Огъване с усукване на греда с кръгло напречно сечение. Пространствено (комплексно) огъване. Изчисляване на безмоментни черупки на революция
Пространствено (комплексно) огъване
Пространственото огъване е вид сложно съпротивление, при което в напречното сечение на гредата действат само огъващи моменти и . Пълният огъващ момент не действа в нито една от основните инерционни равнини. Няма надлъжна сила. Пространственото или сложно огъване често се нарича неравнинно огъване, тъй като извитата ос на пръта не е равнинна крива. Това огъване се причинява от сили, действащи в различни равнини, перпендикулярни на оста на гредата (фиг. 1.2.1).
Фиг.1.2.1
Следвайки реда на решаване на проблеми със сложно съпротивление, очертан по-горе, ние очертаваме пространствената система от сили, представена на фиг. 1.2.1, на две, така че всяка от тях да действа в една от основните равнини. В резултат на това получаваме две плоски напречни завои - вертикални и хоризонтална равнина. От четирите фактора на вътрешна сила, които възникват в напречното сечение на гредата, ще вземем предвид влиянието само на огъващи моменти. Построяваме диаграми, причинени от съответните сили (фиг. 1.2.1).
Анализирайки диаграмите на моментите на огъване, стигаме до извода, че раздел А е опасен, тъй като именно в този раздел възникват най-големите моменти на огъване. Сега трябва да инсталирате опасни точкираздел А. За да направим това, ще построим нулева линия. Уравнението на нулевата линия, като се вземе предвид правилото за знака за членовете, включени в това уравнение, има формата:
Тук знакът "" се приема близо до втория член на уравнението, тъй като напреженията през първата четвърт, причинени от момента, ще бъдат отрицателни.
Нека определим ъгъла на наклона на нулевата линия с положителната посока на оста (фиг. 12.6):
Ориз. 1.2.2
От уравнение (8) следва, че нулевата линия за пространствено огъване е права линия и минава през центъра на тежестта на сечението.
От фиг. 1.2.2 е ясно, че най-висок стресще възникнат в точките на участък № 2 и № 4, най-отдалечени от нулевата линия. Нормалните напрежения в тези точки ще бъдат еднакви по големина, но различни по знак: в точка No 4 напреженията ще бъдат положителни, т.е. опън, в точка No2 - отрицателен, т.е. компресивен. Признаците на тези напрежения са установени от физически съображения.
Сега, след като опасните точки са установени, нека изчислим максималните напрежения в секция А и проверим здравината на гредата, като използваме израза:
Условието за якост (10) позволява не само да се провери здравината на гредата, но и да се изберат размерите на нейното напречно сечение, ако е посочено съотношението на страните на напречното сечение.
Кратка информация от теорията
Дървесината е подложена на условия на комплексна устойчивост, ако няколко вътрешни коефициента на сила в напречните сечения не са равни на нула едновременно.
Най-голям практически интерес представляват следните случаи на комплексно натоварване:
1. Наклонен завой.
2. Огъване с напрежение или компресия, когато е напречно
сечение, възникват надлъжна сила и огъващи моменти, като напр
например по време на ексцентрично компресиране на греда.
3. Огъване с усукване, характеризиращо се с наличие в дупето
речни участъци на огъване (или двуогъване) и усукване
моменти.
Наклонен завой.
Косото огъване е случай на огъване на греда, при който равнината на действие на общия огъващ момент в сечението не съвпада с нито една от главните инерционни оси. Най-удобно е да се разглежда наклоненото огъване като едновременното огъване на греда в две основни равнини zoy и zox, където оста z е оста на гредата, а осите x и y са основните централни оси на напречното сечение.
Нека разгледаме конзолна греда с правоъгълно напречно сечение, натоварена със сила P (фиг. 1).
Разширявайки силата P по главните централни оси на напречното сечение, получаваме:
P y =Pcos φ, P x =Psin φ
Огъващи моменти възникват в текущата секция на гредата
M x = - P y z = -P z cos φ,
M y = P x z = P z sin φ.
Знакът на огъващия момент M x се определя по същия начин, както в случая прав завой. Ще считаме момента M y за положителен, ако в точки с положителна стойносткоордината x този момент предизвиква напрежения на опън. Между другото, знакът на момента M y може лесно да се установи по аналогия с определянето на знака на момента на огъване M x, ако мислено завъртите сечението така, че оста x да съвпада с първоначалната посока на оста y .
Напрежението в произволна точка от напречното сечение на греда може да се определи с помощта на формули за определяне на напрежението в случай на равнинно огъване. Въз основа на принципа на независимото действие на силите, ние обобщаваме напреженията, причинени от всеки от огъващите моменти
(1)
Стойностите на моментите на огъване (с техните собствени знаци) и координатите на точката, в която се изчислява напрежението, се заместват в този израз.
За да се определят опасните точки на сечението, е необходимо да се определи позицията на нулевата или неутралната линия (геометричното местоположение на точките на сечението, при които напреженията σ = 0). Максимални напрежениявъзникват в точки, които са най-отдалечени от нулевата линия.
Уравнението на нулевата линия се получава от уравнение (1) при =0:
откъдето следва, че нулевата линия минава през центъра на тежестта на напречното сечение.
Тангенциалните напрежения, възникващи в сеченията на гредата (при Q x ≠0 и Q y ≠0), като правило, могат да бъдат пренебрегнати. Ако има нужда да се определят, тогава първо се изчисляват компонентите на общото напрежение на срязване τ x и τ y по формулата на D.Ya Zhuravsky, а след това последните се сумират геометрично:
За да се оцени якостта на лъча, е необходимо да се определят максималните нормални напрежения в опасния участък. Тъй като в най-натоварените точки състоянието на напрежение е едноосно, условието за якост при изчисляване по метода на допустимото напрежение приема формата
За пластмасови материали,
За крехки материали,
n - коефициент на безопасност.
Ако изчислите с помощта на метода гранични състояния, тогава условието за якост има формата:
където R е проектното съпротивление,
m – коефициент на условия на труд.
В случаите, когато материалът на гредата има различна устойчивост на опън и натиск, е необходимо да се определят както максималните напрежения на опън, така и максималните натиск, като се прави заключение за якостта на гредата от отношенията:
където R p и R c - съответно изчислени съпротивленияматериал под напрежение и компресия.
За да се определят отклоненията на греда, е удобно първо да се намерят преместванията на сечението в главните равнини по посока на осите x и y.
Изчисляването на тези премествания ƒ x и ƒ y може да се извърши чрез конструиране на универсално уравнение за извитата ос на гредата или чрез енергийни методи.
Общото отклонение може да се намери като геометрична сума:
условието за твърдост на гредата има формата:
където - е допустимото отклонение на гредата.
Ексцентрична компресия
В този случай силата на натиск P върху гредата е насочена успоредно на оста на гредата и се прилага в точка, която не съвпада с центъра на тежестта на сечението. Нека X p и Y p са координатите на точката на прилагане на силата P, измерени спрямо главните централни оси (фиг. 2).
Ефективно натоварванепредизвиква появата на следните вътрешни силови фактори в напречните сечения: N= -P, Mx= -Py p, My=-Px p
Знаците на моментите на огъване са отрицателни, тъй като последните причиняват компресия в точки, принадлежащи към първата четвърт. Напрежението в произволна точка на сечението се определя от израза
(9)
Замествайки стойностите на N, Mx и Mu, получаваме
(10)
Тъй като Ух= F, Уу= F (където i x и i y са основните радиуси на инерция), последният израз може да се редуцира до вида
(11)
Получаваме уравнението на нулевата линия, като зададем =0
1+ 
(12)
Сегментите и отрязаните от нулевата линия на координатните оси се изразяват, както следва:
Използвайки зависимости (13), можете лесно да намерите позицията на нулевата линия в секцията (фиг. 3), след което се определят най-отдалечените от тази линия точки, които са опасни, тъй като в тях възникват максимални напрежения.
Напрегнатото състояние в точките на сечението е едноосно, поради което условието за якост на гредата е подобно на разгледания по-рано случай на наклонено огъване на гредата - формули (5), (6).
По време на ексцентрично компресиране на греди, чийто материал слабо се съпротивлява на опън, е желателно да се предотврати появата на напрежения на опън в напречното сечение. В участъка ще възникнат напрежения със същия знак, ако нулевата линия минава извън участъка или, в краен случай, го докосва.
Това условие е изпълнено, когато силата на натиск се прилага вътре в област, наречена сърцевина на сечението. Ядрото на сечението е зона, обхващаща центъра на тежестта на сечението и се характеризира с факта, че всяка надлъжна сила, приложена вътре в тази зона, причинява напрежения с един и същи знак във всички точки на гредата.
За да се конструира сърцевината на сечението, е необходимо да се зададе позицията на нулевата линия, така че да докосва сечението, без да го пресича никъде, и да се намери съответната точка на прилагане на силата P. Чрез начертаване на семейство от допирателни към раздел, получаваме набор от полюси, съответстващи на тях, чието геометрично местоположение ще даде очертанията (контура) на основните секции.
Нека, например, е дадено сечението, показано на фиг. 4, с главни централни оси x и y.
За да построим сърцевината на сечението, представяме пет допирателни, четири от които съвпадат със страните AB, DE, EF и FA, а петата свързва точките B и D. Чрез измерване или изчисляване от разреза, отсечете по посочения допирателни I-I, . . . ., 5-5 по осите x, y и замествайки тези стойности в зависимост (13), определяме координатите x p, y p за петте полюса 1, 2....5, съответстващи на петте позиции на нулева линия. Допирателната I-I може да бъде преместена в позиция 2-2 чрез завъртане около точка А, докато полюсът I трябва да се движи по права линия и в резултат на въртенето на допирателната да се премести в точка 2. Следователно всички полюси, съответстващи на междинните позиции на допирателната между I-I и 2-2 ще бъде разположена на права 1-2. По същия начин може да се докаже, че останалите страни на сърцевината на сечението също ще бъдат правоъгълни, т.е. сърцевината на участъка е многоъгълник, за изграждането на който е достатъчно да се свържат полюси 1, 2, ... 5 с прави линии.
Огъване с усукване на кръгла греда.
При огъване с усукване в напречното сечение на греда в общия случай пет фактора на вътрешна сила не са равни на нула: M x, M y, M k, Q x и Q y. В повечето случаи обаче влиянието на силите на срязване Q x и Q y може да се пренебрегне, ако сечението не е тънкостенно.
Нормалните напрежения в напречното сечение могат да се определят от величината на получения огъващ момент
защото неутралната ос е перпендикулярна на кухината на действие на момента M u.
На фиг. Фигура 5 показва моментите на огъване M x и M y под формата на вектори (посоките M x и M y са избрани положителни, т.е. така, че в точките на първия квадрант участъците на напрежение са на опън).
Посоката на векторите M x и M y е избрана по такъв начин, че наблюдателят, гледащ от края на вектора, да ги вижда насочени обратно на часовниковата стрелка. В този случай неутралната линия съвпада с посоката на резултантния вектор на момента M u, а най-натоварените точки на сечението A и B лежат в равнината на действие на този момент.
Тази комбинация от фактори на вътрешна сила е типична при изчисляване на валове. Проблемът е плосък, тъй като концепцията за „наклонено огъване“ за греда с кръгло напречно сечение, в която всяка централна ос е главната, не е приложима. В общия случай на външни сили такава греда изпитва комбинация от следните видове деформация: пряко напречно огъване, усукване и централно напрежение (компресия). На фиг. Фигура 11.5 показва греда, натоварена с външни сили, които причиняват и четирите вида деформация.
Диаграмите на вътрешните сили ви позволяват да идентифицирате опасни участъци, а диаграмите на напрежението ви помагат да идентифицирате опасни точки в тези участъци. Тангенциалните напрежения от напречните сили достигат своя максимум по оста на гредата и са незначителни за греда с плътно напречно сечение и могат да бъдат пренебрегнати в сравнение с тангенциалните напрежения от усукване, които достигат своя максимум в периферните точки (точка B).
Опасен участък е вграждането, където същевременно има голямо значениенадлъжни и напречни сили, огъващи и въртящи моменти.
Опасната точка в този участък ще бъде точката, където σ x и τ xy достигат значителна стойност (точка B). В този момент действа най-голямото нормално напрежение от огъване и срязващо напрежение от усукване, както и нормално напрежение от разтягане
След определяне на основните напрежения по формулата:
намираме σ червено =
(при използване на критерия за най-високи тангенциални напрежения m = 4, при използване на критерия за специфична енергия на промяна на формата m = 3).
Замествайки изразите σ α и τ xy, получаваме:
или като се вземе предвид факта, че W р =2 W z , A= (вижте 10.4),
Ако валът изпитва огъване в две взаимно перпендикулярни равнини, тогава във формулата вместо M z е необходимо да се замени M tot =
Намаленото напрежение σ red не трябва да надвишава допустимото напрежение σ adm, определено по време на изпитването при състояние на линейно напрежение, като се вземе предвид коефициентът на безопасност. За дадени размери и допустими напрежения се извършва проверка на размерите, необходими за осигуряване на безопасна якост
11.5. Изчисляване на безмоментни черупки на въртене
В технологията се използват широко структурни елементи, които от гледна точка на изчисленията на якост и твърдост могат да бъдат класифицирани като тънки черупки. Черупката се счита за тънка, ако съотношението на нейната дебелина към общия размер е по-малко от 1/20. За тънките черупки е приложима хипотезата за прави нормали: нормалните сегменти към средната повърхност остават прави и неразтегливи след деформация. В този случай има линейно разпределение на деформациите и следователно нормалните напрежения (при малки еластични деформации) по дебелината на корпуса.
Повърхността на черупката се получава чрез завъртане на плоска крива около ос, лежаща в равнината на кривата. Ако кривата се замени с права линия, тогава когато се върти успоредно на оста, се получава кръгла цилиндрична обвивка, а когато се завърти под ъгъл спрямо оста, се получава конична обвивка.
В изчислителните схеми обвивката е представена от средната си повърхност (на еднакво разстояние от предните повърхности). Средната повърхност обикновено се свързва с криволинейна ортогонална координатна система Ө и φ. Ъгълът θ () определя позицията на паралела на пресечната линия на средната повърхност с равнина, минаваща нормално към оста на въртене.
Фиг.11.6 Фиг. 11.7
През нормалата към средата на повърхността можете да начертаете много равнини, които ще бъдат нормални към нея и в секции с нея да образуват линии с различни радиуси на кривина. Два от тези радиуси имат екстремни стойности. Правите, на които те съответстват, се наричат линии на главна кривина. Една от линиите е меридиан, нейният радиус на кривина е означен с r 1. Радиус на кривина на втората крива – r 2(центърът на кривината лежи върху оста на въртене). Радиусни центрове r 1И r 2могат да съвпадат (сферична обвивка), да лежат един по един или един по един различни странисредна повърхност, един от центровете може да отиде до безкрайност (цилиндрични и конични черупки).
Когато съставяме основните уравнения, свързваме силите и преместванията с нормалните сечения на черупката в равнините на основната кривина. Нека създадем уравнения за вътрешните усилия. Нека разгледаме безкрайно малък обвивен елемент (фиг. 11.6), изрязан от две съседни меридионални равнини (с ъгли θ и θ+dθ) и две съседни успоредни окръжности, нормални към оста на въртене (с ъгли φ и φ+dφ). Като система от проекционни оси и моменти избираме правоъгълна система от оси х, г, z. ос гнасочена тангенциално към меридиана, ос z- според нормалното.
Посредством аксиална симетрия(натоварване P=0) върху елемента ще действат само нормални сили. N φ - линейна меридионална сила, насочена тангенциално към меридиана: N θ - линейна пръстеновидна сила, насочена тангенциално към окръжността. Уравнението ΣХ=0 става тъждество. Нека проектираме всички сили върху оста z:
2N θ r 1 dφsinφ+r o dθdφ+P z r 1 dφr o dθ=0.
Ако пренебрегнем безкрайно малкото количество от по-висок ред ()r o dθ dφ и разделим уравнението на r 1 r o dφ dθ, тогава като вземем предвид, че получаваме уравнение, дължащо се на П. Лаплас:
Вместо уравнението ΣY=0 за разглеждания елемент, ще съставим уравнение на равновесие за горната част на черупката (фиг. 11.6). Нека проектираме всички сили върху оста на въртене:
ude: R v - вертикална проекция на резултантните външни сили, приложени към отрязаната част на черупката. Така,
Замествайки стойностите на N φ в уравнението на Лаплас, намираме N θ. Определянето на силите в обвивка на въртене според безмоментната теория е статически дефинируем проблем. Това стана възможно в резултат на факта, че веднага постулирахме закона за промените на напрежението по дебелината на черупката - считахме ги за постоянни.
В случай на сферичен купол имаме r 1 = r 2 = r и r o = r. Ако натоварването е посочено като интензитет Пслед това върху хоризонталната проекция на черупката
Така в меридионална посока куполът е равномерно компресиран. Компоненти на повърхностното натоварване по нормалата zе равно на P z =P. Заместваме стойностите на N φ и P z в уравнението на Лаплас и намираме от него:
Пръстенообразните сили на натиск достигат своя максимум в горната част на купола при φ = 0. При φ = 45 º - N θ =0; при φ > 45-N θ =0 става опън и достига максимум при φ = 90.
Хоризонталната компонента на меридионалната сила е равна на:
Нека разгледаме пример за изчисляване на обвивка без момент. Главният тръбопровод е пълен с газ, чието налягане е равно на Р.
Тук r 1 = R, r 2 = a в съответствие с по-рано приетото предположение, че напреженията са разпределени равномерно по цялата дебелина δ черупка
където: σ m - нормални меридионални напрежения, и
σ t - периферни (широчинни, пръстеновидни) нормални напрежения.
Комбинацията от огъване и усукване на греди с кръгло напречно сечение най-често се взема предвид при изчисляване на валове. Много по-рядко се срещат случаи на огъване с усукване на греди с некръгло напречно сечение.
В § 1.9 е установено, че в случай, когато инерционните моменти на сечението спрямо главните оси са равни един на друг, наклоненото огъване на гредата е невъзможно. В тази връзка наклоненото огъване на кръгли греди е невъзможно. Следователно, в общия случай на външни сили, кръглата греда изпитва комбинация от следните видове деформация: директно напречно огъване, усукване и централно напрежение (или компресия).
Нека разгледаме това специален случайизчисляване на кръгла греда, когато надлъжната сила в нейните напречни сечения е нула. В този случай лъчът работи под комбинирано действие на огъване и усукване. За да се намери опасната точка на гредата, е необходимо да се установи как се променят стойностите на огъващите и въртящите моменти по дължината на гредата, т.е. да се изградят диаграми на общите огъващи моменти M и въртящи моменти. Ще разгледаме конструкцията от тези диаграми при конкретен примервал, показан на фиг. 22.9, а. Валът лежи върху лагери A и B и се задвижва от двигател C.
На вала са монтирани шайби E и F, през които се хвърлят задвижващи ремъци с напрежение. Да приемем, че валът се върти в лагери без триене; пренебрегваме собственото тегло на вала и ролките (в случай, че собственото им тегло е значително, трябва да се вземе предвид). Нека насочим оста на напречното сечение на вала вертикално, а оста хоризонтално.
Големините на силите могат да се определят с помощта на формули (1.6) и (2.6), ако например са известни мощността, предавана от всяка шайба, ъгловата скорост на вала и съотношенията. тези сили се предават успоредно на себе си към надлъжната ос на вала. В този случай усукващи моменти се прилагат към вала в секциите, в които са разположени шайбите E и F, и са равни съответно на тези моменти, предавани от двигателя (фиг. 22.9, b). След това силите се разлагат на вертикални и хоризонтални компоненти. Вертикалните сили ще предизвикат вертикални реакции в лагерите, а хоризонталните сили ще предизвикат хоризонтални реакции, които се определят като за греда, лежаща върху две опори.
Диаграмата на огъващите моменти, действащи във вертикалната равнина, е изградена от вертикални сили (фиг. 22.9, c). Показано е на фиг. 22.9, г. По същия начин, от хоризонтални сили (фиг. 22.9, д), се изгражда диаграма на огъващи моменти, действащи в хоризонталната равнина (фиг. 22.9, е).
От диаграмите можете да определите (във всяко напречно сечение) общия момент на огъване M, като използвате формулата
Използвайки стойностите на M, получени с помощта на тази формула, се изгражда диаграма на общите моменти на огъване (фиг. 22.9, g). В тези участъци на вала, в които правите ограничителни диаграми пресичат осите на диаграмите в точки, разположени на една и съща вертикала, диаграмата М е ограничена от прави линии, а в други секции е ограничена от криви.
(виж сканиране)
Например в участъка на въпросния вал дължината на диаграмата M е ограничена до права линия (фиг. 22.9, g), тъй като диаграмите в този участък са ограничени от прави линии и пресичащи осите на диаграмите в точки, разположени на същия вертикал.
Точка O на пресечната точка на правата с оста на диаграмата се намира на същия вертикал. Подобна ситуация е типична за участък на вал с дълж
Диаграмата на общите (общи) моменти на огъване M характеризира големината на тези моменти във всяка секция на вала. Равнините на действие на тези моменти в различни разделиваловете са различни, но ординатите на диаграмата за всички секции са условно подравнени с равнината на чертежа.
Диаграмата на въртящите моменти е конструирана по същия начин, както при чисто усукване (виж § 1.6). За въпросния вал е показано на фиг. 22.9, z.
Опасното сечение на вала се установява с помощта на диаграми на общите огъващи моменти M и въртящи моменти. Ако в сечението на лъч с постоянен диаметър с най-голям огъващ момент M действа и най-големият въртящ момент, тогава този участък е опасен. По-специално, разглежданият вал има такава секция, разположена вдясно от ролката F на безкрайно малко разстояние от нея.
Ако максималният момент на огъване M и максималният въртящ момент действат в различни напречни сечения, тогава участък, в който нито една от стойностите не е най-голяма, може да се окаже опасен. При греди с променлив диаметър най-опасният участък може да бъде този, в който действат значително по-ниски огъващи и усукващи моменти, отколкото в други сечения.
В случаите, когато опасното сечение не може да се определи директно от диаграмите М и е необходимо да се провери здравината на гредата в няколко нейни сечения и по този начин да се установят опасни напрежения.
След като бъде установен опасен участък от гредата (или са идентифицирани няколко участъка, един от които може да се окаже опасен), е необходимо да се намерят опасни точки в него. За да направим това, нека разгледаме напреженията, възникващи в напречното сечение на гредата, когато в нея действат едновременно огъващ момент M и въртящ момент
В греди с кръгло напречно сечение, чиято дължина е многократно по-голяма от диаметъра, стойностите на най-високите тангенциални напрежения от напречна сила са малки и не се вземат предвид при изчисляване на якостта на гредите при комбинирано действие на огъване и усукване.
На фиг. Фигура 23.9 показва напречното сечение на кръгла греда. В това сечение огъващият момент M и оста y се приемат за перпендикулярни на равнината на действие на огъващия момент. Оста y е неутралната ос на сечението.
В напречното сечение на гредата възникват нормални напрежения от огъване и напрежения на срязване от усукване.
Нормалните напрежения a се определят по формулата. Диаграмата на тези напрежения е показана на фиг. 23.9. Най-големият от абсолютна стойноствъзникват нормални напрежения в точките А и В. Тези напрежения са равни
където е аксиалният съпротивителен момент на напречното сечение на гредата.
Тангенциалните напрежения се определят по формулата Диаграмата на тези напрежения е показана на фиг. 23.9.
Във всяка точка от сечението те са насочени нормално към радиуса, свързващ тази точка с центъра на сечението. Най-високите напрежения на срязване възникват в точки, разположени по периметъра на сечението; те са равни
където е полярният момент на съпротивление на напречното сечение на гредата.
При пластмасов материал точките А и В на напречното сечение, в които както нормалните, така и тангенциалните напрежения едновременно достигат най-голяма стойност, са опасни. За чуплив материал опасната точка е тази, в която възникват напрежения на опън от момента на огъване М.
Напрегнатото състояние на елементарен паралелепипед, изолиран в близост до точка А, е показано на фиг. 24.9, а. По стените на паралелепипеда, които съвпадат с напречните сечения на гредата, действат нормални напрежения и тангенциални напрежения. Въз основа на закона за сдвояване на тангенциалните напрежения, напреженията възникват и върху горната и долната повърхност на паралелепипеда. Останалите му две лица са без стрес. По този начин, в в такъв случайна разположение личен изгледравнинно напрегнато състояние, разгледано подробно в гл. 3. Основните напрежения amax и се определят по формули (12.3).
След като заместим стойностите в тях, получаваме
Напреженията имат различни знации следователно
Елементарен паралелепипед, подчертан в близост до точка А от основните области, е показан на фиг. 24.9, б.
Изчисляването на гредите за якост по време на огъване с усукване, както вече беше отбелязано (виж началото на § 1.9), се извършва с помощта на теории за якост. В този случай изчисляването на греди от пластмасови материали обикновено се извършва въз основа на третата или четвъртата теория на якостта, а от крехките - според теорията на Мор.
Според третата теория за силата [вж. формула (6.8)], замествайки изразите в това неравенство [вж. формула (23.9)], получаваме
Под огъване разбираме вид натоварване, при което в напречните сечения на гредата възникват огъващи моменти. Ако огъващият момент в сечението е единственият фактор на силата, тогава огъването се нарича чисто. Ако заедно с огъващия момент в напречните сечения на гредата възникват и напречни сили, тогава огъването се нарича напречно.
Приема се, че огъващият момент и сила на срязванележат в една от основните равнини на лъча (да приемем, че тази равнина е ZOY). Този тип огъване се нарича плосък.
Във всички случаи, разгледани по-долу, има плосък напречно огъванегреди
За да се изчисли греда за якост или твърдост, е необходимо да се знаят вътрешните силови фактори, които възникват в нейните секции. За целта се изграждат диаграми на напречните сили (диаграма Q) и огъващи моменти (M).
При огъване правата ос на гредата се огъва; неутралната ос минава през центъра на тежестта на сечението. За сигурност, когато конструираме диаграми на напречни сили и огъващи моменти, ще установим знакови правила за тях. Да приемем, че огъващият момент ще се счита за положителен, ако елементът на гредата се огъва изпъкнало надолу, т.е. по такъв начин, че компресираните му влакна да са в горната част.
Ако моментът огъне гредата с изпъкнал нагоре, тогава този момент ще се счита за отрицателен.
При конструирането на диаграма положителните стойности на огъващите моменти се нанасят, както обикновено, по посока на оста Y, което съответства на конструирането на диаграма върху компресирано влакно.
Следователно правилото на знаците за диаграмата на огъващите моменти може да се формулира, както следва: ординатите на моментите се нанасят от страната на слоевете на гредата.
Огъващ момент в разрез равно на суматамоменти спрямо това сечение на всички сили, разположени от едната страна (от всяка) на сечението.
За да определим напречните сили (Q), установяваме правило за знака: напречната сила се счита за положителна, ако външната сила се стреми да завърти отсечената част на гредата всеки час. стрелка спрямо точката на оста, която съответства на начертаното сечение.
Напречната сила (Q) в произволно напречно сечение на греда е числено равна на сумата от проекциите върху оста на външните сили, приложени към нейната пресечена част.
Нека разгледаме няколко примера за конструиране на диаграми на напречни сили и моменти на огъване. Всички сили са перпендикулярни на оста на гредите, така че хоризонталната компонента на реакцията е нула. Деформираната ос на гредата и силите лежат в главната равнина ZOY.
Греда с дължина е захваната в левия си край и натоварена с концентрирана сила F и момент m=2F.
Нека изградим диаграми на напречните сили Q и моментите на огъване M от.
В нашия случай няма връзки на гредата от дясната страна. Следователно, за да не се определят опорните реакции, препоръчително е да се вземе предвид равновесието на дясната отсечена част на гредата. Дадената греда има две товарни секции. Граници на сеченията, в които се прилагат външни сили. 1-ви участък - СИ, 2-ри - ВА.
Извършваме произволно сечение в сечение 1 и разглеждаме равновесието на дясната отсечена част с дължина Z 1.
От условието за равновесие следва:
Q=F; M изход = -FZ 1 ()
Силата на срязване е положителна, защото външната сила F се стреми да завърти отрязаната част по посока на часовниковата стрелка. Моментът на огъване се счита за отрицателен, т.к той огъва въпросната част от лъча с изпъкналата част нагоре.
Когато съставяме уравнения на равновесие, ние психически фиксираме местоположението на секцията; от уравнения () следва, че напречната сила в сечение I не зависи от Z 1 и е постоянна стойност. Начертаваме положителната сила Q=F в скала нагоре от централна линиягреди, перпендикулярни на него.
Моментът на огъване зависи от Z 1.
Когато Z 1 =O M от =O, когато Z 1 = M от =
Поставяме получената стойност () надолу, т.е. диаграма M от е изградена върху компресирано влакно.
Да преминем към втория раздел
Отрязваме сечение II на произволно разстояние Z 2 от свободния десен край на гредата и разглеждаме равновесието на отсечената част с дължина Z 2 . Промяната в силата на срязване и момента на огъване въз основа на условията на равновесие може да се изрази чрез следните уравнения:
Q=FM от = - FZ 2 +2F
Големината и знакът на силата на срязване не са се променили.
Големината на огъващия момент зависи от Z 2 .
Когато Z 2 = M от =, когато Z 2 =
Огъващият момент се оказа положителен, както в началото на II участък, така и в края му. В участък II лъчът се огъва изпъкнало надолу.
Начертаваме в мащаб големината на моментите нагоре по централната линия на гредата (т.е. диаграмата е изградена върху компресирано влакно). Най-големият момент на огъване възниква в участъка, където е приложен външен момент m и неговата абсолютна стойност е равна на
Имайте предвид, че по дължината на гредата, където Q остава постоянна, огъващият момент M се променя линейно и е представен на диаграмата с наклонени прави линии. От диаграмите Q и M от е ясно, че в участъка, където се прилага външна напречна сила, диаграмата Q има скок с големината на тази сила, а диаграмата M от има прегъване. В участъка, където се прилага външен огъващ момент, диаграмата на Miz има скок със стойността на този момент. Това не е отразено в Q диаграмата. От диаграма М виждаме това
максМ от =
следователно опасният участък е изключително близо от лявата страна до т.нар.
За гредата, показана на фиг. 13, а, изградете диаграми на напречни сили и огъващи моменти. Гредата се натоварва равномерно по дължината си разпределен товарс интензитет q(KN/cm).
При опора A (неподвижна панта) ще възникне вертикална реакция R a (хоризонталната реакция е нула), а при опора B (подвижна панта) ще възникне вертикална реакция R v.
Нека определим вертикалните реакции на опорите, като съставим уравнение на моментите спрямо опорите A и B.
Нека проверим правилността на дефиницията на реакцията:
тези. опорните реакции са определени правилно.
Дадената греда има две натоварващи сечения: I сечение - AC.
Раздел II - СИ.
В първата секция a, в текущата секция Z 1, от условието за равновесие на отсечената част имаме
Уравнение на огъващите моменти на 1 секция на гредата:
Моментът от реакцията R a огъва гредата в сечение 1, с изпъкналата страна надолу, така че огъващият момент от реакцията Ra се въвежда в уравнението със знак плюс. Натоварването qZ 1 огъва гредата с нейната изпъкналост нагоре, така че моментът от нея се въвежда в уравнението със знак минус. Моментът на огъване варира според закона на квадратната парабола.
Следователно е необходимо да се установи дали има екстремум. Съществува диференциална връзка между напречната сила Q и огъващия момент, чийто анализ ще обсъдим по-нататък
Както знаете, функцията има екстремум, където производната е нула. Следователно, за да се определи при каква стойност на Z 1 моментът на огъване ще бъде екстремен, е необходимо уравнението на напречната сила да се приравни към нула.
Тъй като напречната сила променя знака от плюс на минус в дадено сечение, огъващият момент в това сечение ще бъде максимален. Ако Q промени знака от минус на плюс, тогава огъващият момент в тази секция ще бъде минимален.
И така, моментът на огъване при
е максимумът.
Следователно изграждаме парабола, използвайки три точки
Когато Z 1 =0 M от =0
Отрязваме втория участък на разстояние Z 2 от опора B. От условието за равновесие на дясната отсечена част на гредата имаме:
Когато стойността Q=const,
моментът на огъване ще бъде:
при, при, т.е. М ОТ
варира по линеен закон.
Греда върху две опори, имаща обхват 2 и лява конзола с дължина, се натоварва, както е показано на фиг. 14, а., където q(KN/cm) е линейното натоварване. Опората A е шарнирно неподвижна, опората B е подвижна ролка. Построете диаграми на Q и M от.
Решаването на проблема трябва да започне с определяне на реакциите на опорите. От условието, че сумата от проекциите на всички сили върху оста Z е равна на нула, следва, че хоризонталната компонента на реакцията при опора А е равна на 0.
За проверка използваме уравнението
Уравнението на равновесието е изпълнено, следователно реакциите са изчислени правилно. Нека да преминем към дефинирането на вътрешни коефициенти на мощност. Дадена греда има три товарни секции:
- 1-ви раздел - SA,
- Раздел 2 - AD,
- Секция 3 - Далечен изток.
Нека изрежем 1 секция на разстояние Z 1 от левия край на гредата.
при Z 1 =0 Q=0 M IZ =0
при Z 1 = Q= -q M ОТ =
Така на диаграмата на напречните сили се получава наклонена права линия, а на диаграмата на огъващите моменти се получава парабола, чийто връх е разположен в левия край на гредата.
В раздел II (a Z 2 2a), за да определим коефициентите на вътрешна сила, разглеждаме равновесието на лявата отсечена част на гредата с дължина Z 2. От условието за равновесие имаме:
Силата на срязване в тази зона е постоянна.
В раздел III()
От диаграмата виждаме, че най-големият момент на огъване възниква в сечението под сила F и е равен на. Този участък ще бъде най-опасният.
В диаграма M от има удар в опора B, равен на външния момент, приложен в този участък.
Като се имат предвид построените по-горе диаграми, не е трудно да се забележи известна естествена връзка между диаграмите на огъващите моменти и диаграмите на напречните сили. Нека го докажем.
Производната на силата на срязване по дължината на гредата е равна на модула на интензитета на натоварването.
Изхвърляйки количеството от по-висок порядък на малкост, получаваме:
тези. силата на срязване е производната на огъващия момент по дължината на гредата.
Отчитайки получените диференциални зависимости, могат да се направят общи изводи. Ако гредата е натоварена с равномерно разпределен товар с интензитет q=const, очевидно функцията Q ще бъде линейна, а M ще бъде квадратична.
Ако гредата е натоварена с концентрирани сили или моменти, тогава в интервалите между точките на тяхното приложение интензитетът q = 0. Следователно Q=const и M от е линейна функция Z. В точките на прилагане на концентрирани сили диаграмата Q претърпява скок с големината на външната сила, а в диаграмата M се появява съответен кинк (прекъсване на производната).
В точката, където се прилага външният огъващ момент, се наблюдава празнина в моментната диаграма, равна по големина на приложения момент.
Ако Q>0, тогава M расте, а ако Q<0, то М из убывает.
Диференциалните зависимости се използват за проверка на уравненията, съставени за построяване на диаграми Q и M, както и за изясняване на вида на тези диаграми.
Моментът на огъване се променя според закона на парабола, чиято изпъкналост винаги е насочена към външното натоварване.
