по алгебра и начало на анализа В изучаването на тригонометричните функции в училище могат да се разграничат два основни етапа: ü Първоначално запознаване с тригонометричните функции...

По време на изследването бяха решени следните задачи: 1) Анализирани бяха текущата алгебра и началните учебници. математически анализда идентифицират представената в тях методология за решаване на ирационални уравнения и неравенства. Анализът ни позволява да направим следните изводи: гимназиянедостатъчно внимание се обръща на методите за решаване на различни ирационални уравнения, главно...

МЕТОДИ ЗА РЕШАВАНЕ НА ТРИГОНОМЕТРИЧНИ НЕРАВЕНСТВА

Уместност. В исторически план на тригонометричните уравнения и неравенства е отделено специално място в училищен курс. Можем да кажем, че тригонометрията е един от най-важните раздели на училищния курс и цялата математическа наука като цяло.

Тригонометричните уравнения и неравенства заемат едно от централните места в курса по математика в средното училище, както по отношение на съдържанието на учебния материал, така и на методите на образователна и познавателна дейност, които могат и трябва да се формират по време на тяхното изучаване и да се прилагат за решаване. голямо числопроблеми от теоретичен и приложен характер.

Решаването на тригонометрични уравнения и неравенства създава предпоставки за систематизиране на знанията на учениците, свързани с всичко учебен материалв тригонометрията (например свойства на тригонометрични функции, методи за преобразуване на тригонометрични изрази и др.) и дава възможност за установяване на ефективни връзки с изучавания материал по алгебра (уравнения, еквивалентност на уравнения, неравенства, трансформации на идентичност алгебрични изразии т.н.).

С други думи, разглеждането на техники за решаване на тригонометрични уравнения и неравенства включва един вид прехвърляне на тези умения към ново съдържание.

Значимостта на теорията и многобройните й приложения са доказателство за актуалността на избраната тема. Това от своя страна ви позволява да определите целите, задачите и предмета на изследване на курсовата работа.

Цел на изследването: обобщете наличните видове тригонометрични неравенства, основни и специални методи за решаването им, изберете набор от проблеми за решаване на тригонометрични неравенства от ученици.

Цели на изследването:

1. Въз основа на анализ на наличната литература по темата на изследването систематизирайте материала.

2. Осигурете набор от задачи, необходими за консолидиране на темата „Тригонометрични неравенства“.

Обект на изследване са тригонометрични неравенства в училищния курс по математика.

Предмет на изследване: видове тригонометрични неравенства и методи за решаването им.

Теоретично значение е да се систематизира материала.

Практическо значение: прилагане на теоретични знания при решаване на задачи; анализ на основните общи методи за решаване на тригонометрични неравенства.

Изследователски методи : анализ научна литература, синтез и обобщение на придобитите знания, анализ на решаването на задачи, търсене на оптимални методи за решаване на неравенства.

§1. Видове тригонометрични неравенства и основни методи за решаването им

1.1. Най-простите тригонометрични неравенства

Два тригонометрични израза, свързани със знака или >, се наричат ​​тригонометрични неравенства.

Решаването на тригонометрично неравенство означава намиране на набор от стойности на неизвестните, включени в неравенството, за които неравенството е изпълнено.

Основната част от тригонометричните неравенства се решават чрез свеждането им до най-простото решение:

Това може да е метод на факторизиране, промяна на променлива (
,
и т.н.), където първо се решава обичайното неравенство, а след това неравенство на формата
и т.н. или други методи.

Най-простите неравенства могат да бъдат решени по два начина: с помощта на единичната окръжност или графично.

Позволявамf(x  – една от основните тригонометрични функции. Да се ​​реши неравенството
достатъчно е да се намери решението му на един период, т.е. на всеки сегмент, чиято дължина е равна на периода на функциятаf  х  . Тогава решението на първоначалното неравенство ще бъде намеренох , както и онези стойности, които се различават от тези, намерени с произволен брой периоди на функцията. В този случай е удобно да използвате графичния метод.

Нека дадем пример за алгоритъм за решаване на неравенства
(
) И
.

Алгоритъм за решаване на неравенство
(
).

1. Формулирайте дефиницията на синуса на числох върху единичната окръжност.

3. На ординатната ос маркирайте точката с координататаа .

4. Чрез тази точканачертайте права линия, успоредна на оста OX, и маркирайте нейните пресечни точки с кръга.

5. Изберете дъга от окръжност, всички точки от която имат ордината по-малка ота .

6. Посочете посоката на кръга (обратно на часовниковата стрелка) и запишете отговора, като добавите периода на функцията към краищата на интервала2πn ,
.

Алгоритъм за решаване на неравенство
.

1. Формулирайте определението на тангенса на числох върху единичната окръжност.

2. Начертайте единична окръжност.

3. Начертайте линия от допирателни и маркирайте точка с ордината върху неяа .

4. Свържете тази точка с началото и маркирайте пресечната точка на получения сегмент с единичната окръжност.

5. Изберете дъга от окръжност, всички точки от която имат ордината на допирателната по-малка ота .

6. Посочете посоката на обхождане и напишете отговора, като вземете предвид областта на дефиниране на функцията, като добавите точкаπn ,
(числото отляво в записа винаги е по-малко число, стоящ отдясно).

Графична интерпретация на решения на прости уравнения и формули за решаване на неравенства в общ изгледса посочени в приложението (Приложения 1 и 2).

Пример 1. Решете неравенството
.

Начертайте права линия върху единичната окръжност
, която пресича окръжността в точки A и B.

Всички значенияг на интервала NM е по-голям , всички точки от дъгата AMB удовлетворяват това неравенство. При всички ъгли на въртене, големи , но по-малък ,
ще приемат по-големи стойности (но не повече от един).

Фиг. 1

По този начин решението на неравенството ще бъдат всички стойности в интервала
, т.е.
. За да се получат всички решения на това неравенство, е достатъчно да се добави към краищата на този интервал
, Където
, т.е.
,
. Имайте предвид, че стойностите
И
са корените на уравнението
,

тези.
;
.

Отговор:
,
.

1.2. Графичен метод

На практика графичният метод за решаване на тригонометрични неравенства често се оказва полезен. Нека разгледаме същността на метода, използвайки примера на неравенството
:

1. Ако аргументът е сложен (различен отх ), след което го заменете сT .

2. Изграждаме в една координатна равнинаиграчка функционални графики
И
.

3. Намираме такивадве съседни точки на пресичане на графики, между коитосинусоидаразположенпо-висок прав
. Намираме абсцисите на тези точки.

4. Напишете двойно неравенство за аргументаT , като се вземе предвид косинус периодът (T ще бъде между намерените абциси).

5. Направете обратно заместване (връщане към първоначалния аргумент) и изразете стойносттах от двойното неравенство записваме отговора под формата на числов интервал.

Пример 2. Решете неравенство: .

При решаване на неравенства с помощта на графичния метод е необходимо да се изградят графики на функции възможно най-точно. Нека трансформираме неравенството във вида:

Нека построим графики на функции в една координатна система
И
(фиг. 2).

Фиг.2

Графиките на функциите се пресичат в точкатаА с координати
;
. Между
точки на графиката
под точките на графиката
. И когато
стойностите на функцията са еднакви. Ето защо
при
.

Отговор:
.

1.3. Алгебричен метод

Доста често първоначалното тригонометрично неравенство може да бъде сведено до алгебрично (рационално или ирационално) неравенство чрез добре подбрано заместване. Този метод включва трансформиране на неравенство, въвеждане на заместване или заместване на променлива.

Нека да разгледаме конкретни примериприлагане на този метод.

Пример 3. Намаляване до най-простата форма
.

(фиг. 3)

Фиг.3

,
.

Отговор:
,

Пример 4. Решете неравенството:

ODZ:
,
.

Използване на формули:
,

Нека запишем неравенството във вида:
.

Или вярвайки
след прости трансформации получаваме

,

,

.

Решавайки последното неравенство с помощта на интервалния метод, получаваме:

Фиг.4

, съответно
. Тогава от фиг. 4 следва
, Където
.

Фиг.5

Отговор:
,
.

1.4. Интервален метод

Обща схемарешаване на тригонометрични неравенства по интервалния метод:

Фактори с помощта на тригонометрични формули.

Намерете точките на прекъсване и нулите на функцията и ги поставете върху окръжността.

Вземете всяка точкаДА СЕ (но не е намерен по-рано) и разберете знака на продукта. Ако произведението е положително, тогава поставете точка извън единичната окръжност върху лъча, съответстващ на ъгъла. В противен случай поставете точката вътре в кръга.

Ако една точка се среща четен брой пъти, ние я наричаме точка с четна кратност ако нечетно числопъти – точка с нечетна кратност. Начертайте дъги, както следва: започнете от точкаДА СЕ , ако следващата точка е с нечетна кратност, тогава дъгата пресича окръжността в тази точка, но ако точката е с четна кратност, тогава тя не се пресича.

Дъгите зад кръга са положителни интервали; вътре в кръга има отрицателни интервали.

Пример 5. Решете неравенство

,
.

Точки от първата серия:
.

Точки от втората серия:
.

Всяка точка се среща нечетен брой пъти, т.е. всички точки са с нечетна множественост.

Нека разберем знака на продукта на
: . Нека отбележим всички точки на единичната окръжност (фиг. 6):

Ориз. 6

Отговор:
,
;
,
;
,
.

Пример 6 . Решете неравенството.

Решение:

Нека намерим нулите на израза .

Получетеаем :

,
;

,
;

,
;

,
;

Стойности на серия от единична окръжностх 1 представени с точки
. Сериях 2 дава точки
. сериях 3 получаваме две точки
. И накрая, сериалътх 4 ще представляват точки
. Нека начертаем всички тези точки върху единичната окръжност, като посочим кратността им в скоби до всяка от тях.

Нека сега числото ще бъдат равни. Нека направим оценка въз основа на знака:

И така, точкаА трябва да се избере върху лъча, образуващ ъгъла с лъчо извън единичната окръжност. (Имайте предвид, че спомагателният лъчОТНОСНО А Изобщо не е необходимо да го изобразявате на чертеж. ТочкаА се избира приблизително.)

Сега от точкатаА начертайте вълнообразна непрекъсната линия последователно до всички маркирани точки. И по точки
нашата линия преминава от една област в друга: ако е била извън единичната окръжност, тогава тя отива вътре в нея. Приближава точката , линията се връща във вътрешната област, тъй като кратността на тази точка е четна. По същия начин в точката (с равномерна множественост) линията трябва да бъде обърната към външния регион. И така, начертахме определена картина, показана на фиг. 7. Помага да се подчертаят желаните зони върху единичния кръг. Те са маркирани със знак "+".

Фиг.7

Окончателен отговор:

Забележка. Ако една вълнообразна линия, след преминаване през всички точки, отбелязани на единичната окръжност, не може да се върне в точкатаА , без да пресичате кръга на „незаконно“ място, това означава, че е допусната грешка в решението, а именно пропуснати са нечетен брой корени.

Отговор: .

§2. Набор от задачи за решаване на тригонометрични неравенства

В процеса на развитие на способността на учениците да решават тригонометрични неравенства могат да се разграничат и 3 етапа.

1. подготвителен,

2. развиване на умения за решаване на прости тригонометрични неравенства;

3. въвеждане на тригонометрични неравенства от други видове.

Целта на подготвителния етап е, че е необходимо да се развие в учениците способността да използват тригонометричен кръг или графика за решаване на неравенства, а именно:

Способност за решаване на прости неравенства от вида
,
,
,
, използване на свойствата на функциите синус и косинус;

Умение за построяване на двойни неравенства за дъги от числовата окръжност или за дъги от графики на функции;

Възможност за извършване на различни трансформации на тригонометрични изрази.

Препоръчва се този етап да се приложи в процеса на систематизиране на знанията на учениците за свойствата на тригонометричните функции. Основните средства могат да бъдат задачи, предлагани на учениците и изпълнявани под ръководството на учител или самостоятелно, както и развити умения за решаване на тригонометрични уравнения.

Ето примери за такива задачи:

1 . Маркирайте точка върху единичната окръжност , Ако

.

2. В коя четвърт от координатната равнина се намира точката? , Ако равно на:

3. Маркирайте точките на тригонометричния кръг , ако:

4. Преобразувайте израза в тригонометрични функцииазчетвъртинки.

а)
, б)
, V)

5. Даден е Arc MR.М – средатааз-то тримесечие,Р – средатаIIто тримесечие. Ограничете стойността на променливаT за: (направете двойно неравенство) а) дъга MR; б) RM дъги.

6. Запишете двойното неравенство за избраните участъци от графиката:

Ориз. 1

7. Решете неравенства
,
,
,
.

8. Преобразуване на израз .

На втория етап от обучението за решаване на тригонометрични неравенства можем да предложим следните препоръки, свързани с методиката за организиране на дейността на учениците. В този случай е необходимо да се съсредоточите върху съществуващите умения на учениците за работа с тригонометрична окръжност или графика, образувани при решаването на най-простите тригонометрични уравнения.

Първо, мотивирайте осъществимостта на получаването общ приемрешения на най-простите тригонометрични неравенства могат да бъдат постигнати чрез обръщане, например, към неравенство от формата
. Използвайки знанията и уменията, придобити при подготвителен етап, учениците ще редуцират предложеното неравенство до вида
, но може да се окаже трудно да се намери набор от решения на полученото неравенство, защото Невъзможно е да се реши само с помощта на свойствата на функцията синус. Тази трудност може да се избегне, като се обърне към подходящата илюстрация (решаване на уравнението графично или използване на единична окръжност).

Второ, учителят трябва да привлече вниманието на учениците различни начиниизпълнете задачата, дайте подходящ пример за решаване на неравенството както графично, така и с помощта на тригонометрична окръжност.

Нека разгледаме следните решения на неравенството
.

1. Решаване на неравенството с единична окръжност.

В първия урок за решаване на тригонометрични неравенства ще предложим на учениците подробен алгоритъм за решение, който в презентация стъпка по стъпка отразява всички основни умения, необходими за решаване на неравенството.

Етап 1.Нека начертаем единична окръжност и отбележим точка на ординатната ос и начертайте права линия през него, успоредна на оста x. Тази линия ще пресича единичната окръжност в две точки. Всяка от тези точки представлява числа, чийто синус е равен на .

Стъпка 2.Тази права линия разделя кръга на две дъги. Нека изберем това, което изобразява числа, които имат синус по-голям от . Естествено, тази дъга се намира над начертаната права линия.

Ориз. 2

Стъпка 3.Изберете един от краищата на маркираната дъга. Нека запишем едно от числата, което е представено от тази точка от единичната окръжност .

Стъпка 4.За да изберем номера, съответстващ на втория край на избраната дъга, ние „ходим“ по тази дъга от посочения край до другия. В същото време не забравяйте, че когато се движите обратно на часовниковата стрелка, числата, през които ще преминем, се увеличават (когато се движите в обратна посока, числата ще намаляват). Нека запишем числото, което е изобразено на единичната окръжност от втория край на маркираната дъга .

Така виждаме това неравенство
удовлетворяват числата, за които неравенството е вярно
. Решихме неравенството за числа, разположени на един и същ период на функцията синус. Следователно всички решения на неравенството могат да бъдат записани във формата

Учениците трябва да бъдат помолени внимателно да разгледат чертежа и да разберат защо всички решения на неравенството
може да се запише във формата
,
.

Ориз. 3

Необходимо е да се обърне внимание на учениците, че при решаване на неравенства за функция косинус, ние чертаем права линия, успоредна на ординатната ос.

Графичен метод за решаване на неравенства.

Изграждаме графики
И
, предвид това
.

Ориз. 4

След това записваме уравнението
и неговото решение
,
,
, намерени с помощта на формули
,
,
.

(Давамн стойности 0, 1, 2, намираме трите корена на съставеното уравнение). Стойности
са три последователни абсциси на пресечните точки на графиките
И
. Очевидно винаги на интервал
неравенството е в сила
, и на интервала
– неравенство
. Интересуваме се от първия случай и след това добавяйки към краищата на този интервал число, което е кратно на периода на синуса, получаваме решение на неравенството
като:
,
.

Ориз. 5

Обобщете. Да се ​​реши неравенството
, трябва да създадете съответното уравнение и да го решите. Намерете корените от получената формула И , и запишете отговора на неравенството във вида: ,
.

Трето, фактът за множеството корени на съответното тригонометрично неравенство се потвърждава много ясно при графичното му решаване.

Ориз. 6

Необходимо е да се демонстрира на учениците, че обратът, който е решението на неравенството, се повтаря през същия интервал, равен на периода на тригонометричната функция. Можете също да разгледате подобна илюстрация за графиката на функцията синус.

Четвърто, препоръчително е да се извърши работа по актуализиране на техниките на учениците за преобразуване на сумата (разликата) на тригонометричните функции в продукт и да се привлече вниманието на учениците към ролята на тези техники при решаването на тригонометрични неравенства.

Тази работа може да се организира чрез самоизпълнениеученици на задачите, предложени от учителя, сред които изтъкваме следното:

Пето, от учениците трябва да се изисква да илюстрират решението на всяко просто тригонометрично неравенство с помощта на графика или тригонометрична окръжност. Определено трябва да обърнете внимание на неговата целесъобразност, особено на използването на кръга, тъй като при решаване на тригонометрични неравенства съответната илюстрация служи като много удобно средство за записване на набор от решения на дадено неравенство

Препоръчително е учениците да се запознаят с методите за решаване на тригонометрични неравенства, които не са най-простите, по следната схема: обръщане към конкретно тригонометрично неравенство съвместно търсене (учител - ученици) на решение; намереният метод към други неравенства от същия тип.

За да систематизираме знанията на учениците за тригонометрията, препоръчваме специално да изберете такива неравенства, чието решение изисква различни трансформации, които могат да бъдат приложени в процеса на решаването му, и да фокусирате вниманието на учениците върху техните характеристики.

Като такива продуктивни неравенства можем да предложим, например, следното:

В заключение даваме пример за набор от задачи за решаване на тригонометрични неравенства.

1. Решете неравенствата:

а)
, отговарящи на условието
;

б)
, отговарящи на условието
.

5. Намерете всички решения на неравенствата:

а) ;

б) ;

V)
;

G)
;

д)
.

6. Решете неравенствата:

а) ;

б) ;

V) ;

G)
;

д) ;

д) ;

и)
.

7. Решете неравенствата:

а)
;

б) ;

V) ;

G) .

8. Решете неравенствата:

а) ;

б) ;

V) ;

G)
;

д)
;

д) ;

и)
;

з) .

Задачи 6 и 7 е препоръчително да се предложат на учениците, изучаващи математика в напреднало ниво, задача 8 – на учениците в паралелки с разширено изучаване на математика.

§3. Специални методирешения на тригонометрични неравенства

Специални методи за решаване на тригонометрични уравнения - т.е. тези методи, които могат да се използват само за решаване на тригонометрични уравнения. Тези методи се основават на използването на свойствата на тригонометричните функции, както и на използването на различни тригонометрични формули и тъждества.

3.1. Секторен метод

Нека разгледаме секторния метод за решаване на тригонометрични неравенства. Решаване на неравенства от вида

, КъдетоП ( х ) ИQ ( х ) – рационални тригонометрични функции (синуси, косинуси, тангенси и котангенси са включени в тях рационално), подобно на решаването на рационални неравенства. Удобно е да се решават рационални неравенства, като се използва методът на интервалите на числовата ос. Негов аналог за решаване на рационални тригонометрични неравенства е методът на секторите в тригонометричната окръжност, заsinx Иcosx (
) или тригонометричен полукръг заtgx Иctgx (
).

В интервалния метод, всеки линеен фактор на числителя и знаменателя на формата
на числовата ос съответства на точка , и при преминаване през тази точка
сменя знака. При секторния метод всеки фактор на формата
, Където
- една от функциитеsinx илиcosx И
, в тригонометрична окръжност съответстват два ъгъла И
, които разделят кръга на два сектора. При преминаване през И функция
сменя знака.

Трябва да се помни следното:

а) Фактори на формата
И
, Където
, запазете знака за всички стойности . Такива фактори на числителя и знаменателя се отхвърлят чрез промяна (ако
) при всяко такова отхвърляне знакът за неравенство се обръща.

б) Фактори на формата
И
също се изхвърлят. Освен това, ако това са множители на знаменателя, тогава неравенствата от вида се добавят към еквивалентната система от неравенства
И
. Ако това са множители на числителя, то в еквивалентната система от ограничения те съответстват на неравенствата
И
в случай на строго първоначално неравенство и равенство
И
в случай на нестрого начално неравенство. При изхвърляне на множителя
или
знакът за неравенство е обърнат.

Пример 1. Решете неравенства: а)
, б)
. имаме функция b) . Решете неравенството, което имаме,

3.2. Метод на концентричния кръг

Този метод е аналог на метода на паралелните числови оси за решаване на системи от рационални неравенства.

Нека разгледаме пример за система от неравенства.

Пример 5. Решете система от прости тригонометрични неравенства

Първо, решаваме всяко неравенство поотделно (Фигура 5). В горния десен ъгъл на фигурата ще посочим за кой аргумент се разглежда тригонометричният кръг.

Фиг.5

След това изграждаме система от концентрични кръгове за аргументах . Начертаваме окръжност и я защриховаме според решението на първото неравенство, след това начертаваме окръжност с по-голям радиус и я защриховаме според решението на второто, след това построяваме окръжност за третото неравенство и основна окръжност. Изчертаваме лъчи от центъра на системата през краищата на дъгите, така че да пресичат всички кръгове. Формираме разтвор върху основния кръг (Фигура 6).

Фиг.6

Отговор:
,
.

Заключение

Всички цели на курсовото изследване бяха изпълнени. Теоретичният материал е систематизиран: дадени са основните видове тригонометрични неравенства и основните методи за решаването им (графичен, алгебричен, метод на интервалите, секторите и метод на концентричните окръжности). За всеки метод беше даден пример за решаване на неравенство. Отзад теоретична частпоследвано от практично. Съдържа набор от задачи за решаване на тригонометрични неравенства.

Тази курсова работа може да се използва от студентите за самостоятелна работа. Учениците могат да проверят нивото на владеене на тази тема и да се упражняват да изпълняват задачи с различна сложност.

След като проучи съответната литература по този проблемОчевидно можем да заключим, че способността и уменията за решаване на тригонометрични неравенства в училищния курс по алгебра и наченките на анализ са много важни, чието развитие изисква значителни усилия от страна на учителя по математика.

Ето защо тази работаще бъде полезно за учителите по математика, тъй като дава възможност за ефективно организиране на обучението на учениците по темата „Тригонометрични неравенства“.

Изследването може да бъде продължено, като се разшири до окончателна квалификационна работа.

Списък на използваната литература

Богомолов, Н.В. Сборник задачи по математика [Текст] / Н.В. Богомолов. – М.: Дропла, 2009. – 206 с.

Вигодски, М.Я. Наръчник по елементарна математика [Текст] / M.Ya. Вигодски. – М.: Дропла, 2006. – 509 с.

Журбенко, Л.Н. Математика в примери и задачи [Текст] / L.N. Журбенко. – М.: Инфра-М, 2009. – 373 с.

Иванов, О.А. Елементарна математиказа ученици, студенти и учители [Текст] / O.A. Иванов. – М.: МЦНМО, 2009. – 384 с.

Карп, А.П. Задачи по алгебра и началото на анализа за организиране на окончателно повторение и сертифициране в 11 клас [Текст] / A.P. Шаран. – М.: Образование, 2005. – 79 с.

Куланин, Е.Д. 3000 състезателни задачи по математика [Текст] / E.D. Куланин. – М.: Ирис-прес, 2007. – 624 с.

Лейбсън, К.Л. колекция практически задачипо математика [Текст] / K.L. Лейбсън. – М.: Дропла, 2010. – 182 с.

Лакът, В.В. Задачи с параметри и техните решения. Тригонометрия: уравнения, неравенства, системи. 10 клас [Текст] / V.V. Лакът. – М.: АРКТИ, 2008. – 64 с.

Манова, А.Н. Математика. Експресен преподавател за подготовка за Единен държавен изпит: студент. ръководство [Текст] / A.N. Манова. – Ростов на Дон: Феникс, 2012. – 541 с.

Мордкович, А.Г. Алгебра и началото на математическия анализ. 10-11 клас. Учебник за студенти образователни институции[Текст] / А.Г. Мордкович. – М.: Ирис-прес, 2009. – 201 с.

Новиков, А.И. Тригонометрични функции, уравнения и неравенства [Текст] / A.I. Новиков. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010. – 260 с.

Оганесян, В.А. Методика на обучението по математика в средното училище: Обща методика. Учебник наръчник за студенти по физика - мат. фак. пед. инст. [Текст] / V.A. Оганесян. – М.: Образование, 2006. – 368 с.

Олехник, С.Н. Уравнения и неравенства. Нестандартни методирешения [Текст] / S.N. Олехник. – М.: Издателска къща Факториал, 1997. – 219 с.

Севрюков, П.Ф. Тригонометрични, експоненциални и логаритмични уравнения и неравенства [Текст] / P.F. Севрюков. – М.: Народно образование, 2008. – 352 с.

Сергеев, I.N. Единен държавен изпит: 1000 задачи с отговори и решения по математика. Всички задачи от група C [Текст] / I.N. Сергеев. – М.: Изпит, 2012. – 301 с.

Соболев, А.Б. Елементарна математика [Текст] / A.B. Соболев. – Екатеринбург: Държавна образователна институция за висше професионално образование USTU-UPI, 2005. – 81 с.

Фенко, Л.М. Метод на интервалите при решаване на неравенства и изучаване на функции [Текст] / L.M. Фенко. – М.: Дропла, 2005. – 124 с.

Фридман, Л.М. Теоретична основаметоди на обучение по математика [Текст] / L.M. Фридман. – М.: Книжна къща „ЛИБРОКОМ”, 2009. – 248 с.

Приложение 1

Графична интерпретация на решения на прости неравенства

Ориз. 1

Ориз. 2

Фиг.3

Фиг.4

Фиг.5

Фиг.6

Фиг.7

Фиг.8

Приложение 2

Решения на прости неравенства

Неравенствата са релации от формата a › b, където a и b са изрази, съдържащи поне една променлива. Неравенствата могат да бъдат строги - ‹, › и нестроги - ≥, ≤.

Тригонометричните неравенства са изрази във формата: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, в които F(x) е представено от една или повече тригонометрични функции .

Пример за най-простото тригонометрично неравенство е: sin x ‹ 1/2. Обичайно е такива проблеми да се решават графично; за това са разработени два метода.

Метод 1 - Решаване на неравенства чрез изобразяване на графика на функция

За да намерите интервал, който отговаря на условията неравенство sin x ‹ 1/2, трябва да изпълните следните стъпки:

1. На координатната ос изградете синусоида y = sin x.
2. На същата ос начертайте графика на числения аргумент на неравенството, т.е. права линия, минаваща през точка ½ на ординатата OY.
3. Маркирайте пресечните точки на двете графики.
4. Засенчете сегмента, който е решението на примера.

Когато в израза присъстват строги знаци, пресечните точки не са решения. Тъй като най-малкият положителен период на синусоида е 2π, ние записваме отговора, както следва:

Ако знаците на израза не са строги, тогава интервалът на решение трябва да бъде ограден в квадратни скоби - . Отговорът на задачата може да се запише и като следното неравенство:

Метод 2 - Решаване на тригонометрични неравенства с помощта на единичната окръжност

Подобни проблеми могат лесно да бъдат решени с помощта на тригонометричен кръг. Алгоритъмът за намиране на отговори е много прост:

1. Първо трябва да начертаете единична окръжност.
2. След това трябва да отбележите стойността на дъговата функция на аргумента от дясната страна на неравенството върху дъгата на окръжност.
3. Необходимо е да се начертае права линия, минаваща през стойността на дъговата функция, успоредна на абсцисната ос (OX).
4. След това остава само да изберете дъгата от окръжност, която е множеството от решения на тригонометричното неравенство.
5. Запишете отговора в необходимата форма.

Нека анализираме етапите на решението, използвайки примера на неравенството sin x › 1/2. Върху кръга са отбелязани точки α и β - стойности

Точките от дъгата, разположени над α и β, са интервалът за решаване на даденото неравенство.

Ако трябва да решите пример за cos, тогава дъгата на отговора ще бъде разположена симетрично спрямо оста OX, а не OY. Можете да разгледате разликата между интервалите на решение за sin и cos в диаграмите по-долу в текста.

Графичните решения за тангенс и котангенс неравенства ще се различават както от синус, така и от косинус. Това се дължи на свойствата на функциите.

Арктангенсът и арккотангенсът са допирателни към тригонометрична окръжност и минималният положителен период за двете функции е π. За да използвате бързо и правилно втория метод, трябва да запомните на коя ос са нанесени стойностите на sin, cos, tg и ctg.

Допирателната е успоредна на оста OY. Ако начертаем стойността на arctan a върху единичната окръжност, тогава втората необходима точка ще бъде разположена в диагоналната четвърт. Ъгли

Те са точки на прекъсване за функцията, тъй като графиката се стреми към тях, но никога не ги достига.

В случай на котангенс, допирателната е успоредна на оста OX и функцията се прекъсва в точки π и 2π.

Сложни тригонометрични неравенства

Ако аргументът на функцията за неравенство е представен не само от променлива, а от цял ​​израз, съдържащ неизвестно, тогава говорим за сложно неравенство. Процесът и процедурата за решаването му са малко по-различни от описаните по-горе методи. Да предположим, че трябва да намерим решение на следното неравенство:

Графичното решение включва конструиране на обикновена синусоида y = sin x с помощта на произволно избрани стойности на x. Нека изчислим таблица с координати за контролните точки на графиката:

Резултатът трябва да е красива извивка.

За да улесним намирането на решение, нека заменим аргумента на сложната функция

Алгоритъм за решаване на прости тригонометрични неравенства и разпознаване на методи за решаване на тригонометрични неравенства.

Учители от най-висока квалификационна категория:

Ширко Ф.М. стр. Прогрес, МОБУ-СОУ No6

Санкина Л.С. Армавир, частно средно училище "Нов път"

Няма универсални методи за обучение по природни и математически дисциплини. Всеки учител намира свои собствени начини на преподаване, които са приемливи само за него.

Нашите дългогодишен опитпреподаването показва, че учениците по-лесно усвояват материал, който изисква концентрация и задържане на голямо количество информация в паметта, ако са научени да използват алгоритми в своите дейности в началния етап на изучаване на сложна тема. Според нас такава тема е темата за решаване на тригонометрични неравенства.

И така, преди да започнем с учениците да идентифицираме техники и методи за решаване на тригонометрични неравенства, ние упражняваме и консолидираме алгоритъм за решаване на най-простите тригонометрични неравенства.

Алгоритъм за решаване на прости тригонометрични неравенства

Маркирайте точки на съответната ос ( За грях х– ос ОУ, заcos х– OX ос)

Възстановяваме перпендикуляр към оста, който ще пресича окръжността в две точки.

Първата точка от окръжността е точка, която по дефиниция принадлежи на интервала от диапазона на дъговата функция.

Започвайки от обозначената точка, засенчете дъгата на кръга, съответстваща на защрихованата част от оста.

Моля обърнете внимание Специално вниманиекъм посоката на обхода. Ако обхождането се извършва по посока на часовниковата стрелка (т.е. има преход през 0), тогава втората точка от кръга ще бъде отрицателна, ако обратно на часовниковата стрелка, ще бъде положителна.

Записваме отговора под формата на интервал, като вземем предвид периодичността на функцията.

Нека да разгледаме работата на алгоритъма с примери.

1) грях ≥ 1/2;

Решение:

Изобразяваме единична окръжност.;

Маркираме точка ½ на оста OU.

Възстановяваме перпендикуляра на оста,

който пресича окръжността в две точки.

По дефиницията на арксинуса първо отбелязваме

точка π/6.

Засенчете частта от оста, която съответства на

дадено неравенство, над точката ½.

Засенчете дъгата на кръга, съответстваща на защрихованата част от оста.

Обхождането се извършва обратно на часовниковата стрелка, получаваме точката 5π/6.

Записваме отговора под формата на интервал, като вземем предвид периодичността на функцията;

Отговор:х;[π/6 + 2π н, 5π/6 + 2π н], н З.

Най-простото неравенство се решава с помощта на същия алгоритъм, ако записът на отговора не съдържа таблична стойност.

Учениците, когато решават неравенства на дъската в първите си уроци, изричат ​​всяка стъпка от алгоритъма на глас.

2) 5 cos х – 1 ≥ 0;

Р решение:при

5 cos х – 1 ≥ 0;

cos х ≥ 1/5;

Начертайте единична окръжност.

Отбелязваме точка с координата 1/5 на оста OX.

Възстановяваме перпендикуляра на оста, който

пресича окръжността в две точки.

Първата точка от окръжността е точка, която принадлежи на интервала от диапазона на арккосинуса по дефиниция (0;π).

Защриховаме частта от оста, която съответства на това неравенство.

Започвайки от подписаната точка arccos 1/5, засенчете дъгата на кръга, съответстваща на защрихованата част от оста.

Преминаването се извършва по посока на часовниковата стрелка (т.е. има преход през 0), което означава, че втората точка от окръжността ще бъде отрицателна - arccos 1/5.

Пишем отговора под формата на интервал, като вземем предвид периодичността на функцията, от по-малка стойносткъм повече.

Отговор: х  [-arccos 1/5 + 2π н, arccos 1/5 + 2π н], н З.

Подобряването на способността за решаване на тригонометрични неравенства се улеснява от следните въпроси: „Как ще решим група неравенства?“; „Как едно неравенство се различава от друго?“; „По какво едно неравенство е подобно на друго?“; Как би се променил отговорът, ако беше дадено строго неравенство?"; Как би се променил отговорът, ако вместо знака "" имаше знак "

Задачата за анализиране на списък от неравенства от гледна точка на методите за решаването им ви позволява да практикувате тяхното разпознаване.

На учениците се дават неравенства, които трябва да бъдат решени в клас.

Въпрос:Подчертайте неравенствата, които изискват използването на еквивалентни трансформации при редуциране на тригонометрично неравенство до най-простата му форма?

Отговор 1, 3, 5.

Въпрос:Кои са неравенствата, при които трябва да разглеждате сложен аргумент като прост?

Отговор: 1, 2, 3, 5, 6.

Въпрос:Назовете неравенствата, където могат да бъдат приложени тригонометрични формули?

Отговор: 2, 3, 6.

Въпрос:Посочете неравенствата, при които може да се приложи методът за въвеждане на нова променлива?

Отговор: 6.

Задачата за анализиране на списък от неравенства от гледна точка на методите за решаването им ви позволява да практикувате тяхното разпознаване. При развиването на умения е важно да се идентифицират етапите на неговото изпълнение и да се формулират в обща форма, която е представена в алгоритъма за решаване на най-простите тригонометрични неравенства.