Расчет металлических стоек. Порядок выполнения расчета на устойчивость. Расчет центральной стойки

Вычисление усилий в стойках производят с учетом приложенных к стойке нагрузок.

Средние стойки

Средние стойки каркаса здания работают и рассчитываются как центрально сжатые элементы на действие наибольшего сжимающего усилия N от собственного веса всех конструкций покрытия (G) и снеговой нагрузки и снеговой нагрузки (Рсн ).

Рисунок 8 – Нагрузки на среднюю стойку

Расчет центрально сжатых средних стоек производят:

а) на прочность

где - расчетное сопротивление древесины сжатию вдоль волокон;

Площадь нетто поперечного сечения элемента;

б) на устойчивость

где – коэффициент продольного изгиба;

– расчетная площадь поперечного сечения элемента;

Нагрузки собираются с площади покрытия по плану, приходящейся на одну среднюю стойку ().

Рисунок 9 – Грузовые площади средней и крайней колонн

Крайние стойки

Крайняя стойка находится под действием продольных по отношению к оси стойки нагрузок (G и Рсн ), которые собираются с площади и поперечных , и Х. Кроме этого от действия ветра возникает продольная сила .

Рисунок 10 – Нагрузки на крайнюю стойку

G – нагрузка от собственного веса конструкций покрытия;

Х – горизонтальная сосредоточенная сила, приложенная в точке примыкания ригеля к стойке.

В случае жесткой заделки стоек для однопролетной рамы:

Рисунок 11 – Схема нагрузок при жестком защемлении стоек в фундаменте

где - горизонтальные ветровые нагрузки соответственно от ветра слева и справа, приложенные к стойке в месте примыкания к ней ригеля.

где - высота опорного сечения ригеля или балки.

Влияние сил будет существенно, если ригель на опоре имеет значительную высоту.

В случае шарнирного опирания стойки на фундамент для однопролетной рамы:

Рисунок 12 – Схема нагрузок при шарнирном опирании стоек на фундаменте

Для многопролетных рамных конструкций при ветре слева p 2 и w 2 , а при ветре справа p 1 и w 2 будут равны нулю.

Крайние стойки рассчитываются как сжато-изгибаемые элементы. Значения продольной силы N и изгибающего момента M принимаются для такого сочетания нагрузок, при котором возникают наибольшие сжимающие напряжения.

1) 0.9(G + P c + ветер слева)

2) 0.9(G + P c + ветер справа)

Для стойки, входящей в состав рамы, максимальный изгибающий момент берут как max из вычисленных для случая ветра слева М л и справа М пр:

где е – эксцентриситет приложения продольной силы N, которая включает наиболее неблагоприятное сочетание нагрузок G, P c , P b – каждая со своим знаком.

Эксцентриситет для стоек с постоянной высотой сечения равен нулю (е = 0), а для стоек с переменной высотой сечения берется как разность между геометрической осью опорного сечения и осью приложения продольной силы.

Расчет сжато – изогнутых крайних стоек производится:

а) на прочность:

б) на устойчивость плоской формы изгиба при отсутствии закрепления или при расчетной длине между точками закрепления l p > 70b 2 /n по формуле:

Геометрические характеристики, входящие в формулы, вычисляются в опорном сечении. Из плоскости рамы стойки рассчитывают как центрально сжатый элемент.

Расчет сжатых и сжато-изогнутых составного сечения производится по приведенным выше формулам, однако при вычислении коэффициентов φ и ξ в этих формулах учитывается увеличение гибкости стойки за счет податливости связей, соединяющих ветви. Эта увеличенная гибкость названа приведенной гибкостью λ n .

Расчет решетчатых стоек можно свести к расчету ферм. При этом ветровая равномерно распределенная нагрузка сводится к сосредоточенным грузам в узлах фермы. Считается, что вертикальные силы G, P c , P b воспринимаются только поясами стойки.

Поперечник здания (рис. 5) один раз статически неопределим. Неопределимость раскрываем, исходя из условия одинаковой жесткости левой и правой стоек и одинаковой величины горизонтальных перемещений шарнирного конца стоек.

Рис. 5. Расчетная схема рамы

5.1. Определение геометрических характеристик

1. Высота сечения стойки
. Примем
.

2. Ширина сечения стойки принимается по сортаменту с учетом острожки
мм .

3. Площадь сечения
.

Момент сопротивления сечении
.

Статический момент
.

Момент инерции сечения
.

Радиус инерции сечения
.

5.2. Сбор нагрузки

а) горизонтальные нагрузки

Погонные ветровые нагрузки

, (Н/м)

,

где - коэффициент, учитывающий значение ветрового давления по высоте (приложение табл. 8);

- аэродинамические коэффициенты (при
м принять
;
);

- коэффициент надежности по нагрузке;

- нормативное значение ветрового давления (по заданию).

Сосредоточенные силы от ветровой нагрузки на уровне верха стойки:

,
,

где - опорная часть фермы.

б) вертикальные нагрузки

Нагрузки соберем в табличной форме.

Таблица 5

Сбор нагрузки на стойку, Н

Примечание:

1. Нагрузка от панели покрытия определяется по таблице 1

,
.

2. Нагрузки от балки определяется

.

3. Собственный вес арки
определяется:

Верхний пояс
;

Нижний пояс
;

Стойки.

Для получения расчетной нагрузки элементы арки умножаются на , соответствующие металлу или дереву.

,
,
.

Неизвестная
:
.

Изгибающий момент в основании стойки
.

Поперечная сила
.

5.3. Проверочный расчет

В плоскости изгиба

1. Проверка по нормальным напряжениям

,

где - коэффициент, учитывающий дополнительный момент от продольной силы.

;
,

где - коэффициент закрепления (принять 2,2);
.

Недонапряжение не должно превышать 20%. Однако, если приняты минимальные размеры стойки и
, то недонапряжение может превышать 20%.

2. Проверка опорной части на скалывание при изгибе

.

3. Проверка устойчивости плоской формы деформирования:

,

где
;
(табл. 2 прил. 4 ).

Из плоскости изгиба

4. Проверка на устойчивость

,

где
, если
,
;

- расстояние между связями по длине стойки. При отсутствии связей между стойками за расчетную длину принимается полная длина стойки
.

5.4. Расчет прикрепления стойки к фундаменту

Выпишем нагрузки
и
из таблицы 5. Конструкция прикрепления стойки к фундаменту приведена на рис. 6.

где
.

Рис. 6. Конструкция прикрепления стойки к фундаменту

2. Напряжения сжатия
, (Па)

где
.

3. Размеры сжатой и растянутой зон
.

4. Размеры и:

;
.

5. Максимальное усилие растяжения в анкерах

, (Н)

6. Требуемая площадь анкерных болтов

,

где
- коэффициент, учитывающий ослабление резьбой;

- коэффициент, учитывающий концентрацию напряжений в резьбе;

- коэффициент, учитывающий неравномерность работы двух анкеров .

7. Требуемый диаметр анкера
.

Принимаем диаметр по сортаменту (приложение табл. 9).

8. Для принятого диаметра анкера потребуется отверстие в траверсе
мм.

9. Ширина траверсы (уголка) рис. 4 должна быть не менее
, т.е.
.

Примем равнобокий уголок по сортаменту (приложение табл. 10).

11. Величина распределительной нагрузки на участке ширины стойки (рис. 7 б).

.

12. Изгибающий момент
,

где
.

13. Требуемый момент сопротивления
,

где - расчетное сопротивление стали принято 240 МПа.

14. Для предварительно принятого уголка
.

Если это условие выполняется переходим к проверке напряжения, если нет – возвращается к пункту 10 и принимаем больший уголок.

15. Нормальные напряжения
,

где
- коэффициент условий работы.

16. Прогиб траверсы
,

где
Па – модуль упругости стали;

- предельный прогиб (принять ).

17. Выберем диаметр горизонтальных болтов из условия их расстановки поперек волокон в два ряда по ширине стойки
, где
- расстояния по между осями болтов. Если принимаем болты металлические, то
,
.

Примем диаметр горизонтальных болтов по приложению табл. 10.

18. Наименьшая несущая способность болта:

а) по условию смятия крайнего элемента
.

б) по условию изгиба
,

где
- приложение табл. 11.

19. Количество горизонтальных болтов
,

где
- наименьшая несущая способность из п. 18;
- количество срезов.

Примем число болтов четное число, т.к. их расставляем в два ряда.

20. Длина накладки
,

где - расстояние между осями болтов вдоль волокон. Если болты металлические
;

- число расстояний по длине накладки.

На практике часто возникает необходимость расчета стойки или колони на максимальную осевую (продольную) нагрузку. Усилие, при котором стойка теряет устойчивое состояние (несущую способность) является критическим. На устойчивость стойки оказывает влияние способ закрепления концов стойки. В строительной механике рассматривают семь способов закрепления концов стойки. Ми рассмотрим три основных способа:

Для обеспечения определенного запаса устойчивости необходимо чтобы соблюдалось условие:

Где: Р - действующее усилие;

Устанавливается определенный коэффициент запаса устойчивости

Таким образом, при расчете упругих систем необходимо уметь определять величину критической силы Ркр. Если иметь введу что усилие Р приложено к стойке вызывает только малые отклонения от прямолинейной формы стойки длиной ι то его можно определить из уравнения

где: E - модуль упругости;
J_min- минимальный момент инерции сечения;
M(z) - изгибающий момент, равный M(z) = -P ω;
ω - величина отклонения от прямолинейной формы стойки;
Решая это дифференциальное уравнение

А и В постоянные интегрирования, определяются по граничным условиям.
Произведя определенные действия и подстановки получим конечное выражение для критической силы Р

Наименьшее значение критической силы будет при n = 1 (целое число) и

Уравнение упругой линии стойки будет иметь вид:

где: z - текущая ордината, при максимальном значении z=l;
Допустимое выражение для критической силы называется формулой Л.Эйлера. Видно, что величина критической силы зависит от жесткости стойки EJ min прямо пропорционально и от длины стойки l - обратно пропорционально.
Как было сказано, устойчивость упругой стойки зависит от способа ее закрепления.
Рекомендуемая величина запаса прочности для стальных стоек ровна
n y =1,5÷3,0; для деревянных n y =2,5÷3,5 ; для чугунных n y =4,5÷5,5
Для учета способа закрепления концов стойки вводиться коэффициент концов приведенной гибкости стойки.

где: μ - коэффициент приведенной длины (Таблица) ;
i min - наименьший радиус инерции поперечного сечения стойки (таблица);
ι - длина стойки;
Вводиться коэффициент критической нагрузки:

, (таблица);
Таким образом, при расчете поперечного сечения стойки необходимо учитывать коэффициенты μ и ϑ величина которых зависит от способа закрепления концов стойки и приведена в таблицах справочника по сопромату (Г.С. Писаренко и С.П.Фесик)
Приведем пример расчета критической силы для стержня сплошного сечения прямоугольной формы - 6×1 см., длина стержня ι = 2м. Закрепления концов по схеме III.
Расчет:
По таблице находим коэффициент ϑ=9,97, μ = 1. Момент инерции сечения будет:

а критическое напряжение будет:

Очевидно, что критическая сила Р кр =247 кгс вызовет в стержне напряжение всего 41кгс/см 2 , что значительно меньше предела проточности (1600кгс/см 2), однако эта сила вызовет искривление стержня, а значит потерю устойчивости.
Рассмотрим другой пример расчета деревянной стойки круглого сечения защемленной в нижнем конце и шарнирно закрепленной на верхнем (С.П. Фесик) . Длина стойки 4м, сила сжатия N=6тс. Допускаемое напряжение [σ]=100кгс/см 2 . Принимаем коэффициент понижения допускаемого напряжения на сжатие φ=0.5. Вычисляем площадь сечения стойки:

Определяем диаметр стойки:

Момент инерции сечения

Вычисляем гибкость стойки:
где: μ=0.7, исходя из способа защемления концов стойки;
Определяем напряжение в стойке:

Очевидно, что напряжение в стойке составляет 100кгс/см 2 и оно ровно допустимому напряжению [σ]=100кгс/см 2
Рассмотрим третий пример расчета стальной стойки из двутаврового профиля, длиной 1.5м, сила сжатия 50тс, допускаемое напряжение [σ]=1600кгс/см 2 . Нижний конец стойки защемлен, а верхний свободный (I способ).
Для подбора сечения используем формулу и задаемся коэффициентом ϕ=0.5, тогда:

Подбираем из сортамента двутавр №36 и его данные: F=61.9см 2 , i min =2.89см.
Определяем гибкость стойки:

где: μ из таблицы, ровное 2, учитывая способ защемления стойки;
Расчетное напряжение в стойке будет:

5кгс,что примерно ровно допустимому напряжению, и на 0.97% больше, что допустимо в инженерных расчетах.
Поперечное сечение стержней работающих на сжатие будет рациональным при наибольшем радиусе инерции. При расчете удельного радиуса инерции
наиболее оптимальным является трубчатые сечения, тонкостенные; для которых величина ξ=1÷2.25, а для сплошных или прокатных профилей ξ=0.204÷0.5

Выводы
При расчете на прочность и устойчивость стоек, колон необходимо учитывать способ закрепления концов стоек, применять рекомендуемый запас прочности.
Значение критической силы получено из дифференциального уравнения изогнутой осевой линии стойки (Л.Эйлера).
Для учета всех факторов, характеризующих нагруженную стойку введено понятие гибкости стойки - λ, коэффициент провиденной длины - μ, коэффициент понижения напряжения - ϕ, коэффициент критической нагрузки - ϑ. Их значения берут из таблиц справочников (Г.С.Писарентко и С.П.Фесик).
Приведены примерные расчеты стоек, на определение критической силы - Ркр, критического напряжения - σкр, диаметра стоек - d, гибкости стоек - λ и другие характеристики.
Оптимальным сечением для стоек и колон является трубчатые тонкостенные профиля с одинаковыми главными моментами инерции.

Используемая литература:
Г.С Писаренко «Справочник по сопротивлению материалов».
С.П.Фесик «Справочник по сопротивлению материалов».
В.И. Анурьев «Справочник конструктора-машиностроителя».
СНиП II-6-74 «Нагрузки и воздействия, нормы проектирования».

Расчет центральной стойки

Стойками называют элементы конструкции, работающие преимущественно на сжатие и продольный изгиб.

При расчете стойки необходимо обеспечитьее прочность и устойчивость. Обеспечение устойчивости достигается путем правильного подбора сечения стойки.

Принимается расчетная схема центральной стойки при расчете на вертикальную нагрузку, как шарнирно закрепленной по концам, так как внизу и вверху приваривается сваркой (см. рисунок 3).

Центральная стойка воспринимает 33% полного веса перекрытия.

Полный вес перекрытия N, кг определится: включающим вес снега, ветровая нагрузка, нагрузка от теплоизоляции, нагрузка от веса каркаса покрытия, нагрузка от вакуума.

N = R 2 g,. (3.9)

где g- суммарная равномерно-распределенная нагрузка, кг/м 2 ;

R - внутренний радиус резервуара, м.

Полный вес перекрытия складывается из следующих видов нагрузок:

• 1. Снеговая нагрузка, g 1 . Принимается g 1 =100 кг/м 2 .;
• 2. Нагрузка от теплоизоляции, g 2 . Принимается g 2 =45кг/м 2 ;
• 3. Ветровая нагрузка, g 3 . Принимается g 3 =40кг/м 2 ;
• 4. Нагрузка от веса каркаса покрытия, g 4 . Принимается g 4 =100 кг/м 2
• 5. С учетом установленной аппаратуры, g 5 . Принимается g 5 = 25кг/м 2
• 6. Нагрузка от вакуума, g 6 . Принимается g 6 =45кг/м 2 .

А полный вес перекрытия N, кг:

Вычисляется усилие, воспринимаемое стойкой:

Определяется требуемая площадь сечения стойки по следующей формуле:

См 2 , (3.12)

где: N- полный вес перекрытия, кг;

1600 кгс/см 2 , для стали ВСт3сп;

Коэффициент продольного изгиба конструктивно принимается =0,45.

По ГОСТ 8732-75 конструктивно выбирается труба с наружным диаметром D h =21см, внутренним диаметром d b =18 см и толщиной стенки 1,5см, что допустимо так как полость трубы будет заполнена бетоном.

Площадь сечения трубы, F:

Определяется момент инерции профиля (J), радиус инерции (r). Соответственно:

J =см4, (3.14)

где - геометрические характеристики сечения.

Радиус инерции:

r=, см, (3.15)

где J- момент инерции профиля;

F- площадь требуемого сечения.

Гибкость:

Определяется напряжение в стойке, по формуле:

Кгс/см (3.17)

При этом по таблицам приложения 17 (А. Н. Серенко) принимается = 0,34

Расчет прочности базы стойки

Расчетное давление Р на фундамент определяется:

Р= Р" + Р ст +Р бс, кг, (3.18)

Р ст =F L г, кг, (3.19)

Р бс =L г б, кг, (3.20)

где: Р"-усилие вертикальной стойки Р"= 5885,6 кг;

Р ст - весстойки, кг;

г - удельный вес стали.г =7,85*10 -3 кг/.

Р бс - весбетона залитого в стойку стойки, кг;

г б -удельный вес бетона марки.г б =2,4*10 -3 кг/.

Требуемая площадь плиты башмака при допускаемом давлении на песчаное основание [у] ф =2 кг/см 2:

Принимается плита со сторонами: аЧb =0,65Ч0,65 м.Распределенная нагрузка, q на 1 см плиты определится:

Расчетный изгибающий момент, М:

Расчетный момент сопротивления, W:

Толщина плиты д:

Принимается толщина плиты д =20 мм.

Часто люди, делающие во дворе крытый навес для автомобиля или для защиты от солнца и атмосферных осадков, сечение стоек, на которые будет опираться навес, не рассчитывают, а подбирают сечение на глаз или проконсультировавшись у соседа.

Понять их можно, нагрузки на стойки, в данном случае являющиеся колоннами, не ахти какие большие, объем выполняемых работ тоже не громадный, да и внешний вид колонн иногда намного важнее их несущей способности, поэтому даже если колонны будут сделаны с многократным запасом по прочности - большой беды в этом нет. Тем более, что на поиски простой и внятной информации о расчете сплошных колонн можно потратить бесконечное количество времени без какого-либо результата - разобраться в примерах расчета колонн для производственных зданий с приложением нагрузки в нескольких уровнях без хороших знаний сопромата практически невозможно, а заказ расчета колонны в инженерной организации может свести всю ожидаемую экономию к нулю.

Данная статья написана с целью хоть немного изменить существующее положение дел и является попыткой максимально просто изложить основные этапы расчета металлической колонны, не более того. Все основные требования по расчету металлических колонн можно найти в СНиП II-23-81 (1990).

Общие положения

С теоретической точки зрения расчет центрально-сжатого элемента, каковым является колонна, или стойка в ферме, настолько прост, что даже неудобно об этом говорить. Достаточно разделить нагрузку на расчетное сопротивление стали, из которой будет изготавливаться колонна - все. В математическом выражении это выглядит так:

F = N/R y (1.1)

F - требуемая площадь сечения колонны, см²

N - сосредоточенная нагрузка, прилагаемая к центру тяжести поперечного сечения колонны, кг;

R y - расчетное сопротивление металла растяжению, сжатию и изгибу по пределу текучести, кг/см². Значение расчетного сопротивления можно определить по соответствующей таблице .

Как видим, уровень сложности задачи относится ко второму, максимум к третьему классу начальной школы. Однако на практике все далеко не так просто, как в теории, по ряду причин:

1. Приложить сосредоточенную нагрузку точно к центру тяжести поперечного сечения колонны можно только теоретически. В реальности нагрузка всегда будет распределенной и еще будет некоторый эксцентриситет приложения приведенной сосредоточенной нагрузки. А раз есть эксцентриситет, значит есть продольный изгибающий момент действующий в поперечном сечении колонны.

2. Центры тяжести поперечных сечений колонны расположены на одной прямой - центральной оси, тоже только теоретически. На практике из-за неоднородности металла и различных дефектов центры тяжести поперечных сечений могут быть смещены относительно центральной оси. А это значит, что расчет нужно производить по сечению, центр тяжести которого максимально удален от центральной оси, из-за чего эксцентриситет действия силы для этого сечения максимальный.

3. Колонна может иметь не прямолинейную форму, а быть немного изогнутой в результате заводской или монтажной деформации а это значит, что поперечные сечения в средней части колонны будут иметь наибольший эксцентриситет приложения нагрузки.

4. Колонна может быть установлена с отклонениями от вертикали, а это значит, что вертикально действующая нагрузка может создавать дополнительный изгибающий момент, максимальный в нижней части колонны, а если точнее, в месте крепления к фундаменту, впрочем это актуально, только для отдельно стоящих колонн.

5. Под действием приложенных к ней нагрузок колонна может деформироваться, а это значит, что опять появится эксцентриситет приложения нагрузки и как следствие дополнительный изгибающий момент.

6. В зависимости от того, как именно закреплена колонна, зависит значение дополнительного изгибающего момента внизу и в средней части колонны.

Все это приводит к появлению продольного изгиба и влияние это изгиба при расчетах нужно как-то учитывать.

Естественно, что рассчитать вышеуказанные отклонения для конструкции, которая еще только проектируется, практически невозможно - расчет будет очень долгим, сложным, а результат все равно сомнительным. А вот ввести в формулу (1.1) некий коэффициент, который бы учел вышеизложенные факторы, очень даже можно. Таким коэффициентом является φ - коэффициент продольного изгиба. Формула, в которой используется данный коэффициент, выглядит так:

F = N/φR (1.2)

Значение φ всегда меньше единицы, это означает, что сечение колонны всегда будет больше, чем если просто посчитать по формуле (1.1), это я к тому, что сейчас начнется самое интересное и помнить, что φ всегда меньше единицы - не помешает. Для предварительных расчетов можно использовать значение φ в пределах 0,5-0,8. Значение φ зависит от марки стали и гибкости колонны λ :

λ = l ef /i (1.3)

l ef - расчетная длина колонны. Расчетная и реальная длина колонны - разные понятия. Расчетная длина колонны зависит от способа закрепления концов колонны и определяется с помощью коэффициента μ :

l ef = μl (1.4)

l - реальная длина колонны, см;

μ - коэффициент, учитывающий способ закрепления концов колонны. Значение коэффициента можно определить по следующей таблице:

Таблица 1. Коэффициенты μ для определения расчетных длин колонн и стоек постоянного сечения (согласно СНиП II-23-81 (1990))

Как видим, значение коэффициента μ изменяется в несколько раз в зависимости от способа закрепления колонны и тут главная сложность в том, какую расчетную схему выбрать. Если не знаете, какая схема закрепления соответствует Вашим условиям, то принимайте значение коэффициента μ=2. Значение коэффициента μ=2 принимается в основном для отдельно стоящих колон, наглядный пример отдельно стоящей колонны - фонарный столб. Значение коэффициента μ=1-2 можно принимать для колонн навесов, на которые опираются балки без жесткого крепления к колонне. Данную расчетную схему можно принимать, когда балки навеса будут не жестко крепиться к колоннам и когда балки будут иметь относительно большой прогиб. Если на колонну будут опираться фермы, жестко прикрепленные к колонне сваркой, то можно принимать значение коэффициента μ=0,5-1. Если между колоннами будут диагональные связи, то можно принимать значение коэффициента μ=0,7 при нежестком креплении диагональных связей или 0,5 при жестком креплении. Однако такие диафрагмы жесткости не всегда бывают в 2 плоскостях и потому использовать такие значения коэффициента нужно осторожно. При расчете стоек ферм используется коэффициент μ=0,5-1 в зависимости от метода закрепления стоек.

Значение коэффициента гибкости приблизительно показывает отношение расчетной длины колонны к высоте или ширине поперечного сечения. Т.е. чем больше значение λ , тем меньше ширина или высота поперечного сечения колонны и соответственно тем больший запас по сечению потребуется при одной и той же длине колонны, но об этом чуть позже.

Теперь когда мы определили коэффициент μ , можно вычислить расчетную длину колонны по формуле (1.4), а для того, чтобы узнать значение гибкости колонны, нужно знать радиус инерции сечения колонны i :

где I - момент инерции поперечного сечения относительно одной из осей, и тут начинается самое интересное, потому как в ходе решения задачи мы как раз и должны определить необходимую площадь сечения колонны F , но этого мало, оказывается, мы еще должны знать значение момента инерции. Так как мы не знаем ни того, ни другого, то решение задачи выполняется в несколько этапов.

На предварительном этапе обычно принимается значение λ в пределах 90-60, для колонн с относительно небольшой нагрузкой можно принимать λ = 150-120 (максимальное значение для колонн - 180, значения предельной гибкости для других элементов можно узнать по таблице 19* СНиП II-23-81 (1990). Затем по Таблице 2 определяется значение коэффициента гибкости φ :

Таблица 2. Коэффициенты продольного изгиба φ центрально-сжатых элементов .

Примечание : значения коэффициента φ в таблице увеличены в 1000 раз.

После этого определяется требуемый радиус инерции поперечного сечения, путем преобразования формулы (1.3):

i = l ef / λ (1.6)

По сортаменту подбирается прокатный профиль с соответствующим значением радиуса инерции. В отличие от изгибаемых элементов, где сечение подбирается только по одной оси, так как нагрузка действует только в одной плоскости, в центрально сжатых колоннах продольный изгиб может произойти относительно любой из осей и потому чем ближе значение I z к I y , тем лучше, другими словами наиболее предпочтительны профили круглого или квадратного сечения. Ну а теперь попробуем определить сечение колонны на основе полученных знаний.

Пример расчета металлической центрально-сжатой колонны

Имеется: желание сделать навес возле дома приблизительно следующего вида:

В данном случае единственной центрально-сжатой колонной при любых условиях закрепления и при равномерно распределенной нагрузке будет колонна, показанная на рисунке красным цветом. Кроме того и нагрузка на эту колонну будет максимальной. Колонны, обозначенные на рисунке синим и зеленым цветом, можно рассматривать как центрально-сжатые, только при соответствующем конструктивном решении и равномерно-распределенной нагрузке, колонны, обозначенные оранжевым цветом, будут или центрально сжатыми или внецентренно-сжатыми или стойками рамы, рассчитываемой отдельно. В данном примере мы рассчитаем сечение колонны, обозначенной красным цветом. Для расчетов примем постоянную нагрузку от собственного веса навеса 100 кг/м² и временную нагрузку 100 кг/м² от снегового покрова.

2.1. Таким образом сосредоточенная нагрузка на колонну, обозначенную красным цветом, составит:

N = (100+100)·5·3 = 3000 кг

2.2. Принимаем предварительно значение λ = 100, тогда по таблице 2 коэффициент изгиба φ = 0,599 (для стали с расчетной прочностью 200 МПа, данное значение принято для обеспечения дополнительного запаса по прочности), тогда требуемая площадь сечения колонны:

F = 3000/(0,599·2050) = 2,44 см²

2.3. По таблице 1 принимаем значение μ = 1 (так как кровельное покрытие из профилированного настила, должным образом закрепленное, будет обеспечивать жесткость конструкции в плоскости, параллельной плоскости стены, а в перпендикулярной плоскости относительную неподвижность верхней точки колонны будет обеспечивать крепление стропил к стене), тогда радиус инерции

i = 1·250/100 = 2,5 cм

2.4. По сортаменту для квадратных профильных труб данным требованиям удовлетворяет профиль с размерами поперечного сечения 70х70 мм с толщиной стенки 2 мм, имеющий радиус инерции 2,76 см. Площадь сечения такого профиля 5,34 см². Это намного больше, чем требуется по расчету.

2.5.1. Мы можем увеличить гибкость колонны, при этом требуемый радиус инерции уменьшится. Например, при λ = 130 коэффициент изгиба φ = 0,425, тогда требуемая площадь сечения колонны:

F = 3000/(0,425·2050) = 3,44 см²

2.5.2. Тогда

i = 1·250/130 = 1,92 cм

2.5.3. По сортаменту для квадратных профильных труб данным требованиям удовлетворяет профиль с размерами поперечного сечения 50х50 мм с толщиной стенки 2 мм, имеющий радиус инерции 1,95 см. Площадь сечения такого профиля 3,74 см², момент сопротивления для этого профиля составляет 5,66 см³.

Вместо квадратных профильных труб можно использовать равнополочный уголок, швеллер, двутавр, обычную трубу. Если расчетное сопротивление стали выбранного профиля больше 220 МПа, то можно пересчитать сечение колонны. Вот в принципе и все, что касается расчета металлических центрально-сжатых колонн.

Расчет внецентренно-сжатой колонны

Тут конечно же возникает вопрос: а как рассчитать остальные колонны? Ответ на этот вопрос сильно зависит от способа крепления навеса к колоннам. Если балки навеса будут жестко крепиться к колоннам, то при этом будет образована достаточно сложная статически неопределимая рама и тогда колонны следует рассматривать как часть этой рамы и рассчитывать сечение колонн дополнительно на действие поперечного изгибающего момента, мы же далее рассмотрим ситуацию когда колонны, показанные на рисунке, соединены с навесом шарнирно (колонну, обозначенную красным цветом, мы больше не рассматриваем). Например оголовок колонн имеет опорную площадку - металлическую пластину с отверстиями для болтового крепления балок навеса. По разным причинам нагрузка на такие колонны может передаваться с достаточно большим эксцентриситетом:

Балка, показанная на рисунке, бежевым цветом, под воздействием нагрузки немного прогнется и это приведет к тому, что нагрузка на колонну будет передаваться не по центру тяжести сечения колонны, а с эксцентриситетом е и при расчете крайних колонн этот эксцентриситет нужно учитывать. Случаев внецентренного нагружения колонн и возможных поперечных сечений колонн существует великое множество, описываемое соответствующими формулами для расчета. В нашем случае для проверки сечения внецентренно-сжатой колонны мы воспользуемся одной из самых простых:

(N/φF) + (M z /W z) ≤ R y (3.1)

В данном случае, когда сечение самой нагруженной колонны мы уже определили, нам достаточно проверить, подходит ли такое сечение для остальных колонн по той причине, что задачи строить сталелитейный завод у нас нет, а мы просто рассчитываем колонны для навеса, которые будут все одинакового сечения из соображений унификации.

Что такое N , φ и R y мы уже знаем.

Формула (3.1) после простейших преобразований, примет следующий вид:

F = (N/R y)(1/φ + e z ·F/W z) (3.2)

так как М z =N·e z , почему значение момента именно такое и что такое момент сопротивления W, достаточно подробно объясняется в отдельной статье.

F = (1500/2050)(1/0,425 + 2,5·3,74/5,66) = 0,7317·(2,353 + 1,652) = 2,93 см²

Кроме того, формула (3.2) позволяет определить максимальный эксцентриситет, который выдержит уже рассчитанная колонна, в данном случае максимальный эксцентриситет составит 4,17 см.

Требуемое сечение 2,93 см² меньше принятого 3,74 см², а потому квадратную профильную трубу с размерами поперечного сечения 50х50 мм с толщиной стенки 2 мм можно использовать и для крайних колонн.

Расчет внецентренно-сжатой колонны по условной гибкости

Как ни странно, но для подбора сечения внецентренно-сжатой колонны - сплошного стержня есть еще более простая формула:

F = N/φ е R (4.1)

φ е - коэффициент продольного изгиба, зависящий от эксцентриситета, его можно было бы назвать эксцентриситетным коэффициентом продольного прогиба, чтобы не путать с коэффициентом продольного прогиба φ . Однако расчет по этой формуле может оказаться более длительным чем по формуле (3.2). Чтобы определить коэффициент φ е необходимо все равно знать значение выражения e z ·F/W z - которое мы встречали в формуле (3.2). Это выражение называется относительным эксцентриситетом и обозначается m :

m = e z ·F/W z (4.2)

После этого определяется приведенный относительный эксцентриситет:

m ef = hm (4.3)

h - это не высота сечения, а коэффициент, определяемый по таблице 73 СНиПа II-23-81. Просто скажу, что значение коэффициента h изменяется в пределах от 1 до 1,4, для большинства простых расчетов можно использовать h = 1,1-1,2.

После этого нужно определить условную гибкость колонны λ¯ :

λ¯ = λ√‾(R y / E) (4.4)

и только после этого по таблице 3 определить значение φ е :

Таблица 3. Коэффициенты φ e для проверки устойчивости внецентренно-сжатых (сжато-изгибаемых) сплошностенчатых стержней в плоскости действия момента, совпадающей с плоскостью симметрии.

Примечания:

1. Значения коэффициента φ е увеличены в 1000 раз.
2. Значение φ е следует принимать не более φ .

Теперь для наглядности проверим сечение колонн, нагруженных с эксцентриситетом, по формуле (4.1):

4.1. Сосредоточенная нагрузка на колонны, обозначенные синим и зеленым цветом, составит:

N = (100+100)·5·3/2 = 1500 кг

Эксцентриситет приложения нагрузки е = 2,5 см, коэффициент продольного изгиба φ = 0,425.

4.2. Значение относительного эксцентриситета мы уже определяли:

m = 2,5·3,74/5,66 = 1,652

4.3. Теперь определим значение приведенного коэффициента m ef :

m ef = 1,652·1,2 = 1,984 ≈ 2

4.4. Условная гибкость при принятом нами коэффициенте гибкости λ = 130, прочности стали R y = 200 МПа и модуле упругости Е = 200000 МПа составит:

λ¯ = 130√‾(200/200000) = 4,11

4.5. По таблице 3 определяем значение коэффициента φ е ≈ 0,249

4.6. Определяем требуемое сечение колонны:

F = 1500/(0,249·2050) = 2,94 см²

Напомню, что при определении площади сечения колонны по формуле (3.1) мы получили почти такой же результат.

Совет: Чтобы нагрузка от навеса передавалась с минимальным эксцентриситетом, в опорной части балки делается специальная площадка. Если балка металлическая, из прокатного профиля, то обычно достаточно приварить к нижней полке балки кусок арматуры.