Най-малко общо кратно на 2100 и 6930. Най-голям общ делител и най-малко общо кратно. Онлайн калкулатор

Представеният по-долу материал е логично продължение на теорията от статията LCM - най-малко общо кратно, определение, примери, връзка между LCM и GCD. Тук ще говорим за намиране на най-малкото общо кратно (LCM), И Специално вниманиеНека се съсредоточим върху решаването на примери. Първо, ще покажем как LCM на две числа се изчислява с помощта на GCD на тези числа. След това ще разгледаме намирането на най-малкото общо кратно чрез разлагането на числата на основни фактори. След това ще се съсредоточим върху намирането на LCM на три или повече числа и също ще обърнем внимание на изчисляването на LCM на отрицателни числа.

Навигация в страницата.

Изчисляване на най-малкото общо кратно (LCM) чрез GCD

Един от начините за намиране на най-малкото общо кратно се основава на връзката между LCM и GCD. Съществуваща връзкамежду LCM и GCD ви позволява да изчислите най-малкото общо кратно на две цели числа положителни числачрез известния най-голям общ делител. Съответната формула е LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Нека разгледаме примери за намиране на LCM с помощта на дадената формула.

Пример.

Намерете най-малкото общо кратно на две числа 126 и 70.

Решение.

В този пример a=126 , b=70 . Нека използваме връзката между LCM и GCD, изразена с формулата LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Тоест, първо трябва да намерим най-големия общ делител на числата 70 и 126, след което можем да изчислим LCM на тези числа, използвайки написаната формула.

Нека намерим НОД(126, 70) с помощта на евклидовия алгоритъм: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, следователно НОД(126, 70)=14.

Сега намираме необходимото най-малко общо кратно: НОД(126, 70)=126·70:НОД(126, 70)= 126·70:14=630.

Отговор:

LCM(126, 70)=630 .

Пример.

На какво е равно LCM(68, 34)?

Решение.

защото 68 се дели на 34, тогава НОД(68, 34)=34. Сега изчисляваме най-малкото общо кратно: НОД(68, 34)=68·34:НОД(68, 34)= 68·34:34=68.

Отговор:

LCM(68, 34)=68.

Обърнете внимание, че предишният пример отговаря на следното правило за намиране на LCM за цели положителни числа a и b: ако числото a се дели на b, тогава най-малкото общо кратно на тези числа е a.

Намиране на LCM чрез разлагане на числа на прости множители

Друг начин за намиране на най-малкото общо кратно се основава на разлагането на числата на прости множители. Ако съставите произведение от всички прости множители на дадени числа и след това изключите от това произведение всички общи прости множители, присъстващи в разширенията на дадените числа, тогава полученият продукт ще бъде равен на най-малкото общо кратно на дадените числа .

Посоченото правило за намиране на LCM следва от равенството LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Наистина, произведението на числата a и b е равно на произведението на всички фактори, участващи в разширяването на числата a и b. На свой ред gcd(a, b) равно на произведениетовсички прости множители, които присъстват едновременно в разширенията на числата a и b (както е описано в раздела за намиране на НОД с помощта на разлагането на числа в прости множители).

Нека дадем пример. Уведомете ни, че 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7. Нека съставим произведението от всички множители на тези разширения: 2·3·3·5·5·5·7 . Сега от този продукт изключваме всички фактори, присъстващи както в разширяването на числото 75, така и в разширяването на числото 210 (тези фактори са 3 и 5), тогава продуктът ще приеме формата 2·3·5·5·7 . Стойността на този продукт е равна на най-малкото общо кратно на 75 и 210, т.е. NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1050.

Пример.

Разложете числата 441 и 700 на прости множители и намерете най-малкото общо кратно на тези числа.

Решение.

Нека разложим числата 441 и 700 на прости множители:

Получаваме 441=3·3·7·7 и 700=2·2·5·5·7.

Сега нека създадем продукт от всички фактори, включени в разширяването на тези числа: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Нека изключим от този продукт всички фактори, които присъстват едновременно в двете разширения (има само един такъв фактор - това е числото 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. По този начин, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

Отговор:

NOC(441, 700)= 44 100 .

Правилото за намиране на LCM чрез разлагане на числа на прости множители може да се формулира малко по-различно. Ако липсващите множители от разгръщането на число b се добавят към множителите от разгръщането на числото a, тогава стойността на получения продукт ще бъде равна на най-малкото общо кратно на числата a и b.

Например, нека вземем същите числа 75 и 210, техните разложения на прости множители са както следва: 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7. Към множителите 3, 5 и 5 от разгръщането на числото 75 добавяме липсващите множители 2 и 7 от разгръщането на числото 210, получаваме произведението 2·3·5·5·7, чиято стойност е равно на LCM(75, 210).

Пример.

Намерете най-малкото общо кратно на 84 и 648.

Решение.

Първо получаваме разлагането на числата 84 и 648 на прости множители. Те изглеждат като 84=2·2·3·7 и 648=2·2·2·3·3·3·3. Към множителите 2, 2, 3 и 7 от разлагането на числото 84 добавяме липсващите множители 2, 3, 3 и 3 от разлагането на числото 648, получаваме произведението 2 2 2 3 3 3 3 7, което е равно на 4 536 . Така желаното най-малко общо кратно на 84 и 648 е 4536.

Отговор:

LCM(84, 648)=4,536.

Намиране на LCM на три или повече числа

Най-малкото общо кратно на три или повече числа може да се намери чрез последователно намиране на LCM на две числа. Нека си припомним съответната теорема, която дава начин да се намери LCM на три или повече числа.

Теорема.

Нека са дадени положителни цели числа a 1 , a 2 , …, a k, най-малкото общо кратно m k на тези числа се намира чрез последователно изчисляване на m 2 = LCM(a 1, a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

Нека разгледаме приложението на тази теорема, използвайки примера за намиране на най-малкото общо кратно на четири числа.

Пример.

Намерете LCM на четири числа 140, 9, 54 и 250.

Решение.

В този пример a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Първо намираме m 2 = LOC(a 1, a 2) = LOC(140, 9). За да направим това, използвайки Евклидовия алгоритъм, определяме НОД(140, 9), имаме 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, следователно, НОД(140, 9)=1 , от където НОД(140, 9)=140 9:НОД(140, 9)= 140·9:1=1,260. Тоест m 2 =1 260.

Сега намираме m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Нека го изчислим чрез НОД(1 260, 54), който също определяме с помощта на Евклидовия алгоритъм: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Тогава gcd(1,260, 54)=18, от което gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Тоест m 3 =3 780.

Остава само да се намери m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). За да направим това, намираме GCD(3,780, 250) с помощта на Евклидовия алгоритъм: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Следователно GCM(3780, 250)=10, откъдето GCM(3780, 250)= 3 780 250: НОД(3 780, 250)= 3780·250:10=94500. Тоест, m 4 =94 500.

Така че най-малкото общо кратно на първоначалните четири числа е 94 500.

Отговор:

LCM(140, 9, 54, 250)=94 500.

В много случаи е удобно да се намери най-малкото общо кратно на три или повече числа, като се използват прости фактори на дадените числа. В този случай трябва да се придържате към следващото правило. Най-малкото общо кратно на няколко числа е равно на произведението, което се съставя по следния начин: липсващите множители от разлагането на второто число се добавят към всички множители от разлагането на първото число, липсващите множители от разлагането на третото число се добавя към получените множители и т.н.

Нека разгледаме пример за намиране на най-малкото общо кратно чрез разлагане на прости множители.

Пример.

Намерете най-малкото общо кратно на петте числа 84, 6, 48, 7, 143.

Решение.

Първо, получаваме разлагане на тези числа на прости множители: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 е просто число, то съвпада с разлагането му на прости множители) и 143=11·13.

За да намерите LCM на тези числа, към множителите на първото число 84 (те са 2, 2, 3 и 7), трябва да добавите липсващите множители от разгръщането на второто число 6. Разлагането на числото 6 не съдържа липсващи множители, тъй като и 2, и 3 вече присъстват в разлагането на първото число 84. След това към факторите 2, 2, 3 и 7 добавяме липсващите фактори 2 и 2 от разширението на третото число 48, получаваме набор от фактори 2, 2, 2, 2, 3 и 7. Няма да е необходимо да добавяте множители към този набор в следващата стъпка, тъй като 7 вече се съдържа в него. Накрая към множителите 2, 2, 2, 2, 3 и 7 добавяме липсващите множители 11 и 13 от разгръщането на числото 143. Получаваме произведението 2·2·2·2·3·7·11·13, което е равно на 48 048.

Как да намерите LCM (най-малко общо кратно)

Най-малкото общо кратно на две цели числа е най-малкото от всички цели числа, което се дели на двете дадени числа, без да оставя остатък.

Метод 1. Можете да намерите LOC, от своя страна, за всеки от дадени числа, като изписва във възходящ ред всички числа, които се получават при умножаването им по 1, 2, 3, 4 и т.н.

Примерза числата 6 и 9.
Умножаваме числото 6 последователно по 1, 2, 3, 4, 5.
Получаваме: 6, 12, 18 , 24, 30
Умножаваме числото 9 последователно по 1, 2, 3, 4, 5.
Получаваме: 9, 18 , 27, 36, 45
Както можете да видите, LCM за числата 6 и 9 ще бъде равно на 18.

Този метод е удобен, когато и двете числа са малки и е лесно да се умножат по поредица от цели числа. Има обаче случаи, когато трябва да намерите LCM за двуцифрени или трицифрени числа, а също и когато има три или дори повече начални числа.

Метод 2. Можете да намерите LCM, като разложите оригиналните числа на прости множители.
След разлагането е необходимо да се зачеркнат еднакви числа от получената серия от прости множители. Останалите числа от първото число ще бъдат множител за второто, а останалите числа от второто ще бъдат множител за първото.

Примерза номера 75 и 60.
Най-малкото общо кратно на числата 75 и 60 може да се намери, без да се записват подред кратните на тези числа. За да направите това, нека разделим 75 и 60 на прости множители:
75 = 3 * 5 * 5, а
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Както можете да видите, фактори 3 и 5 се появяват и в двата реда. Мислено ги „зачеркваме“.
Нека запишем останалите фактори, включени в разширяването на всяко от тези числа. При разлагането на числото 75 ни остава числото 5, а при разлагането на числото 60 ни остава 2 * 2
Това означава, че за да определим LCM за числата 75 и 60, трябва да умножим останалите числа от разширението на 75 (това е 5) по 60 и да умножим числата, останали от разширението на 60 (това е 2 * 2) с 75. Тоест за по-лесно разбиране казваме, че умножаваме "на кръст".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Ето как намерихме LCM за числата 60 и 75. Това е числото 300.

Пример. Определете LCM за числата 12, 16, 24
IN в такъв случай, нашите действия ще бъдат малко по-сложни. Но първо, както винаги, нека разложим на множители всички числа
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
За да определим правилно LCM, избираме най-малкото от всички числа (това е числото 12) и последователно преминаваме през неговите множители, като ги зачертаваме, ако в поне един от другите редове с числа срещнем същия множител, който все още не е е зачеркнат.

Етап 1 . Виждаме, че 2 * 2 се среща във всички серии от числа. Нека ги зачеркнем.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Стъпка 2. В простите множители на числото 12 остава само числото 3, но то присъства в простите множители на числото 24. Задраскваме числото 3 от двата реда, докато за числото 16 не се очакват действия. .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Както можете да видите, при разлагането на числото 12 ние „задраскахме“ всички числа. Това означава, че констатацията на LOC е завършена. Остава само да се изчисли стойността му.
За числото 12 вземете останалите множители на числото 16 (следващото във възходящ ред)
12 * 2 * 2 = 48
Това е НОК

Както можете да видите, в този случай намирането на LCM беше малко по-трудно, но когато трябва да го намерите за три или повече числа, този метод ви позволява да го направите по-бързо. Въпреки това и двата метода за намиране на LCM са правилни.

Как да намерим най-малкото общо кратно?

Трябва да намерим всеки множител на всяко от двете числа, за които намираме най-малкото общо кратно, и след това да умножим един по друг множителите, които съвпадат в първото и второто число. Резултатът от продукта ще бъде необходимото кратно.

Например, имаме числата 3 и 5 и трябва да намерим LCM (най-малкото общо кратно). Нас трябва да се размножавати три и пет за всички числа, започващи от 1 2 3 ...и така докато видим същия номертук-там.

Умножете три и получете: 3, 6, 9, 12, 15

Умножете по пет и получете: 5, 10, 15

Методът на разлагане на прости множители е най-класическият метод за намиране на най-малкото общо кратно (LCM) на няколко числа. Този метод е ясно и просто демонстриран в следния видеоклип:

Събиране, умножение, деление, привеждане до общ знаменател и други аритметични операции са много вълнуваща дейност, особено се възхищавам на примерите, които заемат цял ​​лист.

Така че намерете общото кратно на две числа, което ще бъде най-малкото число, на което се делят двете числа. Бих искал да отбележа, че не е необходимо да прибягвате до формули в бъдеще, за да намерите това, което търсите, ако можете да броите в главата си (и това може да бъде обучено), тогава самите числа изскачат в главата ви и тогава фракциите се чупят като ядки.

Като начало нека научим, че можете да умножите две числа едно по друго и след това да намалите тази цифра и да разделите последователно на тези две числа, така че ще намерим най-малкото кратно.

Например две числа 15 и 6. Умножете и вземете 90. Това е очевидно по-голям брой. Освен това 15 се дели на 3 и 6 се дели на 3, което означава, че също делим 90 на 3. Получаваме 30. Опитваме се 30 да раздели 15 е равно на 2. И 30 да раздели 6 е равно на 5. Тъй като 2 е границата, се превръща че най-малкото кратно на числата е 15 и 6 ще бъде 30.

С по-големи числа ще е малко по-трудно. но ако знаете кои числа дават нулев остатък при деление или умножение, тогава по принцип няма големи трудности.

• Как да намерите NOC

  Ето видео, което ще ви даде два начина да намерите най-малкото общо кратно (LCM). След като се упражните да използвате първия от предложените методи, можете по-добре да разберете кое е най-малкото общо кратно.

Представям друг начин за намиране на най-малкото общо кратно. Нека го разгледаме с ясен пример.

Трябва да намерите LCM на три числа наведнъж: 16, 20 и 28.

• Представяме всяко число като произведение на неговите прости множители:
• Записваме мощностите на всички прости множители:

16 = 224 = 2^24^1

20 = 225 = 2^25^1

28 = 227 = 2^27^1

• Избираме всички прости делители (множители) с най-големи мощности, умножаваме ги и намираме LCM:

LCM = 2^24^15^17^1 = 4457 = 560.

LCM(16, 20, 28) = 560.

Така резултатът от изчислението беше числото 560. То е най-малкото общо кратно, тоест се дели на всяко от трите числа без остатък.

Най-малкото общо кратно е число, което може да се раздели на няколко дадени числа, без да остава остатък. За да изчислите такава цифра, трябва да вземете всяко число и да го разложите на прости фактори. Тези числа, които съвпадат, се премахват. Оставя всеки един по един, умножава ги помежду си на свой ред и получава желаното - най-малкото общо кратно.

NOC, или най-малко общо кратно, е най-малкото естествено число от две или повече числа, което се дели на всяко от дадените числа без остатък.

Ето пример как да намерите най-малкото общо кратно на 30 и 42.

• Първата стъпка е да разложим тези числа на прости множители.

За 30 е 2 х 3 х 5.

За 42 това е 2 х 3 х 7. Тъй като 2 и 3 са в разширението на числото 30, ние ги задраскваме.

• Изписваме факторите, които са включени в разширяването на числото 30. Това е 2 x 3 x 5.
• Сега трябва да ги умножим по липсващия коефициент, който имаме, когато разширяваме 42, което е 7. Получаваме 2 x 3 x 5 x 7.
• Намираме на какво е равно 2 x 3 x 5 x 7 и получаваме 210.

В резултат откриваме, че LCM на числата 30 и 42 е 210.

За намиране на най-малкото общо кратно, трябва да изпълните няколко последователно прости действия. Нека да разгледаме това като използваме две числа като пример: 8 и 12

1. Разлагаме двете числа на прости множители: 8=2*2*2 и 12=3*2*2
2. Намаляваме същите множители на едно от числата. В нашия случай 2 * 2 съвпадат, нека ги намалим за числото 12, тогава за 12 ще остане един фактор: 3.
3. Намерете произведението на всички останали множители: 2*2*2*3=24

Проверявайки, се уверяваме, че 24 се дели и на 8, и на 12 и това е най-малкото естествено число, което се дели на всяко от тези числа. Тук сме намери най-малкото общо кратно.

Ще се опитам да обясня, като използвам числата 6 и 8 като пример, това е число, което може да бъде разделено на тези числа (в нашия случай 6 и 8) и няма да има остатък.

И така, първо започваме да умножаваме 6 по 1, 2, 3 и т.н. и 8 по 1, 2, 3 и т.н.

Най-малкото общо кратно на две числа е пряко свързано с най-големия общ делител на тези числа. Това връзка между GCD и NOCсе определя от следната теорема.

Теорема.

Най-малкото общо кратно на две цели положителни числа a и b е равно на произведението от a и b, делено на най-големия общ делител на a и b, т.е. LCM(a, b)=a b:GCD(a, b).

Доказателство.

Позволявам M е някакво кратно на числата a и b. Тоест, M се дели на a и според определението за делимост има някакво цяло число k, така че равенството M=a·k да е вярно. Но M също се дели на b, тогава a·k се дели на b.

Нека обозначим gcd(a, b) като d. Тогава можем да запишем равенствата a=a 1 ·d и b=b 1 ·d, и a 1 =a:d и b 1 =b:d ще бъдат относително прости числа. Следователно условието, получено в предходния параграф, че a · k се дели на b, може да бъде преформулирано, както следва: a 1 · d · k се дели на b 1 · d и това, поради свойствата на делимост, е еквивалентно на условието че a 1 · k се дели на b 1 .

Трябва също така да запишете две важни следствия от разглежданата теорема.

Общите кратни на две числа са същите като кратните на тяхното най-малко общо кратно.

Това наистина е така, тъй като всяко общо кратно на M на числата a и b се определя от равенството M=LMK(a, b)·t за някакво цяло число t.

Най-малкото общо кратно на взаимно прости положителни числа a и b е равно на тяхното произведение.

Обосновката на този факт е съвсем очевидна. Тъй като a и b са относително прости, тогава gcd(a, b)=1, следователно, НОД(a, b)=a b: НОД(a, b)=a b:1=a b.

Най-малко общо кратно на три или повече числа

Намирането на най-малкото общо кратно на три или повече числа може да се сведе до последователно намиране на LCM на две числа. Как се прави това е показано в следната теорема 1 , a 2 , …, a k съвпадат с общите кратни на числата m k-1 и a k съвпадат с общите кратни на числото m k . И тъй като най-малкото положително кратно на числото m k е самото число m k, тогава най-малкото общо кратно на числата a 1, a 2, ..., a k е m k.

Библиография.

• Виленкин Н.Я. и други. 6 клас: учебник за общообразователните институции.
• Виноградов I.M. Основи на теорията на числата.
• Михелович Ш.Х. Теория на числата.
• Куликов Л.Я. и др. Сборник задачи по алгебра и теория на числата: Урокза студенти по физика и математика. специалности на педагогически институти.

Темата „Множество числа” се изучава в 5. клас на средното училище. Целта му е да подобри уменията за писмено и устно математическо пресмятане. В този урок се въвеждат нови понятия - „множество числа“ и „делители“, практикува се техниката за намиране на делители и кратни на естествено число и способността да се намира LCM по различни начини.

Тази тема е много важна. Знанието за него може да се приложи при решаване на примери с дроби. За да направите това, трябва да намерите общ знаменателчрез изчисляване на най-малкото общо кратно (LCM).

Кратно на A е цяло число, което се дели на A без остатък.

Всяко естествено число има безкраен брой кратни на него. Самият той се счита за най-малкия. Кратното не може да бъде по-малко от самото число.

Трябва да докажете, че числото 125 е кратно на 5. За да направите това, трябва да разделите първото число на второто. Ако 125 се дели на 5 без остатък, тогава отговорът е да.

Този метод е приложим за малки числа.

Има специални случаи при изчисляване на LOC.

1. Ако трябва да намерите общо кратно на 2 числа (например 80 и 20), където едно от тях (80) се дели на другото (20), то това число (80) е най-малкото кратно на тези две числа.

LCM(80, 20) = 80.

2. Ако две нямат общ делител, тогава можем да кажем, че техният LCM е произведението на тези две числа.

LCM(6, 7) = 42.

Нека разгледаме последния пример. 6 и 7 спрямо 42 са делители. Те делят кратно на число без остатък.

В този пример 6 и 7 са двойки фактори. Тяхното произведение е равно на най-кратното число (42).

Едно число се нарича просто, ако се дели само на себе си или на 1 (3:1=3; 3:3=1). Останалите се наричат ​​композитни.

Друг пример включва определяне дали 9 е делител на 42.

42:9=4 (остатък 6)

Отговор: 9 не е делител на 42, защото отговорът има остатък.

Делителят се различава от кратното по това, че делителят е числото, на което се дели цели числа, а самото кратно се дели на това число.

Най-голям общ делител на числа аИ b, умножено по тяхното най-малко кратно, ще даде произведението на самите числа аИ b.

А именно: gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b.

Общи кратни за повече комплексни числанамерени по следния начин.

Например, намерете LCM за 168, 180, 3024.

Разлагаме тези числа на прости множители и ги записваме като произведение на степени:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

LCM(168, 180, 3024) = 15120.