ปัจจัยสำคัญคืออะไร? การสลายตัวของตัวเลขให้เป็นปัจจัยเฉพาะ วิธีการ และตัวอย่างการสลายตัว การจัดกลุ่มหรือวิธีการจัดกลุ่ม

การแยกตัวประกอบจำนวนมากไม่ใช่เรื่องง่ายคนส่วนใหญ่มีปัญหาในการหาตัวเลขสี่หรือห้าหลัก เพื่อให้กระบวนการง่ายขึ้น ให้เขียนตัวเลขไว้เหนือทั้งสองคอลัมน์

• ลองแยกตัวประกอบจำนวน 6552 กัน.

จำนวนประกอบทุกจำนวนสามารถแสดงเป็นผลคูณของตัวประกอบเฉพาะได้โดยไม่ซ้ำกัน ตัวอย่างเช่น,

48 = 2 2 2 2 3, 225 = 3 3 5 5, 1,050 = 2 3 5 5 7.

สำหรับจำนวนน้อยการสลายตัวนี้เป็นเรื่องง่าย จะทำบนพื้นฐานตารางสูตรคูณ สำหรับจำนวนจำนวนมาก เราแนะนำให้ใช้วิธีการต่อไปนี้ ซึ่งเราจะพิจารณาใช้ตัวอย่างเฉพาะเจาะจง เรามาแยกตัวประกอบของจำนวน 1463 ให้เป็นจำนวนเฉพาะกัน โดยการใช้ตารางจำนวนเฉพาะ:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,

47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,

103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,

157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.

เราเรียงลำดับตัวเลขในตารางนี้แล้วหยุดที่ตัวเลขที่เป็นตัวหารของตัวเลขนี้ ในตัวอย่างของเรา นี่คือ 7 หาร 1463 ด้วย 7 แล้วได้ 209 ตอนนี้เราดำเนินการค้นหาเลขเฉพาะสำหรับ 209 ซ้ำแล้วหยุดที่เลข 11 ซึ่งเป็นตัวหาร (ดู) หาร 209 ด้วย 11 แล้วได้ 19 ซึ่งตามตารางเดียวกันคือจำนวนเฉพาะ ดังนั้น, เรามี:

ในบทความนี้คุณจะพบข้อมูลที่จำเป็นทั้งหมดเพื่อตอบคำถาม วิธีแยกตัวประกอบจำนวนให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ- ขั้นแรกให้แนวคิดทั่วไปเกี่ยวกับการสลายตัวของตัวเลขเป็นปัจจัยเฉพาะและให้ตัวอย่างของการสลายตัว ข้อมูลต่อไปนี้แสดงรูปแบบมาตรฐานของการแบ่งจำนวนตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ หลังจากนี้ จะมีการกำหนดอัลกอริทึมสำหรับการแยกย่อยตัวเลขตามใจชอบให้เป็นปัจจัยเฉพาะ และให้ตัวอย่างการแยกย่อยตัวเลขโดยใช้อัลกอริทึมนี้ นอกจากนี้ ยังมีการพิจารณาวิธีอื่นที่ช่วยให้คุณสามารถแยกตัวประกอบจำนวนเต็มขนาดเล็กให้เป็นตัวประกอบเฉพาะได้อย่างรวดเร็วโดยใช้การทดสอบการหารลงตัวและตารางสูตรคูณ

การนำทางหน้า

การแยกตัวประกอบตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะหมายความว่าอย่างไร?

ก่อนอื่น เรามาดูกันว่าปัจจัยสำคัญคืออะไร

เห็นได้ชัดว่าเนื่องจากมีคำว่า "ปัจจัย" ในวลีนี้ จึงมีผลคูณของตัวเลขจำนวนหนึ่ง และคำว่า "ง่าย" ที่เข้าเกณฑ์หมายความว่าแต่ละปัจจัยเป็นจำนวนเฉพาะ ตัวอย่างเช่น ในผลคูณของรูปแบบ 2·7·7·23 มีตัวประกอบเฉพาะสี่ตัว: 2, 7, 7 และ 23

การแยกตัวประกอบตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะหมายความว่าอย่างไร?

ซึ่งหมายความว่าตัวเลขนี้จะต้องแสดงเป็นผลคูณของตัวประกอบเฉพาะ และมูลค่าของผลิตภัณฑ์นี้จะต้องเท่ากับตัวเลขเดิม ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาผลคูณของจำนวนเฉพาะสามจำนวน 2, 3 และ 5 ซึ่งมีค่าเท่ากับ 30 ดังนั้นการสลายตัวของจำนวน 30 ให้เป็นตัวประกอบเฉพาะคือ 2·3·5 โดยปกติแล้ว การสลายตัวของตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะจะเขียนเป็นความเท่าเทียมกัน ในตัวอย่างของเรา มันจะเป็นดังนี้: 30=2·3·5 เราเน้นแยกกันว่าปัจจัยสำคัญในการขยายสามารถทำซ้ำได้ ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงให้เห็นอย่างชัดเจน: 144=2·2·2·2·3·3 แต่การแทนค่าในรูปแบบ 45=3·15 ไม่ใช่การสลายตัวของตัวประกอบเฉพาะ เนื่องจากเลข 15 นั้นเป็นจำนวนประกอบ

คำถามต่อไปนี้เกิดขึ้น: “ตัวเลขใดที่สามารถแยกย่อยเป็นตัวประกอบเฉพาะได้”

ในการค้นหาคำตอบ เราขอเสนอเหตุผลดังต่อไปนี้ จำนวนเฉพาะตามคำนิยาม อยู่ในกลุ่มจำนวนที่มากกว่าหนึ่ง เมื่อพิจารณาข้อเท็จจริงนี้ และ อาจโต้แย้งได้ว่าผลคูณของตัวประกอบเฉพาะหลายตัวเป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 ดังนั้น การแยกตัวประกอบให้เป็นตัวประกอบเฉพาะจะเกิดขึ้นเฉพาะกับจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 เท่านั้น

แต่จำนวนเต็มทั้งหมดที่มากกว่า 1 สามารถแยกตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะได้หรือไม่?

เห็นได้ชัดเจนว่าไม่สามารถแยกตัวประกอบจำนวนเต็มเชิงเดี่ยวให้เป็นตัวประกอบเฉพาะได้ เนื่องจากจำนวนเฉพาะมีตัวประกอบบวกเพียงสองตัวเท่านั้น - ตัวหนึ่งและตัวมันเอง ดังนั้นจึงไม่สามารถแสดงเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะสองตัวขึ้นไปได้ ถ้าจำนวนเต็ม z สามารถแทนเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะ a และ b ได้ แนวคิดเรื่องการหารลงตัวจะทำให้เราสรุปได้ว่า z หารด้วยทั้ง a และ b ลงตัว ซึ่งเป็นไปไม่ได้เนื่องจากความเรียบง่ายของจำนวน z อย่างไรก็ตาม พวกเขาเชื่อว่าจำนวนเฉพาะใดๆ ก็คือการสลายตัวนั่นเอง

แล้วจำนวนประกอบล่ะ? จำนวนประกอบจะสลายตัวไปเป็นตัวประกอบเฉพาะ และจำนวนประกอบทั้งหมดมีการสลายตัวเช่นนั้นหรือไม่ ทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิตให้คำตอบที่ยืนยันกับคำถามจำนวนหนึ่งเหล่านี้ ทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิตระบุว่าจำนวนเต็ม a ใดๆ ที่มากกว่า 1 สามารถย่อยสลายเป็นผลคูณของตัวประกอบเฉพาะ p 1, p 2, ..., p n และการสลายตัวจะมีรูปแบบ a = p 1 p 2 .. . p n และการขยายตัวนี้จะไม่ซ้ำกัน ถ้าคุณไม่คำนึงถึงลำดับของปัจจัย

การแยกตัวประกอบมาตรฐานของจำนวนให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ

ในการขยายจำนวน ตัวประกอบเฉพาะสามารถทำซ้ำได้ การทำซ้ำตัวประกอบเฉพาะสามารถเขียนให้กระชับยิ่งขึ้นได้โดยใช้ ปล่อยให้ในการสลายตัวของตัวเลข ตัวประกอบเฉพาะ p 1 เกิดขึ้น s 1 ครั้ง ตัวประกอบเฉพาะ p 2 – s 2 ครั้ง และต่อไปเรื่อยๆ p n – s n คูณ จากนั้นการแยกตัวประกอบเฉพาะของจำนวน a สามารถเขียนได้เป็น a=p 1 s 1 ·p 2 s 2 ·…·p n s n- การบันทึกรูปแบบนี้เรียกว่า การแยกตัวประกอบมาตรฐานของจำนวนให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ.

เราจะยกตัวอย่างการแบ่งแยกตามหลักบัญญัติของตัวเลขให้เป็นปัจจัยเฉพาะ แจ้งให้เราทราบถึงการสลายตัว 609 840=2 2 2 2 3 3 5 7 11 11สัญกรณ์ตามรูปแบบบัญญัติมีรูปแบบ 609 840=2 4 3 2 5 7 11 2.

การแยกตัวประกอบตัวเลขตามรูปแบบบัญญัติให้เป็นตัวประกอบเฉพาะจะทำให้คุณสามารถค้นหาตัวหารทั้งหมดของตัวเลขและจำนวนตัวหารของตัวเลขได้

อัลกอริทึมในการแยกตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ

เพื่อที่จะรับมือกับงานแยกย่อยตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะได้สำเร็จ คุณต้องมีความรู้เป็นอย่างดีเกี่ยวกับข้อมูลในบทความเรื่องจำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบ

สาระสำคัญของกระบวนการสลายจำนวนเต็มบวก a ที่เกินกว่าหนึ่งนั้นชัดเจนจากการพิสูจน์ทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิต ประเด็นคือการหาตัวหารเฉพาะที่น้อยที่สุดตามลำดับ p 1, p 2, ..., p n ของตัวเลข a, a 1, a 2, ..., n-1 ซึ่งช่วยให้เราได้ชุดค่าที่เท่ากัน a=p 1 ·a 1 โดยที่ a 1 = a:p 1 , a=p 1 ·a 1 =p 1 ·p 2 ·a 2 โดยที่ a 2 =a 1:p 2 , …, a=p 1 ·p 2 ·…·p n ·a n โดยที่ a n =a n-1:p n เมื่อปรากฎว่า n =1 ความเท่าเทียมกัน a=p 1 ·p 2 ·…·p n จะทำให้เราได้การสลายตัวของจำนวน a ให้เป็นปัจจัยเฉพาะที่ต้องการ ก็ควรสังเกตไว้ตรงนี้ด้วยว่า หน้า 1 ≤p 2 ≤p 3 ≤…≤p n.

ยังคงต้องหาวิธีค้นหาตัวประกอบเฉพาะที่เล็กที่สุดในแต่ละขั้นตอน และเราจะมีอัลกอริทึมในการแยกตัวเลขออกเป็นตัวประกอบเฉพาะ ตารางจำนวนเฉพาะจะช่วยเราค้นหาตัวประกอบเฉพาะ ให้เราแสดงวิธีใช้เพื่อให้ได้ตัวหารเฉพาะที่เล็กที่สุดของจำนวน z

เรานำจำนวนเฉพาะจากตารางจำนวนเฉพาะ (2, 3, 5, 7, 11 เป็นต้น) ตามลำดับ แล้วหารตัวเลขที่กำหนด z ด้วยตัวเลขเหล่านั้น จำนวนเฉพาะตัวแรกที่ z หารเท่ากันจะเป็นตัวหารเฉพาะที่น้อยที่สุด ถ้าเลข z เป็นจำนวนเฉพาะ ตัวหารเฉพาะที่น้อยที่สุดของมันจะเป็นตัวเลข z เอง ควรระลึกไว้ตรงนี้ว่า ถ้า z ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ ตัวหารเฉพาะที่น้อยที่สุดก็จะไม่เกินจำนวน โดยที่มาจาก z ดังนั้น หากในบรรดาจำนวนเฉพาะที่ไม่เกิน ไม่มีตัวหารของจำนวน z แม้แต่ตัวเดียว เราก็สรุปได้ว่า z เป็นจำนวนเฉพาะ (ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้เขียนไว้ในส่วนทฤษฎีใต้หัวข้อ จำนวนนี้เป็นจำนวนเฉพาะหรือจำนวนประกอบ ).

ตัวอย่าง เราจะแสดงวิธีหาตัวหารเฉพาะที่เล็กที่สุดของจำนวน 87 เรามาเอาเลข 2 กันดีกว่า หาร 87 ด้วย 2 จะได้ 87:2=43 (เหลือ 1) (หากจำเป็น ดูบทความ) นั่นคือ เมื่อหาร 87 ด้วย 2 เศษคือ 1 ดังนั้น 2 จึงไม่ใช่ตัวหารของจำนวน 87 เรานำจำนวนเฉพาะตัวถัดไปจากตารางจำนวนเฉพาะ นี่คือเลข 3 หาร 87 ด้วย 3 เราจะได้ 87:3=29 ดังนั้น 87 หารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้น เลข 3 จึงเป็นตัวหารเฉพาะที่น้อยที่สุดของเลข 87

โปรดทราบว่าในกรณีทั่วไป หากต้องการแยกจำนวน a ให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ เราจำเป็นต้องมีตารางจำนวนเฉพาะที่มีจำนวนไม่ต่ำกว่า เราจะต้องอ้างอิงตารางนี้ในทุกขั้นตอน ดังนั้นเราจึงต้องมีตารางนี้อยู่ใกล้มือ ตัวอย่างเช่น หากต้องการแยกตัวประกอบจำนวน 95 ให้เป็นจำนวนเฉพาะ เราจำเป็นต้องมีเพียงตารางจำนวนเฉพาะที่มีค่าไม่เกิน 10 เท่านั้น (เนื่องจาก 10 มากกว่า ) และในการแยกย่อยเลข 846,653 คุณจะต้องมีตารางจำนวนเฉพาะมากถึง 1,000 อยู่แล้ว (เนื่องจาก 1,000 มากกว่า )

ขณะนี้เรามีข้อมูลเพียงพอที่จะจดบันทึกแล้ว อัลกอริทึมสำหรับการแยกตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ- อัลกอริทึมสำหรับการสลายตัวของตัวเลข a มีดังนี้:

• เมื่อเรียงลำดับตัวเลขจากตารางจำนวนเฉพาะตามลำดับ เราจะพบตัวหารเฉพาะที่น้อยที่สุด p 1 ของจำนวน a หลังจากนั้นเราจะคำนวณ 1 =a:p 1 หาก 1 = 1 แสดงว่าจำนวน a เป็นจำนวนเฉพาะ และตัวมันเองก็คือการสลายตัวของตัวมันเองให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ หาก 1 ไม่เท่ากับ 1 เราจะได้ a=p 1 ·a 1 และไปยังขั้นตอนถัดไป
• เราค้นหาตัวหารเฉพาะที่น้อยที่สุด p 2 ของตัวเลข a 1 โดยเราจะเรียงลำดับตัวเลขจากตารางจำนวนเฉพาะตามลำดับ โดยเริ่มจาก p 1 แล้วคำนวณ a 2 =a 1:p 2 ถ้า 2 =1 ดังนั้น การสลายตัวที่ต้องการของจำนวน a ให้เป็นตัวประกอบเฉพาะจะมีรูปแบบ a=p 1 ·p 2 หาก 2 ไม่เท่ากับ 1 เราจะได้ a=p 1 ·p 2 ·a 2 และไปยังขั้นตอนถัดไป
• เมื่อพิจารณาตัวเลขจากตารางจำนวนเฉพาะ เริ่มต้นด้วย p 2 เราจะพบตัวหารเฉพาะที่เล็กที่สุด p 3 ของจำนวน a 2 หลังจากนั้นเราจะคำนวณ 3 =a 2:p 3 ถ้า 3 =1 ดังนั้น การสลายตัวที่ต้องการของจำนวน a ให้เป็นตัวประกอบเฉพาะจะมีรูปแบบ a=p 1 ·p 2 ·p 3 หาก 3 ไม่เท่ากับ 1 เราจะได้ a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3 และไปยังขั้นตอนถัดไป
• เราค้นหาตัวหารเฉพาะที่น้อยที่สุด p n ของจำนวน a n-1 โดยการเรียงลำดับตามจำนวนเฉพาะ โดยเริ่มจาก p n-1 เช่นเดียวกับ a n =a n-1:p n และ a n เท่ากับ 1 ขั้นตอนนี้เป็นขั้นตอนสุดท้ายของอัลกอริทึม โดยเราจะได้การสลายตัวของจำนวน a ที่ต้องการให้เป็นปัจจัยเฉพาะ: a=p 1 ·p 2 ·…·p n

เพื่อความชัดเจน ผลลัพธ์ทั้งหมดที่ได้รับในแต่ละขั้นตอนของอัลกอริธึมในการแยกตัวเลขออกเป็นปัจจัยเฉพาะจะแสดงในรูปแบบของตารางต่อไปนี้ โดยที่ตัวเลข a, 1, 2, ..., n จะถูกเขียนตามลำดับ ในคอลัมน์ทางด้านซ้ายของเส้นแนวตั้งและทางด้านขวาของเส้น - ตัวหารเฉพาะที่เล็กที่สุดที่สอดคล้องกัน p 1, p 2, ..., p n

สิ่งที่เหลืออยู่คือการพิจารณาตัวอย่างบางส่วนของการประยุกต์ใช้อัลกอริธึมผลลัพธ์สำหรับการแยกตัวเลขออกเป็นปัจจัยเฉพาะ

ตัวอย่างของการแยกตัวประกอบเฉพาะ

ตอนนี้เราจะดูรายละเอียด ตัวอย่างการแยกตัวประกอบตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ- เมื่อแยกย่อยเราจะใช้อัลกอริธึมจากย่อหน้าก่อนหน้า เริ่มจากกรณีง่าย ๆ แล้วค่อย ๆ ทำให้ซับซ้อนขึ้นเพื่อพบกับความแตกต่างที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่เกิดขึ้นเมื่อแยกตัวเลขออกเป็นปัจจัยเฉพาะ

ตัวอย่าง.

แยกตัวประกอบของเลข 78 เป็นตัวประกอบเฉพาะ.

สารละลาย.

เราเริ่มค้นหาตัวหารเฉพาะตัวแรกที่เล็กที่สุด p 1 ของจำนวน a=78 เพื่อทำเช่นนี้ เราเริ่มเรียงลำดับจำนวนเฉพาะจากตารางจำนวนเฉพาะตามลำดับ เราเอาเลข 2 มาหาร 78 จะได้ 78:2=39 จำนวน 78 หารด้วย 2 โดยไม่มีเศษ ดังนั้น p 1 =2 จึงเป็นตัวหารเฉพาะตัวแรกที่พบของจำนวน 78 ในกรณีนี้ 1 =a:p 1 =78:2=39 เราก็มาถึงความเท่าเทียมกัน a=p 1 ·a 1 โดยมีรูปแบบ 78=2·39 แน่นอนว่า 1 =39 แตกต่างจาก 1 ดังนั้นเราจึงไปยังขั้นตอนที่สองของอัลกอริทึม

ตอนนี้เรากำลังมองหาตัวหารเฉพาะที่น้อยที่สุด p 2 ของจำนวน a 1 =39 เราเริ่มแจกแจงตัวเลขจากตารางจำนวนเฉพาะ โดยเริ่มจาก p 1 = 2 หาร 39 ด้วย 2 เราจะได้ 39:2=19 (เหลือ 1) เนื่องจาก 39 หารด้วย 2 ไม่ลงตัว ดังนั้น 2 จึงไม่ใช่ตัวหาร จากนั้นเรานำตัวเลขถัดไปจากตารางจำนวนเฉพาะ (หมายเลข 3) มาหาร 39 ด้วยจะได้ 39:3=13 ดังนั้น p 2 =3 จึงเป็นตัวหารเฉพาะที่น้อยที่สุดของจำนวน 39 ในขณะที่ 2 =a 1:p 2 =39:3=13 เรามีความเท่าเทียมกัน a=p 1 ·p 2 ·a 2 ในรูปแบบ 78=2·3·13 เนื่องจาก 2 =13 แตกต่างจาก 1 เราจึงไปยังขั้นตอนถัดไปของอัลกอริทึม

ตรงนี้เราต้องหาตัวหารเฉพาะที่น้อยที่สุดของจำนวน a 2 =13 ในการค้นหาตัวหารเฉพาะที่น้อยที่สุด p 3 ของจำนวน 13 เราจะเรียงลำดับตัวเลขจากตารางจำนวนเฉพาะตามลำดับ โดยเริ่มจาก p 2 = 3 จำนวน 13 หารด้วย 3 ไม่ลงตัว เนื่องจาก 13:3=4 (ส่วนที่เหลือ 1) และ 13 ก็หารด้วย 5, 7 และ 11 ไม่ลงตัว เนื่องจาก 13:5=2 (ส่วนที่เหลือ 3), 13:7=1 (พัก 6) และ 13:11=1 (พัก 2) จำนวนเฉพาะตัวถัดไปคือ 13 และ 13 หารลงตัวโดยไม่มีเศษ ดังนั้น p 3 ที่น้อยที่สุดของ 13 คือตัวมันเอง และ 3 =a 2:p 3 =13:13=1 เนื่องจาก 3 =1 ขั้นตอนของอัลกอริทึมนี้จึงเป็นขั้นตอนสุดท้าย และการแยกย่อยที่จำเป็นของจำนวน 78 ให้เป็นปัจจัยเฉพาะจะมีรูปแบบ 78=2·3·13 (a=p 1 ·p 2 ·p 3 )

คำตอบ:

78=2·3·13.

ตัวอย่าง.

แสดงตัวเลข 83,006 เป็นผลคูณของตัวประกอบเฉพาะ

สารละลาย.

ในขั้นตอนแรกของอัลกอริทึมในการแยกตัวเลขออกเป็นปัจจัยเฉพาะ เราจะพบ p 1 =2 และ 1 =a:p 1 =83,006:2=41,503 โดยที่ 83,006=2·41,503

ในขั้นตอนที่สอง เราพบว่า 2, 3 และ 5 ไม่ใช่ตัวหารเฉพาะของจำนวน a 1 =41,503 แต่จำนวน 7 นั้นเป็น เนื่องจาก 41,503:7=5,929 เรามี p 2 =7, a 2 =a 1:p 2 =41,503:7=5,929 ดังนั้น 83,006=2 7 5 929.

ตัวหารเฉพาะที่น้อยที่สุดของจำนวน a 2 = 5 929 คือหมายเลข 7 เนื่องจาก 5 929:7 = 847 ดังนั้น p 3 =7, a 3 =a 2:p 3 =5 929:7 = 847 โดยที่ 83 006 = 2·7·7·847

ต่อไปเราจะพบว่าตัวหารเฉพาะที่น้อยที่สุด p 4 ของจำนวน a 3 =847 เท่ากับ 7 จากนั้น 4 =a 3:p 4 =847:7=121 ดังนั้น 83 006=2·7·7·7·121

ตอนนี้เราพบตัวหารเฉพาะที่น้อยที่สุดของจำนวน a 4 =121 มันคือจำนวน p 5 =11 (เนื่องจาก 121 หารด้วย 11 ลงตัวและหารด้วย 7 ไม่ลงตัว) จากนั้น 5 =a 4:p 5 =121:11=11 และ 83 006=2·7·7·7·11·11

สุดท้าย ตัวหารเฉพาะที่น้อยที่สุดของจำนวน a 5 =11 ก็คือจำนวน p 6 =11 จากนั้น 6 =a 5:p 6 =11:11=1 เนื่องจาก 6 =1 ขั้นตอนของอัลกอริธึมในการแยกตัวเลขออกเป็นปัจจัยเฉพาะจึงเป็นขั้นตอนสุดท้าย และการสลายตัวที่ต้องการจะมีรูปแบบ 83 006 = 2·7·7·7·11·11

ผลลัพธ์ที่ได้สามารถเขียนเป็นการสลายตัวแบบบัญญัติของจำนวนให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ 83 006 = 2·7 3 ·11 2

คำตอบ:

83 006=2 7 7 7 11 11=2 7 3 11 2 991 เป็นจำนวนเฉพาะ จริงๆ แล้ว มันไม่มีตัวหารเฉพาะตัวเดียวที่ไม่เกิน ( สามารถประมาณได้ประมาณว่า เนื่องจากเห็นได้ชัดว่า 991<40 2 ), то есть, наименьшим делителем числа 991 является оно само. Тогда p 3 =991 и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1 . Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289 на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991 .

คำตอบ:

897 924 289 = 937 967 991 .

การใช้การทดสอบการหารลงตัวสำหรับการแยกตัวประกอบเฉพาะ

ในกรณีง่ายๆ คุณสามารถแยกตัวเลขออกเป็นปัจจัยเฉพาะได้โดยไม่ต้องใช้อัลกอริธึมการแยกย่อยจากย่อหน้าแรกของบทความนี้ ถ้าตัวเลขไม่มาก เมื่อจะแยกย่อยเป็นตัวประกอบเฉพาะ ก็มักจะเพียงพอที่จะทราบสัญญาณของการหารลงตัว ลองยกตัวอย่างเพื่อความกระจ่าง

เช่น เราต้องแยกตัวประกอบเลข 10 ให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ จากตารางสูตรคูณ เรารู้ว่า 2·5=10 และตัวเลข 2 และ 5 เป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้นการแยกตัวประกอบเฉพาะของตัวเลข 10 จึงดูเหมือน 10=2·5

ตัวอย่างอื่น. เมื่อใช้ตารางสูตรคูณ เราจะแยกตัวประกอบของตัวเลข 48 ให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ เรารู้ว่าหกคือแปด - สี่สิบแปดนั่นคือ 48 ​​= 6·8 อย่างไรก็ตาม ทั้ง 6 และ 8 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ แต่เรารู้ว่าสามสองตัวคือหก และสี่สองตัวคือแปด นั่นคือ 6=2·3 และ 8=2·4 จากนั้น 48=6·8=2·3·2·4. ที่ต้องจำไว้ว่าสองเท่าคือสี่ จากนั้นเราจะได้การสลายตัวที่ต้องการเป็นตัวประกอบเฉพาะ 48 = 2·3·2·2·2 มาเขียนส่วนขยายนี้ในรูปแบบมาตรฐาน: 48=2 4 ·3

แต่เมื่อนำจำนวน 3,400 ไปแยกตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะ คุณสามารถใช้เกณฑ์การหารลงตัวได้ สัญญาณของการหารด้วย 10 ลงตัว, 100 ทำให้เราสามารถระบุได้ว่า 3400 หารด้วย 100 ลงตัว โดยที่ 3400=34·100 และ 100 หารด้วย 10 ลงตัว โดยที่ 100=10·10 ดังนั้น 3400=34·10·10 และจากการทดสอบการหารด้วย 2 ลงตัว เราสามารถบอกได้ว่าตัวประกอบ 34, 10 และ 10 แต่ละตัวหารด้วย 2 ลงตัว เราจะได้ 3 400=34 10 10=2 17 2 5 2 5- ปัจจัยทั้งหมดในการขยายผลลัพธ์นั้นเรียบง่าย ดังนั้นการขยายนี้จึงเป็นที่ต้องการ สิ่งที่เหลืออยู่คือการจัดเรียงปัจจัยใหม่เพื่อให้เรียงลำดับจากน้อยไปหามาก: 3 400 = 2·2·2·5·5·17 ให้เราเขียนการแบ่งแยกตามรูปแบบบัญญัติของจำนวนนี้ให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ: 3 400 = 2 3 ·5 2 ·17

เมื่อแยกตัวเลขที่กำหนดให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ คุณสามารถใช้ทั้งเครื่องหมายของการหารลงตัวและตารางสูตรคูณตามลำดับ ลองจินตนาการว่าเลข 75 เป็นผลคูณของตัวประกอบเฉพาะ การทดสอบการหารด้วย 5 ลงตัวทำให้เราบอกได้ว่า 75 หารด้วย 5 ลงตัว และเราจะได้ 75 = 5·15 และจากตารางสูตรคูณ เราทราบว่า 15=3·5 ดังนั้น 75=5·3·5 นี่คือการสลายตัวที่จำเป็นของเลข 75 ให้กลายเป็นตัวประกอบเฉพาะ

บรรณานุกรม.

• วิเลนคิน เอ็น.ยา. และอื่น ๆ คณิตศาสตร์ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6: หนังสือเรียนสำหรับสถานศึกษาทั่วไป
• วิโนกราดอฟ ไอ.เอ็ม. พื้นฐานของทฤษฎีจำนวน
• มิเคโลวิช ช.เอช. ทฤษฎีจำนวน
• Kulikov L.Ya. และอื่น ๆ รวบรวมปัญหาพีชคณิตและทฤษฎีจำนวน: หนังสือเรียนสำหรับนักศึกษาวิชาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ เฉพาะทางของสถาบันการสอน

สามารถแสดงเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะได้

ตัวอย่าง.ลองแทนตัวเลข 4, 6 และ 8 เป็นผลคูณของตัวประกอบเฉพาะ:

ทางด้านขวามือของผลลัพธ์ที่เท่ากันเรียกว่าการแยกตัวประกอบเฉพาะ

นี่คือการแสดงจำนวนประกอบเป็นผลคูณของตัวประกอบเฉพาะ

แยกตัวประกอบจำนวนประกอบให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ- หมายถึงการแสดงจำนวนนี้เป็นผลคูณของตัวประกอบเฉพาะ

ปัจจัยเฉพาะในการขยายจำนวนสามารถทำซ้ำได้ การทำซ้ำตัวประกอบเฉพาะสามารถเขียนให้สั้นลงได้ในรูปแบบของกำลัง

ตัวอย่าง.

24 = 2 2 2 3 = 2 3 3

บันทึก.ปัจจัยเฉพาะมักจะเขียนโดยเรียงลำดับจากน้อยไปหามาก

วิธีแยกตัวประกอบจำนวนให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ

ลำดับของการดำเนินการเมื่อแยกตัวเลขเป็นปัจจัยเฉพาะ:

1. เราตรวจสอบตารางจำนวนเฉพาะเพื่อดูว่าจำนวนที่ระบุนั้นเป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่
2. ถ้าไม่เช่นนั้น เราจะเลือกจำนวนเฉพาะที่น้อยที่สุดตามลำดับจากตารางจำนวนเฉพาะ โดยที่จำนวนนี้หารลงตัวโดยไม่มีเศษ แล้วทำการหาร
3. เราตรวจสอบโดยใช้ตารางจำนวนเฉพาะเพื่อดูว่าผลหารผลลัพธ์เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่
4. ถ้าไม่เช่นนั้น เราจะเลือกจำนวนเฉพาะที่น้อยที่สุดตามลำดับจากตารางจำนวนเฉพาะ โดยที่ผลหารผลลัพธ์จะหารด้วยจำนวนเต็มลงตัว แล้วทำการหาร
5. เราทำซ้ำจุดที่ 3 และ 4 จนกระทั่งผลหารกลายเป็นหนึ่ง

ตัวอย่าง.แยกตัวประกอบของ 102 ให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ.

สารละลาย:

เราเริ่มค้นหาตัวหารเฉพาะที่เล็กที่สุดของจำนวน 102 เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะเลือกจำนวนเฉพาะที่น้อยที่สุดจากตารางจำนวนเฉพาะตามลำดับ โดยที่ 102 จะถูกหารโดยไม่มีเศษ เราเอาเลข 2 มาหาร 102 จะได้:

จำนวน 102 หารด้วย 2 โดยไม่มีเศษ ดังนั้น 2 จึงเป็นจำนวนเฉพาะตัวแรกที่พบ เนื่องจากเงินปันผลเท่ากับตัวหารคูณด้วยผลหาร เราจึงสามารถเขียนได้:

เรามาดูขั้นตอนต่อไปกันดีกว่า เราตรวจสอบโดยใช้ตารางจำนวนเฉพาะเพื่อดูว่าผลหารผลลัพธ์เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ หมายเลข 51 เป็นแบบประกอบ เริ่มต้นด้วยเลข 2 เราเลือกตัวหารเฉพาะที่น้อยที่สุดของเลข 51 จากตารางเลขเฉพาะ เลข 51 หารด้วย 2 ไม่ลงตัว เราไปยังเลขถัดไปจากตารางเลขเฉพาะ (เลข 3) แล้วลองหาร 51 เราจะได้:

จำนวน 51 หารด้วย 3 ดังนั้น 3 จึงเป็นจำนวนเฉพาะตัวที่สองที่พบ ตอนนี้เราสามารถแสดงหมายเลข 51 เป็นผลิตภัณฑ์ได้ กระบวนการนี้สามารถเขียนได้ดังนี้:

102 = 2 51 = 2 3 17

เราตรวจสอบโดยใช้ตารางจำนวนเฉพาะเพื่อดูว่าผลหารผลลัพธ์เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ หมายเลข 17 นั้นเรียบง่าย ซึ่งหมายความว่าจำนวนเฉพาะที่น้อยที่สุดที่หารด้วย 17 ลงตัวจะเป็นจำนวนนี้เอง:

เนื่องจากเรามีหน่วยเป็นผลหาร การสลายตัวจึงเสร็จสมบูรณ์ ดังนั้นการสลายตัวของเลข 102 ให้เป็นตัวประกอบเฉพาะจึงมีรูปแบบ:

102 = 2 3 17

คำตอบ: 102 = 2 3 17.

ในทางคณิตศาสตร์ มีสัญลักษณ์อีกรูปแบบหนึ่งที่ช่วยในกระบวนการแยกย่อยจำนวนประกอบ ประกอบด้วยการบันทึกกระบวนการสลายตัวทั้งหมดในคอลัมน์ (เป็นสองคอลัมน์คั่นด้วยเส้นแนวตั้ง) ทางด้านซ้ายของเส้นแนวตั้ง จากบนลงล่าง เขียนตามลำดับ: จำนวนประกอบที่กำหนด จากนั้นผลหารผลลัพธ์ และทางด้านขวาของเส้น - ตัวประกอบเฉพาะที่เล็กที่สุดที่สอดคล้องกัน

ตัวอย่าง.แยกตัวประกอบของ 120 ให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ.

สารละลาย:

เราเขียนหมายเลข 120 และลากเส้นแนวตั้งทางด้านขวา:

ทางด้านขวาของเส้นเราเขียนตัวหารเฉพาะที่เล็กที่สุดของจำนวน 120:

เราทำการหารและเขียนผลหารผลหาร (60) ภายใต้ตัวเลขนี้:

เราเลือกตัวหารเฉพาะที่เล็กที่สุดสำหรับ 60 เขียนไว้ทางด้านขวาของเส้นแนวตั้งใต้ตัวหารก่อนหน้าแล้วทำการหาร เราดำเนินการต่อไปจนกว่าเราจะได้หน่วยในผลหาร:

ในผลหารเรามีหน่วยหนึ่งซึ่งหมายความว่าการสลายตัวเสร็จสมบูรณ์ หลังจากแยกย่อยออกเป็นคอลัมน์แล้ว ควรเขียนปัจจัยต่างๆ ลงในบรรทัด:

120 = 2 3 3 5.

คำตอบ: 120 = 2 3 3 5.

จำนวนประกอบสามารถแยกตัวประกอบได้ด้วยวิธีที่ไม่ซ้ำกัน

ซึ่งหมายความว่า ถ้ายกตัวอย่าง เลข 20 ถูกแบ่งออกเป็นสองสองและหนึ่งห้า มันก็จะสลายตัวในลักษณะนี้เสมอ ไม่ว่าเราจะเริ่มการสลายตัวด้วยปัจจัยเล็กๆ หรือปัจจัยที่มีขนาดใหญ่ก็ตาม เป็นเรื่องปกติที่จะเริ่มการขยายตัวด้วยปัจจัยเล็กๆ เช่น สอง สาม เป็นต้น

จำนวนธรรมชาติทุกจำนวน ยกเว้น 1 จะมีตัวหารตั้งแต่ 2 ตัวขึ้นไป เช่น เลข 7 หารลงตัวด้วย 1 และ 7 เท่านั้น กล่าวคือ มีตัวหาร 2 ตัว และเลข 8 ก็มีตัวหาร 1, 2, 4, 8 เท่ากับตัวหาร 4 ตัวในคราวเดียว

ความแตกต่างระหว่างจำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบคืออะไร?

จำนวนที่มีตัวหารมากกว่าสองตัวเรียกว่าจำนวนประกอบ ตัวเลขที่มีตัวหารเพียงสองตัว: หนึ่งและจำนวนเองเรียกว่าจำนวนเฉพาะ

เลข 1 มีเพียง 1 ส่วนเท่านั้น คือ ตัวเลขนั้นเอง หนึ่งไม่ใช่จำนวนเฉพาะหรือจำนวนประกอบ

• เช่น เลข 7 เป็นจำนวนเฉพาะ และเลข 8 เป็นจำนวนประกอบ

จำนวนเฉพาะ 10 ตัวแรก: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 จำนวน 2 เป็นจำนวนเฉพาะคู่เพียงจำนวนเดียว ส่วนจำนวนเฉพาะอื่นๆ ทั้งหมดเป็นเลขคี่

จำนวน 78 เป็นจำนวนประกอบ เนื่องจากนอกจาก 1 และตัวมันเองแล้ว ยังหารด้วย 2 ลงตัวอีกด้วย เมื่อหารด้วย 2 เราจะได้ 39 นั่นคือ 78 = 2*39 ในกรณีเช่นนี้ พวกเขาบอกว่าจำนวนนั้นถูกแยกตัวประกอบเป็น 2 และ 39

จำนวนประกอบใดๆ สามารถแยกย่อยได้เป็น 2 ตัวประกอบ ซึ่งแต่ละตัวมีค่ามากกว่า 1 เคล็ดลับนี้ใช้ไม่ได้กับจำนวนเฉพาะ ดังนั้นมันไป

แยกตัวประกอบตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ

ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น จำนวนประกอบใดๆ สามารถแยกตัวประกอบได้เป็นสองปัจจัย ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาตัวเลข 210 ตัวเลขนี้สามารถแยกตัวประกอบได้เป็น 2 ตัว คือ 21 และ 10 แต่ตัวเลข 21 และ 10 ก็เป็นจำนวนประกอบกันเหมือนกัน ลองแยกเป็น 2 ตัวประกอบกัน เราได้ 10 = 2*5, 21=3*7 และส่งผลให้เลข 210 ถูกแบ่งออกเป็น 4 ตัว คือ 2,3,5,7 ตัวเลขเหล่านี้เป็นจำนวนเฉพาะอยู่แล้วและไม่สามารถขยายได้ นั่นคือ เราแยกตัวประกอบของจำนวน 210 ให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ.

เมื่อแยกตัวประกอบจำนวนประกอบให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ มักจะเขียนตามลำดับจากน้อยไปหามาก

ควรจำไว้ว่าจำนวนประกอบใดๆ สามารถแบ่งออกเป็นตัวประกอบเฉพาะได้และด้วยวิธีเฉพาะ ขึ้นอยู่กับการเรียงสับเปลี่ยน

• โดยปกติแล้ว เมื่อแยกตัวเลขออกเป็นปัจจัยเฉพาะ จะใช้เกณฑ์การหารลงตัว

ลองแยกจำนวน 378 ให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ

เราจะเขียนตัวเลขโดยคั่นด้วยเส้นแนวตั้ง เลข 378 หารด้วย 2 ลงตัวเนื่องจากลงท้ายด้วย 8 เมื่อหารเราจะได้เลข 189 ผลรวมของเลขหลัก 189 หารด้วย 3 ลงตัว ซึ่งหมายความว่าเลข 189 เองหารด้วย 3 ลงตัว ผลลัพธ์ คือ 63

จำนวน 63 ก็หารด้วย 3 ลงตัวเช่นกันตามการหารลงตัว เราได้ 21, 21 หารด้วย 3 ได้อีกครั้ง, เราได้ 7. เจ็ดหารด้วยตัวมันเองเท่านั้น, เราได้หนึ่ง. เป็นอันเสร็จสิ้นการแบ่งส่วน ทางด้านขวาหลังเส้นคือตัวประกอบหลักที่ทำให้เลข 378 ถูกสลายไป

378|2
189|3
63|3
21|3