Определяне на синуса на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник. Синус, косинус, тангенс и котангенс в тригонометрията: определения, примери

Една от областите на математиката, с които учениците се борят най-много, е тригонометрията. Не е изненадващо: за да овладеете свободно тази област на знанието, имате нужда от пространствено мислене, способността да намирате синуси, косинуси, тангенси, котангенси с помощта на формули, да опростявате изрази и да можете да използвате числото pi в изчисления. Освен това трябва да можете да използвате тригонометрията, когато доказвате теореми, а това изисква или развита математическа памет, или способност за извеждане на сложни логически вериги.

Произход на тригонометрията

Запознаването с тази наука трябва да започне с дефиницията на синус, косинус и тангенс на ъгъл, но първо трябва да разберете какво прави тригонометрията като цяло.

Исторически основният обект на изследване в този клон на математическата наука са били правоъгълните триъгълници. Наличието на ъгъл от 90 градуса дава възможност да се извършват различни операции, които позволяват да се определят стойностите на всички параметри на въпросната фигура, като се използват две страни и един ъгъл или два ъгъла и една страна. В миналото хората забелязали този модел и започнали активно да го използват в строителството на сгради, навигацията, астрономията и дори в изкуството.

Първи етап

Първоначално хората говореха за връзката между ъгли и страни изключително чрез примера на правоъгълни триъгълници. Тогава бяха открити специални формули, които направиха възможно разширяването на границите на употреба в Ежедневиетотози клон на математиката.

Изучаването на тригонометрия в училище днес започва с правоъгълни триъгълници, след което учениците използват придобитите знания по физика и решаване на абстрактни тригонометрични уравнения, които започват в гимназията.

Сферична тригонометрия

По-късно, когато науката достигна следващото ниво на развитие, формулите със синус, косинус, тангенс и котангенс започнаха да се използват в сферичната геометрия, където важат различни правила, а сборът от ъглите в триъгълника винаги е повече от 180 градуса. Този раздел не се изучава в училище, но е необходимо да се знае за съществуването му поне защото земната повърхност, а повърхността на всяка друга планета е изпъкнала, което означава, че всяка повърхностна маркировка ще бъде „с форма на дъга“ в триизмерното пространство.

Вземете глобуса и конеца. Прикрепете конеца към произволни две точки на земното кълбо, така че да е опънат. Моля, обърнете внимание - тя е придобила формата на дъга. Сферичната геометрия се занимава с такива форми, които се използват в геодезията, астрономията и други теоретични и приложни области.

Правоъгълен триъгълник

След като научихме малко за начините за използване на тригонометрията, нека се върнем към основната тригонометрия, за да разберем по-нататък какво са синус, косинус, тангенс, какви изчисления могат да се извършват с тяхна помощ и какви формули да използвате.

Първата стъпка е да разберете понятията, свързани с правоъгълен триъгълник. Първо, хипотенузата е страната, противоположна на ъгъла от 90 градуса. Тя е най-дългата. Спомняме си, че според Питагоровата теорема нейната числова стойностравен на корена от сбора на квадратите на другите две страни.

Например, ако двете страни са съответно 3 и 4 сантиметра, дължината на хипотенузата ще бъде 5 сантиметра. Между другото, древните египтяни са знаели за това преди около четири и половина хиляди години.

Двете останали страни, които образуват прав ъгъл, се наричат ​​катети. Освен това трябва да помним, че сумата от ъглите в триъгълник в правоъгълна координатна система е равна на 180 градуса.

Определение

И накрая, с твърдо разбиране на геометричната основа, човек може да се обърне към дефиницията на синус, косинус и тангенс на ъгъл.

Синусът на ъгъл е съотношението на противоположния катет (т.е. страната, противоположна на желания ъгъл) към хипотенузата. Косинусът на ъгъл е отношението на съседната страна към хипотенузата.

Не забравяйте, че нито синус, нито косинус могат да бъдат по-големи от едно! Защо? Тъй като хипотенузата по подразбиране е най-дългата, независимо колко е дълъг катетът, той ще бъде по-къс от хипотенузата, което означава, че тяхното отношение винаги ще бъде по-малко от едно. Така, ако в отговора си на задача получите синус или косинус със стойност, по-голяма от 1, потърсете грешка в изчисленията или разсъжденията. Този отговор е очевидно неправилен.

И накрая, тангенсът на ъгъл е съотношението на срещуположната страна към съседната страна. Разделянето на синуса на косинуса ще даде същия резултат. Вижте: според формулата, ние разделяме дължината на страната на хипотенузата, след това разделяме на дължината на втората страна и умножаваме по хипотенузата. Така получаваме същата връзка като в дефиницията на допирателната.

Котангенсът, съответно, е съотношението на страната, съседна на ъгъла, към противоположната страна. Получаваме същия резултат, като разделим едно на тангенса.

И така, разгледахме дефинициите за това какво са синус, косинус, тангенс и котангенс и можем да преминем към формулите.

Най-простите формули

В тригонометрията не можете без формули - как да намерите синус, косинус, тангенс, котангенс без тях? Но точно това се изисква при решаване на проблеми.

Първата формула, която трябва да знаете, когато започнете да изучавате тригонометрия, гласи, че сумата от квадратите на синуса и косинуса на ъгъл е равна на едно. Тази формула е пряко следствие от Питагоровата теорема, но спестява време, ако трябва да знаете размера на ъгъла, а не на страната.

Много ученици не могат да запомнят втората формула, която също е много популярна при решаването училищни задачи: сумата от едно и квадрата на тангенса на ъгъла е равна на единица, разделена на квадрата на косинуса на ъгъла. Погледнете по-отблизо: това е същото твърдение като в първата формула, само че двете страни на тъждеството бяха разделени на квадрата на косинуса. Оказва се, че една проста математическа операция прави тригонометричната формула напълно неузнаваема. Запомнете: знаейки какво са синус, косинус, тангенс и котангенс, правила за трансформация и няколко основни формули, можете по всяко време да извлечете необходимите по-сложни формули на лист хартия.

Формули за двойни ъгли и събиране на аргументи

Още две формули, които трябва да научите, са свързани със стойностите на синуса и косинуса за сбора и разликата на ъглите. Те са представени на фигурата по-долу. Моля, обърнете внимание, че в първия случай синусът и косинусът се умножават и двата пъти, а във втория се добавя произведението по двойки на синус и косинус.

Има и формули, свързани с аргументи с двоен ъгъл. Те са напълно извлечени от предишните - като практика, опитайте се да ги получите сами, като вземете ъгъла алфа равен на ъгъла бета.

И накрая, имайте предвид, че формулите за двоен ъгъл могат да бъдат пренаредени, за да се намали степента на синус, косинус, тангенс алфа.

Теореми

Двете основни теореми в основната тригонометрия са синусовата теорема и косинусовата теорема. С помощта на тези теореми можете лесно да разберете как да намерите синуса, косинуса и тангенса, и следователно площта на фигурата и размера на всяка страна и т.н.

Синусовата теорема гласи, че като разделим дължината на всяка страна на триъгълник на противоположния ъгъл, получаваме същия номер. Освен това това число ще бъде равно на два радиуса на описаната окръжност, тоест окръжността, съдържаща всички точки на даден триъгълник.

Косинусовата теорема обобщава Питагоровата теорема, проектирайки я върху всякакви триъгълници. Оказва се, че от сумата на квадратите на двете страни извадете техния продукт, умножен по двойния косинус на съседния ъгъл - получената стойност ще бъде равна на квадрата на третата страна. Така Питагоровата теорема се оказва частен случай на косинусовата теорема.

Грешки от невнимание

Дори да знаете какво са синус, косинус и тангенс, лесно е да направите грешка поради разсеяност или грешка в най-простите изчисления. За да избегнем подобни грешки, нека да разгледаме най-популярните.

Първо, не трябва да преобразувате дроби в десетични знаци, докато не получите крайния резултат - можете да оставите отговора като обикновена дроб, освен ако не е посочено друго в условията. Такава трансформация не може да се нарече грешка, но трябва да се помни, че на всеки етап от проблема могат да се появят нови корени, които според идеята на автора трябва да бъдат намалени. В този случай ще си загубите времето в ненужни математически операции. Това е особено вярно за стойности като корен от три или корен от две, защото те се намират в проблеми на всяка стъпка. Същото важи и за закръгляването на „грозните“ числа.

Освен това имайте предвид, че косинусовата теорема се прилага за всеки триъгълник, но не и за Питагоровата теорема! Ако по погрешка забравите да извадите два пъти произведението на страните, умножено по косинуса на ъгъла между тях, не само ще получите напълно грешен резултат, но и ще демонстрирате пълна липса на разбиране на темата. Това е по-лошо от грешка по невнимание.

Трето, не бъркайте стойностите за ъгли от 30 и 60 градуса за синуси, косинуси, тангенси, котангенси. Запомнете тези стойности, защото синус от 30 градуса е равен на косинус от 60 и обратно. Лесно е да ги объркате, в резултат на което неизбежно ще получите грешен резултат.

Приложение

Много ученици не бързат да започнат да изучават тригонометрия, защото не разбират нейния практически смисъл. Какво е синус, косинус, тангенс за инженер или астроном? Това са концепции, с които можете да изчислите разстоянието до далечни звезди, да предскажете падането на метеорит или да изпратите изследователска сонда до друга планета. Без тях е невъзможно да се построи сграда, да се проектира автомобил, да се изчисли натоварването върху повърхност или траекторията на обект. И това са само най-очевидните примери! В крайна сметка тригонометрията под една или друга форма се използва навсякъде, от музиката до медицината.

Накрая

Така че вие ​​сте синус, косинус, тангенс. Можете да ги използвате в изчисления и да решавате успешно училищни задачи.

Целият смисъл на тригонометрията се свежда до факта, че с помощта на известните параметри на триъгълник трябва да изчислите неизвестните. Има общо шест параметъра: дължината на трите страни и размера на трите ъгъла. Единствената разлика в задачите е, че се дават различни входни данни.

Вече знаете как да намерите синус, косинус, тангенс въз основа на известните дължини на катетите или хипотенузата. Тъй като тези термини не означават нищо повече от съотношение, а съотношението е дроб, основна целТригонометричният проблем се превръща в намирането на корените на обикновено уравнение или система от уравнения. И тук ще ви помогне обикновената училищна математика.

Отношението на противоположната страна към хипотенузата се нарича синус на остър ъгълправоъгълен триъгълник.

\sin \alpha = \frac(a)(c)

Косинус на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник

Отношението на съседния катет към хипотенузата се нарича косинус на остър ъгълправоъгълен триъгълник.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

Тангенс на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник

Отношението на срещуположната страна към съседната страна се нарича тангенс на остър ъгълправоъгълен триъгълник.

tg \alpha = \frac(a)(b)

Котангенс на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник

Отношението на съседната страна към противоположната страна се нарича котангенс на остър ъгълправоъгълен триъгълник.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

Синус на произволен ъгъл

Нарича се ордината на точка от единичната окръжност, на която съответства ъгълът \alpha синус на произволен ъгълвъртене \alpha .

\sin \alpha=y

Косинус на произволен ъгъл

Нарича се абсцисата на точка от единичната окръжност, на която съответства ъгълът \alpha косинус на произволен ъгълвъртене \alpha .

\cos \alpha=x

Тангенс на произволен ъгъл

Отношението на синуса на произволен ъгъл на завъртане \alpha към неговия косинус се нарича тангенс на произволен ъгълвъртене \alpha .

tan \alpha = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

Котангенс на произволен ъгъл

Отношението на косинуса на произволен ъгъл на завъртане \alpha към неговия синус се нарича котангенс на произволен ъгълвъртене \alpha .

ctg\alpha =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

Пример за намиране на произволен ъгъл

Ако \alpha е някакъв ъгъл AOM, където M е точка от единичната окръжност, тогава

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

Например ако \ъгъл AOM = -\frac(\pi)(4), тогава: ординатата на точка M е равна на -\frac(\sqrt(2))(2), абсцисата е равна \frac(\sqrt(2))(2)и ето защо

\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-1.

Таблица със стойностите на синусите на косинусите на тангенсите на котангенсите

Стойностите на основните често срещани ъгли са дадени в таблицата:

Учителите вярват, че всеки ученик трябва да може да извършва изчисления, да знае тригонометрични формули, но не всеки учител обяснява какво е синус и косинус. Какво е тяхното значение, къде се използват? Защо говорим за триъгълници, а в учебника е показан кръг? Нека се опитаме да свържем всички факти заедно.

Учебен предмет

Изучаването на тригонометрия обикновено започва в 7-8 клас гимназия. По това време на учениците се обяснява какво е синус и косинус и се иска да решават геометрични задачи, като използват тези функции. По-късно се появяват по-сложни формули и изрази, които трябва да се трансформират алгебрично (формули за двоен и половин ъгъл, мощностни функции), работата се извършва с тригонометричен кръг.

Учителите обаче не винаги могат ясно да обяснят значението на използваните понятия и приложимостта на формулите. Следователно ученикът често не вижда смисъл в този предмет и запомнената информация бързо се забравя. Но след като обясните на гимназист например връзката между функция и осцилаторно движение, логическата връзка ще се помни дълги години и шегите за безполезността на темата ще останат в миналото.

Използване

Заради любопитството, нека разгледаме различни клонове на физиката. Искате ли да определите обсега на снаряд? Или изчислявате силата на триене между обект и определена повърхност? Да въртите махалото, да наблюдавате лъчите, преминаващи през стъклото, да изчислявате индукцията? Тригонометричните концепции се появяват в почти всяка формула. И така, какво са синус и косинус?

Дефиниции

Синусът на ъгъл е отношението на срещуположната страна към хипотенузата, косинусът е отношението на съседната страна към същата хипотенуза. Тук няма абсолютно нищо сложно. Може би учениците обикновено са объркани от стойностите, които виждат на тригонометричната таблица, защото тя включва квадратни корени. Да, получаването на десетични числа от тях не е много удобно, но кой каза, че всички числа в математиката трябва да са равни?

Всъщност можете да намерите забавен намек в задачите по тригонометрия: повечето от отговорите тук са четни и в най-лошия случайсъдържат корен от две или три. Изводът е прост: ако отговорът ви се окаже „многоетажна“ дроб, проверете отново решението за грешки в изчисленията или разсъжденията. И най-вероятно ще ги намерите.

Какво да запомните

Като всяка наука, тригонометрията има данни, които трябва да се научат.

Първо, трябва да запомните числови стойностиза синуси, косинуси на правоъгълен триъгълник 0 и 90, както и 30, 45 и 60 градуса. Тези показатели се срещат в девет от десет училищни проблема. Разглеждайки тези стойности в учебника, ще загубите много време и няма да има къде да ги погледнете по време на тест или изпит.

Трябва да се помни, че стойността на двете функции не може да надвишава единица. Ако някъде в изчисленията си получите стойност извън диапазона 0-1, спрете и опитайте проблема отново.

Сборът от квадратите на синус и косинус е равен на едно. Ако вече сте намерили една от стойностите, използвайте тази формула, за да намерите оставащата.

Теореми

Има две основни теореми в основната тригонометрия: синуси и косинуси.

Първият гласи, че съотношението на всяка страна на триъгълник към синуса на противоположния ъгъл е еднакво. Второто е, че квадратът на всяка страна може да се получи чрез добавяне на квадратите на двете останали страни и изваждане на двойното им произведение, умножено по косинуса на ъгъла, разположен между тях.

Така, ако заместим стойността на ъгъл от 90 градуса в косинусовата теорема, получаваме... Питагоровата теорема. Сега, ако трябва да изчислите площта на фигура, която не е правоъгълен триъгълник, вече не е нужно да се притеснявате - двете обсъдени теореми значително ще опростят решението на проблема.

Цели и задачи

Изучаването на тригонометрията ще стане много по-лесно, когато осъзнаете един прост факт: всички действия, които извършвате, са насочени към постигане само на една цел. Всички параметри на триъгълник могат да бъдат намерени, ако знаете минималната информация за него - това може да бъде стойността на един ъгъл и дължината на две страни или, например, три страни.

За да определите синуса, косинуса, тангенса на всеки ъгъл, тези данни са достатъчни и с тяхна помощ можете лесно да изчислите площта на фигурата. Почти винаги отговорът изисква една от споменатите стойности и те могат да бъдат намерени с помощта на същите формули.

Несъответствия в изучаването на тригонометрията

Един от объркващите въпроси, които учениците предпочитат да избягват, е откриването на връзките между различните концепции в тригонометрията. Изглежда, че триъгълниците се използват за изучаване на синусите и косинусите на ъглите, но по някаква причина символите често се намират на фигурата с кръг. Освен това има напълно неразбираема вълнообразна графика, наречена синусоида, която няма външна прилика нито с кръг, нито с триъгълници.

Освен това ъглите се измерват или в градуси, или в радиани, а числото Pi, написано просто като 3,14 (без единици), по някаква причина се появява във формулите, съответстващи на 180 градуса. Как е свързано всичко това?

Единици

Защо Пи е точно 3,14? Помните ли какво е това значение? Това е броят на радиусите, които се вписват в дъга на половин окръжност. Ако диаметърът на кръга е 2 сантиметра, обиколката ще бъде 3,14 * 2 или 6,28.

Втора точка: може би сте забелязали приликата между думите „радиан“ и „радиус“. Факт е, че един радиан е числено равен на ъгъла, взет от центъра на окръжността към дъга с дължина един радиус.

Сега ще обединим придобитите знания и ще разберем защо „Pi наполовина“ е написано отгоре на координатната ос в тригонометрията, а „Pi“ е написано отляво. Това е ъглова стойност, измерена в радиани, тъй като полукръгът е 180 градуса или 3,14 радиана. И където има градуси, има синуси и косинуси. Лесно е да нарисувате триъгълник желана точка, поставяйки сегментите към центъра и върху координатната ос.

Да погледнем в бъдещето

Тригонометрията, изучавана в училище, се занимава с праволинейна координатна система, където, колкото и странно да звучи, правата линия е права линия.

Но има и по-сложни начини за работа с пространството: сумата от ъглите на триъгълника тук ще бъде повече от 180 градуса, а правата линия в нашето виждане ще изглежда като истинска дъга.

Да преминем от думи към дела! Вземете ябълка. Направете три разреза с нож, така че погледнато отгоре да получите триъгълник. Извадете полученото парче ябълка и погледнете "ребрата", където свършва кората. Изобщо не са прави. Плодът в ръцете ви може условно да се нарече кръгъл, но сега си представете колко сложни трябва да бъдат формулите, с които можете да намерите площта на отрязаното парче. Но някои специалисти решават такива проблеми всеки ден.

Тригонометрични функции в живота

Забелязали ли сте, че най-краткият маршрут за самолет от точка А до точка Б на повърхността на нашата планета има ясно изразена дъгообразна форма? Причината е проста: Земята е сферична, което означава, че не можете да изчислявате много с триъгълници - трябва да използвате по-сложни формули.

Не можете да правите без синус/косинус на остър ъгъл при всякакви въпроси, свързани с пространството. Интересно е, че тук се събират много фактори: тригонометричните функции са необходими при изчисляване на движението на планетите по окръжности, елипси и различни траектории с по-сложни форми; процесът на изстрелване на ракети, сателити, совалки, разкачване на изследователски апарати; наблюдение на далечни звезди и изучаване на галактики, които хората няма да могат да достигнат в обозримо бъдеще.

Като цяло полето на дейност за човек, който познава тригонометрията, е много широко и очевидно ще се разширява само с времето.

Заключение

Днес научихме или поне повторихме какво е синус и косинус. Това са понятия, от които не е нужно да се страхувате - просто ги пожелайте и ще разберете значението им. Не забравяйте, че тригонометрията не е цел, а само инструмент, който може да се използва за задоволяване на реални човешки потребности: строете къщи, осигурявайте безопасност на движението, дори изследвайте необятността на вселената.

Наистина, самата наука може да изглежда скучна, но веднага щом откриете в нея начин за постигане на собствените си цели и себереализация, процесът на обучение ще стане интересен и личната ви мотивация ще се увеличи.

Като домашна работаОпитайте се да намерите начини да приложите тригонометрични функции в област на дейност, която ви интересува лично. Представете си, използвайте въображението си и тогава вероятно ще откриете, че новите знания ще ви бъдат полезни в бъдеще. И освен това математиката е полезна за общо развитиемислене.

Тригонометрията, като наука, възниква в Древния Изток. Първите тригонометрични съотношения са получени от астрономите за създаване на точен календар и ориентация по звездите. Тези изчисления са свързани със сферичната тригонометрия, докато в училищния курс те изучават съотношението на страните и ъглите на равнинен триъгълник.

Тригонометрията е дял от математиката, който се занимава със свойствата на тригонометричните функции и връзките между страните и ъглите на триъгълниците.

По време на разцвета на културата и науката през 1-вото хилядолетие от н. е. знанията се разпространяват от Древен изтокдо Гърция. Но основните открития на тригонометрията са заслуга на хората от Арабския халифат. По-специално, туркменският учен ал-Маразви въвежда функции като тангенс и котангенс и съставя първите таблици със стойности за синуси, тангенси и котангенси. Понятията синус и косинус са въведени от индийски учени. Тригонометрията получи много внимание в произведенията на такива велики фигури от древността като Евклид, Архимед и Ератостен.

Основни величини на тригонометрията

Основните тригонометрични функции на числов аргумент са синус, косинус, тангенс и котангенс. Всеки от тях има своя собствена графика: синус, косинус, тангенс и котангенс.

Формулите за изчисляване на стойностите на тези количества се основават на теоремата на Питагор. По-известно е на учениците във формулировката: „Питагоровите панталони са равни във всички посоки“, тъй като доказателството е дадено с помощта на примера на равнобедрен правоъгълен триъгълник.

Синус, косинус и други зависимости установяват връзката между острите ъгли и страни на всеки правоъгълен триъгълник. Нека да представим формули за изчисляване на тези величини за ъгъл A и да проследим връзките между тригонометричните функции:

Както можете да видите, tg и ctg са обратни функции. Ако си представим крак a като произведение на sin A и хипотенуза c и крак b като cos A * c, получаваме следните формули за тангенс и котангенс:

Тригонометричен кръг

Графично връзката между посочените величини може да се представи по следния начин:

Обиколка, в в такъв случай, представлява всички възможни стойности на ъгъла α - от 0° до 360°. Както може да се види от фигурата, всяка функция приема отрицателно или положителна стойноств зависимост от големината на ъгъла. Например, sin α ще има знак „+“, ако α принадлежи към 1-вата и 2-рата четвърт на кръга, тоест е в диапазона от 0° до 180°. За α от 180° до 360° (III и IV четвърти), sin α може да бъде само отрицателна стойност.

Нека се опитаме да изградим тригонометрични таблици за конкретни ъгли и да разберем значението на количествата.

Стойностите на α, равни на 30°, 45°, 60°, 90°, 180° и т.н., се наричат ​​специални случаи. Стойностите на тригонометричните функции за тях се изчисляват и представят под формата на специални таблици.

Тези ъгли не са избрани случайно. Означението π в таблиците е за радиани. Rad е ъгълът, при който дължината на дъгата на окръжност съответства на нейния радиус. Тази стойност е въведена, за да се установи универсална зависимост; при изчисляване в радиани действителната дължина на радиуса в cm няма значение.

Ъглите в таблиците за тригонометрични функции съответстват на стойности в радиан:

Така че не е трудно да се досетите, че 2π е пълен кръгили 360°.

Свойства на тригонометричните функции: синус и косинус

За да разгледаме и сравним основните свойства на синуса и косинуса, тангенса и котангенса, е необходимо да начертаем техните функции. Това може да стане под формата на крива, разположена в двумерна координатна система.

Обмисли сравнителна таблицасвойства за синус и косинус:

Определянето дали дадена функция е четна или не е много лесно. Достатъчно е да си представите тригонометричен кръг със знаци на тригонометрични величини и мислено да „сгънете“ графиката спрямо оста OX. Ако знаците съвпадат, функцията е четна, в противен случай е нечетна.

Въвеждането на радианите и изброяването на основните свойства на синусоидите и косинусите ни позволяват да представим следния модел:

Много е лесно да се провери дали формулата е правилна. Например, за x = π/2, синусът е 1, както и косинусът от x = 0. Проверката може да се извърши чрез справка с таблици или чрез проследяване на функционални криви за дадени стойности.

Свойства на тангенцоидите и котангенцоидите

Графиките на функциите тангенс и котангенс се различават значително от функциите синус и косинус. Стойностите tg и ctg са реципрочни една на друга.

1. Y = тен x.
2. Допирателната клони към стойностите на y при x = π/2 + πk, но никога не ги достига.
3. Най-малкият положителен период на тангентоида е π.
4. Tg (- x) = - tg x, т.е. функцията е нечетна.
5. Tg x = 0, за x = πk.
6. Функцията се увеличава.
7. Tg x › 0, за x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, за x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Производна (tg x)’ = 1/cos 2 ⁡x.

Разгледайте графичното изображение на котангентоида по-долу в текста.

Основни свойства на котангентоидите:

1. Y = детско легло x.
2. За разлика от функциите синус и косинус, в тангентоида Y може да приеме стойностите на набора от всички реални числа.
3. Котангентоидът клони към стойностите на y при x = πk, но никога не ги достига.
4. Най-малкият положителен период на котангентоид е π.
5. Ctg (- x) = - ctg x, т.е. функцията е нечетна.
6. Ctg x = 0, за x = π/2 + πk.
7. Функцията намалява.
8. Ctg x › 0, за x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, за x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Производна (ctg x)’ = - 1/sin 2 ⁡x Правилно

Тригонометрията е дял от математическата наука, който изучава тригонометричните функции и тяхното използване в геометрията. Развитието на тригонометрията започва в древна Гърция. През Средновековието учени от Близкия изток и Индия имат важен принос за развитието на тази наука.

Тази статия е посветена на основни понятияи определения на тригонометрията. Обсъждат се дефинициите на основните тригонометрични функции: синус, косинус, тангенс и котангенс. Тяхното значение е обяснено и илюстрирано в контекста на геометрията.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Първоначално дефинициите на тригонометричните функции, чийто аргумент е ъгъл, бяха изразени чрез отношението на страните на правоъгълен триъгълник.

Дефиниции на тригонометрични функции

Синусът на ъгъл (sin α) е отношението на катета срещу този ъгъл към хипотенузата.

Косинус на ъгъла (cos α) - отношението на съседния катет към хипотенузата.

Ъгъл тангенс (t g α) - отношението на срещуположната страна към съседната страна.

Котангенс на ъгъл (c t g α) - отношението на съседната страна към противоположната страна.

Тези определения са дадени за острия ъгъл на правоъгълен триъгълник!

Нека дадем илюстрация.

В триъгълник ABC с прав ъгъл C синусът на ъгъл A е равен на отношението на катета BC към хипотенузата AB.

Дефинициите на синус, косинус, тангенс и котангенс ви позволяват да изчислите стойностите на тези функции от известните дължини на страните на триъгълника.

Важно е да запомните!

Диапазонът от стойности на синуса и косинуса е от -1 до 1. С други думи, синусът и косинусът приемат стойности от -1 до 1. Диапазонът от стойности на тангенса и котангенса е цялата числова линия, това означава, че тези функции могат да приемат всякакви стойности.

Дефинициите, дадени по-горе, се отнасят за острите ъгли. В тригонометрията се въвежда понятието ъгъл на завъртане, чиято стойност, за разлика от острия ъгъл, не е ограничена до 0 до 90 градуса. Ъгълът на завъртане в градуси или радиани се изразява с всяко реално число от - ∞ до + ∞. .

В този контекст можем да дефинираме синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъл с произволна величина. Нека си представим единична окръжност с център в началото на декартовата координатна система.

Началната точка A с координати (1, 0) се завърта около центъра на единичната окръжност на определен ъгъл α и отива в точка A 1. Дефиницията е дадена по отношение на координатите на точка A 1 (x, y).

Синус (sin) на ъгъла на завъртане

Синусът на ъгъла на завъртане α е ординатата на точка A 1 (x, y). sin α = y

Косинус (cos) на ъгъла на завъртане

Косинусът на ъгъла на завъртане α е абсцисата на точка A 1 (x, y). cos α = x

Тангенс (tg) на ъгъла на завъртане

Тангенсът на ъгъла на завъртане α е отношението на ординатата на точка A 1 (x, y) към нейната абциса. t g α = y x

Котангенс (ctg) на ъгъла на завъртане

Котангенсът на ъгъла на завъртане α е отношението на абсцисата на точка A 1 (x, y) към нейната ордината. c t g α = x y

Синусът и косинусът са определени за всеки ъгъл на завъртане. Това е логично, тъй като абсцисата и ординатата на точка след завъртане могат да бъдат определени под всеки ъгъл. Ситуацията е различна с тангенса и котангенса. Допирателната е недефинирана, когато точка след въртене отива към точка с нулева абциса (0, 1) и (0, - 1). В такива случаи изразът за допирателната t g α = y x просто няма смисъл, тъй като съдържа деление на нула. Подобна е ситуацията с котангенса. Разликата е, че котангенсът не е дефиниран в случаите, когато ординатата на точка отива към нула.

Важно е да запомните!

Синусът и косинусът са определени за всеки ъгъл α.

Тангенсът е определен за всички ъгли с изключение на α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

Котангенсът е определен за всички ъгли с изключение на α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

При решаване практически примерине казвайте "синус от ъгъла на завъртане α". Думите „ъгъл на въртене“ просто са пропуснати, което означава, че вече е ясно от контекста какво се обсъжда.

Числа

Какво ще кажете за дефиницията на синус, косинус, тангенс и котангенс на число, а не ъгъл на завъртане?

Синус, косинус, тангенс, котангенс на число

Синус, косинус, тангенс и котангенс на число Tе число, което е съответно равно на синус, косинус, тангенс и котангенс в Tрадиан.

Например синусът на числото 10 π е равен на синуса на ъгъла на завъртане от 10 π rad.

Има друг подход за определяне на синус, косинус, тангенс и котангенс на число. Нека го разгледаме по-отблизо.

Всяко реално число Tточка от единичната окръжност е свързана с центъра в началото на правоъгълната декартова координатна система. Синус, косинус, тангенс и котангенс се определят чрез координатите на тази точка.

Началната точка на окръжността е точка А с координати (1, 0).

Положително число T

Отрицателно число Tсъответства на точката, до която ще стигне началната точка, ако се движи около кръга обратно на часовниковата стрелка и измине пътя t.

Сега, след като връзката между число и точка от окръжност е установена, преминаваме към дефиницията на синус, косинус, тангенс и котангенс.

Синус (грех) на t

Синус от число T- ордината на точка от единичната окръжност, съответстваща на числото T. sin t = y

Косинус (cos) от t

Косинус на число T- абсцисата на точката от единичната окръжност, съответстваща на числото T. cos t = x

Тангенс (tg) на t

Тангенс на число T- отношението на ординатата към абсцисата на точка от единичната окръжност, съответстваща на числото T. t g t = y x = sin t cos t

Последните определения са в съответствие и не противоречат на определението, дадено в началото на този параграф. Посочете кръга, съответстващ на числото T, съвпада с точката, до която отива началната точка след завъртане на ъгъл Tрадиан.

Тригонометрични функции на ъглов и числов аргумент

Всяка стойност на ъгъла α съответства на определена стойност на синуса и косинуса на този ъгъл. Точно както всички ъгли α, различни от α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) съответстват на определена стойност на допирателната. Котангенсът, както е посочено по-горе, е определен за всички α с изключение на α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

Можем да кажем, че sin α, cos α, t g α, c t g α са функции на ъгъла алфа или функции на ъгловия аргумент.

По подобен начин можем да говорим за синус, косинус, тангенс и котангенс като функции на числов аргумент. Всяко реално число Tсъответства на определена стойност на синуса или косинуса на число T. Всички числа, различни от π 2 + π · k, k ∈ Z, съответстват на допирателна стойност. По подобен начин котангенсът е дефиниран за всички числа с изключение на π · k, k ∈ Z.

Основни функции на тригонометрията

Синус, косинус, тангенс и котангенс са основните тригонометрични функции.

Обикновено от контекста става ясно с кой аргумент на тригонометричната функция (ъглов аргумент или числов аргумент) имаме работа.

Да се ​​върнем към дефинициите, дадени в самото начало и алфа ъгъла, който се намира в диапазона от 0 до 90 градуса. Тригонометричните определения на синус, косинус, тангенс и котангенс са напълно съвместими с геометрични определения, дадено с помощта на пропорциите на правоъгълен триъгълник. Нека го покажем.

Нека вземем единична окръжност с център в правоъгълна декартова координатна система. Нека го обърнем начална точка A (1, 0) под ъгъл до 90 градуса и начертайте перпендикуляр на абсцисата от получената точка A 1 (x, y). В получените правоъгълен триъгълникъгъл A 1 O H равен на ъгълзавой α, дължината на крака O H е равна на абсцисата на точка A 1 (x, y). Дължината на катета срещу ъгъла е равна на ординатата на точката A 1 (x, y), а дължината на хипотенузата е равна на единица, тъй като е радиусът на единичната окръжност.

В съответствие с определението от геометрията, синусът на ъгъл α е равен на съотношението на срещуположната страна към хипотенузата.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Това означава, че определянето на синуса на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник чрез съотношението на страните е еквивалентно на определянето на синуса на ъгъла на завъртане α, като алфа е в диапазона от 0 до 90 градуса.

По подобен начин може да се покаже съответствието на дефинициите за косинус, тангенс и котангенс.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter