7 четное или нечетное. Чёт и нечет. Умножение четных и нечетных чисел

Признак чётности

Если в десятичной форме записи числа последняя цифра является чётным числом (0, 2, 4, 6 или 8), то всё число так же является чётным, в противном случае - нечётным.
42 , 104 , 11110 , 9115817342 - чётные числа.
31 , 703 , 78527 , 2356895125 - нечётные числа.

Арифметика

Сложение и вычитание:
- Ч ётное ± Ч ётное = Ч ётное
- Ч ётное ± Н ечётное = Н ечётное
- Н ечётное ± Ч ётное = Н ечётное
- Н ечётное ± Н ечётное = Ч ётное
Умножение:
- Ч ётное × Ч ётное = Ч ётное
- Ч ётное × Н ечётное = Ч ётное
- Н ечётное × Н ечётное = Н ечётное
Деление:
- Ч ётное / Ч ётное - однозначно судить о чётности результата невозможно (если результат целое число , то оно может быть как чётным, так и нечётным)
- Ч ётное / Н ечётное = если результат целое число , то оно Ч ётное
- Н ечётное / Ч ётное - результат не может быть целым числом, а соответственно обладать атрибутами чётности
- Н ечётное / Н ечётное = если результат целое число , то оно Н ечётное

История и культура

Понятие чётности чисел известно с глубокой древности и ему часто придавалось мистическое значение. Так, в древнекитайской мифологии нечётные числа соответствовали Инь , а чётные - Ян .

В разных странах существуют связанные с количеством даримых цветов традиции, например в США , Европе и некоторых восточных странах считается что чётное количество даримых цветов приносит счастье . В России чётное количество цветов принято приносить лишь на похороны умершим; в случаях когда в букете много цветов, чётность или нечётность их количества уже не играет такой роли.

Примечания

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Четные числа" в других словарях:

Во многих культурах, особенно в вавилонской, индуистской и пифагорейской, число есть фундаментальный принцип, лежащий в основе мира вещей. Оно начало всех вещей и той гармонии вселенной, стоящей за их внешней связью. Число это основной принцип… … Словарь символов

Чётность в теории чисел характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два. Если целое число делится без остатка на два, оно называется чётным (примеры: 2, 28, −8, 40), если нет нечётным (примеры: 1, 3, 75, −19).… … Википедия

ЧИСЛА - ♠ Значение сна зависит от того, где именно и в каком виде вы видели приснившееся вам число, а также от его значения. Если число было в календаре это предупреждение о том, что в этот день вас ждет важное событие, которое перевернет всю вашу… … Большой семейный сонник

Пифагор и пифагорейцы - Пифагор родился на Самосе. Расцвет его жизни приходится на 530 е годы до н.э., а смерть на начало V в. до н.э. Диоген Лаэртский, один из известных биографов античных философов, сообщает нам: Молодой и жадный до знаний, он покинул отечество,… … Западная философия от истоков до наших дней

"Сакральный" смысл чисел в верованиях и учениях - К материалу "07.07.07. Влюбленные всего мира поверили в магию чисел" С глубокой древности числа играют важную и многогранную роль в жизни человека. Древние люди приписывали им особые, сверхъестественные свойства; одни числа сулили… … Энциклопедия ньюсмейкеров

П., сын Мнезарха, уроженец Самоса, процветал при тиране Поликрате (533 2 или 529 8 г.; Busolt, Gr. Gesch. , II, 233, 1) и основал общество в Кротоне, италийском городе, находившемся в тесных сношениях с Самосом. По словам Гераклита, он был ученее … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

В криптографии под случайным простым числом понимается простое число, содержащее в двоичной записи заданное количество битов, на алгоритм генерации которого накладываются определенные ограничения. Получение случайных простых чисел является… … Википедия

Раздел теории чисел, в к ром изучаются задачи о разложении целых чисел на слагаемые заданного вида, а также алгебраич. и геометрич. аналоги таких задач, относящиеся к полям алгебраич. чисел и к множествам точек решетки. Эти задачи наз.… … Математическая энциклопедия

В теории чисел счастливое число является натуральным числом множества генерируемое «решетом», аналогичным решету Эратосфена, которое генерирует простые числа. Начнем со списка целых чисел, начиная с 1: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,… … Википедия

НУМЕРОЛОГИЯ - методы определения скрытых истин с помощью толкования чисел. В основе нумерологии лежит идея о том, что каждое число является символом неких понятий. Например, 1 это единство, Бог, начало и неделимость; 2 двойственность, разделение, анализ,… … Символы, знаки, эмблемы. Энциклопедия

Определения

Чётное число - целое число, которое делится без остатка на 2: …, −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8, …
Нечётное число - целое число, которое не делится без остатка на 2: …, −3, −1, 1, 3, 5, 7, 9, …

В соответствии с этим определением нуль является чётным числом.

Если m чётно, то оно представимо в виде , а если нечётно, то в виде , где .

В разных странах существуют связанные с количеством даримых цветов традиции.

В России и странах СНГ чётное количество цветов принято приносить лишь на похороны умершим. Однако, в случаях, когда в букете много цветов (обычно больше ), чётность или нечётность их количества уже не играет никакой роли.

Например, вполне допустимо подарить юной даме букет из 12 или 14 цветов или срезов кустового цветка, если они имеют множество бутонов , у которых они, в принципе, не подсчитываются.
Тем более это относится к б́ольшему количеству цветов (срезов), даримых в других случаях.

Примечания

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Чётные и нечётные числа" в других словарях:

Слегка избыточное число, или квазисовершенное число избыточное число, сумма собственных делителей которого на единицу больше самого числа. До настоящего времени не было найдено ни одного слегка избыточного числа. Но со времён Пифагора,… … Википедия

Целые положительные числа, равные сумме всех своих правильных (т. е. меньших этого числа) делителей. Например, числа 6 = 1+2+3 и 28 = 1+2+4+7+14 являются совершенными. Ещё Евклидом (3 в. до н. э.) было указано, что чётные С. ч. можно… …

Целые (0, 1, 2,...) или полуцелые (1/2, 3/2, 5/2,...) числа, определяющие возможные дискретные значения физических величин, которые характеризуют квантовые системы (атомное ядро, атом, молекулу) и отдельные элементарные частицы.… … Большая советская энциклопедия

Книги

Математические лабиринты и ребусы, 20 карточек , Барчан Татьяна Александровна, Самоделко Анна. В наборе: 10 ребусов и 10 математических лабиринтов на темы: - Числовой ряд; - Чётные и нечётные числа; - Состав числа; - Счёт парами; - Упражнения на сложение и вычитание. В комплекте 20…

Шнякина Алина

Работа заняла II место на районной научно - практической конференции.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Районная научно - практическая конференция учащихся и педагогов

Предмет «математика»

Номинация « Реферат проблемно - поискового характера »

Тема: «Четные и нечетные числа»

Учитель: Окшина Л.А.

2011 - 2012 учебный год

МОБУ «Рыбкинская средняя общеобразовательная школа»

Чётные и нечётные числа.

/Реферат/

Работу выполнила

Ученица 5 класса

Шнякина Алина.

Работу проверил

Учитель математики

Окшина Л. А.

с. Рыбкино 2012г.

Введение 4

Основная часть 5

Определение. Свойства. 5

Традиции 6

Пифагорейская теория чисел 8

Нумерология 10

Вывод 12

Литература 13

Введение.

Цель: узнать, почему четным и нечетным числам приписывают различный смысл.

Задачи:

Найти определение и свойства четных и нечетных чисел.
Какие традиции в различных странах связаны с числами?
Как четные и нечетные числа применяются в нумерологии?

План:

Введение.
Основная часть.

Определение. Свойства;

Традиции;
Пифагорейская теория чисел;
Нумерология.

Вывод.

Актуальность.

Еще в древности люди отмечали влияние чисел и зависимость судьбы от совпадения или, наоборот, невыпадения определенных чисел, а также цикличность всего происходящего в мире. Не философы и не мыслители, скорее всего, вообще в своей массе простые и не слишком образованные люди очень верно выражали это в сказках и мифах, где чаще всего фигурируют тройка и семерка.

В сказках жили-были три богатыря, трое или семеро сыновей, семь гномов, а царство числилось тридевятым! Чтобы не сглазить свою удачу, люди традиционно трижды сплевывали (и сейчас тоже!) через левое плечо или стучали по дереву. Особо любимые числа часто встречаются в пословицах и поговорках: «Бог троицу любит», «семеро одного не ждут», «семь раз отмерь, один раз отрежь»…

Почему в основном в сказках применяются нечетные числа?

Почему на день рождения дарят нечетное число цветов? И еще много вопросов встало передо мною.

Я решила узнать об этом. Нашла материал и начала своё исследование.

Основная часть.

Определение.

Чётное число — целое число, которое делится без остатка на 2: например: 2, 4, 6, 8, …
Нечётное число — целое число, которое не делится без остатка на 2: например: 1, 3, 5, 7, 9, …

В соответствии с этим определением нуль является чётным числом.

Если в десятичной форме записи числа последняя цифра является чётным числом (0, 2, 4, 6 или 8), то всё число так же является чётным, в противном случае — нечётным.

42, 104, 11110, 9115817342 — чётные числа.

31, 703, 78527, 2356895125 — нечётные числа

Свойства.

Деление:

Чётное / Чётное — однозначно судить о чётности результата невозможно (если результат целое число , то оно может быть как чётным, так и нечётным)
Чётное / Нечётное = если результат целое число , то оно Чётное
Нечётное / Чётное — результат не может быть целым числом, а соответственно обладать атрибутами чётности
Нечётное / Нечётное = если результат целое число , то оно Нечётное.

Традиции.

Понятие чётности чисел известно с глубокой древности и ему часто придавалось мистическое значение. В разных странах существуют традиции, связанные с количеством даримых цветов .

Например, в Европе, США и некоторых государствах востока существует поверье, что четное количество цветов приносит счастье.

По российским традициям четное количество цветов приносят на похороны, а живому человеку пристало дарить цветы только в нечетном количестве.
Существует несколько версий о происхождении этой традиции.
Языческие верования трактуют четные числа - как символы смерти и зла. Помните поговорку «беда не приходит одна»? Именно из следования этой традиции и пошел обычай дарить живым людям только четное количество цветов.

Многими древними культурами, парные числа связывались с законченностью, завершением, в данном случае - жизненного пути. Нечетное число, (кроме 13) напротив, символ счастья, успеха, везения. Нечетные числа нестабильны, они символизируют движение, жизнь, смех. Четные - символ умиротворенности и покоя.

Для древних пифагорейцев олицетворением добра, жизни, света были нечетные числа, а еще они символизировали правую сторону (сторону удачи). Неудачливую же левую сторону, и вместе с ней смерть, зло, тьму - символизировали четные числа.

Не отсюда ли пошло знаменитое «встать с левой ноги», символизирующее неудачное начало дня? В японской культуре числа 1,3,5 обозначают мужское начало «янь» и говорят о жизни, силе, движении. Числа 2,4,6, - это женское начало «инь», покой, пассивность. В Японии не принято дарить живым людям четыре цветка, потому что число 4 символизирует смерть.

Израильтяне, наоборот - дарят четное количество цветов, а вот на похороны цветы не приносят. В Грузии считают, что все связанное с семейными ценностями приносит счастье, поэтому два цветка (пара) - удачное сочетание, а на кладбище несут нечетное количество цветов «чтобы покойный пару не забрал с собой». Европеец и американец может с наилучшими намерениями подарить русской девушке 8 или 10 роз, и искренне удивиться ее реакции.

Стоит отметить, что столь придирчивый счет цветов имеет место лишь до дюжины. После этого количества не имеет значение четное или нет количество стеблей в букете. Ведь, пресловутый «миллион алых роз» - имеет четное количество цветов.

Во многих сказках мы встречаем разные числа. Чаще всего это числа ТРИ и СЕМЬ.

Число «3» издревле считали магическим. Даже в библии бог предстает в триедином лице. 3- это божественное совершенство. Известно выражение: Бог троицу любит.

Цифра «3» в сказках наталкивает читателя на мысль о волшебстве, о совершенстве. Ведь в русских сказках всегда желания исполняются только в третий раз.

«Три девицы под окном

Пряли поздно вечерком».

«И очутятся на бреге,

В чешуе как жар горя,

Тридцать три богатыря.»

7 - число особое. Так, известно, что жрецы Вавилона поклонялись семи богам. Символика числа 7 характерна и для библейских сюжетов. Богословы трактуют это число как соединение числа 3-божественного совершенства и 4 -мирового порядка.

В русских поговорках и пословицах слово «семь» часто выступает в значении «много»: «Семеро одного не ждут», «Семь раз отмерь - один раз отрежь», «Семь бед - один ответ», «Лук от семи недуг» и т. д. В сказке А.С. Пушкина число 7 тоже имеет значение «много»: «семь богатырей, семь румяных усачей».

В приданое царевне было дано «семь торговых городов да сто сорок теремов».

А вот с четными числами есть суеверное представление: оно связано со смертью, с нечистой силой.

Значит, выбор числительных в сказках основан на народном представлении о значении чисел.

Пифагорейская теория чисел.

А можно ли узнать, сколько радостей, счастливых дней, бед и несчастий предназначено в жизни каждому из нас? В поисках ответа люди издавна по своим наблюдениям стали приписывать цифрам особый магический смысл. Это позволило растолковать зависимость явлений от чисел и объяснить их законы. Так зарождалась наука о числах - нумерология. Особая роль в становлении нумерологии принадлежит великому Пифагору - древнегреческому философу и математику, который объединил математику с науками о природе человека.

Нумерология утверждает, что числа обладают определенными свойствами, которые они распространяют на все предметы и явления мира.

Чётные и нечётные числа применяются в нумерологии.

Во вселенной существуют пары противоположностей, которые являются важным фактором ее устройства. Основные свойства, которые нумерология приписывает нечетным (1, 3, 5, 7, 9) и четным (2, 4, 6, 8) числам, как парам противоположностей, следующие:

1 - активный, целеустремленный, властный, черствый, руководящий, инициативный;

2 - пассивный, восприимчивый, слабый, сочувствующий, подчиненный;

3 - яркий, веселый, артистичный, удачливый, легко добивающийся успеха;

4 - трудолюбивый, скучный, безынициативный, несчастный, тяжелый труд и частое поражение;

5 - подвижный, предприимчивый, нервный, неуверенный;

6 - простой, спокойный, домашний, устроенный; материнская любовь;

7 - уход от мира, мистика, тайны;

8 - мирская жизнь; материальная удача или поражение;

9 - интеллектуальное и духовное совершенство.

Нечетные числа обладают гораздо более яркими свойствами. Рядом с энергией "1", блеском и удачливостью "3", авантюрной подвижностью и многогранностью "5", мудростью "7" и совершенством "9" четные числа выглядят не столь ярко. Насчитывается 10 основных пар противоположностей, существующих во Вселенной. Среди этих пар: четное - нечетное, один - много, правое - левое, мужское - женское, добро - зло. Один, правое, мужское и доброе ассоциировалось с нечетными числами; много, левое, женское и злое - с четными.

Мужские свойства нечетных чисел вытекают из того факта, что они сильнее четных. Если четное число расщепить пополам, то, кроме пустоты, посередине ничего не останется. Нечетное число разбить непросто, потому что посередине остается точка. Если же соединить вместе четное и нечетное числа, то победит нечетное, так как результат всегда будет нечетным. Именно поэтому нечетные числа обладают мужскими свойствами, властными и резкими, а четные - женскими, пассивными и воспринимающими.

Нечетных чисел нечетное число: их пять. Четных чисел четное число - четыре.
Нечетные числа - солнечные, электрические, кислотные и динамичные. Они являются слагаемыми; их с чем либо складывают. Четные числа - лунные, магнетические, щелочные и статичные. Они являются вычитаемыми, их уменьшают. Они остаются без движения, потому что имеют четные группы пар (2 и 4; 6 и 8).

Если мы сгруппируем нечетные числа, одно число всегда останется без своей пары (1 и 3; 5 и 7; 9). Это делает их динамичными. Два подобных числа (два нечетных числа или два четных) не являются благоприятными.

четное + четное = четное (статичное) 2+2=4

четное + нечетное = нечетное (динамичное) 3+2=5

нечетное + нечетное = четное (статичное) 3+3=6

Некоторые числа дружественны, другие - противостоят друг другу. Взаимоотношения чисел определяются отношениями между планетами, которые ими управляют (подробности в разделе "Совместимость чисел"). Когда два дружественных числа соприкасаются, их сотрудничество не очень продуктивно. Подобно друзьям, они расслабляются - и ничего не происходит. Но когда в одной комбинации находятся враждебные числа, они заставляют друг друга быть настороже и побуждают к активным действиям; таким образом, эти два человека работают намного больше. В таком случае, враждебные числа оказываются на самом деле друзьями, а друзья - настоящими врагами, тормозящими прогресс. Нейтральные числа остаются неактивными. Они не дают поддержки, не вызывают и не подавляют активность.

Вывод.

В ходе работы я выяснила, что не зря Пифагор сказал «Число есть всё». Нечетные числа, особенно 3 и 7, являлись символом полноты, счастья. В сказках часто встречается тройка персонажей. А в радуге не случайно семь цветов, на свете семь чудес света, в неделе 7 дней. В Библии есть упоминание о семи светильниках, семи ангелах, о семи годах изобилия и семи - голода.

Еще с древних времен остались обычаи дарить четное или нечетное количество цветов, хотя в разных странах по - разному.

И еще я выяснила, что есть целая наука, которая занимается числами. Это нумерология. Числовые совпадения встречаются сплошь и рядом - в номерах телефонов и автомобилей, в адресах и номерах этажей, в датах рождения. Это не случайные совпадения, а вполне определенная зависимость, так называемая магия чисел. Числа не только позволяют измерять количества, но и обозначают свойства и качественные характеристики, обращают наше внимание на различные явления и могут о многом рассказать. Числа магическим, неотвратимым образом влияют на нашу жизнь, на самые разные события, и невозможно отрицать, что магия чисел существует. Надо только найти ключ к их тайному коду.

Я поняла, что, изучая числа и их роль, можно лучше понять историю своего народа по сказкам. Зная дату рождения, можно определить характер человека. Поэтому работа над этим рефератом мне очень понравилась.

Литература.

Пифагор Самосский (570—490 гг. до н. э.) - древнегреческий философ, математик и мистик, создатель религиозно - философской школы пифагорейцев.

В нумерологии (науке о связях чисел с жизнью людей) нечетные числа (1, 3, 5, 7, 9, 11 и так далее) считаются выразителями мужского начала, которое в восточной философии называется - ян. Их также называют солнечными, потому что они несут энергию нашего светила. Такие цифры отражают поиск, стремление к чему-то новому.

Четные же числа (которые без остатка делятся на 2) говорят о женской природе (в восточной философии - инь) и энергетике Луны. Их суть в том, что они изначально тяготеют к двойке, поскольку делятся на нее. Эти цифры говорят о стремлении к логическим правилам отображения действительности и нежелании выйти за их пределы.

Другими словами: четные цифры более правильны, но в то же время более ограничены и прямолинейны. А нечетные способны помочь выбраться из скучного и серого бытия.

Нечетных чисел больше (ноль в нумерологии имеет собственное значение и не считается четным числом) - пять (1, 3, 5, 7, 9) против четырех (2,4,6, 8). Их более сильная энергия выражается в том, что при их сложении с четными числами снова получается нечетное число.

Противопоставление четных и нечетных чисел входит в общую систему противоположностей (один -много, мужчина - женщина, день -ночь, правый - левый, добро - зло и т.п.). При этом с нечетными числами связаны первые понятия, а с четными-вторые.

Таким образом, всякое нечетное число обладает мужскими характеристиками: властностью, резкостью, способностью к восприятию чего-то нового, а любое четное наделено женскими свойствами: пассивностью, стремлением сгладить любой конфликт.

Значения цифр

Всем цифрам в нумерологии свойственны определенные значения:

Единица несет в себе активность, целеустремленность, инициативу.
Двойка - восприимчивость, слабость, готовность подчиняться.
Тройка - веселье, артистизм, удачливость.
Четверка - трудолюбие, однообразие, скуку, безвестность, поражение.
Пятерка - предприимчивость, успехи в любви, движение к цели.
Шестерка - простоту, спокойствие, тяготение к домашнему уюту.
Семерка - мистику, таинственность.
Восьмерка - материальные блага.
Девятка - интеллектуальное и духовное совершенство, высокие достижения.

Как видим, нечетные цифры обладают гораздо более яркими свойствами. Согласно учению знаменитого древнегреческого математика Пифагора, именно они являлись олицетворением добра, жизни и света, а также символизировали правую от человека сторону - сторону удачи.

Четные же цифры ассоциировались с неудачной левой стороной, злом, тьмой и смертью. Эти взгляды пифагорейцев позже отразились в некоторых приметах (например, что нельзя живому человеку дарить четное количество цветов или что встать с левой ноги - к неудачному дню), хотя у разных народов они могут быть разными.

Влияние четных и нечетных чисел на нашу жизнь

Со времен Пифагора было принято считать, что «женские» четные числа ассоциируются со злом потому, что легко расщепляются на две половины - и значит, можно говорить, что внутри них пустое пространство, первобытный хаос. А нечетное число расщепить на равные части без остатка не получится, следовательно, оно содержит внутри себя нечто цельное и даже священное (в Средние века некоторые философы-теологи утверждали, что внутри нечетных чисел живет Бог).

В современной нумерологии принято учитывать многие окружающие нас цифры - например, номера телефонов или квартир, даты рождения и знаменательных событий, числа имени и фамилии и т.п.

Наибольшее значение для нашей жизни имеет так называемое число судьбы, которое высчитывается по дате рождения. Нужно сложить все цифры этой даты и «свернуть» их до простого числа.

Скажем, вы родились 28 сентября 1968 года (28.09.1968). Складываем цифры: 2+8+0+9+1+9+ 6 -I- 8 = 43; 4 + 3 = 7. Следовательно, ваше число судьбы - 7 (как было сказано выше - число мистики и таинственности).

Точно так же можно проанализировать даты важных для вас событий. В этом отношении очень показательна судьба знаменитого Наполеона. Он родился 15 августа 1769 года (15.08.1769), следовательно, его число судьбы равно единице:

1 + 5 + 0 + 8 + 1 + 7 + 6 + 9 = 37; 3 + 7 = 10; 1 + 0 = 1.

Это нечетное число, согласно современной нумерологии, несет в себе активность, целеустремленность, инициативу -качества, благодаря которым Наполеон проявил себя. Он стал французским императором 2 декабря 1804 года (02.12.1804), число этой даты - девятка (0 + 2+1 + 2 + 1 + 8 + 0 + 4 = 18; 1 + 8 = 9 ), которая является числом высоких достижений. Он скончался 5 мая 1821 года (05.05.1821), число этого дня - четверка (0 + 5 + 0 + 5 + 1+ 8 + 2 + 1 = 22; 2 + 2 = 4 ), которая означает безвестность и поражение.

Древние люди не зря говорили, что цифры правят миром. Пользуясь знаниями нумерологии, вы легко можете подсчитать, какие события сулит та или иная дата - и в каких случаях следует воздержаться от ненужных действий.

Четные числа - это те, которые делятся на 2 без остатка (например, 2, 4, 6 и т.п.). Каждое такое число можно записать в виде 2*K, подобрав подходящее целое K (например, 4 = 2 х 2, 6 = 2 х 3, и т.д.).

Нечетные числа - это те, которые при делении на 2 дают в остатке 1 (например, 1, 3, 5 и т.п.). Каждое такое число можно записать в виде 2*K + 1, подобрав подходящее целое K (например, 3 = 2 х 1 + 1, 5 = 2 х 2 + 1, и т.д.).

Сложение и вычитание:

Чётное ± Чётное = Чётное

Чётное ± Нечётное = Нечётное

Нечётное ± Чётное = Нечётное

Нечётное ± Нечётное = Чётное

Умножение:

Чётное × Чётное = Чётное

Чётное × Нечётное = Чётное

Нечётное × Нечётное = Нечётное

Рассмотрим также свойства четных и нечетных чисел, важные для решения задач.

1. Если хотя бы один множитель произведения двух (или нескольких) чисел четен, то и все произведение четно.

2. Если каждый множитель произведения двух (или нескольких) чисел нечетен, то и все произведение нечетно.

3. Сумма любого количества четных чисел - число четное.

4. Сумма четного и нечетного чисел - число нечетное.

5. Сумма любого количества нечетных чисел - число четное, если число слагаемых четно, и нечетное, если число слагаемых нечетно.

В справедливости этих свойств мы убедимся при решении задач.

Задача 1. В магазин "Все для собак и кошек" привезли новые игрушки. Могут ли десять игрушек ценой в 3, 5 или 7 рублей стоить в сумме 53 рубля?

Решение. Сумма четного количества нечетных чисел четна. У нас есть 10 чисел (цена одной игрушки), все они нечетные, значит их сумма должна быть четна. Но 53 - число нечетное, поэтому получить его в виде суммы 10 нечетных чисел нельзя.

Задача 2. Хозяйка купила общую тетрадь объемом 96 листов и пронумеровала все ее страницы по порядку числами от 1 до 192. Щенок Антошка выгрыз из этой тетради 25 листов и сложил все 50 чисел, которые на них написаны. Могло ли у него получиться 1990?

Решение: На каждом листе сумма номеров страниц нечетна, а сумма 25 нечетных чисел – нечетна.

Задача 3. У Антоши было 5 плиток шоколада. Может ли Антоша, поделив каждую плитку на 9, 15 или 25 кусочков, получить всего 100 кусков шоколада?

Ответ. Нет, т.к. если сложить 5 нечетных чисел, получим нечетный результат. А 100 четно.

Задача 4 . На плоскости расположено 9 шестеренок, соединенных по цепочке (первая со второй, вторая с третьей... 9-я с первой). Могут ли они вращаться одновременно?

Решение: Нет, не могут. Если бы они могли вращаться, то в замкнутой цепочке чередовалось бы два вида шестеренок: вращающиеся по часовой стрелке и против часовой стрелки (для решения задачи не имеет никакого значения, в каком именно направлении вращается первая шестеренка!) Тогда всего должно быть четное число шестеренок, а их 9 штук?! ч.и.т.д. (знак "?!" обозначает получение противоречия)

Задача 5 . Четна или нечетна сумма всех натуральных чисел от 1 до 17?

Из 17 натуральных чисел 8 четных:

2,4,6,8,10,12,14,16, остальные 9 нечетны. Сумма всех этих четных чисел четна (свойство 3), сумма нечетных нечетна (свойство 5). Тогда сумма всех 17 чисел нечетна как сумма четного и нечетного чисел (свойство 4).

Ответ: нечетна.

Задача 6 . В пятиэтажном доме с четырьмя подъездами подсчитали число жителей на каждом этаже и, кроме того, в каждом подъезде. Могут ли все полученные 9 чисел быть нечетными?

Обозначим число жителей на этажах соответственно через a1 a2 a3 а4, a5, a число жителей в подъездах соответственно через b1 b2 b3 b4. Тогда общее число жителей дома можно подсчитать двумя способами - по этажам и по подъездам:

а1 + а2 + а3 + а4 + а5 = b1, + b2 + b3 + b4.

Если бы все эти 9 чисел были нечетными, то сумма в левой части записанного равенства была бы нечетной, а сумма в правой части - четной. Следовательно, это невозможно.

Ответ: не могут.

Задача 7 . Четно или нечетно произведение (7а + b - 2с + 1)(3а – 5b + 4с + 10), где числа a, b, с - целые?

Решение. Можно перебирать случаи, связанные с четностью или нечетностью чисел а, b и с (8 случаев!), но проще поступить иначе. Сложим множители:

(7а + b - 2с + 1) + (За -5 b + 4с+ 10) = 10а - 4 b + 2с + 11.

Так как полученная сумма нечетна, то один из множителей данного

произведения четен, а другой нечетен. Следовательно, само произведение четно.

Ответ: четно.

Задача 8 . Щенок Антошка нацарапал на доске: 1*2*3*4*5*6*7*8*9 = 33, причем вместо каждой звездочки он поставил либо плюс, либо минус. Филя переправил несколько знаков на противоположные и в результате вместо числа 33 получил число 32. Верно ли, что по меньшей мере один из щенков ошибся при подсчете?

Если все звездочки заменить на плюсы, то полученная сумма будет нечетной, а, следовательно, и данная сумма - тоже. Поэтому по меньшей мере ошибся Филя.

Ответ: верно.

А теперь основные идеи четности: (!) Все эти идеи можно на олимпиаде вставлять в текст решения задачи.

1. Если в некоторой замкнутой цепочке чередуются объекты двух видов, то их четное число (и каждого вида поровну).

2. Если в некоторой цепочке чередуются объекты двух видов, а начало и конец цепочки разных видов, то в ней четное число объектов, если начало и конец одного вида, то нечетное число. (четное число объектов соответствует нечетному числу переходов между ними и наоборот!)

2". Если у объекта чередуются два возможных состояния, а исходное и конечное состояния различны, то периодов пребывания объекта в том или ином состоянии - четное число, если исходное и конечное состояния совпадают - то нечетное.

3. Обратно: по четности длины чередующийся цепочке можно узнать, одного или разных видов ее начало и конец.

3". Обратно: по числу периодов пребывания объекта в одном из двух возможных чередующихся состояний можно узнать, совпадает ли начальное состояние с конечным.

4. Если любые предметы можно разбить на пары, то их количество четно.

5. Если нечетное число предметов почему-то удалось разбить на пары, то какой-то из них будет парой к самому себе, причем такой предмет может быть не один (но их всегда нечетное число).