Общо решение на диференциални уравнения. Диференциални уравнения

I. Обикновени диференциални уравнения

1.1. Основни понятия и определения

Диференциалното уравнение е уравнение, което свързва независима променлива х, необходимата функция ги неговите производни или диференциали.

Символично диференциалното уравнение се записва по следния начин:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Диференциалното уравнение се нарича обикновено, ако търсената функция зависи от една независима променлива.

С решение диференциално уравнение се нарича функция, която превръща това уравнение в идентичност.

Редът на диференциалното уравнениее порядъкът на най-високата производна, включена в това уравнение

Примери.

1. Разгледайте диференциално уравнение от първи ред

Решението на това уравнение е функцията y = 5 ln x. Наистина, заместване y"в уравнението, получаваме идентичността.

И това означава, че функцията y = 5 ln x– е решение на това диференциално уравнение.

2. Разгледайте диференциалното уравнение от втори ред y" - 5y" +6y = 0. Функцията е решението на това уравнение.

Наистина ли, .

Замествайки тези изрази в уравнението, получаваме: , – идентичност.

И това означава, че функцията е решението на това диференциално уравнение.

Интегриране на диференциални уравненияе процес на намиране на решения на диференциални уравнения.

Общо решение на диференциалното уравнениенаречена функция на формата , което включва толкова независими произволни константи, колкото е редът на уравнението.

Частично решение на диференциалното уравнениее решение, получено от общо решение за различни числени стойности на произволни константи. Стойностите на произволни константи се намират при определени начални стойности на аргумента и функцията.

Графиката на конкретно решение на диференциално уравнение се нарича интегрална крива.

Примери

1. Намерете конкретно решение на диференциално уравнение от първи ред

xdx + ydy = 0, Ако г= 4 at х = 3.

Решение. Интегрирайки двете страни на уравнението, получаваме

Коментирайте. Произволна константа C, получена в резултат на интегриране, може да бъде представена във всяка форма, удобна за по-нататъшни трансформации. В този случай, като се вземе предвид каноничното уравнение на кръг, е удобно да се представи произволна константа C във формата.

- общо решениедиференциално уравнение.

Частно решение на уравнението, удовлетворяващо началните условия г = 4 at х = 3 се намира от общото чрез заместване на началните условия в общото решение: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Замествайки C=5 в общото решение, получаваме x 2 + y 2 = 5 2 .

Това е конкретно решение на диференциално уравнение, получено от общо решение при дадени начални условия.

2. Намерете общото решение на диференциалното уравнение

Решението на това уравнение е всяка функция от формата , където C е произволна константа. Действително, замествайки , в уравненията, получаваме: , .

Следователно това диференциално уравнение има безкраен брой решения, тъй като за различни стойности на константата C равенството определя различни решенияуравнения

Например чрез директно заместване можете да проверите дали функциите са решения на уравнението.

Задача, в която трябва да намерите определено решение на уравнението y" = f(x,y)удовлетворяващи първоначалното условие y(x 0) = y 0, се нарича проблем на Коши.

Решаване на уравнението y" = f(x,y), отговарящи на началното условие, y(x 0) = y 0, се нарича решение на задачата на Коши.

Решението на задачата на Коши има просто геометрично значение. Всъщност, според тези дефиниции, решете проблема на Коши y" = f(x,y)предвид това y(x 0) = y 0, означава да се намери интегралната крива на уравнението y" = f(x,y)който преминава през дадена точка M 0 (x 0,y 0).

II. Диференциални уравнения от първи ред

2.1. Основни понятия

Диференциалното уравнение от първи ред е уравнение на формата F(x,y,y") = 0.

Диференциалното уравнение от първи ред включва първата производна и не включва производни от по-висок ред.

Уравнението y" = f(x,y)се нарича уравнение от първи ред, решено по отношение на производната.

Общото решение на диференциално уравнение от първи ред е функция от формата , която съдържа една произволна константа.

Пример.Разгледайте диференциално уравнение от първи ред.

Решението на това уравнение е функцията.

Наистина, замествайки това уравнение с неговата стойност, получаваме

това е 3x=3x

Следователно функцията е общо решение на уравнението за всяка константа C.

Намерете конкретно решение на това уравнение, което удовлетворява началното условие y(1)=1Заместване на началните условия x = 1, y = 1в общото решение на уравнението, получаваме откъде C=0.

Така получаваме конкретно решение от общото, като заместваме в това уравнение получената стойност C=0– частно решение.

2.2. Диференциални уравнения с разделими променливи

Диференциално уравнение с разделими променливи е уравнение от формата: y"=f(x)g(y)или чрез диференциали, където f(x)И g(y)– определени функции.

За тези г, за които , уравнението y"=f(x)g(y)е еквивалентно на уравнението, в която променливата гприсъства само от лявата страна, а променливата x е само от дясната страна. Те казват, „в ур. y"=f(x)g(yНека разделим променливите."

Уравнение на формата наречено уравнение с отделена променлива.

Интегриране на двете страни на уравнението от х, получаваме G(y) = F(x) + Cе общото решение на уравнението, където G(y)И F(x)– някои антипроизводни, съответно на функции и f(x), ° Спроизволна константа.

Алгоритъм за решаване на диференциално уравнение от първи ред с разделими променливи

Пример 1

Решете уравнението y" = xy

Решение. Производна на функция y"заменете го с

нека разделим променливите

Нека интегрираме двете страни на равенството:

Пример 2

2yy" = 1- 3x 2, Ако y 0 = 3при х 0 = 1

Това е уравнение с отделена променлива. Нека си го представим в диференциали. За да направим това, пренаписваме това уравнение във формата Оттук

Интегрирайки двете страни на последното равенство, намираме

Заместване на първоначалните стойности x 0 = 1, y 0 = 3ще намерим СЪС 9=1-1+° С, т.е. С = 9.

Следователно исканият частичен интеграл ще бъде или

Пример 3

Напишете уравнение за крива, минаваща през точка M(2;-3)и имаща тангенс с ъглов коефициент

Решение. Според състоянието

Това е уравнение с разделими променливи. Разделяйки променливите, получаваме:

Интегрирайки двете страни на уравнението, получаваме:

Използвайки началните условия, х = 2И y = - 3ще намерим ° С:

Следователно търсеното уравнение има вида

2.3. Линейни диференциални уравнения от първи ред

Линейно диференциално уравнение от първи ред е уравнение от формата y" = f(x)y + g(x)

Където f(x)И g(x)- някои определени функции.

Ако g(x)=0тогава линейното диференциално уравнение се нарича хомогенно и има формата: y" = f(x)y

Ако тогава уравнението y" = f(x)y + g(x)наречени разнородни.

Общо решение на линейно хомогенно диференциално уравнение y" = f(x)yсе дава по формулата: където СЪС– произволна константа.

По-специално, ако C =0,тогава решението е y = 0Ако едно линейно хомогенно уравнение има формата y" = kyКъдето ке някаква константа, тогава нейното общо решение има формата: .

Общо решение на линейно нехомогенно диференциално уравнение y" = f(x)y + g(x)се дава по формулата ,

тези. е равно на сумата от общото решение на съответното линейно хомогенно уравнение и частното решение на това уравнение.

За линейно нехомогенно уравнение от вида y" = kx + b,

Където кИ b- някои числа и определено решение ще бъдат постоянна функция. Следователно общото решение има формата .

Пример. Решете уравнението y" + 2y +3 = 0

Решение. Нека представим уравнението във формата y" = -2y - 3Където k = -2, b = -3Общото решение се дава с формулата.

Следователно, където C е произволна константа.

2.4. Решаване на линейни диференциални уравнения от първи ред по метода на Бернули

Намиране на общо решение на линейно диференциално уравнение от първи ред y" = f(x)y + g(x)свежда до решаване на две диференциални уравнения с разделени променливи чрез заместване y=uv, Където uИ v- неизвестни функции от х. Този метод на решение се нарича метод на Бернули.

Алгоритъм за решаване на линейно диференциално уравнение от първи ред

y" = f(x)y + g(x)

1. Въведете заместване y=uv.

2. Диференцирайте това равенство y" = u"v + uv"

3. Заместник гИ y"в това уравнение: u"v + uv" =f(x)uv + g(x)или u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Групирайте членовете на уравнението така, че uизвадете го от скоби:

5. От скобата, приравнявайки я на нула, намерете функцията

Това е разделимо уравнение:

Нека разделим променливите и да получим:

Където . .

6. Заменете получената стойност vв уравнението (от стъпка 4):

и намерете функцията Това е уравнение с разделими променливи:

7. Напишете общото решение във формата: , т.е. .

Пример 1

Намерете конкретно решение на уравнението y" = -2y +3 = 0Ако y=1при х = 0

Решение. Нека го решим чрез заместване y=uv,.y" = u"v + uv"

Заместване гИ y"в това уравнение, получаваме

Като групираме втория и третия член от лявата страна на уравнението, премахваме общия множител u извън скоби

Приравняваме израза в скоби към нула и след като решим полученото уравнение, намираме функцията v = v(x)

Получаваме уравнение с разделени променливи. Нека интегрираме двете страни на това уравнение: Намерете функцията v:

Нека заместим получената стойност vв уравнението, което получаваме:

Това е уравнение с отделена променлива. Нека интегрираме двете страни на уравнението: Нека намерим функцията u = u(x,c) Нека намерим общо решение: Нека намерим конкретно решение на уравнението, което удовлетворява началните условия y = 1при х = 0:

III. Диференциални уравнения от по-висок ред

3.1. Основни понятия и определения

Диференциално уравнение от втори ред е уравнение, съдържащо производни от не по-висок от втори ред. В общия случай диференциалното уравнение от втори ред се записва като: F(x,y,y",y") = 0

Общото решение на диференциално уравнение от втори ред е функция от формата , която включва две произволни константи C 1И C 2.

Конкретно решение на диференциално уравнение от втори ред е решение, получено от общо решение за определени стойности на произволни константи C 1И C 2.

3.2. Линейни хомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти.

Линейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициентинаречено уравнение на формата y" + py" +qy = 0, Където стрИ р- постоянни стойности.

Алгоритъм за решаване на хомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти

1. Напишете диференциалното уравнение във формата: y" + py" +qy = 0.

2. Съставете характеристичното му уравнение, като обозначите y"през r 2, y"през r, гв 1: r 2 + pr + q = 0

6.1. ОСНОВНИ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

При решаването на различни задачи по математика и физика, биология и медицина доста често не е възможно веднага да се установи функционална връзка под формата на формула, свързваща променливите, които описват изследвания процес. Обикновено трябва да използвате уравнения, които съдържат, в допълнение към независимата променлива и неизвестната функция, също и нейните производни.

Определение.Извиква се уравнение, свързващо независима променлива, неизвестна функция и нейните производни от различен порядък диференциал.

Обикновено се обозначава неизвестна функция y(x)или просто y,и неговите производни - y", y"и т.н.

Възможни са и други обозначения, например: ако г= x(t), тогава x"(t), x""(t)- неговите производни, и T- независима променлива.

Определение.Ако една функция зависи от една променлива, тогава диференциалното уравнение се нарича обикновено. Обща форма обикновено диференциално уравнение:

или

Функции ЕИ fможе да не съдържа някои аргументи, но за да бъдат уравненията диференциални, наличието на производна е от съществено значение.

Определение.Редът на диференциалното уравнениесе нарича порядъкът на включената в него най-висока производна.

Например, x 2 y"- г= 0, y" + sin х= 0 са уравнения от първи ред, и y"+ 2 y"+ 5 г= х- уравнение от втори ред.

При решаване на диференциални уравнения се използва операцията интегриране, която е свързана с появата на произволна константа. Ако се приложи интеграционното действие нпъти, тогава, очевидно, решението ще съдържа нпроизволни константи.

6.2. ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ ОТ ПЪРВИ РЯД

Обща форма диференциално уравнение от първи редсе определя от израза

Уравнението може да не съдържа изрично хИ y,но задължително съдържа y".

Ако уравнението може да бъде написано като

тогава получаваме диференциално уравнение от първи ред, разрешено по отношение на производната.

Определение.Общото решение на диференциалното уравнение от първи ред (6.3) (или (6.4)) е множеството от решения , Където СЪС- произволна константа.

Графиката на решението на диференциално уравнение се нарича интегрална крива.

Даване на произволна константа СЪСразлични стойности, могат да се получат частични решения. На повърхността xOyобщото решение е семейство от интегрални криви, съответстващи на всяко конкретно решение.

Ако поставите точка A (x 0, y 0),през които трябва да премине интегралната крива, тогава, като правило, от набор от функции Може да се открои едно - частно решение.

Определение.Частно решениена диференциално уравнение е неговото решение, което не съдържа произволни константи.

Ако е общо решение, то от условието

можете да намерите константа СЪС.Условието се нарича първоначално състояние.

Проблемът за намиране на конкретно решение на диференциалното уравнение (6.3) или (6.4), удовлетворяващо началното условие при Наречен Проблем на Коши.Този проблем винаги ли има решение? Отговорът се съдържа в следната теорема.

Теорема на Коши(теорема за съществуване и единственост на решение). Пуснете диференциалното уравнение y"= f(x,y)функция f(x,y)и тя

частична производна определени и непрекъснати в някои

регион Д,съдържаща точка След това в района дсъществува

единственото решение на уравнението, което удовлетворява началното условие при

Теоремата на Коши гласи, че при определени условия има уникална интегрална крива г= f(x),преминаващ през точка Точки, в които не са изпълнени условията на теоремата

Коши се наричат специален.В тези точки се счупва f(x, y) или.

Няколко интегрални криви или нито една не минават през особена точка.

Определение.Ако решението (6.3), (6.4) се намери във формата f(x, y, ° С)= 0, не е позволено спрямо y, тогава се извиква общ интеграл диференциално уравнение.

Теоремата на Коши гарантира само съществуването на решение. Тъй като няма единичен метод за намиране на решение, ще разгледаме само някои видове диференциални уравнения от първи ред, които могат да бъдат интегрирани в квадратури.

Определение.Диференциалното уравнение се нарича интегрируеми в квадратури,ако намирането на неговото решение се свежда до интегриране на функции.

6.2.1. Диференциални уравнения от първи ред с разделими променливи

Определение.Диференциално уравнение от първи ред се нарича уравнение с разделими променливи,

Дясната страна на уравнение (6.5) е произведението на две функции, всяка от които зависи само от една променлива.

Например уравнението е уравнение с разделяне

с променливи
и уравнението

не могат да бъдат представени във формата (6.5).

Като се има предвид това , пренаписваме (6.5) във формата

От това уравнение получаваме диференциално уравнение с разделени променливи, в което диференциалите са функции, които зависят само от съответната променлива:

Интегрирайки термин по термин, имаме

където C = C 2 - C 1 - произволна константа. Израз (6.6) е общият интеграл на уравнение (6.5).

Като разделим двете страни на уравнение (6.5) на, можем да загубим тези решения, за които, Наистина, ако при

Че очевидно е решение на уравнение (6.5).

Пример 1.Намерете решение на уравнението, което удовлетворява

състояние: г= 6 at х= 2 (г(2) = 6).

Решение.Ние ще заменим y"тогава . Умножете двете страни по

dx,тъй като по време на по-нататъшната интеграция е невъзможно да се напусне dxв знаменателя:

и след това разделяне на двете части на получаваме уравнението,

които могат да бъдат интегрирани. Нека интегрираме:

Тогава ; потенциране, получаваме y = C. (x + 1) - ob-

общо решение.

Използвайки първоначалните данни, ние определяме произволна константа, като ги заместваме в общото решение

Накрая получаваме г= 2(x + 1) е конкретно решение. Нека да разгледаме още няколко примера за решаване на уравнения с разделими променливи.

Пример 2.Намерете решението на уравнението

Решение.Като се има предвид това , получаваме .

Интегрирайки двете страни на уравнението, имаме

където

Пример 3.Намерете решението на уравнението Решение.Разделяме двете страни на уравнението на онези фактори, които зависят от променлива, която не съвпада с променливата под диференциалния знак, т.е. и интегрирайте. Тогава получаваме

и накрая

Пример 4.Намерете решението на уравнението

Решение.Като знаем какво ще получим. Раздел

lim променливи. Тогава

Интегрирайки, получаваме

Коментирайте.В примери 1 и 2 търсената функция е гизразено експлицитно (общо решение). В примери 3 и 4 - неявно (общ интеграл). В бъдеще формата на решението няма да бъде уточнена.

Пример 5.Намерете решението на уравнението Решение.

Пример 6.Намерете решението на уравнението , задоволително

състояние y(e)= 1.

Решение.Нека напишем уравнението във формата

Умножавайки двете страни на уравнението по dxи нататък, получаваме

Интегрирайки двете страни на уравнението (интегралът от дясната страна се взема на части), получаваме

Но според състоянието г= 1 at х= д. Тогава

Нека заместим намерените стойности СЪСкъм общото решение:

Полученият израз се нарича частично решение на диференциалното уравнение.

6.2.2. Хомогенни диференциални уравнения от първи ред

Определение.Диференциалното уравнение от първи ред се нарича хомогенен,ако може да се представи във формата

Нека представим алгоритъм за решаване на хомогенно уравнение.

1.Вместо това гтогава нека въведем нова функция и следователно

2. По отношение на функцията uуравнение (6.7) приема формата

тоест заместването редуцира едно хомогенно уравнение до уравнение с разделими променливи.

3. Решавайки уравнение (6.8), първо намираме u и след това г= ux.

Пример 1.Решете уравнението Решение.Нека напишем уравнението във формата

Правим замяната:
Тогава

Ние ще заменим

Умножете по dx: Разделете на хи на Тогава

След като сме интегрирали двете страни на уравнението върху съответните променливи, имаме

или, връщайки се към старите променливи, най-накрая получаваме

Пример 2.Решете уравнението Решение.Позволявам Тогава

Нека разделим двете страни на уравнението на х2: Нека отворим скобите и пренаредим термините:

Преминавайки към старите променливи, стигаме до крайния резултат:

Пример 3.Намерете решението на уравнението предвид това

Решение.Извършване на стандартна подмяна получаваме

или

или

Това означава, че конкретното решение има формата Пример 4.Намерете решението на уравнението

Решение.

Пример 5.Намерете решението на уравнението Решение.

Самостоятелна работа

Намерете решения на диференциални уравнения с разделими променливи (1-9).

Намерете решение на хомогенни диференциални уравнения (9-18).

6.2.3. Някои приложения на диференциални уравнения от първи ред

Проблем с радиоактивното разпадане

Скоростта на разпадане на Ra (радий) във всеки момент от времето е пропорционална на наличната му маса. Намерете закона за радиоактивното разпадане на Ra, ако е известно, че в началния момент е имало Ra и времето на полуразпад на Ra е 1590 години.

Решение.Нека в момента масата Ra е х= x(t) g и Тогава скоростта на разпадане Ra е равна на

Според условията на проблема

Където к

Разделяйки променливите в последното уравнение и интегрирайки, получаваме

където

За определяне ° Сизползваме началното условие: когато .

Тогава и следователно,

Фактор на пропорционалност копределен от допълнително условие:

Ние имаме

Оттук и необходимата формула

Проблем със скоростта на размножаване на бактерии

Скоростта на размножаване на бактериите е пропорционална на техния брой. В началото имаше 100 бактерии. В рамките на 3 часа броят им се удвоява. Намерете зависимостта на броя на бактериите от времето. Колко пъти ще се увеличи броят на бактериите в рамките на 9 часа?

Решение.Позволявам х- брой бактерии в даден момент T.Тогава, според условието,

Където к- коефициент на пропорционалност.

Оттук От условието се знае, че . означава,

От допълнителното условие . Тогава

Функцията, която търсите:

Така че, когато T= 9 х= 800, т.е. за 9 часа броят на бактериите се е увеличил 8 пъти.

Проблемът с увеличаването на количеството ензим

В културата на бирена мая скоростта на растеж на активния ензим е пропорционална на първоначалното му количество х.Първоначално количество ензим асе удвои в рамките на час. Намерете зависимост

x(t).

Решение.По условие диференциалното уравнение на процеса има вида

оттук

Но . означава, ° С= аи тогава

Известно е също, че

следователно

6.3. ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ ВТОРИ РЯД

6.3.1. Основни понятия

Определение.Диференциално уравнение от втори реде отношение, което свързва независимата променлива, желаната функция и нейните първа и втора производни.

В специални случаи x може да липсва в уравнението, приили y". Уравнението от втори ред обаче задължително трябва да съдържа y." В общия случай диференциалното уравнение от втори ред се записва като:

или, ако е възможно, във формата, разрешена по отношение на втората производна:

Както в случая на уравнение от първи ред, за уравнение от втори ред може да има общи и частни решения. Общото решение е:

Намиране на конкретно решение

при начални условия – дадени

числа) се нарича Проблем на Коши.Геометрично това означава, че трябва да намерим интегралната крива при= y(x),преминаващ през дадена точка и има допирателна в тази точка, която е

подравнява с положителната посока на оста Волопределен ъгъл. д. (фиг. 6.1). Проблемът на Коши има уникално решение, ако дясната страна на уравнение (6.10), непрестанен

е прекъснат и има непрекъснати частни производни по отношение на ъъъъ"в някакъв квартал на началната точка

За намиране на константи включена в частно решение, системата трябва да бъде разрешена

Ориз. 6.1.Интегрална крива

Решаване на диференциални уравнения. Благодарение на нашите онлайн услугаМожете да решавате диференциални уравнения от всякакъв вид и сложност: нехомогенни, хомогенни, нелинейни, линейни, от първи, втори ред, с разделими или неразделими променливи и др. Получавате решение на диференциални уравнения в аналитична форма с Подробно описание. Много хора се интересуват: защо е необходимо да се решават диференциални уравнения онлайн? Този видуравнения е много често срещано в математиката и физиката, където ще бъде невъзможно да се решат много проблеми без изчисляване на диференциалното уравнение. Диференциалните уравнения също са често срещани в икономиката, медицината, биологията, химията и други науки. Решението на такова уравнение е онлайн режимТова значително улеснява задачите ви, дава ви възможност да разберете по-добре материала и да се изпитате. Предимства на решаването на диференциални уравнения онлайн. Модерен уебсайт за математически услуги ви позволява да решавате диференциални уравнения онлайн с всякаква сложност. Както знаете има голям брой видове диференциални уравнения и всяко от тях има свои собствени методи за решаване. В нашата услуга можете да намерите онлайн решения на диференциални уравнения от всякакъв ред и вид. За да получите решение, предлагаме да попълните първоначалните данни и да щракнете върху бутона „Решение“. Грешки в работата на услугата са изключени, така че можете да сте 100% сигурни, че сте получили правилния отговор. Решете диференциални уравнения с нашата услуга. Решете диференциални уравнения онлайн. По подразбиране в такова уравнение функцията y е функция на променливата x. Но можете също да зададете свое собствено обозначение на променлива. Например, ако посочите y(t) в диференциално уравнение, тогава нашата услуга автоматично ще определи, че y е функция на променливата t. Редът на цялото диференциално уравнение ще зависи от максималния ред на производната на функцията, присъстваща в уравнението. Решаването на такова уравнение означава намиране на желаната функция. Нашата услуга ще ви помогне да решавате диференциални уравнения онлайн. Не са необходими много усилия от ваша страна, за да решите уравнението. Просто трябва да въведете лявата и дясната страна на вашето уравнение в задължителните полета и да щракнете върху бутона „Решение“. При въвеждане производната на функция трябва да се обозначи с апостроф. След секунди ще получите готово подробно решение на диференциалното уравнение. Нашата услуга е напълно безплатна. Диференциални уравнения с разделими променливи. Ако в едно диференциално уравнение има израз от лявата страна, който зависи от y, а от дясната страна има израз, който зависи от x, тогава такова диференциално уравнение се нарича с разделими променливи. Лявата страна може да съдържа производна на y; решението на диференциалните уравнения от този тип ще бъде под формата на функция на y, изразена чрез интеграла от дясната страна на уравнението. Ако от лявата страна има диференциал на функцията на y, тогава в този случай двете страни на уравнението са интегрирани. Когато променливите в диференциалното уравнение не са разделени, те ще трябва да бъдат разделени, за да се получи отделно диференциално уравнение. Линейно диференциално уравнение. Диференциално уравнение, чиято функция и всички негови производни са на първа степен, се нарича линейно. Обща форма на уравнението: y’+a1(x)y=f(x). f(x) и a1(x) са непрекъснати функции на x. Решаването на диференциални уравнения от този тип се свежда до интегриране на две диференциални уравнения с разделени променливи. Ред на диференциалното уравнение. Диференциалното уравнение може да бъде от първи, втори, n-ти ред. Редът на диференциалното уравнение определя реда на най-високата производна, която съдържа. В нашата услуга можете да решавате диференциални уравнения първо онлайн, второ, трето и т.н. поръчка. Решението на уравнението ще бъде всяка функция y=f(x), замествайки я в уравнението, ще получите идентичност. Процесът на намиране на решение на диференциално уравнение се нарича интегриране. Проблем с Коши. Ако в допълнение към самото диференциално уравнение е дадено началното условие y(x0)=y0, тогава това се нарича проблем на Коши. Индикаторите y0 и x0 се добавят към решението на уравнението и се определя стойността на произволна константа C, след което се определя конкретно решение на уравнението при тази стойност на C. Това е решението на задачата на Коши. Задачата на Коши се нарича още задача с гранични условия, която е много разпространена във физиката и механиката. Имате и възможност да зададете проблема на Коши, тоест от всички възможни решенияуравнение, изберете коефициента, който отговаря на дадените начални условия.

Нека си припомним задачата, която ни изправи при намирането на определени интеграли:

или dy = f(x)dx. Нейното решение:

и се свежда до пресмятане неопределен интеграл. На практика се среща по-често трудна задача: функция за намиране г, ако е известно, че той удовлетворява отношение на формата

Тази връзка свързва независимата променлива х, неизвестна функция ги неговите производни до реда нвключително, се наричат .

Диференциалното уравнение включва функция под знака на производни (или диференциали) от един или друг ред. Най-високият ред се нарича ред (9.1) .

Диференциални уравнения:

- първа поръчка,

Втора поръчка

- пети ред и др.

Функцията, която удовлетворява дадено диференциално уравнение, се нарича негово решение , или интегрална . Решаването му означава намиране на всички негови решения. Ако за необходимата функция гуспяхме да получим формула, която дава всички решения, тогава казваме, че сме намерили нейното общо решение , или общ интеграл .

Общо решение съдържа нпроизволни константи и изглежда като

Ако се получи връзка, която се отнася x, yИ нпроизволни константи във форма, непозволена по отношение на г -

тогава такава връзка се нарича общ интеграл на уравнение (9.1).

Проблем с Коши

всеки конкретно решение, т.е. всяка специфична функция, която удовлетворява дадено диференциално уравнение и не зависи от произволни константи, се нарича конкретно решение , или частичен интеграл. За да се получат частни решения (интеграли) от общи, е необходимо да се дадат конкретни константи числови стойности.

Графиката на определено решение се нарича интегрална крива. Общото решение, което съдържа всички частични решения, е семейство от интегрални криви. За уравнение от първи ред това семейство зависи от една произволна константа за уравнението н-та поръчка - от нпроизволни константи.

Проблемът на Коши е да се намери конкретно решение на уравнението н-ти ред, задоволителен нначални условия:

чрез които се определят n константи c 1, c 2,..., c n.

Диференциални уравнения от 1-ви ред

За диференциално уравнение от първи ред, което е неразрешено по отношение на производната, то има формата

или за разрешено относително

Пример 3.46. Намерете общото решение на уравнението

Решение.Интегрирайки, получаваме

където C е произволна константа. Ако присвоим конкретни числени стойности на C, получаваме конкретни решения, например,

Пример 3.47. Помислете за нарастваща сума пари, депозирана в банката, при начисляване на 100 r сложна лихва на година. Нека Yo е първоначалната сума пари, а Yx - в края хгодини. Ако лихвата се изчислява веднъж годишно, получаваме

където x = 0, 1, 2, 3,.... Когато лихвата се изчислява два пъти годишно, получаваме

където x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... При изчисляване на лихвата нведнъж годишно и ако хприема последователни стойности 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., тогава

Обозначете 1/n = h, тогава предишното равенство ще изглежда така:

С неограничено увеличение н(при ) в лимита стигаме до процеса на увеличаване на сумата пари с непрекъснато начисляване на лихва:

Така става ясно, че при непрекъсната промяна хзаконът за изменението на паричното предлагане се изразява чрез диференциално уравнение от първи ред. Където Y x е неизвестна функция, х- независима променлива, r- постоянен. Нека решим това уравнение, за да направим това, ние го пренаписваме, както следва:

където , или , където P означава e C .

От началните условия Y(0) = Yo намираме P: Yo = Pe o, откъдето Yo = P. Следователно решението има формата:

Нека разгледаме втория икономически проблем. Макроикономическите модели се описват и с линейни диференциални уравнения от първи ред, описващи промените в дохода или продукцията Y като функции на времето.

Пример 3.48. Нека националният доход Y нараства със скорост, пропорционална на неговата стойност:

и нека дефицитът в държавните разходи е правопропорционален на дохода Y с коефициента на пропорционалност р. Дефицитът на разходите води до увеличаване на държавния дълг D:

Начални условия Y = Yo и D = Do при t = 0. От първото уравнение Y= Yoe kt. Замествайки Y, получаваме dD/dt = qYoe kt. Общото решение има формата
D = (q/ k) Yoe kt +С, където С = const, което се определя от началните условия. Замествайки началните условия, получаваме Do = (q/ k)Yo + C. И така, накрая,

D = Do +(q/ k)Yo (e kt -1),

това показва, че националният дълг нараства със същата относителна скорост к, същото като националния доход.

Нека разгледаме най-простите диференциални уравнения нти ред, това са уравнения от формата

Неговото общо решение може да се получи с помощта на нпъти интеграции.

Пример 3.49.Разгледайте примера y """ = cos x.

Решение.Интегрирайки, намираме

Общото решение има формата

Линейни диференциални уравнения

Те се използват широко в икономиката; нека разгледаме решаването на такива уравнения. Ако (9.1) има формата:

тогава се нарича линейна, където рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x) са зададени функции. Ако f(x) = 0, тогава (9.2) се нарича хомогенно, в противен случай се нарича нехомогенно. Общото решение на уравнение (9.2) е равно на сумата от всяко негово частно решение y(x)и съответстващото му общо решение на хомогенното уравнение:

Ако коефициентите р o (x), р 1 (x),..., р n (x) са постоянни, тогава (9.2)

(9.4) се нарича линейно диференциално уравнение с постоянни коефициенти на ред н .

За (9.4) има формата:

Без загуба на общност можем да зададем p o = 1 и да запишем (9.5) във формата

Ще търсим решение (9.6) във формата y = e kx, където k е константа. Ние имаме: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . Замествайки получените изрази в (9.6), ще имаме:

(9.7) е алгебрично уравнение, неговото неизвестно е к, тя се нарича характеристика. Характеристичното уравнение има степен нИ нкорени, сред които може да има както множество, така и сложни. Тогава нека k 1 , k 2 ,..., k n са реални и различни - частни решения (9.7) и общи

Разгледайте линейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти:

Неговото характеристично уравнение има формата

(9.9)

неговият дискриминант D = p 2 - 4q, в зависимост от знака на D са възможни три случая.

1. Ако D>0, тогава корените k 1 и k 2 (9.9) са реални и различни, а общото решение има формата:

Решение.Характеристично уравнение: k 2 + 9 = 0, откъдето k = ± 3i, a = 0, b = 3, общото решение има формата:

y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.

Линейни диференциални уравнения от 2-ри ред се използват, когато се изучава уеб-тип икономически модел със запаси от стоки, където скоростта на промяна на цената P зависи от размера на запасите (вижте параграф 10). В случай, че търсенето и предлагането са линейни функциицени, т.е

a е константа, която определя скоростта на реакция, тогава процесът на промяна на цената се описва от диференциалното уравнение:

За конкретно решение можем да вземем константа

смислена равновесна цена. отклонение удовлетворява хомогенно уравнение

(9.10)

Характеристичното уравнение ще бъде както следва:

В случай, че срокът е положителен. Нека обозначим . Корените на характеристичното уравнение k 1,2 = ± i w, следователно общото решение (9.10) има формата:

където C и са произволни константи, те се определят от началните условия. Получихме закона за промяната на цените във времето:

Обикновено диференциално уравнение е уравнение, което свързва независима променлива, неизвестна функция на тази променлива и нейните производни (или диференциали) от различен порядък.

Редът на диференциалното уравнение се нарича ред на най-високата производна, съдържаща се в него.

Освен обикновените се изучават и частни диференциални уравнения. Това са уравнения, свързващи независими променливи, неизвестна функция на тези променливи и нейните частни производни по отношение на същите променливи. Но ние само ще разгледаме обикновени диференциални уравнения и затова, за краткост, ще пропуснем думата „обикновен“.

Примери за диференциални уравнения:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Уравнение (1) е от четвърти ред, уравнение (2) е от трети ред, уравнения (3) и (4) са от втори ред, уравнение (5) е от първи ред.

Диференциално уравнение нредът не е задължително да съдържа изрична функция, всички нейни производни от първия до н-ти ред и независима променлива. Може да не съдържа изрично производни на определени редове, функция или независима променлива.

Например, в уравнение (1) очевидно няма производни от трети и втори ред, както и функция; в уравнение (2) - производната от втори ред и функцията; в уравнение (4) - независимата променлива; в уравнение (5) - функции. Само уравнение (3) съдържа изрично всички производни, функцията и независимата променлива.

Решаване на диференциално уравнение всяка функция се извиква y = f(x), когато се замести в уравнението, то се превръща в идентичност.

Процесът на намиране на решение на диференциално уравнение се нарича негов интеграция.

Пример 1.Намерете решението на диференциалното уравнение.

Решение. Нека напишем това уравнение във формата. Решението е да се намери функцията от нейната производна. Първоначалната функция, както е известно от интегралното смятане, е антипроизводна за, т.е.

Това е, което е решение на това диференциално уравнение . Промяна в него ° С, ще получим различни решения. Открихме, че има безкраен брой решения на диференциално уравнение от първи ред.

Общо решение на диференциалното уравнение нред е неговото решение, изразено изрично по отношение на неизвестната функция и съдържащо ннезависими произволни константи, т.е.

Решението на диференциалното уравнение в пример 1 е общо.

Частично решение на диференциалното уравнение се нарича решение, при което на произволни константи се дават конкретни числени стойности.

Пример 2.Намерете общото решение на диференциалното уравнение и частно решение за .

Решение. Нека интегрираме двете страни на уравнението брой пъти, равен на реда на диференциалното уравнение.

,

.

В резултат на това получихме общо решение -

на дадено диференциално уравнение от трети ред.

Сега нека намерим конкретно решение при посочените условия. За да направите това, заменете техните стойности вместо произволни коефициенти и вземете

.

Ако в допълнение към диференциалното уравнение първоначалното условие е дадено във формата , тогава такава задача се нарича Проблем с Коши . Заменете стойностите и в общото решение на уравнението и намерете стойността на произволна константа ° Си след това конкретно решение на уравнението за намерената стойност ° С. Това е решението на проблема на Коши.

Пример 3.Решете задачата на Коши за диференциалното уравнение от Пример 1, предмет на .

Решение. Нека заместим стойностите от началното условие в общото решение г = 3, х= 1. Получаваме

Записваме решението на проблема на Коши за това диференциално уравнение от първи ред:

Решаването на диференциални уравнения, дори и на най-простите, изисква добри умения за интегриране и производни, включително сложни функции. Това може да се види в следния пример.

Пример 4.Намерете общото решение на диференциалното уравнение.

Решение. Уравнението е написано в такава форма, че можете веднага да интегрирате и двете страни.

.

Прилагаме метода на интегриране чрез промяна на променливата (заместване). Нека бъде тогава.

Задължително да се вземе dxи сега - внимание - правим това според правилата за диференциране на сложна функция, тъй като хи има сложна функция("ябълка" - извличане корен квадратенили, което е едно и също - повдигане на степен "половин", а "кайма" е самият израз под корена):

Намираме интеграла:

Връщане към променливата х, получаваме:

.

Това е общото решение на това диференциално уравнение от първа степен.

Не само уменията от предишни разделивисшата математика ще се изисква при решаването на диференциални уравнения, но и умения от елементарни, т.е училищна математика. Както вече беше споменато, в диференциално уравнение от всякакъв ред може да няма независима променлива, т.е. х. Знанията за пропорциите от училище, които не са забравени (но в зависимост от кого) от училище, ще помогнат за решаването на този проблем. Това е следващият пример.