Найти общий интеграл дифференциального уравнения примеры решения. Решение простейших дифференциальных уравнений первого порядка
Или уже решены относительно производной , или их можно решить относительно производной 
.
Общее решение дифференциальных уравнений типа на интервале X , который задан, можно найти, взяв интеграл обоих частей этого равенства.
Получим 
.
Если посмотреть на свойства неопределенного интеграла, то найдем искомое общее решение:
y = F(x) + C ,
где F(x) - одна из первообразных функции f(x) на промежутке X , а С - произвольная постоянная.
Обратите внимание, что в большинстве задач интервал X не указывают. Это значит, что решение нужно находить для всех x , при которых и искомая функция y , и исходное уравнение имеют смысл.
Если нужно вычислить частное решение дифференциального уравнения , которое удовлетворяет начальному условию y(x 0) = y 0 , то после вычисления общего интеграла y = F(x) + C , еще необходимо определить значение постоянной C = C 0 , используя начальное условие. Т.е., константу C = C 0 определяют из уравнения F(x 0) + C = y 0 , и искомое частное решение дифференциального уравнения примет вид:
y = F(x) + C 0 .
Рассмотрим пример:
Найдем общее решение дифференциального уравнения , проверим правильность результата. Найдем частное решение этого уравнения, которое удовлетворяло бы начальному условию .
Решение:
После того, как мы проинтегрировали заданное дифференциальное уравнение, получаем:
.
Возьмем этот интеграл методом интегрирования по частям:
Т.о., 
является общим решением дифференциального уравнения.
Чтобы убедиться в правильности результата, сделаем проверку. Для этого подставляем решение, которое мы нашли, в заданное уравнение:
.
То есть, при 
исходное уравнение превращается в тождество:
поэтому общее решение дифференциального уравнения определили верно.
Решение, которое мы нашли, является общим решением дифференциального уравнения для каждого действительного значения аргумента x .
Осталось вычислить частное решение ОДУ, которое удовлетворяло бы начальному условию . Другими словами, необходимо вычислить значение константы С , при котором будет верно равенство:
.
.
Тогда, подставляя С = 2 в общее решение ОДУ, получаем частное решение дифференциального уравнения, которое удовлетворяет первоначальному условию:
.
Обыкновенное дифференциальное уравнение 
можно решить относительно производной, разделив 2 части равенства на f(x)
. Это преобразование будет равнозначным, если f(x)
не превращается в нуль ни при каких x
из интервала интегрирования дифференциального уравнения X
.
Вероятны ситуации, когда при некоторых значениях аргумента x ∈ X функции f(x) и g(x) одновременно превращаются в нуль. Для подобных значений x общим решением дифференциального уравнения будет всякая функция y , которая определена в них, т.к. .
Если для некоторых значений аргумента x ∈ X выполняется условие , значит, в этом случае у ОДУ решений нет.
Для всех других x из интервала X общее решение дифференциального уравнения определяется из преобразованного уравнения .
Разберем на примерах:
Пример 1.
Найдем общее решение ОДУ: 
.
Решение.
Из свойств основных элементарных функций ясно, что функция натурального логарифма определена для неотрицательных значений аргумента, поэтому областью определения выражения ln(x+3) есть интервал x > -3 . Значит, заданное дифференциальное уравнение имеет смысл для x > -3 . При этих значениях аргумента выражение x + 3 не обращается в нуль, поэтому можно решить ОДУ относительно производной, разделив 2 части на х + 3 .
Получаем 
.
Далее проинтегрируем полученное дифференциальное уравнение, решенное относительно производной: 
. Для взятия этого интеграла пользуемся методом подведения под знак дифференциала.
Данный онлайн калькулятор позволяет решать дифференциальные уравнения онлайн. Достаточно в соответствующее поле ввести ваше уравнение, обозначая через апостроф " производную от функции и нажать на кнопку "решить уравнение". И система, реализованная на основе популярного сайта WolframAlpha выдаст подробное решение дифференциального уравнения абсолютно бесплатно. Вы можете также задать задачу Коши, чтобы из всего множества возможных решений выбрать частное соответствующее заданным начальным условиям. Задача Коши вводится в отдельном поле.
Дифференциальное уравнение
По умолчанию в уравнении функция y является функцией от переменной x . Однако вы можете задать своё обозначение переменной, если напишете, например, y(t) в уравнении, то калькулятор автоматически распознает, что y есть функция от переменной t . С помощью калькулятора вы сможете решать дифференциальные уравнения любой сложности и вида: однородные и неоднородные, линейные или нелинейные, первого порядка или второго и более высоких порядков, уравнения с разделяющимися или неразделяющимися переменными и т.д. Решение диф. уравнения даётся в аналитическом виде, имеет подробное описание. Дифференциальные уравнения очень часто встречаются в физике и математике. Без их вычисления невозможно решать многие задачи (особенно в математической физике).
Одним из этапов решения дифференциальных уравнений является интегрирование функций . Есть стандартные методы решений дифференциальных уравнений. Необходимо привести уравнения к виду с разделяющимися переменными y и x и отдельно проинтегрировать разделенные функции. Чтобы это сделать иногда следует провести определенную замену.
Дифференциальное уравнение (ДУ)
- это уравнение ,
где - независимые переменные, y
- функция и - частные производные.
Обыкновенное дифференциальное уравнение - это дифференциальное уравнение, которое имеет только одну независимую переменную, .
Дифференциальное уравнение в частных производных - это дифференциальное уравнение, которое имеет две и более независимых переменных.
Слова “обыкновенные“ и "в частных производных" могут опускаться, если ясно, какое уравнение рассматривается. В дальнейшем рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения.
Порядок дифференциального уравнения - это порядок старшей производной.
Вот пример уравнения первого порядка:
Вот пример уравнения четвертого порядка:
Иногда дифференциальное уравнение первого порядка записывается через дифференциалы:
В этом случае переменные x
и y
являются равноправными. То есть независимой переменной может быть как x
так и y
.
В первом случае y
является функцией от x
.
Во втором случае x
является функцией от y
.
Если необходимо, мы можем привести это уравнение к виду, в котором явно входит производная y′
.
Разделив это уравнение на dx
,
мы получим:
.
Поскольку и ,
то отсюда следует, что
.
Решение дифференциальных уравнений
Производные от элементарных функций выражаются через элементарные функции. Интегралы от элементарных функций часто не выражаются через элементарные функции. С дифференциальными уравнениями дело обстоит еще хуже. В результате решения можно получить:
- явную зависимость функции от переменной;
Решение дифференциального уравнения - это функция y = u(x) , которая определена, n раз дифференцируема, и .
- неявную зависимость в виде уравнения типа Φ(x, y)
= 0
или системы уравнений;
Интеграл дифференциального уравнения - это решение дифференциального уравнения, которое имеет неявный вид.
- зависимость, выраженную через элементарные функции и интегралы от них;
Решение дифференциального уравнения в квадратурах - это нахождение решения в виде комбинации элементарных функций и интегралов от них.
- решение может не выражается через элементарные функции.
Поскольку решение дифференциальных уравнений сводится к вычислению интегралов, то в состав решения входит набор постоянных C 1 , C 2 , C 3 , ... C n . Количество постоянных равно порядку уравнения.Частный интеграл дифференциального уравнения - это общий интеграл при заданных значениях постоянных C 1 , C 2 , C 3 , ... , C n .
Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.
В некоторых задачах физики непосредственную связь между величинами, описывающими процесс, установить не удается. Но существует возможность получить равенство, содержащее производные исследуемых функций. Так возникают дифференциальные уравнения и потребность их решения для нахождения неизвестной функции.
Эта статья предназначена тем, кто столкнулся с задачей решения дифференциального уравнения, в котором неизвестная функция является функцией одной переменной. Теория построена так, что с нулевым представлением о дифференциальных уравнениях, вы сможете справиться со своей задачей.
Каждому виду дифференциальных уравнений поставлен в соответствие метод решения с подробными пояснениями и решениями характерных примеров и задач. Вам остается лишь определить вид дифференциального уравнения Вашей задачи, найти подобный разобранный пример и провести аналогичные действия.
Для успешного решения дифференциальных уравнений с Вашей стороны также потребуется умение находить множества первообразных (неопределенные интегралы) различных функций. При необходимости рекомендуем обращаться к разделу .
Сначала рассмотрим виды обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которые могут быть разрешены относительно производной, далее перейдем к ОДУ второго порядка, следом остановимся на уравнениях высших порядков и закончим системами дифференциальных уравнений.
Напомним, что , если y является функцией аргумента x .
Дифференциальные уравнения первого порядка.
Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида .
Запишем несколько примеров таких ДУ 
.
Дифференциальные уравнения 
можно разрешить относительно производной, произведя деление обеих частей равенства на f(x)
. В этом случае приходим к уравнению , которое будет эквивалентно исходному при f(x)
≠ 0
. Примерами таких ОДУ являются .
Если существуют значения аргумента x
, при которых функции f(x)
и g(x)
одновременно обращаются в ноль, то появляются дополнительные решения. Дополнительными решениями уравнения 
при данных x
являются любые функции, определенные для этих значений аргумента. В качестве примеров таких дифференциальных уравнений можно привести .
Дифференциальные уравнения второго порядка.
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .
ЛОДУ с постоянными коэффициентами является очень распространенным видом дифференциальных уравнений. Их решение не представляет особой сложности. Сначала отыскиваются корни характеристического уравнения 
. При различных p
и q
возможны три случая: корни характеристического уравнения могут быть действительными и различающимися , действительными и совпадающими 
или комплексно сопряженными . В зависимости от значений корней характеристического уравнения, записывается общее решение дифференциального уравнения как 
, или 
, или соответственно.
Для примера рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами . Корнями его характеристического уравнения являются k 1 = -3
и k 2 = 0
. Корни действительные и различные, следовательно, общее решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами имеет вид
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .
Общее решение ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами y
ищется в виде суммы общего решения соответствующего ЛОДУ 
и частного решения исходного неоднородного уравнения, то есть, . Нахождению общего решения однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами , посвящен предыдущий пункт. А частное решение определяется либо методом неопределенных коэффициентов при определенном виде функции f(x)
, стоящей в правой части исходного уравнения, либо методом вариации произвольных постоянных.
В качестве примеров ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами приведем
Разобраться в теории и ознакомиться с подробными решениями примеров мы Вам предлагаем на странице линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .
Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) 
и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка .
Частным случаем дифференциальных уравнений этого вида являются ЛОДУ и ЛНДУ с постоянными коэффициентами.
Общее решение ЛОДУ на некотором отрезке
представляется линейной комбинацией двух линейно независимых частных решений y 1
и y 2
этого уравнения, то есть, 
.
Главная сложность заключается именно в нахождении линейно независимых частных решений дифференциального уравнения этого типа. Обычно, частные решения выбираются из следующих систем линейно независимых функций:
Однако, далеко не всегда частные решения представляются в таком виде.
Примером ЛОДУ является 
.
Общее решение ЛНДУ ищется в виде , где - общее решение соответствующего ЛОДУ, а - частное решение исходного дифференциального уравнения. О нахождении мы только что говорили, а можно определить, пользуясь методом вариации произвольных постоянных.
В качестве примера ЛНДУ можно привести 
.
Дифференциальные уравнения высших порядков.
Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.
Порядок дифференциального уравнения 
, которое не содержит искомой функции и ее производных до k-1
порядка, может быть понижен до n-k
заменой .
В этом случае , и исходное дифференциальное уравнение сведется к . После нахождения его решения p(x) останется вернуться к замене и определить неизвестную функцию y .
Например, дифференциальное уравнение 
после замены станет уравнением с разделяющимися переменными , и его порядок с третьего понизится до первого.
6.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
При решении различных задач математики и физики, биологии и медицины довольно часто не удается сразу установить функциональную зависимость в виде формулы, связывающей переменные величины, которые описывают исследуемый процесс. Обычно приходится использовать уравнения, содержащие, кроме независимой переменной и неизвестной функции, еще и ее производные.
Определение. Уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные различных порядков, называется дифференциальным.
Неизвестную функцию обычно обозначают y(x) или просто y, а ее производные - y" , y" и т. д.
Возможны и другие обозначения, например: если y = x(t), то x"(t), x""(t) - ее производные, а t - независимая переменная.
Определение. Если функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Общий вид обыкновенного дифференциального уравнения:
или
Функции F и f могут не содержать некоторых аргументов, но для того, чтобы уравнения были дифференциальными, существенно наличие производной.
Определение. Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в него.
Например, x 2 y" - y = 0, y" + sinx = 0 - уравнения первого порядка, а y" + 2 y" + 5 y = x - уравнение второго порядка.
При решении дифференциальных уравнений используется операция интегрирования, что связано с появлением произвольной постоянной. Если действие интегрирования применяется n раз, то, очевидно, и в решении будет содержаться n произвольных постоянных.
6.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Общий вид дифференциального уравнения первого порядка определяется выражением
Уравнение может не содержать в явном виде x и y, но обязательно содержит у".
Если уравнение можно записать в виде
то получим дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной.
Определение.
Общим решением дифференциального уравнения первого порядка (6.3) (или (6.4)) является множество решений
, где С
- произвольная постоянная.
График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.
Придавая произвольной постоянной С различные значения, можно получить частные решения. На плоскости xOy общее решение представляет собой семейство интегральных кривых, соответствующих каждому частному решению.
Если задать точку A (x 0 , y 0),
через которую должна проходить интегральная кривая, то, как правило, из множества функций
можно выделить одну - частное решение.
Определение. Частным решением дифференциального уравнения называется его решение, не содержащее произвольных постоянных.
Если
является общим решением, тогда из условия
можно найти постоянную С.
Условиеназывают начальным условием.
Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения (6.3) или (6.4), удовлетворяющего начальному условию
при 
называется задачей Коши.
Всегда ли эта задача имеет решение? Ответ содержит следующая теорема.
Теорема Коши (теорема существования и единственности решения). Пусть в дифференциальном уравнении y" = f (x, y) функция f (x, y) и ее
частная производная
определены и непрерывны в некоторой
области D,
содержащей точку
Тогда в области D
существует
единственное решение уравнения, удовлетворяющее начальному условию
при
Теорема Коши утверждает, что при определенных условиях существует единственная интегральная кривая y
= f (x),
проходящая через точку
Точки, в которых не выполняются условия теоремы
Коши, называются особыми. В этих точках терпит разрыв f (x, y) или.
Через особую точку проходит либо несколько интегральных кривых, либо ни одной.
Определение. Если решение (6.3), (6.4) найдено в виде f (x, y, C) = 0, не разрешенным относительно у, то оно называется общим интегралом дифференциального уравнения.
Теорема Коши только гарантирует, что решение существует. Поскольку единого метода нахождения решения нет, мы будем рассматривать только некоторые типы дифференциальных уравнений первого порядка, интегрируемые в квадратурах.
Определение. Дифференциальное уравнение называется интегрируемым в квадратурах, если отыскание его решения сводится к интегрированию функций.
6.2.1. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными
Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными,
Правая часть уравнения (6.5) представляет собой произведение двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной.
Например, уравнение
является уравнением с разделяющи-
мися переменными
а уравнение
нельзя представить в виде (6.5).
Учитывая, что
, перепишем (6.5) в виде
Из этого уравнения получим дифференциальное уравнение с разделенными переменными, в котором при дифференциалах стоят функции, зависящие лишь от соответствующей переменной:
Интегрируя почленно, имеем
где C = C 2 - C 1 - произвольная постоянная. Выражение (6.6) представляет собой общий интеграл уравнения (6.5).
Разделив обе части уравнения (6.5) на,, мы можем потерять те решения, при которых,
Действительно, если
при
то
очевидно, является решением уравнения (6.5).
Пример 1. Найти решение уравненияудовлетворяющее
условию: y
= 6 при x
= 2 (y
(2) = 6).
Решение.
Заменим у"
натогда
. Умножим обе части на
dx, так как при дальнейшем интегрировании нельзя оставлять dx в знаменателе:
а затем, разделив обе части на
получим уравнение,
которое можно проинтегрировать. Интегрируем:
Тогда
; потенцируя, получим y = C . (x
+ 1) - об-
щее решение.
По начальным данным определяем произвольную постоянную, подставив их в общее решение
Окончательно получаем y = 2(x + 1) - частное решение. Рассмотрим еще несколько примеров решения уравнений с разделяющимися переменными.
Пример 2.
Найти решение уравнения
Решение.
Учитывая, что
, получим
.
Проинтегрировав обе части уравнения, будем иметь
откуда
Пример 3.
Найти решение уравненияРешение.
Делим обе части уравнения на те сомножители, которые зависят от переменной, не совпадающей с переменной под знаком дифференциала, т. е. на
и интегрируем. Тогда получим
и, наконец,
Пример 4. Найти решение уравнения
Решение. Зная, чтополучим. Разде-
лим переменные. Тогда
Интегрируя, получим
Замечание. В примерах 1 и 2 искомая функция y выражена явно (общее решение). В примерах 3 и 4 - неявно (общий интеграл). В дальнейшем форма решения оговариваться не будет.
Пример 5. Найти решение уравненияРешение.
Пример 6.
Найти решение уравнения
, удовлетворяющее
условию y(e) = 1.
Решение.
Запишем уравнение в виде
Умножая обе части уравнения на dx и на, получим
Интегрируя обе части уравнения (интеграл в правой части берется по частям), получим
Но по условию y = 1 при x = e . Тогда
Подставим найденные значения С в общее решение:
Полученное выражение называется частным решением дифференциального уравнения.
6.2.2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если его можно представить в виде
Приведем алгоритм решения однородного уравнения.
1.Вместо y
введем новую функциюТогда
и, следовательно,
2.В терминах функции u уравнение (6.7) принимает вид
т. е. замена сводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.
3.Решая уравнение (6.8), находим сначала u, а затем y = ux.
Пример 1.
Решить уравнение
Решение.
Запишем уравнение в виде
Производим подстановку:
Тогда
Заменим
Умножим на dx:
Разделим на x
и на
тогда
Проинтегрировав обе части уравнения по соответствующим переменным, будем иметь
или, возвращаясь к старым переменным, окончательно получим
Пример 2.
Решить уравнение
Решение.
Пусть
тогда
Поделим обе части уравнения на x 2: 
Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:
Переходя к старым переменным, придем к окончательному результату:
Пример 3.
Найти решение уравнения
при условии
Решение.
Выполняя стандартную замену
получаем
или 
или
Значит, частное решение имеет вид
Пример 4.
Найти решение уравнения
Решение.
Пример 5.
Найти решение уравнения 
Решение.
Самостоятельная работа
Найти решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными (1-9).
Найти решение однородных дифференциальных уравнений (9-18).
6.2.3. Некоторые приложения дифференциальных уравнений первого порядка
Задача о радиоактивном распаде
Скорость распада Ra (радия) в каждый момент времени пропорциональна его наличной массе. Найти закон радиоактивного распада Ra, если известно, что в начальный момент имелосьRa и период полураспада Ra равен 1590 лет.
Решение.
Пусть в моментмасса Ra составляет x
= x(t)
г, причем 
Тогда скорость распада Ra равна
По условию задачи
где k
Разделяя в последнем уравнении переменные и интегрируя, получим
откуда
Для определения C
используем начальное условие: при
.
Тогда
и, значит,
Коэффициент пропорциональности k определяем из дополнительного условия:
Имеем
Отсюда
и искомая формула
Задача о скорости размножения бактерий
Скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству. В начальный момент имелось 100 бактерий. В течение 3 ч их число удвоилось. Найти зависимость количества бактерий от времени. Во сколько раз увеличится количество бактерий в течение 9 ч?
Решение.
Пусть x
- количество бактерий в момент t.
Тогда, согласно условию,
где k - коэффициент пропорциональности.
Отсюда
Из условия известно, что
. Значит,
Из дополнительного условия
. Тогда
Искомая функция:
Значит, при t = 9 x = 800, т. е. в течение 9 ч количество бактерий увеличилось в 8 раз.
Задача об увеличении количества фермента
В культуре пивных дрожжей быстрота прироста действующего фермента пропорциональна его начальному количеству x. Первоначальное количество фермента a в течение часа удвоилось. Найти зависимость
x(t).
Решение.
По условию дифференциальное уравнение процесса имеет вид
отсюда
Но
. Значит, C
= a
и тогда
Известно также, что
Следовательно,
6.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
6.3.1. Основные понятия
Определение. Дифференциальным уравнением второго порядка называется соотношение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую и вторую производные.
В частных случаях в уравнении могут отсутствовать x, у или у". Однако уравнение второго порядка обязательно должно содержать у". В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка записывается в виде:
или, если это возможно, в виде, разрешенном относительно второй производной:
Как и в случае уравнения первого порядка, для уравнения второго порядка могут существовать общее и частное решения. Общее решение имеет вид:
Нахождение частного решения
при начальных условиях- заданные
числа) называется задачей Коши.
Геометрически это означает, что требуется найти интегральную кривую у
= у (x),
проходящую через заданную точку
и имеющую в этой точке касательнуюкоторая об-
разует с положительным направлением оси Ox
заданный уголт. е. 
(рис. 6.1). Задача Коши имеет единственное решение, если правая часть уравнения (6.10),
непре-
рывна и имеет непрерывные частные производные по у, у" в некоторой окрестности начальной точки
Для нахождения постоянных 
входящих в частное решение, надо разрешить систему
Рис. 6.1. Интегральная кривая
