Что такое изгиб. Изгиб. Проверяем прочность балки по наибольшим касательным напряжениям
Расчет балки на изгиб «вручную», по-дедовски, позволяет познать один из важнейших, красивейших, четко математически выверенных алгоритмов науки сопротивление материалов. Использование многочисленных программ типа «ввел исходные данные...
...– получи ответ» позволяет современному инженеру сегодня работать гораздо быстрее, чем его предшественникам сто, пятьдесят и даже двадцать лет назад. Однако при таком современном подходе инженер вынужден полностью доверять авторам программы и со временем перестает «ощущать физический смысл» расчетов. Но авторы программы – это люди, а людям свойственно ошибаться. Если бы это было не так, то не было бы многочисленных патчей, релизов, «заплаток» практически к любому программному обеспечению. Поэтому, мне кажется, любой инженер должен уметь иногда «вручную» проверить результаты расчетов.
Справка (шпаргалка, памятка) для расчётов балок на изгиб представлена ниже на рисунке.
Давайте на простом житейском примере попробуем ей воспользоваться. Допустим, я решил сделать в квартире турник. Определено место – коридор шириной один метр двадцать сантиметров. На противоположных стенах на необходимой высоте напротив друг друга надежно закрепляю кронштейны, к которым будет крепиться балка-перекладина – пруток из стали Ст3 с наружным диаметром тридцать два миллиметра. Выдержит ли эта балка мой вес плюс дополнительные динамические нагрузки, которые возникнут при выполнении упражнений?
Чертим схему для расчета балки на изгиб. Очевидно, что наиболее опасной будет схема приложения внешней нагрузки, когда я начну подтягиваться, зацепившись одной рукой за середину перекладины.
Исходные данные:
F1 = 900 н – сила, действующая на балку (мой вес) без учета динамики
d = 32 мм – наружный диаметр прутка, из которого сделана балка
E = 206000 н/мм^2 — модуль упругости материала балки стали Ст3
[σи] = 250 н/мм^2 — допустимые напряжения изгиба (предел текучести) для материала балки стали Ст3
Граничные условия:
Мx (0) = 0 н*м – момент в точке z = 0 м (первая опора)
Мx (1,2) = 0 н*м– момент в точке z = 1,2 м (вторая опора)
V (0) = 0 мм – прогиб в точке z = 0 м (первая опора)
V (1,2) = 0 мм – прогиб в точке z = 1,2 м (вторая опора)
Расчет:
1. Для начала вычислим момент инерции Ix и момент сопротивления Wx сечения балки. Они нам пригодятся в дальнейших расчетах. Для кругового сечения (каковым является сечение прутка):
Ix = (π*d^4)/64 = (3.14*(32/10)^4)/64 = 5,147 см^4
Wx = (π*d^3)/32 = ((3.14*(32/10)^3)/32) = 3,217 см^3
2. Составляем уравнения равновесия для вычисления реакций опор R1 и R2:
Qy = -R1+F1-R2 = 0
Мx (0) = F1*(0-b2) -R2*(0-b3) = 0
Из второго уравнения: R2 = F1*b2/b3 = 900*0.6/1.2 = 450 н
Из первого уравнения: R1 = F1-R2 = 900-450 = 450 н
3. Найдем угол поворота балки в первой опоре при z = 0 из уравнения прогиба для второго участка:
V (1.2) = V (0)+U (0)*1.2+(-R1*((1.2-b1)^3)/6+F1*((1.2-b2)^3)/6)/
U (0) = (R1*((1.2-b1)^3)/6 -F1*((1.2-b2)^3)/6)/(E*Ix)/1,2 =
= (450*((1.2-0)^3)/6 -900*((1.2-0.6)^3)/6)/
/(206000*5,147/100)/1,2 = 0,00764 рад = 0,44˚
4.
Составляем уравнения для построения эпюр для первого участка (0 Поперечная сила: Qy (z) = -R1 Изгибающий момент: Мx (z) = -R1*(z-b1) Угол поворота: Ux (z) = U (0)+(-R1*((z-b1)^2)/2)/(E*Ix) Прогиб: Vy (z) = V (0)+U (0)*z+(-R1*((z-b1)^3)/6)/(E*Ix) z = 0 м:
Qy (0) = -R1 = -450 н Ux (0) = U (0) = 0,00764 рад Vy (0) = V (0) = 0 мм z = 0,6 м:
Qy (0,6) = -R1 = -450 н Мx (0,6) = -R1*(0,6-b1) = -450*(0,6-0) = -270 н*м Ux (0,6) = U (0)+(-R1*((0,6-b1)^2)/2)/(E*Ix) = 0,00764+(-450*((0,6-0)^2)/2)/(206000*5,147/100) = 0 рад Vy (0,6) = V (0)+U (0)*0,6+(-R1*((0,6-b1)^3)/6)/(E*Ix) = 0+0,00764*0,6+(-450*((0,6-0)^3)/6)/ (206000*5,147/100) = 0,003 м Балка прогнется по центру на 3 мм под тяжестью моего тела. Думаю, это приемлемый прогиб. 5.
Пишем уравнения эпюр для второго участка (b2 Поперечная сила: Qy (z) = -R1+F1 Изгибающий момент: Мx (z) = -R1*(z-b1)+F1*(z-b2) Угол поворота: Ux (z) = U (0)+(-R1*((z-b1)^2)/2+F1*((z-b2)^2)/2)/(E*Ix) Прогиб: Vy (z) = V (0)+U (0)*z+(-R1*((z-b1)^3)/6+F1*((z-b2)^3)/6)/(E*Ix) z = 1,2 м:
Qy (1,2) = -R1+F1 = -450+900 = 450 н Мx (1,2) = 0 н*м Ux (1,2) = U (0)+(-R1*((1,2-b1)^2)/2+F1*((1,2-b2)^2)/2)/(E*Ix) = 0,00764+(-450*((1,2-0)^2)/2+900*((1,2-0,6)^2)/2)/ /(206000*5,147/100) = -0.00764 рад Vy (1,2) = V (1,2) = 0 м 6.
Строим эпюры, используя данные полученные выше. 7.
Рассчитываем напряжения изгиба в наиболее нагруженном сечении – посередине балки и сравниваем с допустимыми напряжениями: σи = Mx max/Wx = (270*1000)/(3,217*1000) = 84 н/мм^2 σи = 84 н/мм^2 < [σи] = 250 н/мм^2 По прочности на изгиб расчет показал трехкратный запас прочности – турник можно смело делать из имеющегося прутка диаметром тридцать два миллиметра и длиной тысяча двести миллиметров. Таким образом, вы теперь легко можете произвести расчет балки на изгиб «вручную» и сравнить с результатами, полученными при расчете по любой из многочисленных программ, представленных в Сети. Прошу УВАЖАЮЩИХ
труд автора ПОДПИСАТЬСЯ
на анонсы статей.
88 комментариев на «Расчет балки на изгиб — «вручную»!»
Мы начнем с простейшего случая, так называемого чистого изгиба. Чистый изгиб есть частный случай изгиба, при котором в сечениях балки поперечная сила равна нулю. Чистый изгиб может иметь место только в том случае, когда собственный вес балки настолько мал, что его влиянием можно пренебречь. Для балок на двух опорах примеры нагрузок, вызывающих чистый изгиб, представлены на рис. 88. На участках этих балок, где Q = 0 и, следовательно, М= const; имеет место чистый изгиб. Усилия в любом сечении балки при чистом изгибе сводятся к паре сил, плоскость действия которой проходит через ось бал-ки, а момент постоянен. Напряжения могут быть определены на основании следую-щих соображений. 1. Касательные составляющие усилий по элементарным пло-щадкам в поперечном сечении балки не могут быть приведены к паре сил, плоскость действия которой перпендикулярна к пло-скости сечения. Отсюда следует, что изгибающее усилие в сече-нии является результатом действия по элементарным площадкам лишь нормальных усилий, а потому при чистом изгибе и напряжения сводятся только к нормальным. 2. Чтобы усилия по элементарным площадкам свелись только к паре сил, среди них должны быть как положительные, так и отрицательные. Поэтому должны существовать как растянутые, так и сжатые волокна балки. 3. Ввиду того, что усилия в различных сечениях одинаковы, то и напряжения в соответственных точках сечений одинаковы. Рассмотрим какой-либо элемент вблизи поверхности (рис. 89, а). Так как по нижней его грани, совпадающей с по-верхностью балки, силы не приложены, то на ней нет и напря-жений. Поэтому и на верхней грани элемента нет напряжений, так как иначе элемент не находился бы и равновесии, Рассмат-ривая соседний с ним по высоте элемент (рис. 89,б), придем к Такому же заключению и т. д. Отсюда следует, что по горизон-тальным граням любого элемента напряжения отсутствуют. Рас-сматривая элементы, входящие в состав горизонтального слоя, начиная с элемента у поверхности балки (рис. 90), придем к за-ключению, что и по боковым вертикальным граням любого эле-мента напряжения отсутствуют. Таким образом, напряженное состояние любого элемента (рис. 91,а), а в пределе и волокна, должно быть представлено так, как это показано на рис. 91,б, т. е. оно может быть либо осевым растяжением, либо осевым сжатием. 4. В силу симметрии приложения внешних сил сечение по середине длины балки после деформации должно остаться пло-ским и нормальным к оси балки (рис. 92, а). По этой же причине и сечения в четвертях длины балки тоже остаются плоскими и нормальными к оси балки (рис. 92,б), если только крайние се-чения балки при деформации остаются плоскими и нормальными к оси балки. Аналогичное заключение справедливо и для сечений в восьмых длины балки (рис. 92, в) и т. д. Следовательно, если при изгибе крайние сечения балки остаются плоскими, то и для любого сечения остается справедли-вым утверждение, что оно после де-формации остается плоским и нор-мальным к оси изогнутой балки. Но в таком случае очевидно, что изменение удлинений волокон балки по ее высоте должно происходить не только непре-рывно, но и монотонно. Если назвать слоем совокупность волокон, имеющих одинаковые удлинения, то из сказан-ного следует, что растянутые и сжатые волокна балки должны располагаться по разные стороны от слоя, в котором удлинения волокон равны нулю. Бу-дем называть волокна, удлинения ко-торых равны нулю, нейтральными; слой, состоящий из нейтральных воло-кон, - нейтральным слоем; линию пе-ресечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения балки - нейтральной линией этого сечения. Тогда на основании предыдущих рассуждений можно утверждать, что при чистом изгибе балки в каждом ее сечении имеется нейтральная линия, которая делит это сечение на две части (зоны): зону растяну-тых волокон (растянутую зону) и зону сжатых волокон (сжа-тую зону). Соответственно с этим в точках растянутой зоны се-чения должны действовать нормальные растягивающие напря-жения, в точках сжатой зоны - сжимающие напряжения, а в точках нейтральной линии напряжения равны нулю. Таким образом, при чистом изгибе балки постоянного се-чения: 1) в сечениях действуют только нормальные напряжения; 2) все сечение может быть разбито на две части (зоны) - растянутую и сжатую; границей зон является нейтральная линия сечения, в точках которой нормальные напряжения равны нулю; 3) любой продольный элемент балки (в пределе любое во-локно) подвергается осевому растяжению или сжатию, так что соседние волокна друг с другом не взаимодействуют; 4) если крайние сечения балки при деформации остаются плоскими и нормальными к оси, то и все ее поперечные сечения остаются плоскими и нормальными к оси изогнутой балки. Рас-смотрим элемент балки, подверженной чистому изгибу, заклю- до деформации после деформации где р - радиус кривизны нейтрального волокна. Поэтому абсолютное удлинение отрезка АВ равно и относительное удлинение Так как согласно положению (3) волокно АВ подвергается осевому растяжению, то при упругой деформации Отсюда видно, что нормальные напряжения по высоте балки распределяются по линейному закону (рис. 94). Так как равно-действующая всех усилий по всем элементарным площадкам се-чения должна равняться нулю, то откуда, подставляя значение из (5.8), найдем Но последний интеграл есть статический момент относительно оси Оу, перпендикулярной к плоскости действия изгибающих уси-лий. Вследствие равен-ства его нулю эта ось должна проходить через центр тяжести О сечения. Тамим образом,нейтраль-ная линия сечения балки есть прямая уу, перпен-дикулярная к плоскости действия изгибающих усилий. Ее называют ней-тральной осью сечения балки. Тогда из (5.8) следует, что напряжения в точках, лежа-щих на одинаковом расстоянии от нейтральной оси, одинаковы. Случай чистого изгиба, при котором изгибающие усилия действуют только в одной плоскости, вызывая изгиб только в этой плоскости, является плоским чистым изгибом. Если названная плоскость проходит через ось Oz, то момент элементарных уси-лий относительно этой оси должен быть равен нулю, т. е. Подставляя сюда значение σ из (5.8), находим Стоящий в левой части этого равенства интеграл, как изве-стно, является центробежным моментом инерции сеченияотноси-тельно осей у и z, так что Оси, относительно которых центробежный момент инерции сечения равен нулю, называют главными осями инерции этого сечения. Если они, кроме того, проходят через центр тяжести сечения, то их можно назвать главными центральными осями инерции сечения. Таким образом, при плоском чистом изгибе направление плоскости действия изгибающих усилий и нейтраль-ная ось сечения являются главными центральными осями инер-ции последнего. Иными словами, для получения плоского чи-стого изгиба балки нагрузка к ней не может прикладываться произвольно: она должна сводиться к силам, действующим в плоскости, которая проходит через одну из главных центральных осей инерции сечений балки; при этом другая главная централь-ная ось инерции будет являться нейтральной осью сечения. Как известно, в случае сечения, симметричного относительно какой-либо оси, ось симметрии является одной из главных цент-ральных осей инерции его. Следовательно, в этом частном случае мы заведомо получим чистый изгиб, приложив соответствующие анагрузки в плоскости, проходящей через продольную ось балки я ось симметрии ее сечения. Прямая, перпендикулярная к оси симметрии и проходящая через центр тяжести сечения, является при этом нейтральной осью этого сечения. Установив положение нейтральной оси, нетрудно найти и ве-личину напряжения в любой точке сечения. В самом деле, так как сумма моментов элементарных усилий относительно нейт-ральной оси уу должна равняться изгибающему моменту, то откуда, подставляя значение σ из (5.8), найдем Так как интеграл и из выражения (5.8) получим Произведение ЕI У называют жесткостью балки при изгибе. Наибольшее растягивающее и наибольшее по абсолютной величине сжимающее напряжения действуют в точках сечения, для которых абсолютная величина z наибольшая, т. е. в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси. При обозначениях, рис. 95 имеем Величину Jy/h1 называют моментом сопротивления сечения рас-тяжению и обозначают Wyр; аналогично, Jy/h2называют моментом сопротивления сечения сжатию и обозначают Wyc,так что и поэтому Если нейтральная ось является, осью симметрии сечения, то h1 = h2 = h/2 и, следовательно, Wyp = Wyc, так что их различать нет надобности, и пользуются одним обозначением: называя W y просто моментом сопротивления сечения.Следова-тельно, в случае сечения, симметричного относительно нейтраль-ной оси, Все приведенные выше выводы получены на основании допу-щения, что поперечные сечения балки, при изгибе остаются пло-скими и нормальными к ее оси (гипотеза плоских сечений). Как было показано, это допущение справедливо только в том случае, когда крайние (концевые) сечения балки при изгибе остаются плоскими. С другой стороны, из гипотезы плоских сечений сле-дует, что элементарные усилия в таких сечениях должны распре-деляться по линейному закону. Поэтому для справедливости по-лученной теории плоского чистого изгиба необходимо, чтобы из-гибающие моменты на концах балки были приложены в виде элементарных сил, распределенных по высоте сечения по линей-ному закону (рис. 96), совпадающему с законом распределения напряжений по высоте сечения балки. Однако на основании принципа Сен-Венана можно утверждать, что изменение способа приложения изгибающих моментов на концах балки вызовет лишь местные деформации, влияние которых скажется лишь на некотором расстоянии от этих концов (приблизительно равном высоте сечения). Сечения же, находящиеся во всей остальной части длины балки, останутся плоскими. Следовательно, изложенная теория плоского чистого изгиба при любом способе приложения изгибающих моментов справедлива только в пределах средней части длины балки, находящейся от ее концов на расстояниях, при-близительно равных высоте сечения. Отсюда ясно, что эта тео-рия заведомо неприменима, если высота сечения превосходит половину длины или пролета балки. Процесс проектирования современных строений и построек регулируется огромным количеством различных строительных норм и правил. В большинстве случаев нормы требуют обеспечения определенных характеристик, например, деформации или прогиба балок плит перекрытия под статической или динамической нагрузкой. Например, СНиП № 2.09.03-85
определяет для опор и эстакад прогиб балки не более чем в 1/150 длины пролета. Для чердачных перекрытий этот показатель составляет уже 1/200, а для межэтажных балок и того меньше - 1/250. Поэтому одним из обязательных этапов проектирования является выполнение расчета балки на прогиб. Причина, по которой СНиПы устанавливают столь драконовские ограничения, проста и очевидна. Чем меньше деформация, тем больше запас прочности и гибкости конструкции. Для прогиба менее 0,5% несущий элемент, балка или плита все еще сохраняет упругие свойства, что гарантирует нормальное перераспределение усилий и сохранение целостности всей конструкции. С увеличением прогиба каркас здания прогибается, сопротивляется, но стоит, с выходом за пределы допустимой величины происходит разрыв связей, и конструкция лавинообразно теряет жесткость и несущую способность. К сведению!
Чтобы реально представлять, почему так важно знать величину отклонения от первоначального положения, стоить понимать, что измерение величины прогиба является единственным доступным и достоверным способом определить состояние балки на практике. Измерив, насколько просела балка потолочного перекрытия, можно с 99% уверенностью определить, находится ли конструкция в аварийном состоянии или нет. Прежде чем приступать к расчету, нужно будет вспомнить некоторые зависимости из теории сопротивления материалов и составить расчетную схему. В зависимости от того, насколько правильно выполнена схема и учтены условия нагружения, будет зависеть точность и правильность расчета. Используем простейшую модель нагруженной балки, изображенной на схеме. Простейшей аналогией балки может быть деревянная линейка, фото. В нашем случае балка: Для определения деформации тела под нагрузкой используют формулу модуля упругости, который определяется по соотношению Е=R/Δ
, где Е
- справочная величина, R
— усилие, Δ
— величина деформации тела. Для нашего случая зависимость будет выглядеть так: Δ = Q/(S·Е)
. Для распределенной вдоль балки нагрузки q формула будет выглядеть так: Δ = q·h/(S·Е)
. Далее следует наиболее принципиальный момент. Приведенная схема Юнга показывает прогиб балки или деформацию линейки так, если бы ее раздавливали под мощным прессом. В нашем случае балку изгибают, а значит, на концах линейки, относительно центра тяжести, приложены два изгибающих момента с разным знаком. Эпюра нагружения такой балки приведена ниже. Чтобы преобразовать зависимость Юнга для изгибающего момента, необходимо обе части равенства умножить на плечо L. Получаем Δ*L = Q·L/(b·h·Е)
. Если представить, что одна из опор жестко закреплена, а на второй будет приложен эквивалентный уравновешивающий момент сил M max = q*L*2/8
, соответственно, величина деформации балки будет выражаться зависимостью Δх = M·х/((h/3)·b·(h/2)·Е)
. Величину b·h 2 /6
называют моментом инерции и обозначают W
. В итоге получается Δх = M·х/(W·Е)
основополагающая формула расчета балки на изгиб W=M/E
через момент инерции и изгибающий момент. Чтобы точно выполнить расчет прогиба, потребуется знать изгибающий момент и момент инерции. Величину первого можно посчитать, но конкретная формула для расчета балки на прогиб будет зависеть от условий контакта с опорами, на которых находится балка, и способа нагружения, соответственно для распределенной или концентрированной нагрузки. Изгибающий момент от распределенной нагрузки считается по формуле Mmax = q*L 2 /8. Приведенные формулы справедливы только для распределенной нагрузки. Для случая, когда давление на балку сконцентрировано в определенной точке и зачастую не совпадает с осью симметрии, формулу для расчета прогиба приходится выводить с помощью интегрального исчисления. Момент инерции можно представить, как эквивалент сопротивления балки изгибающей нагрузке. Величину момента инерции для простой прямоугольной балки можно посчитать по несложной формуле W=b*h 3 /12, где b и h - размеры сечения балки. Из формулы видно, что одна и та же линейка или доска прямоугольного сечения может иметь совершенно разный момент инерции и величину прогиба, если положить ее на опоры традиционным способом или поставить на ребро. Недаром практически все элементы стропильной системы крыши изготавливаются не из бруса 100х150, а из доски 50х150. Реальные сечения строительных конструкций могут иметь самые разные профили, от квадрата, круга до сложных двутавровых или швеллерных форм. При этом определение момента инерции и величины прогиба вручную, «на бумажке», для таких случаев становится нетривиальной задачей для непрофессионального строителя. На практике чаще всего стоит обратная задача - определить запас прочности перекрытий или стен для конкретного случая по известной величине прогиба. В строительном деле очень сложно дать оценку запасу прочности иными, неразрушающими методами. Нередко по величине прогиба требуется выполнить расчет, оценить запас прочности здания и общее состояние несущих конструкций. Мало того, по выполненным измерениям определяют, является деформация допустимой, согласно расчету, или здание находится в аварийном состоянии. Совет!
В вопросе расчета предельного состояния балки по величине прогиба неоценимую услугу оказывают требования СНиПа. Устанавливая предел прогиба в относительной величине, например, 1/250, строительные нормы существенно облегчают определение аварийного состояния балки или плиты. Например, если вы намерены покупать готовое здание, простоявшее достаточно долго на проблемном грунте, нелишним будет проверить состояние перекрытия по имеющемуся прогибу. Зная предельно допустимую норму прогиба и длину балки, можно безо всякого расчета оценить, насколько критическим является состояние строения. Строительная инспекция при оценке прогиба и оценке несущей способности перекрытия идет более сложным путем: Вопрос - почему так сложно, если прогиб можно получить, используя для расчета формулу для простой балки на шарнирных опорах f=5/24*R*L 2 /(E*h) под распределенным усилием. Достаточно знать длину пролета L, высоту профиля, расчетное сопротивление R и модуль упругости Е для конкретного материала перекрытия. Совет!
Используйте в своих расчетах существующие ведомственные сборники различных проектных организаций, в которых в сжатом виде сведены все необходимые формулы для определения и расчета предельного нагруженного состояния. Аналогичным образом поступает большинство разработчиков и проектантов серьезных построек. Программа - это хорошо, она помогает очень быстро выполнить расчет прогиба и основных параметров нагружения перекрытия, но важно также предоставить заказчику документальное подтверждение полученных результатов в виде конкретных последовательных расчетов на бумаге. Задача 1
В некотором сечении балки прямоугольного сечения 20×30см М
=28 кНм, Q
=
19 кН.
Требуется:
а) определить нормальное и касательное напряжения в заданной точке К,
отстоящей от нейтральной оси на расстоянии 11 см,
б) проверить прочность деревянной балки, если [σ]=10 МПа, [τ]=3 МПа.
Решение
а) Для определения σ (К
) , τ (К
) и max
σ, max
τ потребуется знать величины осевого момента инерции всего сечения I Н.О.
, осевого момента сопротивления W Н.О.
, статического момента отсечённой части и статического момента половины сечения S
max
: б) Проверка прочности:
— по условию прочности нормальных напряжений:
— по условию прочности касательных напряжений:
Задача 2
В некотором сечении балки М
=10кНм, Q
=40кН. Поперечное сечение – треугольное. Найти нормальное и касательное напряжения в точке, отстоящей от нейтральной оси на расстоянии 15 см.
Задача 3
Подобрать сечение деревянной балки в двух вариантах: круглое и прямоугольное (при h
/b
=2), если [σ]=10 МПа, [τ]=3 МПа, и сравнить их по расходу материала.
А
и В
и составляем уравнения статики: (1) ∑М
(В
) = F
·8 – М
– А
·6 + (q
·6)·3 =0, (2) ∑М
(А
) = F
·2 – М
+ В
·6 — (q
·6)·3 =0, Iучасток
∑М
(С
) = М
(z
1) +F
·z
1 =0, ММ
(z
1) = -F
·z
1 = — 30 ·z
1 — – уравнение прямой.
При z
1 = 0: М
= 0, z
1 = 2: М =-
60 кНм. ∑у
= — F
— Q
(z
1) = 0, Q
(z
1) = — F
= -30 кН – постоянная функция. II участок
откуда — уравнение параболы
. При z
2 =0: М
= 0, z
2 =3м: М
= 30 · 3 – 5 · 3 2 = 90 — 45 = 45кНм, z
2 =6м: М
= 30 · 6 – 5 · 6 2 = 180 — 180 = 0. ∑у
= Q
(z
2) — q
·z
2 + B
= 0, Q
(z
2) = q
·z
2 — B
= 10·z
2 – 30 – уравнение прямой
, при
z
2 = 0: Q
= -30,
z
2 = 6м: Q
= 10·6 – 30 = 30. Определение аналитического максимума изгибающего момента второго участка:
из условиянаходим : Заметим, что скачок в эп.М
расположен там, где приложен сосредоточенный момент М
= 60кНм и равен этому моменту, а скачок в эп.Q
– под сосредоточенной силой А
= 60 кН. Подбор сечения балок производится из условия прочности по нормальным напряжениям, куда следует подставлять наибольший по абсолютной величине изгибающий момент из эпюры М
. В данном случае максимальный момент по модулю М = 60кНм а) сечение круглой формы d
=?
б) сечение прямоугольной формы при h
/b
= 2:
Размеры сечения, определенные из условия прочности по нормальным напряжениям, должны удовлетворять также условию прочности по касательным напряжениям: Для простых форм сечений известны компактные выражения наибольшего касательного напряжения: — для круглого сечения
— для прямоугольного сечения
Воспользуемся этими формулами. Тогда — для балки круглого сечения при — для балки прямоугольного сечения Чтобы выяснить, какое сечение требует меньшего расхода материала, достаточно сравнить величины площадей поперечных сечений: А
прямоугольного = 865,3см 2 < А
круглого = 1218,6см 2 , следовательно, балка прямоугольного сечения в этом смысле выгоднее, чем круглого.
Задача 4
Подобрать двутавровое сечение стальной балки, если [σ]=160МПа, [τ]=80МПа.
Задаёмся направлениями опорных реакций А
и В
и составляем два уравнения статики для их определения: (1) ∑М
(А
) = – М
1 – F
·2 — (q
·8)·4 + М
2 + В
·6 =0, (2) ∑М
(В
) = – М
1 – А
· 6 + F
· 4 + (q
·8)·2 + М
2 =0, Проверка: ∑у
= А
– F
– q
· 8 + В
= 104 – 80 – 20 · 8 +136 = 240 – 240 ≡ 0. ∑М
(С
) = М
(z
1) - М
1 =0, М
(z
1) = М 1 = 40 кНм – постоянная функция.
∑у
= — Q
(z
1) = 0, Q
(z
1) = 0. II участок
Приz
2 =0: М
= 40 кНм, z
2 =1м: М
= 40 + 104 – 10=134кНм, z
2 =2м: М
= 40+ 104 · 2 – 10 · 2 2 = 208 кНм. ∑у
=А
— q
·z
2 — Q
(z
2) = 0, Q
(z
2) =А
— q
·z
2 = 104 – 20·z
2 – уравнение прямой,
при
z
2 = 0: Q
= 104кН,
z
2 = 6м: Q
= 104 – 40 = 64кН. III участок
Приz
3 =0: М
= 24+40=-16 кНм, z
3 =2м: М
= 24 + 136·2 — 10 (2+2) 2 = 24 + 272 – 160 = 136кНм, z
3 =4м: М
= 24 + 136·4 – 10 (2+4) 2 = 24 + 544 – 360 = 208 кНм. ∑у
=В
— q
(2+z
3) + Q
(z
3) = 0, Q
(z
3) =- В
+ q
(2+z
3) = -136 + 20 (2+z
3) – уравнение прямой,
при
z
3 = 0: Q
= -136 + 40 = — 94кН,
z
3 = 4м: Q
= — 136 + 20 (2+4) = — 136 + 120 = — 16кН. IV участок
z
4 =0: М
= 0кНм, z
4 =1м: М
= – 10кНм, z
4 =2м: М
= — 40кНм. ∑у
=- q
·z
4 + Q
(z
4) = 0, Q
(z
4) =q
·z
4 = 20·z
4 – уравнение прямой.
Приz
4 = 0: Q
= 0,
z
4 = 2м: Q
= 40кН. Проверяем скачки в эпюрах: а) В эпюре М
скачок на правой опоре величиной 24кНм (от 16 до 40) равен сосредоточенному моменту М
2 =24, приложенному в этом месте. б) В эпюре Q
три скачка: первый из них на левой опоре соответствует сосредоточенной реакции А
=104кН, второй – под силой F
=80кН и равен ей (64+16=80кН), третий – на правой опоре и соответствует правой опорной реакции 136кН (94+40=136 кН) Наконец, проектируем двутавровое сечение. Подбор его размеров производится из условия прочности по нормальным напряжениям: ∑М
(С
) = М
(z
1) + F
·z
1 =0, М
(z
1) = - F
·z
1 = -20·z
1 . При z
1 =0: М
= 0,
z
1 =2м: М
= – 40кНм, ∑у
= - F
— Q
(z
1) = 0, Q
(z
1) = — 20кН. II участок
z
2 =0: М
= — 20 – 40 = -60 кНм, z
2 =4м: М
= 200 — 20 – 120 = 200 — 140 = 60кНм. ∑у
=- F
+ А
— Q
(z
2) = 0, Q
=- F
+ А=
-20+50=30кН. III участок
Приz
3 =0: М
= — 20·4= — 80 кНм, z
3 =2м: М
= 210·2 — 20·(2+2) 2 = 420 – 320 = 100кНм, z
3 =4м: М
= 210·4 – 20 · (2+4) 2 = 840 – 720 = 120кНм. ∑у
= Q
(z
3) + В
— q
·(2+z
3) = 0, Q
(z
3) = — В
+ q
·(2+z
3) = — 210 + 40·(2+z
3) – уравнение прямой.
Приz
3 = 0: Q
= -130кН,
z
3 = 4м: Q
= 30кН. Q
(z
0) = — 210 + 40·(2+z
0) = 0, — 210 + 80 + 40·z
0 = 0, 40·z
0 = 130, z
0 =3,25м, IV участок
Приz
4 =0: М
= 0 кНм, z
4 =1м: М
= – 20кНм, z
4 =2м: М
= — 80кНм. ∑у
=- q
·z
4 + Q
(z
4) = 0, Q
(z
4) =q
·z
4 = 40·z
4 – уравнение прямой
,
z
4 = 0: Q
= 0,
z
4 = 2м: Q
= 80кН. 3. Подбор сечений (опасное сечение по σ: | max
М
|=131,25кНм,
опасное сечение по τ: | max
Q
|=130кН).
Вариант 1. Деревянное прямоугольное ([σ]=15МПа, [τ]=3МПа)
Принимаем: В=0,24м,
Н=0,48м.
Проверяем по τ: Вариант 2. Деревянное круглое
Деформация изгиба
заключается в
искривлении оси прямого стержня или в
изменении начальной кривизны прямого
стержня (рис. 6.1). Ознакомимся
с основными понятиями, которые используются
при рассмотрении деформации изгиба. Стержни, работающие на изгиб, называют
балками
. Чистым
называется изгиб, при котором
изгибающий момент является единственным
внутренним силовым фактором, возникающем
в поперечном сечении балки. Чаще, в поперечном сечении стержня
наряду с изгибающим моментом возникает
также и поперечная сила. Такой изгиб
называют поперечным. Плоским (прямым)
называют изгиб,
когда плоскость действия изгибающего
момента в поперечном сечении проходит
через одну из главных центральных осей
поперечного сечения. При косом изгибе
плоскость действия
изгибающего момента пересекает поперечное
сечение балки по линии, не совпадающей
ни с одной из главных центральных осей
поперечного сечения. Изучение деформации изгиба начнем со
случая чистого плоского изгиба. Как уже было сказано, при чистом плоском
изгибе в поперечном сечении из шести
внутренних силовых факторов не равен
нулю только изгибающий момент (рис. 6.1,
в): Опыты, поставленные на эластичных
моделях, показывают, что если на
поверхность модели нанести сетку линий
(рис. 6.1, а), то при чистом изгибе она
деформируется следующим образом
(рис. 6.1, б): а) продольные линии
искривляются по длине
окружности; б) контуры поперечных сечений остаются
плоскими; в) линии контуров сечений всюду
пересекаются с продольными волокнами
под прямым углом. На основании этого можно предположить,
что при чистом изгибе поперечные сечения
балки остаются плоскими и поворачиваются
так, что остаются нормальными к изогнутой
оси балки (гипотеза плоских сечений при
изгибе). Рис. 6.1
Замеряя длину продольных линий (рис.
6.1, б), можно обнаружить, что верхние
волокна при деформации изгиба балки
удлиняются, а нижние укорачиваются.
Очевидно, что можно найти такие волокна,
длина которых остается неизменной.
Совокупность волокон, не меняющих своей
длины при изгибе балки, называется
нейтральным слоем (н. с.)
. Нейтральный
слой пересекает поперечное сечение
балки по прямой, которая называетсянейтральной линией (н. л.) сечения
. Для вывода формулы, определяющей величину
нормальных напряжений, возникающих в
поперечном сечении, рассмотрим участок
балки в деформированном и не деформированном
состоянии (рис. 6.2). Рис. 6.2
Двумя бесконечно малыми поперечными
сечениями выделим элемент длиной
Длина этого волокна после деформации
(длина дуги
Его относительная деформация
Очевидно, что
Следовательно, относительная продольная
деформация пропорциональна расстоянию
волокна от нейтральной оси. Введем предположение, что при изгибе
продольные волокна не надавливают друг
на друга. При таком предположении каждое
волокно деформируется изолировано,
испытывая простое растяжение или сжатие,
при котором
т. е. нормальные напряжения прямо
пропорциональны расстояниям рассматриваемых
точек сечения от нейтральной оси. Подставим зависимость (6.3) в выражение
изгибающего момента
Вспомним, что интеграл Зависимость (6.4) представляет собой
закон Гука при изгибе, поскольку она
связывает деформацию (кривизну
нейтрального слоя
Подставим (6.4) в (6.3) Это и есть искомая формула для определения
нормальных напряжений при чистом изгибе
балки в любой точке ее сечения. Для того, чтобы установить,
где в поперечном сечении находится
нейтральная линия подставим значение
нормальных напряжений в выражение
продольной силы Поскольку
Равенство (6.6) указывает, что ось
Равенство (6.7) показывает что
Согласно (6.5) наибольшей величины
напряжения достигают в волокнах наиболее
удаленных от нейтральной линии Отношение
Значение
Для прямоугольного поперечного сечения где
Для круглого поперечного сечения где
Условие прочности по нормальным
напряжениям при изгибе можно записать
в виде Все полученные формулы получены для
случая чистого изгиба прямого стержня.
Действие же поперечной силы приводит
к тому, что гипотезы, положенные в основу
выводов, теряют свою силу. Однако практика
расчетов показывает, что и при поперечном
изгибе балок и рам, когда в сечении кроме
изгибающего момента
Статьи с близкой тематикой
Отзывы
Напряженное состояние балки при чистом изгибе
ченный между сечениями m- m и n - n, которые отстоят одно от дру-гого на бесконечно малом расстоя-нии dx (рис. 93). Вследствие по-ложения (4) предыдущего пункта, сечения m- m и n - n, бывшие до деформации параллельными, после изгиба, оставаясь плоскими, будут составлять угол dQ и пересекаться по прямой, проходящей через точ-ку С, которая является центром кривизны нейтрального волокна NN. Тогда заключенная между ними часть АВ волокна, находящегося на расстоянии z от нейтрального во-локна (положительное направление оси z принимаем в сторону выпук-лости балки при изгибе), превра-тится после деформации в дугу А"В".Отрезок нейтрального волокна О1О2, превратившись в дугу О1О2 не изменит своей длины, тогда как волокно АВ получит удлинение:
является. моментом инерции сечения относительно оси уу, то
Способы выполнить расчет и проверку на прогиб
Методика выполнения расчета на прогиб
Вычисляем моменты инерции и сил
Формулы для практического использования
Заключение
где 
Тогда
И тогда
откуда: :
тогда
:
— парабола
.
— парабола
.
- парабола.
- парабола.
парабола.
Нормальные напряжения и деформации при чистом изгибе.
.
До деформации сечения, ограничивающие
элемент
,
были параллельны между собой (рис. 6.2,
а), а после деформации они несколько
наклонились, образуя угол
.
Длина волокон, лежащих в нейтральном
слое, при изгибе не меняется
.
Обозначим радиус кривизны следа
нейтрального слоя на плоскости чертежа
буквой
.
Определим линейную деформацию
произвольного волокна
,
отстоящего на расстоянии
от нейтрального слоя.
)
равна
.
Учитывая, что до деформации все волокна
имели одинаковую длину
,
получим, что абсолютное удлинение
рассматриваемого волокна
,
так как длина волокна, лежащего в
нейтральном слое не изменилась. Тогда
после подстановки
получим
(6.2)
.
С учетом (6.2)
, (6.3)
в поперечном сечении (6.1)
.
представляет собой момент инерции
сечения относительно оси
.
(6.4)
)
с действующим в сечении моментом.
Произведение
носит название жесткости сечения при
изгибе, Н·м 2 .
(6.5)
и изгибающего момента
,
;
(6.6)
(6.7)
– нейтральная ось сечения – проходит
через центр тяжести поперечного сечения.
и
- главные центральные оси сечения.
представляет собой осевой момент
сопротивления сечения
относительно его центральной оси
,
значит
для простейших поперечных сечений
следующее:
, (6.8)
-
сторона сечения перпендикулярная оси
;
- сторона сечения параллельная оси
;
, (6.9)
- диаметр круглого поперечного
сечения.
(6.10)
действует еще продольная
сила
и поперечная сила
,
можно пользоваться формулами,
приведенными для чистого изгиба.
Погрешность при этом получается
незначительной.
