Отношения значения которых являются взаимно обратными числами. Взаимно обратные числа, нахождение обратного числа

Пара чисел, произведение которых равно единице, называются взаимно обратными .

Примеры: 5 и 1/5, −6/7 и −7/6, и

Для всякого числа а, не равного нулю , существует обратное 1/a.

Обратной величиной нуля является бесконечность.

Обратные дроби - это две дроби, произведение которых равно 1. Например, 3/7 и 7/3; 5/8 и 8/5 и т. д.

См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Обратное число" в других словарях:

Число, произведение которого на данное число равно единице. Два таких числа называются взаимно обратными. Таковы, напр., 5 и 1/5, 2/3 и 3/2 и т. д … Большой Энциклопедический словарь

обратное число - — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN inverse numberreciprocal number … Справочник технического переводчика

Число, произведение которого на данное число равно единице. Два таких числа называются взаимно обратными. Таковы, например, 5 и 1/5, 2/3 и 3/2 и т. д. * * * ОБРАТНОЕ ЧИСЛО ОБРАТНОЕ ЧИСЛО, число, произведение которого на данное число равно… … Энциклопедический словарь

Число, произведение которого с данным числом равно единице. Два таких числа называются взаимно обратными. Таковы, например, 5 и а, не равного нулю, существует обратное … Большая советская энциклопедия

Число, произведение к рого на данное число равно единице. Два таких числа наз. взаимно обратными. Таковы, напр., 5 и 1/5. 2/3 и 3/2 и т. д … Естествознание. Энциклопедический словарь

У этого термина существуют и другие значения, см. Число (значения). Число основное понятие математики, используемое для количественной характеристики, сравнения и нумерации объектов. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей… … Википедия

См. также: Число (лингвистика) Число абстракция, используемая для количественной характеристики объектов. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа изменялось и обогащалось и превратилось в важнейшее математическое … Википедия

Обратное закручивание воды при стоке околонаучный миф, основанный на неверном применении эффекта Кориолиса к движению воды в водовороте, возникающему при её стоке в сливное отверстие раковины или ванны. Суть мифа состоит в том, что вода… … Википедия

ЧИСЛО, ИРРАЦИОНАЛЬНОЕ, число, которое не может быть выражено в виде дроби. Примеры включают Ц2 и число p. Следовательно, иррациональные числа это числа с бесконечным числом (непериодических) знаков после запятой. (Однако обратное не является… … Научно-технический энциклопедический словарь

Преобразование Лапласа интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией действительного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и … Википедия

Книги

Клуб счастливых жен , Уивер Фон. 27 женщин из разных частей света, не знакомых между собой, с разной судьбой. У них нет ничего общего, кроме одного – они безумно счастливы в браке более 25 лет, потому чтознают Секрет…Когда…

Дадим определение и приведем примеры взаимно обратных чисел. Рассмотрим, как находить число, обратное натуральному числу и обратное обыкновенной дроби. Помимо этого, запишем и докажем неравенство, отражающее свойство суммы взаимно обратных чисел.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Взаимно обратные числа. Определение

Определение. Взаимно обратные числа

Взаимно обратные числа - такие числа, произведение которых дает единицу.

Если a · b = 1 , то можно сказать, что число a обратно числу b , так же как и число b обратно числу a .

Самый простой пример взаимно обратных чисел - две единицы. Действительно, 1 · 1 = 1 , поэтому a = 1 и b = 1 - взаимно обратные числа. Другой пример - числа 3 и 1 3 , - 2 3 и - 3 2 , 6 13 и 13 6 , log 3 17 и log 17 3 . Произведение любой пары указанных выше чисел равно единице. Если это условие не выполняется, как например у чисел 2 и 2 3 , то числа не являются взаимно обратными.

Определение взаимно обратных чисел справедливо для любый чисел - натуральных, целых, действительных и комплексных.

Как найти число, обратное данному

Рассмотрим общий случай. Если исходное число равно a , то обратное ему число запишется в виде 1 a , или a - 1 . Действительно, a · 1 a = a · a - 1 = 1 .

Для натуральных чисел и обыкновенных дробей найти обратное число довольно просто. Можно сказать, даже очевидно. В случае нахождения числа, обратного иррациональному или комплексному числу, придется произвести ряд вычислений.

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся на практике случаи нахождения обратного числа.

Число, обратное обыкновенной дроби

Очевидно, что число, обратное обыкновенной дроби a b - это дробь b a . Итак, чтобы найти обратное дроби число, дробь нужно просто перевернуть. То есть, поменять числитель и знаменатель местами.

Согласно этому правилу, записать обратное любой обыкновенной дроби число можно практически сразу. Так, для дроби 28 57 обратным числом будет дробь 57 28 , а для дроби 789 256 - число 256 789 .

Число, обратное натуральному числу

Найти число, обратное любому натуральному числу, можно так же, как и число, обратное дроби. Достаточно представить натуральное число a в виде обыкновенной дроби a 1 . Тогда обратным ему числом будет число 1 a . Для натурального числа 3 обратным ему числом будет дробь 1 3 , для числа 666 обратное число равно 1 666 , и так далее.

Отдельное внимание стоит уделить единице, так как это единственное число, обратное число для которого равно ему самому.

Других пар взаимно обратных чисел, где обе составляющие равны, не существует.

Число, обратное смешанному числу

Смешанное число имеем вид a b c . Чтобы найти обратное ему число, необходимо смешанное число представить в сиде неправильной дроби, и уже для полученной дроби подобрать обратное число.

Например, найдем обратное число для 7 2 5 . Сначала представим 7 2 5 в виде неправильной дроби: 7 2 5 = 7 · 5 + 2 5 = 37 5 .

Для неправильной дроби 37 5 обратным числом будет дробь 5 37 .

Число, обратное десятичной дроби

Десятичная дробь также можно представить в виде обыкновенной дроби. Нахождение обратного десятичной дроби числа сводится к представлению десятичной дроби в виде обыкновенной дроби и нахождению обратного числа для нее.

Например, есть дробь 5 , 128 . Найдем обратное ей число. Сначала переводим десятичную дробь в обыкновенную: 5 , 128 = 5 128 1000 = 5 32 250 = 5 16 125 = 641 125 . Для полученной дроби обратным числом будет дробь 125 641 .

Рассмотрим еще один пример.

Пример. Нахождение числа, обратного десятичной дроби

Найдем обратное число для периодической десятичной дроби 2 , (18) .

Переводим десятичную дробь в обыкновенную:

2 , 18 = 2 + 18 · 10 - 2 + 18 · 10 - 4 + . . . = 2 + 18 · 10 - 2 1 - 10 - 2 = 2 + 18 99 = 2 + 2 11 = 24 11

После перевода можем легко записать обратное число для дроби 24 11 . Этим числом, очевидно, будет 11 24 .

Для бесконечной и непериодической десятичной дроби обратное число записывается в виде дроби и единицей в числителе и самой дробью в знаменателе. Например, для бесконечной дроби 3 , 6025635789 . . . обратное число будет иметь вид 1 3 , 6025635789 . . . .

Аналогично и для иррациональных чисел, отвечающим непериодическим бесконечным дробям, обратные числа записываются в виде дробных выражений.

К примеру, обратным числом для π + 3 3 80 будет 80 π + 3 3 , а для числа 8 + е 2 + е обратным числом будет дробь 1 8 + е 2 + е.

Взаимно обратные числа с корнями

Если вид двух чисел отличен от a и 1 a , то не всегда можно легко определить, являются ли числа взаимно обратными. Это особенно актуально для чисел, которые имеют в своей записи знак корня, так как от корня обычно принято избавляться в знаменателе.

Обратимся к практике.

Ответим на вопрос: являются ли взаимно обратными числа 4 - 2 3 и 1 + 3 2 .

Чтобы узнать, являются ли числа взаимно обратными, вычислим их произведение.

4 - 2 3 · 1 + 3 2 = 4 - 2 3 + 2 3 - 3 = 1

Произведение равно единице, значит, числа взаимно обратны.

Рассмотрим еще один пример.

Пример. Взаимно обратные числа с корнями

Запишите число, обратное числу 5 3 + 1 .

Сразу можно записать, что обратное число равно дроби 1 5 3 + 1 . Однако, как мы уже говорили, принято избавляться от корня в знаменателе. Чтобы сделать это умножим числитель и знаменатель на 25 3 - 5 3 + 1 . Получим:

1 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 + 1 · 25 3 - 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 3 + 1 3 = 25 3 - 5 3 + 1 6

Взаимно обратные числа со степенями

Допустим, есть число, равное какой-то степени числа a . Другими словами, число a , возведенное в степень n . Обратным числу a n будет число a - n . Проверим это. Действительно: a n · a - n = a n 1 · 1 a n = 1 .

Пример. Взаимно обратные числа со степенями

Найдем обратное число для 5 - 3 + 4 .

Согласно написанному выше, искомое число равно 5 - - 3 + 4 = 5 3 - 4

Взаимно обратные числа с логарифмами

Для логарифма числа a по основанию b обратным является число, равное логарифму числа b по основанию a .

log a b и log b a - взаимно обратные числа.

Проверим это. Из свойств логарифма следует, что log a b = 1 log b a , значит log a b · log b a .

Пример. Взаимно обратные числа с логарифмами

Найти число, обратное log 3 5 - 2 3 .

Числом, обратным логарифму числа 3 по основанию 3 5 - 2 будет логарифм числа 3 5 - 2 по основанию 3 .

Число, обратное комплексному числу

Как уже отмечалось ранее, определение взаимно обратных чисел справедливо не только для действительных чисел, но и для комплексных.

Обычно комплексные числа представляют в алгебраическом виде z = x + i y . Числом, обратным данному, будет дробь

1 x + i y . Для удобства можно сократить это выражение, умножив числитель и знаменатель на x - i y .

Пример. Число, обратное комплексному числу

Пусть есть комплексное число z = 4 + i . Найдем число, обратное ему.

Число, обратное z = 4 + i , будет равно 1 4 + i .

Умножим числитель и знаменатель на 4 - i и получим:

1 4 + i = 4 - i 4 + i 4 - i = 4 - i 4 2 - i 2 = 4 - i 16 - (- 1) = 4 - i 17 .

Помимо алгебраической формы, комплексное число может быть представлено в тригонометрической или показательной форме следующим образом:

z = r · cos φ + i · sin φ

z = r · e i · φ

Соответственно, обратное число будет иметь вид:

1 r cos (- φ) + i · sin (- φ)

Убедимся в этом:

r · cos φ + i · sin φ · 1 r cos (- φ) + i · sin (- φ) = r r cos 2 φ + sin 2 φ = 1 r · e i · φ · 1 r e i · (- φ) = r r e 0 = 1

Рассмотрим примеры с представлением комплексных чисел в тригонометрической и показательной форме.

Найдем число, обратное для 2 3 cos π 6 + i · sin π 6 .

Учитывая, что r = 2 3 , φ = π 6 , запишем обратное число

3 2 cos - π 6 + i · sin - π 6

Пример. Найти число, обратное комплексному числу

Какое число будет обратным для 2 · e i · - 2 π 5 .

Ответ: 1 2 · e i 2 π 5

Сумма взаимно обратных чисел. Неравенство

Существует теорема о сумме двух взаимно обратных чисел.

Сумма взаимно обратных чисел

Сумма двух положительных и взаимно обратных чисел всегда больше или равна 2 .

Приведем доказательство теоремы. Как известно, для любых положительных чисел a и b среднее арифметическое больше или равно среднему геометрическому. Это можно записать в виде неравенства:

a + b 2 ≥ a · b

Если вместо числа b взять число, обратное a , неравенство примет вид:

a + 1 a 2 ≥ a · 1 a a + 1 a ≥ 2

Что и требовалось доказать.

Приведем практический пример, иллюстрирующий данное свойство.

Пример. Найти сумму взаимно обратных чисел

Вычислим сумму чисел 2 3 и обратного ему числу.

2 3 + 3 2 = 4 + 9 6 = 13 6 = 2 1 6

Как и говорит теорема, полученное число больше двух.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Обратными – или взаимно-обратными – числами называют пару чисел, которые при перемножении дают 1. В самом общем виде обратными являются числа . Характерный частный случай взаимно-обратных чисел – пара . Обратными являются, скажем, числа ; .

Как найти обратное число

Правило: нужно 1 (единицу) поделить на данное число.

Пример №1.

Дано число 8. Обратное к нему – 1:8 или (второй вариант предпочтительнее, потому что такая запись математически более корректна).

Когда ищется обратное число для обыкновенной дроби, то делить ее на 1 не очень удобно, т.к. запись получается громоздкой. В этом случае гораздо проще поступать иначе: дробь просто переворачивают, меняя местами числитель и знаменатель. Если дана правильная дробь, то после переворачивания получается дробь неправильная, т.е. такая, из которой можно выделить целую часть. Делать это или нет, решать нужно в каждом конкретном случае особо. Так, если с полученной перевернутой дробью далее придется совершать какие-то действия (к примеру, умножение или деление), то выделять целую часть не стоит. Если же полученная дробь – это конечный результат, то, возможно, выделение целой части и желательно.

Пример №2.

Дана дробь . Обратная к ней: .

Если требуется найти обратное число к десятичной дроби, то следует воспользоваться первым правилом (деление 1 на число). В этой ситуации можно действовать одним из 2 способов. Первый – просто разделить 1 на это число в столбик. Второй – сформировать дробь из 1 в числителе и десятичной дроби в знаменателе, а затем домножить числитель и знаменатель на 10, 100 или другое число, состоящее из 1 и такого количества нулей, которое необходимо, чтобы избавиться от десятичной запятой в знаменателе. В результате будет получена обыкновенная дробь, которая и является результатом. При необходимости ее может понадобиться сократить, выделить из нее целую часть или перевести в десятичный вид.

Пример №3.

Дано число 0,82. Обратное число к нему такое: . Теперь сократим дробь и выделим целую часть: .

Как проверить, являются ли два числа обратными

Принцип проверки основан на определении обратных чисел. То есть для того, чтобы убедиться, что числа являются обратными друг другу, нужно перемножить их. Если в результате будет получена единица, значит, числа – взаимно обратные.

Пример №4.

Даны числа 0,125 и 8. Являются ли они обратными?

Проверка. Необходимо найти произведение 0,125 и 8. Для наглядности представим данные числа в виде обыкновенных дробей: (сократим 1-ю дробь на 125) . Вывод: числа 0,125 и 8 являются обратными.

Свойства обратных чисел

Свойство №1

Обратное число существует для любого числа, кроме 0.

Это ограничение связано с тем, что нельзя делить на 0, а при определении обратного числа для нуля его как раз придется переместить в знаменатель, т.е. фактически делить на него.

Свойство №2

Сумма пары взаимно-обратных чисел всегда не меньше, чем 2.

Математически это свойство можно выразить неравенством: .

Свойство №3

Умножение числа на два взаимно-обратных числа равносильно умножению на единицу. Выразим это свойство математически: .

Пример №5.

Найти значение выражения: 3,4·0,125·8. Поскольку числа 0,125 и 8 являются обратными (см. Пример №4), то умножать 3,4 на 0,125 и затем на 8 нет необходимости. А значит, ответом здесь будет 3,4.

Содержимое:

Обратные числа нужны при решение всех типов алгебраических уравнений. Например, если вам нужно разделить одно дробное число на другое, вы умножаете первое число на обратное число второго. Кроме того, обратные числа применяют при нахождении уравнения прямой.

Шаги

1 Нахождение обратного числа для дроби или целого числа

1 Найдите обратное число для дробного числа, перевернув его. "Обратное число" определяется очень просто. Чтобы вычислить его, просто рассчитайте значение выражения "1 ÷ (исходное число)." Для дробного числа обратным числом является другое дробное число, которое можно вычислить просто "перевернув" дробь (поменяв местами числитель и знаменатель).
- Например, обратным числом дроби 3 / 4 является 4 / 3 .
2 Запишите обратное число для целого числа в виде дроби. И в этом случае обратное число вычисляется, как 1 ÷ (исходное число). Для целого числа запишите обратное число в виде обычной дроби, не нужно производить вычисления и записывать его в виде десятичной дроби.
- Например, обратное число для 2 равно 1 ÷ 2 = 1 / 2 .

2 Нахождение обратного числа смешанной дроби

1 Что такое "смешанная дробь". Смешанной дробью называется число, записанное в виде целого числа и простой дроби, например, 2 4 / 5 . Находжение обратного числа для смешанной дроби осуществляется в два этапа, описанных ниже.
2 Запишите смешанную дробь в виде неправильной дроби. Вы, конечно, помните, что единица может быть записана в виде (число)/(то же число), а дроби с одинаковым знаменателей (числом под чертой) можно сложить друг с другом. Вот как это можно сделать для дроби 2 4 / 5:
- 2 4 / 5
- = 1 + 1 + 4 / 5
- = 5 / 5 + 5 / 5 + 4 / 5
- = (5+5+4) / 5
- = 14 / 5 .
3 Переверните дробь. Когда смешанная дробь записана в виде неправильной дроби, мы можем легко найти обратное число, просто поменяв местами числитель и знаменатель.
- Для вышеприведенного примера обратное число будет равно 14 / 5 - 5 / 14 .

3 Нахождение обратного числа для десятичной дроби

1 Если это возможно, выразите десятичную дробь в виде простой дроби. Вам нужно знать, что многие десятичные дроби можно легко превратить в простые дроби. Например, 0,5 = 1 / 2 , а 0,25 = 1 / 4 . Когда вы записали число в виде простой дроби, то сможете легко найти обратное число, просто перевернув дробь.
- Например, обратное число для 0,5 равно 2 / 1 = 2.
2 Решите задачу с помощью деления. Если вы не можете записать десятичную дробь в виде простой дроби, рассчитайте обратное число, решив задачу делением: 1 ÷ (десятичная дробь). Для решения вы можете воспользоваться калькулятором или перейти к следующему шагу, если хотите рассчитать значение вручную.
- Например, обратное число для 0,4 рассчитывается как 1 ÷ 0,4.
3 Измените выражение, чтобы работать с целыми числами. Первый шаг в деление десятичной дроби - это перемещение позиционной запятой до тех пор, пока все числа в выражении не станут целыми числами. Поскольку вы перемещаете позиционную запятую на одинаковое количество знаков, как в делимом, так и в делителе, вы получаете правильный ответ.
4 Например, вы берете выражение 1 ÷ 0,4 и записываете его как 10 ÷ 4. В этом случае вы переместили запятую на один знак вправо, что равносильно тому, если бы вы умножили каждое число на десять.
5 Решите задачу, разделив числа столбиком. С помощью деления столбиком вы сможете рассчитать обратное число. Если вы разделите 10 на 4, у вас должно получиться 2,5, что и будет обратным числом для 0,4.

Значение отрицательного обратного числа будет равно обратному числу, умноженному на -1. Например, отрициательное обратное число для 3 / 4 равно - 4 / 3 .
Обратное число иногда называют "обратным значением" или "обратной величиной".
Число 1 является своим собственным обратным числом, поскольку 1 ÷ 1 = 1.
Ноль не имеет обратного числа, поскольку выражение 1 ÷ 0 не имеет решений.

Материал из Википедии - свободной энциклопедии

Обра́тное число́ (обратное значение, обратная величина) к данному числу x - это число , умножение которого на x , даёт единицу . Принятая запись: $\frac{1}x$ или $x^{-1}$ . Два числа, произведение которых равно единице, называются взаимно обратными . Обратное число не следует путать с обратной функцией. Например, $\frac{1}{\cos{x}}$ отличается от значения функции, обратной косинусу - арккосинуса , который обозначается $\cos^{-1}x$ или $\arccos x$ .

Обратное к действительному числу

Формы комплексного числа	Число $(z)$	Обратное $\left (\frac{1}{z} \right)$
Алгебраическая	$x+iy$	$\frac{x}{x^2+y^2}-i \frac{y}{x^2+y^2}$
Тригонометрическая	$r(\cos\varphi+i \sin\varphi)$	$\frac{1}{r}(\cos\varphi-i \sin\varphi)$
Показательная	$re^{i \varphi}$	$\frac{1}{r}e^{-i \varphi}$

Доказательство:
Для алгебраической и тригонометрической форм используем основное свойство дроби , умножая числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное :

Алгебраическая форма:

$\frac{1}{z}= \frac{1}{x+iy}= \frac{x-iy}{(x+iy)(x-iy)}= \frac{x-iy}{x^2+y^2}= \frac{x}{x^2+y^2}-i \frac{y}{x^2+y^2}$

Тригонометрическая форма:

$\frac{1}{z} = \frac{1}{r(\cos\varphi+i \sin\varphi)} = \frac{1}{r} \frac{\cos\varphi-i \sin\varphi}{(\cos\varphi+i \sin\varphi)(\cos\varphi-i \sin\varphi)} = \frac{1}{r} \frac{\cos\varphi-i \sin\varphi}{\cos^2\varphi+ \sin^2\varphi} = \frac{1}{r}(\cos\varphi-i \sin\varphi)$

Показательная форма:

$\frac{1}{z} = \frac{1}{re^{i \varphi}} = \frac{1}{r}e^{-i \varphi}$

Таким образом, при нахождении обратного к комплексному числу, удобнее пользоваться его показательной формой.

Пример:

Формы комплексного числа	Число $(z)$	Обратное $\left (\frac{1}{z} \right)$
Алгебраическая	$1+i \sqrt{3}$	$\frac{1}{4}- \frac{\sqrt{3}}{4}i$
Тригонометрическая	$2 \left (\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3} \right)$ или $2 \left (\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$	$\frac{1}{2} \left (\cos\frac{\pi}{3}-i\sin\frac{\pi}{3} \right)$ или $\frac{1}{2} \left (\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$
Показательная	$2 e^{i \frac{\pi}{3}}$	$\frac{1}{2} e^{-i \frac{\pi}{3}}$

Обратное к мнимой единице

$\frac{1}{i}=\frac{1 \cdot i}{i \cdot i}=\frac{i}{i^2}=\frac{i}{-1}=-i$

Таким образом, получаем

$\frac{1}{i}=-i$ __ или__ $i^{-1}=-i$

Аналогично для $-i$ : __ $- \frac{1}{i}=i$ __ или __ $-i^{-1}=i$

Напишите отзыв о статье "Обратное число"

Примечания

См. также

Отрывок, характеризующий Обратное число

Так говорится в историях, и все это совершенно несправедливо, в чем легко убедится всякий, кто захочет вникнуть в сущность дела.
Русские не отыскивали лучшей позиции; а, напротив, в отступлении своем прошли много позиций, которые были лучше Бородинской. Они не остановились ни на одной из этих позиций: и потому, что Кутузов не хотел принять позицию, избранную не им, и потому, что требованье народного сражения еще недостаточно сильно высказалось, и потому, что не подошел еще Милорадович с ополчением, и еще по другим причинам, которые неисчислимы. Факт тот – что прежние позиции были сильнее и что Бородинская позиция (та, на которой дано сражение) не только не сильна, но вовсе не есть почему нибудь позиция более, чем всякое другое место в Российской империи, на которое, гадая, указать бы булавкой на карте.
Русские не только не укрепляли позицию Бородинского поля влево под прямым углом от дороги (то есть места, на котором произошло сражение), но и никогда до 25 го августа 1812 года не думали о том, чтобы сражение могло произойти на этом месте. Этому служит доказательством, во первых, то, что не только 25 го не было на этом месте укреплений, но что, начатые 25 го числа, они не были кончены и 26 го; во вторых, доказательством служит положение Шевардинского редута: Шевардинский редут, впереди той позиции, на которой принято сражение, не имеет никакого смысла. Для чего был сильнее всех других пунктов укреплен этот редут? И для чего, защищая его 24 го числа до поздней ночи, были истощены все усилия и потеряно шесть тысяч человек? Для наблюдения за неприятелем достаточно было казачьего разъезда. В третьих, доказательством того, что позиция, на которой произошло сражение, не была предвидена и что Шевардинский редут не был передовым пунктом этой позиции, служит то, что Барклай де Толли и Багратион до 25 го числа находились в убеждении, что Шевардинский редут есть левый фланг позиции и что сам Кутузов в донесении своем, писанном сгоряча после сражения, называет Шевардинский редут левым флангом позиции. Уже гораздо после, когда писались на просторе донесения о Бородинском сражении, было (вероятно, для оправдания ошибок главнокомандующего, имеющего быть непогрешимым) выдумано то несправедливое и странное показание, будто Шевардинский редут служил передовым постом (тогда как это был только укрепленный пункт левого фланга) и будто Бородинское сражение было принято нами на укрепленной и наперед избранной позиции, тогда как оно произошло на совершенно неожиданном и почти не укрепленном месте.
Дело же, очевидно, было так: позиция была избрана по реке Колоче, пересекающей большую дорогу не под прямым, а под острым углом, так что левый фланг был в Шевардине, правый около селения Нового и центр в Бородине, при слиянии рек Колочи и Во йны. Позиция эта, под прикрытием реки Колочи, для армии, имеющей целью остановить неприятеля, движущегося по Смоленской дороге к Москве, очевидна для всякого, кто посмотрит на Бородинское поле, забыв о том, как произошло сражение.
Наполеон, выехав 24 го к Валуеву, не увидал (как говорится в историях) позицию русских от Утицы к Бородину (он не мог увидать эту позицию, потому что ее не было) и не увидал передового поста русской армии, а наткнулся в преследовании русского арьергарда на левый фланг позиции русских, на Шевардинский редут, и неожиданно для русских перевел войска через Колочу. И русские, не успев вступить в генеральное сражение, отступили своим левым крылом из позиции, которую они намеревались занять, и заняли новую позицию, которая была не предвидена и не укреплена. Перейдя на левую сторону Колочи, влево от дороги, Наполеон передвинул все будущее сражение справа налево (со стороны русских) и перенес его в поле между Утицей, Семеновским и Бородиным (в это поле, не имеющее в себе ничего более выгодного для позиции, чем всякое другое поле в России), и на этом поле произошло все сражение 26 го числа. В грубой форме план предполагаемого сражения и происшедшего сражения будет следующий:

Ежели бы Наполеон не выехал вечером 24 го числа на Колочу и не велел бы тотчас же вечером атаковать редут, а начал бы атаку на другой день утром, то никто бы не усомнился в том, что Шевардинский редут был левый фланг нашей позиции; и сражение произошло бы так, как мы его ожидали. В таком случае мы, вероятно, еще упорнее бы защищали Шевардинский редут, наш левый фланг; атаковали бы Наполеона в центре или справа, и 24 го произошло бы генеральное сражение на той позиции, которая была укреплена и предвидена. Но так как атака на наш левый фланг произошла вечером, вслед за отступлением нашего арьергарда, то есть непосредственно после сражения при Гридневой, и так как русские военачальники не хотели или не успели начать тогда же 24 го вечером генерального сражения, то первое и главное действие Бородинского сражения было проиграно еще 24 го числа и, очевидно, вело к проигрышу и того, которое было дано 26 го числа.
После потери Шевардинского редута к утру 25 го числа мы оказались без позиции на левом фланге и были поставлены в необходимость отогнуть наше левое крыло и поспешно укреплять его где ни попало.
Но мало того, что 26 го августа русские войска стояли только под защитой слабых, неконченных укреплений, – невыгода этого положения увеличилась еще тем, что русские военачальники, не признав вполне совершившегося факта (потери позиции на левом фланге и перенесения всего будущего поля сражения справа налево), оставались в своей растянутой позиции от села Нового до Утицы и вследствие того должны были передвигать свои войска во время сражения справа налево. Таким образом, во все время сражения русские имели против всей французской армии, направленной на наше левое крыло, вдвое слабейшие силы. (Действия Понятовского против Утицы и Уварова на правом фланге французов составляли отдельные от хода сражения действия.)
Итак, Бородинское сражение произошло совсем не так, как (стараясь скрыть ошибки наших военачальников и вследствие того умаляя славу русского войска и народа) описывают его. Бородинское сражение не произошло на избранной и укрепленной позиции с несколько только слабейшими со стороны русских силами, а Бородинское сражение, вследствие потери Шевардинского редута, принято было русскими на открытой, почти не укрепленной местности с вдвое слабейшими силами против французов, то есть в таких условиях, в которых не только немыслимо было драться десять часов и сделать сражение нерешительным, но немыслимо было удержать в продолжение трех часов армию от совершенного разгрома и бегства.

25 го утром Пьер выезжал из Можайска. На спуске с огромной крутой и кривой горы, ведущей из города, мимо стоящего на горе направо собора, в котором шла служба и благовестили, Пьер вылез из экипажа и пошел пешком. За ним спускался на горе какой то конный полк с песельниками впереди. Навстречу ему поднимался поезд телег с раненными во вчерашнем деле. Возчики мужики, крича на лошадей и хлеща их кнутами, перебегали с одной стороны на другую. Телеги, на которых лежали и сидели по три и по четыре солдата раненых, прыгали по набросанным в виде мостовой камням на крутом подъеме. Раненые, обвязанные тряпками, бледные, с поджатыми губами и нахмуренными бровями, держась за грядки, прыгали и толкались в телегах. Все почти с наивным детским любопытством смотрели на белую шляпу и зеленый фрак Пьера.