Как да намерим координатите на пресечната точка на дадени прави. Координати на пресечната точка на графики на функции

Когато решавате някои геометрични задачи с помощта на координатния метод, трябва да намерите координатите на пресечната точка на линиите. Най-често трябва да търсите координатите на точката на пресичане на две прави в равнина, но понякога има нужда да определите координатите на точката на пресичане на две линии в пространството. В тази статия ще се занимаваме с намирането на координатите на точката, в която се пресичат две прави.

Навигация в страницата.

Пресечната точка на две прави е определение.

Нека първо да определим пресечната точка на две прави.

По този начин, за да намерите координатите на пресечната точка на две прави, определени в равнина общи уравнения, трябва да решите система, съставена от уравнения на дадени прави.

Нека да разгледаме примерното решение.

Пример.

Намерете пресечната точка на две прави, определени в правоъгълна координатна система на равнина чрез уравненията x-9y+14=0 и 5x-2y-16=0.

Решение.

Дадени са ни две общи уравнения от линии, нека направим система от тях: . Решенията на получената система от уравнения се намират лесно чрез решаване на нейното първо уравнение по отношение на променливата x и заместване на този израз във второто уравнение:

Намереното решение на системата от уравнения ни дава желаните координати на пресечната точка на две прави.

Отговор:

M 0 (4, 2) x-9y+14=0 и 5x-2y-16=0 .

И така, намирането на координатите на пресечната точка на две прави линии, определени от общи уравнения на равнината, се свежда до решаване на система от две линейни уравненияс две неизвестни променливи. Но какво ще стане, ако линиите в равнина не са дадени от общи уравнения, а от уравнения от различен тип (виж видовете уравнения на права в равнина)? В тези случаи можете първо да намалите уравненията на линиите до обща форма и едва след това да намерите координатите на пресечната точка.

Пример.

И .

Решение.

Преди да намерим координатите на пресечната точка на дадените прави, свеждаме техните уравнения до общ вид. Преход от параметрични уравнения на права линия към общото уравнение на тази линия е както следва:

Сега нека извършим необходимите действия с каноничното уравнение на правата линия:

По този начин желаните координати на пресечната точка на линиите са решението на система от уравнения от вида . За да го разрешим, използваме:

Отговор:

М 0 (-5, 1)

Има и друг начин за намиране на координатите на пресечната точка на две прави в равнина. Удобно е да се използва, когато една от линиите е дадена с параметрични уравнения на формата , а другото е уравнение на права линия от различен тип. В този случай в друго уравнение вместо променливите x и y можете да замените изразите И , откъдето ще бъде възможно да се получи стойността, която съответства на пресечната точка на дадените линии. В този случай точката на пресичане на линиите има координати.

Нека намерим координатите на пресечната точка на правите от предишния пример, използвайки този метод.

Пример.

Определете координатите на пресечната точка на линиите И .

Решение.

Нека заместим израза с права линия в уравнението:

След като решим полученото уравнение, получаваме. Тази стойност съответства на общата точка на линиите И . Изчисляваме координатите на пресечната точка, като заместваме права линия в параметричните уравнения:
.

Отговор:

M 0 (-5, 1) .

За да бъде пълна картината, трябва да се обсъди още един момент.

Преди да намерите координатите на пресечната точка на две прави в равнина, е полезно да се уверите, че дадените прави действително се пресичат. Ако се окаже, че оригиналните линии съвпадат или са успоредни, тогава не може да има въпрос за намиране на координатите на пресечната точка на такива линии.

Можете, разбира се, да направите без такава проверка и веднага да създадете система от уравнения на формата и го разреши. Ако система от уравнения има уникално решение, тогава тя дава координатите на точката, в която се пресичат оригиналните линии. Ако системата от уравнения няма решения, тогава можем да заключим, че оригиналните прави са успоредни (тъй като няма двойка реални числа x и y, които да удовлетворяват едновременно и двете уравнения на дадените прави). От наличието на безкраен брой решения на система от уравнения следва, че оригиналните прави линии имат безкрайно много общи точки, тоест съвпадат.

Нека да разгледаме примери, които отговарят на тези ситуации.

Пример.

Разберете дали линиите и се пресичат и ако се пресичат, намерете координатите на пресечната точка.

Решение.

Дадените уравнения на прави съответстват на уравненията И . Нека решим системата, съставена от тези уравнения .

Очевидно е, че уравненията на системата се изразяват линейно едно през друго (второто уравнение на системата се получава от първото чрез умножаване на двете му части по 4), следователно системата от уравнения има безкраен брой решения. Така уравненията определят една и съща линия и не можем да говорим за намиране на координатите на пресечната точка на тези линии.

Отговор:

Уравненията и определят една и съща права линия в правоъгълната координатна система Oxy, така че не можем да говорим за намиране на координатите на пресечната точка.

Пример.

Намерете координатите на пресечната точка на линиите И , ако е възможно.

Решение.

Условието на задачата позволява линиите да не се пресичат. Нека създадем система от тези уравнения. Нека приложим, за да го решим, тъй като ни позволява да установим съвместимостта или несъвместимостта на система от уравнения и ако е съвместима, да намерим решение:

Последното уравнение на системата след директното преминаване на метода на Гаус се превърна в неправилно равенство, следователно системата от уравнения няма решения. От това можем да заключим, че оригиналните прави са успоредни и не можем да говорим за намиране на координатите на пресечната точка на тези прави.

Второ решение.

Нека разберем дали дадените прави се пресичат.

- вектор на нормална линия , и векторът е вектор с нормална линия . Да проверим изпълнението И : равенство е вярно, тъй като, следователно, нормалните вектори на дадените прави са колинеарни. Тогава тези прави са успоредни или съвпадащи. Така не можем да намерим координатите на пресечната точка на оригиналните линии.

Отговор:

Невъзможно е да се намерят координатите на пресечната точка на дадените прави, тъй като тези прави са успоредни.

Пример.

Намерете координатите на пресечната точка на правите 2x-1=0 и , ако се пресичат.

Решение.

Нека съставим система от уравнения, които са общи уравнения на дадени прави: . Детерминантата на основната матрица на тази система от уравнения е различна от нула , следователно системата от уравнения има единствено решение, което показва пресечната точка на дадените прави.

За да намерим координатите на пресечната точка на линиите, трябва да решим системата:

Полученото решение ни дава координатите на пресечната точка на линиите, т.е. 2x-1=0 и .

Отговор:

Намиране на координатите на пресечната точка на две прави в пространството.

По подобен начин се намират координатите на пресечната точка на две прави в тримерното пространство.

Нека разгледаме решенията на примерите.

Пример.

Намерете координатите на пресечната точка на две прави, дадени в пространството от уравненията И .

Решение.

Нека създадем система от уравнения от уравненията на дадените редове: . Решението на тази система ще ни даде желаните координати на пресечната точка на линиите в пространството. Нека намерим решението на писмената система от уравнения.

Основната матрица на системата има формата и разширено - .

Да дефинираме A и ранга на матрицата T. Ние използваме

В двумерното пространство две линии се пресичат само в една точка, определена от координатите (x,y). Тъй като и двете линии минават през пресечната си точка, координатите (x,y) трябва да удовлетворяват и двете уравнения, които описват тези линии. С някои допълнителни умения можете да намерите пресечните точки на параболи и други квадратни криви.

стъпки

Пресечната точка на две прави

Напишете уравнението на всеки ред, като изолирате променливата "y" от лявата страна на уравнението.Другите членове на уравнението трябва да бъдат поставени от дясната страна на уравнението. Може би даденото ви уравнение ще съдържа променливата f(x) или g(x) вместо "y"; в този случай изолирайте такава променлива. За да изолирате променлива, извършете подходящата математика от двете страни на уравнението.

• Ако уравненията на линиите не са ви дадени, въз основа на информацията, която знаете.
• Пример. Дадени са прави линии, описани с уравнения и y − 12 = − 2 x (\displaystyle y-12=-2x). За да изолирате „y“ във второто уравнение, добавете числото 12 към двете страни на уравнението:

1. Търсите пресечната точка на двете прави, тоест точка, чиито координати (x, y) удовлетворяват и двете уравнения. Тъй като променливата "y" е от лявата страна на всяко уравнение, изразите, разположени от дясната страна на всяко уравнение, могат да бъдат приравнени. Напишете ново уравнение.

   • Пример. защото y = x + 3 (\displaystyle y=x+3)И y = 12 − 2 x (\displaystyle y=12-2x), тогава можем да запишем следното равенство: .

2. Намерете стойността на променливата "x".Новото уравнение съдържа само една променлива, "x". За да намерите "x", изолирайте тази променлива от лявата страна на уравнението, като извършите подходящата математика от двете страни на уравнението. Трябва да получите уравнение от формата x = __ (ако не можете да направите това, вижте този раздел).

   • Пример. x + 3 = 12 − 2 x (\displaystyle x+3=12-2x)
   • Добавете 2 x (\displaystyle 2x)към всяка страна на уравнението:
   • 3 x + 3 = 12 (\displaystyle 3x+3=12)
   • Извадете 3 от всяка страна на уравнението:
   • 3 x = 9 (\displaystyle 3x=9)
   • Разделете всяка страна на уравнението на 3:
   • x = 3 (\displaystyle x=3).

3. Използвайте намерената стойност на променливата "x", за да изчислите стойността на променливата "y".За да направите това, заменете намерената стойност на „x“ в уравнението (което и да е) на правата линия.

   • Пример. x = 3 (\displaystyle x=3)И y = x + 3 (\displaystyle y=x+3)
   • y = 3 + 3 (\displaystyle y=3+3)
   • y = 6 (\displaystyle y=6)

4. Проверете отговора.За да направите това, заместете стойността на „x“ в другото уравнение на линията и намерете стойността на „y“. Ако получите различен смисъл"y", проверете правилността на вашите изчисления.

   • Пример: x = 3 (\displaystyle x=3)И y = 12 − 2 x (\displaystyle y=12-2x)
   • y = 12 − 2 (3) (\displaystyle y=12-2(3))
   • y = 12 − 6 (\displaystyle y=12-6)
   • y = 6 (\displaystyle y=6)
   • Получихте същата стойност за y, така че няма грешки в изчисленията ви.

5. Запишете координатите (x,y).След като изчислите стойностите на "x" и "y", вие сте намерили координатите на пресечната точка на две линии. Запишете координатите на пресечната точка във форма (x,y).

   • Пример. x = 3 (\displaystyle x=3)И y = 6 (\displaystyle y=6)
   • Така две прави линии се пресичат в точка с координати (3,6).

6. Изчисления в специални случаи.В някои случаи стойността на променливата "x" не може да бъде намерена. Но това не означава, че сте направили грешка. Специален случайвъзниква, когато е изпълнено едно от следните условия:

   • Ако две прави са успоредни, те не се пресичат. В този случай променливата "x" просто ще бъде намалена и вашето уравнение ще се превърне в безсмислено равенство (например, 0 = 1 (\displaystyle 0=1)). В този случай запишете в отговора си, че правите не се пресичат или няма решение.
   • Ако и двете уравнения описват една права линия, тогава ще има безкраен брой пресечни точки. В този случай променливата "x" просто ще бъде намалена и вашето уравнение ще се превърне в строго равенство (например, 3 = 3 (\displaystyle 3=3)). В този случай запишете в отговора си, че двете линии съвпадат.

   Задачи с квадратични функции

   1. Дефиниция на квадратична функция.В квадратична функция една или повече променливи имат втора степен (но не по-висока), например, x 2 (\displaystyle x^(2))или y 2 (\displaystyle y^(2)). Графиките на квадратични функции са криви, които може да не се пресичат или да се пресичат в една или две точки. В този раздел ще ви кажем как да намерите пресечната точка или точки на квадратични криви.

   2. Пренапишете всяко уравнение, като изолирате променливата "y" от лявата страна на уравнението.Другите членове на уравнението трябва да бъдат поставени от дясната страна на уравнението.

      • Пример. Намерете пресечната(ите) точка(и) на графиките x 2 + 2 x − y = − 1 (\displaystyle x^(2)+2x-y=-1)И
      • Изолирайте променливата "y" от лявата страна на уравнението:
      • И y = x + 7 (\displaystyle y=x+7) .
      • В този пример ви е дадена една квадратична функция и една линейна функция. Помнете, че ако ви дадат две квадратични функции, изчисленията са подобни на стъпките, описани по-долу.

   3. Приравнете изразите от дясната страна на всяко уравнение.Тъй като променливата "y" е от лявата страна на всяко уравнение, изразите, разположени от дясната страна на всяко уравнение, могат да бъдат приравнени.

      • Пример. y = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle y=x^(2)+2x+1)И y = x + 7 (\displaystyle y=x+7)

   4. Прехвърлете всички членове на полученото уравнение в лявата му страна и напишете 0 от дясната страна.За да направите това, направете някои основни математически изчисления. Това ще ви позволи да решите полученото уравнение.

      • Пример. x 2 + 2 x + 1 = x + 7 (\displaystyle x^(2)+2x+1=x+7)
      • Извадете "x" от двете страни на уравнението:
      • x 2 + x + 1 = 7 (\displaystyle x^(2)+x+1=7)
      • Извадете 7 от двете страни на уравнението:

   5. Реши квадратно уравнение. Като преместите всички членове на уравнението в лявата му страна, получавате квадратно уравнение. Може да се реши по три начина: с помощта на специална формула и.

      • Пример. x 2 + x − 6 = 0 (\displaystyle x^(2)+x-6=0)
      • Когато факторизирате уравнение, получавате два бинома, които, когато се умножат, ви дават оригиналното уравнение. В нашия пример, първият член x 2 (\displaystyle x^(2))може да се разложи на x * x. Запишете това: (x)(x) = 0
      • В нашия пример свободният член -6 може да бъде факторизиран в следните фактори: − 6 ∗ 1 (\displaystyle -6*1), − 3 ∗ 2 (\displaystyle -3*2), − 2 ∗ 3 (\displaystyle -2*3), − 1 ∗ 6 (\displaystyle -1*6).
      • В нашия пример вторият член е x (или 1x). Добавете всяка двойка множители на фиктивния член (в нашия пример -6), докато получите 1. В нашия пример подходящата двойка множители на фиктивния член са числата -2 и 3 ( − 2 ∗ 3 = − 6 (\displaystyle -2*3=-6)), защото − 2 + 3 = 1 (\displaystyle -2+3=1).
      • Попълнете празните места с намерената двойка числа: .

   6. Не забравяйте за втората точка на пресичане на двете графики.Ако решите проблема бързо и не много внимателно, можете да забравите за втората пресечна точка. Ето как да намерите координатите x на две пресечни точки:

      • Пример (разлагане на множители). Ако в ур. (x − 2) (x + 3) = 0 (\displaystyle (x-2)(x+3)=0)един от изразите в скоби ще бъде равен на 0, тогава цялото уравнение ще бъде равно на 0. Следователно можем да го запишем така: x − 2 = 0 (\displaystyle x-2=0) → x = 2 (\displaystyle x=2) И x + 3 = 0 (\displaystyle x+3=0) → x = − 3 (\displaystyle x=-3) (тоест намерихте два корена на уравнението).
      • Пример (използване на формула или попълване на перфектен квадрат). Когато използвате един от тези методи, решението ще се появи Корен квадратен. Например, уравнението от нашия пример ще приеме формата x = (− 1 + 25) / 2 (\displaystyle x=(-1+(\sqrt (25)))/2). Не забравяйте, че когато вземете квадратен корен, ще получите две решения. В нашия случай: 25 = 5 ∗ 5 (\displaystyle (\sqrt (25))=5*5), И 25 = (− 5) ∗ (− 5) (\displaystyle (\sqrt (25))=(-5)*(-5)). Така че напишете две уравнения и намерете две стойности на x.

   7. Графиките се пресичат в една точка или изобщо не се пресичат.Такива ситуации възникват, ако са изпълнени следните условия:

      • Ако графиките се пресичат в една точка, тогава квадратното уравнение се разлага на еднакви множители, например (x-1) (x-1) = 0 и квадратният корен от 0 се появява във формулата ( 0 (\displaystyle (\sqrt (0)))). В този случай уравнението има само едно решение.
      • Ако графиките изобщо не се пресичат, тогава уравнението не може да бъде факторизирано и квадратният корен от отрицателно число(Например, − 2 (\displaystyle (\sqrt (-2)))). В този случай напишете в отговора си, че няма решение.

1. За да намерите координатите на пресечната точка на графиките на функциите, трябва да приравните двете функции една към друга, да преместите всички членове, съдържащи $ x $ в лявата страна, а останалите в дясната страна и да намерите корените на полученото уравнение.
2. Вторият метод е да се създаде система от уравнения и да се реши чрез заместване на една функция с друга
3. Третият метод включва графично конструиране на функции и визуално определяне на пресечната точка.

Случаят на две линейни функции

Нека разгледаме две линейни функции$ f(x) = k_1 x+m_1 $ и $ g(x) = k_2 x + m_2 $. Тези функции се наричат ​​директни. Доста лесно е да ги конструирате; трябва да вземете произволни две стойности $ x_1 $ и $ x_2 $ и да намерите $ f(x_1) $ и $ (x_2) $. След това повторете същото с функцията $ g(x) $. След това намерете визуално координатата на пресечната точка на графиките на функцията.

Трябва да знаете, че линейните функции имат само една пресечна точка и само когато $ k_1 \neq k_2 $. В противен случай, в случай $ k_1=k_2 $ функциите са успоредни една на друга, тъй като $ k $ е коефициентът на наклона. Ако $ k_1 \neq k_2 $, но $ m_1=m_2 $, тогава пресечната точка ще бъде $ M(0;m) $. Препоръчително е да запомните това правило за бързо решаване на проблеми.

Случаят на две нелинейни функции