พื้นที่ผิวด้านข้างและปริมาตรของปิรามิดปกติ วิธีค้นหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิด: สูตร, ปัญหาตัวอย่าง พื้นที่ผิวของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยม

ก่อนที่จะศึกษาคำถามเกี่ยวกับรูปทรงเรขาคณิตนี้และคุณสมบัติของมัน คุณควรทำความเข้าใจคำศัพท์บางคำก่อน เมื่อมีคนได้ยินเกี่ยวกับปิรามิด เขาจินตนาการถึงอาคารขนาดใหญ่ในอียิปต์ นี่คือลักษณะที่ง่ายที่สุด แต่มีหลายประเภทและรูปร่างที่แตกต่างกันซึ่งหมายความว่าสูตรการคำนวณสำหรับรูปทรงเรขาคณิตจะแตกต่างกัน

ประเภทของรูป

ปิรามิด - รูปทรงเรขาคณิตแสดงถึงและเป็นตัวแทนของใบหน้าหลายหน้า โดยพื้นฐานแล้วนี่คือรูปทรงหลายเหลี่ยมเดียวกันที่ฐานซึ่งมีรูปหลายเหลี่ยมอยู่และที่ด้านข้างมีรูปสามเหลี่ยมเชื่อมต่อกันที่จุดหนึ่ง - จุดยอด รูปมาในสองประเภทหลัก:

• ถูกต้อง;
• ถูกตัดทอน

ในกรณีแรก ฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ ที่นี่พื้นผิวด้านข้างทั้งหมดเท่ากันระหว่างพวกเขากับรูปร่างของตัวเองจะทำให้สายตาของผู้ชอบความสมบูรณ์แบบ

ในกรณีที่สองมีสองฐาน - ฐานใหญ่ที่ด้านล่างสุดและฐานเล็กระหว่างด้านบนโดยทำซ้ำรูปร่างของฐานหลัก กล่าวอีกนัยหนึ่ง ปิรามิดที่ถูกตัดทอนนั้นเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีหน้าตัดขนานกับฐาน

ข้อกำหนดและสัญลักษณ์

คำสำคัญ:

• สามเหลี่ยมปกติ (ด้านเท่ากันหมด)- รูปที่มีมุมเท่ากันสามมุมและมีด้านเท่ากัน ในกรณีนี้ มุมทั้งหมดจะมีขนาด 60 องศา รูปนี้เป็นรูปหลายเหลี่ยมที่ง่ายที่สุด หากรูปนี้อยู่ที่ฐาน รูปทรงหลายเหลี่ยมดังกล่าวจะเรียกว่าสามเหลี่ยมปกติ ถ้าฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส พีระมิดจะเรียกว่าปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติ
• จุดยอด– จุดสูงสุดที่ขอบบรรจบกัน ความสูงของยอดเกิดจากเส้นตรงที่ทอดยาวจากยอดถึงฐานของปิรามิด
• ขอบ– หนึ่งในระนาบของรูปหลายเหลี่ยม อาจอยู่ในรูปสามเหลี่ยมในกรณีของปิรามิดรูปสามเหลี่ยม หรือเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูสำหรับปิรามิดที่ถูกตัดทอน
• ส่วน- รูปร่างแบนที่เกิดขึ้นจากการผ่า ไม่ควรสับสนกับส่วน เนื่องจากส่วนจะแสดงสิ่งที่อยู่ด้านหลังส่วนด้วย
• ระยะกึ่งกลางของตำแหน่ง- ส่วนที่ลากจากด้านบนของปิรามิดถึงฐาน นอกจากนี้ยังเป็นความสูงของใบหน้าซึ่งเป็นที่ตั้งของความสูงที่สองด้วย คำจำกัดความนี้ใช้ได้เฉพาะกับรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเท่านั้น ตัวอย่างเช่น หากนี่ไม่ใช่ปิรามิดที่ถูกตัดทอน ใบหน้าก็จะเป็นรูปสามเหลี่ยม ในกรณีนี้ ความสูงของสามเหลี่ยมนี้จะกลายเป็นเส้นตั้งฉากใน

สูตรพื้นที่

ค้นหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดประเภทใดก็ได้สามารถทำได้หลายวิธี ถ้ารูปไม่สมมาตรและเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่มีด้านต่างกัน ในกรณีนี้ จะง่ายกว่าในการคำนวณพื้นที่ผิวทั้งหมดผ่านผลรวมของพื้นผิวทั้งหมด กล่าวอีกนัยหนึ่งคุณต้องคำนวณพื้นที่ของแต่ละใบหน้าแล้วบวกเข้าด้วยกัน

อาจจำเป็นต้องใช้สูตรสำหรับการคำนวณสี่เหลี่ยมจัตุรัส สี่เหลี่ยมคางหมู รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ฯลฯ ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ที่ทราบ สูตรเองในกรณีต่างๆก็จะมีความแตกต่างเช่นกัน

ในกรณีของตัวเลขปกติ การค้นหาพื้นที่จะง่ายกว่ามาก การรู้พารามิเตอร์สำคัญเพียงไม่กี่ตัวก็เพียงพอแล้ว ในกรณีส่วนใหญ่ การคำนวณจำเป็นสำหรับตัวเลขดังกล่าวโดยเฉพาะ ดังนั้นจะได้สูตรที่เกี่ยวข้องดังนี้ มิฉะนั้น คุณจะต้องเขียนทุกอย่างลงในหลายๆ หน้า ซึ่งมีแต่จะทำให้คุณสับสนและสับสนเท่านั้น

สูตรพื้นฐานสำหรับการคำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดปกติจะมีรูปแบบดังนี้:

S=½ Pa (P คือเส้นรอบวงของฐาน และเป็นเส้นตั้งฉากใน)

ลองดูตัวอย่างหนึ่ง รูปทรงหลายเหลี่ยมมีฐานที่มีส่วน A1, A2, A3, A4, A5 และทั้งหมดมีค่าเท่ากับ 10 ซม. ปล่อยให้ระยะกึ่งกลางเท่ากับ 5 ซม. ก่อนอื่นคุณต้องหาเส้นรอบวง เนื่องจากฐานทั้งห้าด้านเหมือนกัน คุณจึงสามารถหาได้ดังนี้: P = 5 * 10 = 50 ซม. ต่อไปเราจึงใช้สูตรพื้นฐาน: S = ½ * 50 * 5 = 125 ซม. กำลังสอง

พื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติง่ายที่สุดในการคำนวณ สูตรมีลักษณะดังนี้:

S =½* ab *3 โดยที่ a คือเส้นตั้งฉาก b คือหน้าฐาน ตัวประกอบของสามในที่นี้หมายถึงจำนวนหน้าของฐาน และส่วนแรกคือพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้าง ลองดูตัวอย่าง เมื่อกำหนดระยะกึ่งกลางของฐาน 5 ซม. และขอบฐาน 8 ซม. เราคำนวณ: S = 1/2*5*8*3=60 ซม. กำลังสอง

พื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดที่ถูกตัดทอนการคำนวณยากขึ้นเล็กน้อย สูตรมีลักษณะดังนี้: S =1/2*(p_01+ p_02)*a โดยที่ p_01 และ p_02 คือเส้นรอบวงของฐาน และเป็นเส้นตั้งฉากในฐาน ลองดูตัวอย่าง สมมติว่าสำหรับรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ขนาดของด้านข้างของฐานคือ 3 และ 6 ซม. และเส้นกึ่งกลางของฐานคือ 4 ซม.

ที่นี่ก่อนอื่นคุณต้องหาเส้นรอบวงของฐาน: р_01 =3*4=12 ซม.; р_02=6*4=24 ซม. ยังคงทดแทนค่าลงในสูตรหลักและเราได้: S =1/2*(12+24)*4=0.5*36*4=72 ซม. กำลังสอง

ดังนั้นคุณสามารถค้นหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดปกติที่มีความซับซ้อนได้ คุณควรระมัดระวังและไม่สับสนการคำนวณเหล่านี้มีพื้นที่รวมของรูปทรงหลายเหลี่ยมทั้งหมด และหากคุณยังจำเป็นต้องทำเช่นนี้ เพียงแค่คำนวณพื้นที่ของฐานที่ใหญ่ที่สุดของรูปทรงหลายเหลี่ยมแล้วบวกเข้ากับพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของรูปทรงหลายเหลี่ยม

วีดีโอ

วิดีโอนี้จะช่วยคุณรวบรวมข้อมูลเกี่ยวกับวิธีการค้นหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดต่างๆ

เราเรียกตัวเลขใดว่าปิรามิด? ประการแรก มันคือรูปทรงหลายเหลี่ยม ประการที่สอง ที่ฐานของรูปทรงหลายเหลี่ยมนี้มีรูปหลายเหลี่ยมตามอำเภอใจ และด้านข้างของปิรามิด (ใบหน้าด้านข้าง) จำเป็นต้องมีรูปสามเหลี่ยมมาบรรจบกันที่จุดยอดร่วมจุดเดียว เมื่อเข้าใจคำศัพท์แล้ว เรามาดูวิธีหาพื้นที่ผิวของปิรามิดกันดีกว่า

เห็นได้ชัดว่าพื้นที่ผิวของตัวเรขาคณิตนั้นประกอบด้วยผลรวมของพื้นที่ของฐานและพื้นผิวด้านข้างทั้งหมด

การคำนวณพื้นที่ฐานของปิรามิด

การเลือกสูตรการคำนวณขึ้นอยู่กับรูปร่างของรูปหลายเหลี่ยมที่อยู่ใต้ปิรามิดของเรา อาจเป็นแบบสม่ำเสมอ กล่าวคือ มีด้านยาวเท่ากันหรือไม่สม่ำเสมอก็ได้ ลองพิจารณาทั้งสองตัวเลือก

ที่ฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ

จากหลักสูตรของโรงเรียนเรารู้:

• พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสจะเท่ากับความยาวของด้านกำลังสอง
• พื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่าเท่ากับกำลังสองของด้านหารด้วย 4 และคูณด้วยรากที่สองของสาม

แต่ยังมีสูตรทั่วไปในการคำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมปกติ (Sn): คุณต้องคูณเส้นรอบวงของรูปหลายเหลี่ยมนี้ (P) ด้วยรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ในนั้น (r) แล้วหาร ผลลัพธ์สอง: Sn=1/2P*r

ที่ฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่ไม่ปกติ

รูปแบบการหาพื้นที่คือการแบ่งรูปหลายเหลี่ยมทั้งหมดออกเป็นรูปสามเหลี่ยมก่อน แล้วคำนวณพื้นที่ของแต่ละรูปโดยใช้สูตร: 1/2a*h (โดยที่ a คือฐานของรูปสามเหลี่ยม h คือความสูงลดลงเหลือ ฐานนี้) รวมผลลัพธ์ทั้งหมดเข้าด้วยกัน

พื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิด

ทีนี้ลองคำนวณพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดนั่นคือ ผลรวมของพื้นที่ด้านข้างทั้งหมด นอกจากนี้ยังมี 2 ตัวเลือกที่นี่

1. ขอให้เรามีปิรามิดตามอำเภอใจเช่น อันหนึ่งมีรูปหลายเหลี่ยมที่ไม่ปกติอยู่ที่ฐาน จากนั้นคุณควรคำนวณพื้นที่ของแต่ละใบหน้าแยกกันและเพิ่มผลลัพธ์ เนื่องจากด้านข้างของปิรามิดตามคำนิยามแล้ว สามารถเป็นรูปสามเหลี่ยมได้เท่านั้น การคำนวณจึงดำเนินการโดยใช้สูตรข้างต้น: S=1/2a*h
2. ให้ปิรามิดของเราถูกต้องนั่นคือ ที่ฐานมีรูปหลายเหลี่ยมปกติ และมีเส้นโครงด้านบนของปิรามิดอยู่ตรงกลาง จากนั้น ในการคำนวณพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้าง (Sb) ก็เพียงพอที่จะหาผลคูณของเส้นรอบวงของรูปหลายเหลี่ยมฐาน (P) และความสูง (h) ของด้านข้าง (เท่ากัน) ครึ่งหนึ่ง (เท่ากันสำหรับทุกใบหน้า) ): Sb = 1/2 P*h เส้นรอบวงของรูปหลายเหลี่ยมถูกกำหนดโดยการบวกความยาวของด้านทั้งหมด

พื้นที่ผิวทั้งหมดของปิรามิดปกตินั้นหาได้จากการรวมพื้นที่ฐานกับพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างทั้งหมด

ตัวอย่าง

ตัวอย่างเช่น ลองคำนวณพื้นที่ผิวของปิรามิดหลายๆ อันโดยใช้พีชคณิตกัน

พื้นที่ผิวของปิรามิดสามเหลี่ยม

ที่ฐานของปิรามิดนั้นมีรูปสามเหลี่ยม ใช้สูตร So=1/2a*h เราจะหาพื้นที่ของฐาน เราใช้สูตรเดียวกันในการหาพื้นที่ของแต่ละหน้าของปิรามิดซึ่งมีรูปทรงสามเหลี่ยมด้วย และเราจะได้ 3 พื้นที่ คือ S1, S2 และ S3 พื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดคือผลรวมของพื้นที่ทั้งหมด: Sb = S1+ S2+ S3 เมื่อรวมพื้นที่ด้านข้างและฐานเข้าด้วยกัน เราจะได้พื้นที่ผิวรวมของปิรามิดที่ต้องการ: Sp= So+ Sb

พื้นที่ผิวของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยม

พื้นที่ผิวด้านข้างคือผลรวมของ 4 เทอม: Sb = S1+ S2+ S3+ S4 ซึ่งแต่ละเทอมคำนวณโดยใช้สูตรสำหรับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม และจะต้องมองหาพื้นที่ของฐานขึ้นอยู่กับรูปร่างของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน - ปกติหรือไม่สม่ำเสมอ ได้พื้นที่ผิวรวมของปิรามิดอีกครั้งโดยการเพิ่มพื้นที่ฐานและพื้นที่ผิวรวมของปิรามิดที่กำหนด

• ปัญหาที่ 1. ค้นหาพื้นที่ผิวทั้งหมดของปิรามิด
• ปัญหาที่ 2. ค้นหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ

ปัญหาที่ 1- ค้นหาพื้นที่ผิวทั้งหมดของปิรามิดปกติ

สารละลาย.

ที่ฐานของปิรามิดรูปสามเหลี่ยมปกติจะมีรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าอยู่
ดังนั้น เพื่อแก้ปัญหา เราจะใช้คุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยมปกติ:

เรารู้ความสูงของสามเหลี่ยมจากจุดที่เราหาพื้นที่ของมันได้
ชั่วโมง = √3/2a
ก = ชั่วโมง / (√3/2)
ก = 3 / (√3/2)
ก = 6 / √3

โดยที่พื้นที่ฐานจะเท่ากับ:
S = √3/4 ก 2
ส = √3/4 (6 / √3) 2
ส = 3√3

การหาพื้นที่หน้าด้านข้าง ให้คำนวณส่วนสูง KM จากโจทย์นี้ มุม OKM คือ 45 องศา
ดังนั้น:
ตกลง / MK = cos 45
ลองใช้ตารางค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติและแทนที่ค่าที่ทราบ

ตกลง / MK = √2/2

พิจารณาว่า OK เท่ากับรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ แล้ว
ตกลง = √3/6a
ตกลง = √3/6 * 6/√3 = 1

แล้ว
ตกลง / MK = √2/2
1/เอ็มเค = √2/2
เอ็มเค = 2/√2

พื้นที่ของใบหน้าด้านข้างเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของความสูงและฐานของรูปสามเหลี่ยม
ด้าน = 1/2 (6 / √3) (2/√2) = 6/√6

ดังนั้น พื้นที่ผิวทั้งหมดของปิรามิดจะเท่ากับ
ส = 3√3 + 3 * 6/√6
ส = 3√3 + 18/√6

คำตอบ: 3√3 + 18/√6

ปัญหาที่ 2- ค้นหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดปกติ

สารละลาย.

เนื่องจากฐานของพีระมิดรูปสามเหลี่ยมปกติเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า AO จึงเป็นรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบฐาน
(ต่อจากนี้)

เราค้นหารัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยมด้านเท่าจากคุณสมบัติของมัน

โดยที่ความยาวของขอบของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติจะเท่ากับ:
AM 2 = MO 2 + AO 2
ความสูงของปิรามิดนั้นทราบตามเงื่อนไข (10 ซม.), AO = 16√3/3
เช้า 2 = 100 + 256/3
เช้า = √(556/3)

แต่ละด้านของปิรามิดเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว เราค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่วจากสูตรแรกที่แสดงด้านล่าง

S = 1/2 * 16 ตร.วา((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 ตร.ม.((556/3) - 64)
S = 8 ตร.ม.(364/3)
S = 16 ตร.ม.(91/3)

เนื่องจากพีระมิดปกติทั้งสามหน้ามีขนาดเท่ากัน พื้นที่ผิวด้านข้างจึงเท่ากับ
3S = 48 √(91/3)

คำตอบ: 48 √(91/3)

ปัญหาที่ 3. ค้นหาพื้นที่ผิวทั้งหมดของปิรามิดปกติ

ด้านข้างของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติคือ 3 ซม. และมุมระหว่างหน้าด้านข้างกับฐานของปิรามิดคือ 45 องศา หาพื้นที่ผิวทั้งหมดของปิรามิด.

สารละลาย.
เนื่องจากพีระมิดเป็นแบบปกติ จึงมีสามเหลี่ยมด้านเท่าอยู่ที่ฐาน ดังนั้นพื้นที่ฐานจึงเป็น


ดังนั้น = 9 * √3/4

การหาพื้นที่หน้าด้านข้าง ให้คำนวณส่วนสูง KM จากโจทย์นี้ มุม OKM คือ 45 องศา
ดังนั้น:
ตกลง / MK = cos 45
มาใช้ประโยชน์กันเถอะ

เป็นรูปทรงที่มีหลายแง่มุม ฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยม และใบหน้าที่เหลือจะแสดงด้วยรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วม

ถ้าฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส เรียกว่าปิระมิด รูปสี่เหลี่ยม, ถ้าเป็นรูปสามเหลี่ยม – แล้ว สามเหลี่ยม- ความสูงของปิรามิดนั้นวาดจากด้านบนตั้งฉากกับฐาน นอกจากนี้ยังใช้ในการคำนวณพื้นที่ ระยะกึ่งกลางของตำแหน่ง– ความสูงของใบหน้าด้านข้างลดลงจากด้านบน
สูตรสำหรับพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดคือผลรวมของพื้นที่ผิวด้านข้างของพีระมิดซึ่งมีค่าเท่ากัน อย่างไรก็ตาม วิธีการคำนวณนี้ใช้น้อยมาก โดยพื้นฐานแล้ว พื้นที่ของปิรามิดจะคำนวณผ่านเส้นรอบวงของฐานและระยะกึ่งกลางของฐาน:

ลองพิจารณาตัวอย่างการคำนวณพื้นที่พื้นผิวด้านข้างของปิรามิด

ให้เราได้รับปิรามิดที่มีฐาน ABCDE และ F บนสุด AB =BC =CD =DE =EA =3 ซม. Apothem a = 5 ซม. จงหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิด
ลองหาเส้นรอบวง. เนื่องจากขอบของฐานทั้งหมดเท่ากัน ดังนั้น เส้นรอบวงของรูปห้าเหลี่ยมจึงเท่ากับ:
ตอนนี้คุณสามารถหาพื้นที่ด้านข้างของปิรามิดได้:

พื้นที่ของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ

ปิรามิดรูปสามเหลี่ยมปกติประกอบด้วยฐานซึ่งมีรูปสามเหลี่ยมปกติและมีหน้าด้าน 3 ด้านที่มีพื้นที่เท่ากัน
สูตรสำหรับพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติสามารถคำนวณได้หลายวิธี คุณสามารถใช้สูตรการคำนวณตามปกติโดยใช้เส้นรอบวงและระยะกึ่งกลางของด้าน หรือคุณสามารถหาพื้นที่ของหน้าเดียวแล้วคูณด้วยสาม เนื่องจากหน้าของปิรามิดเป็นรูปสามเหลี่ยม เราจึงใช้สูตรสำหรับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม จะต้องมีระยะกึ่งกลางและความยาวของฐาน ลองพิจารณาตัวอย่างการคำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ

ให้พีระมิดที่มีเส้นกึ่งกลางของพีระมิด a = 4 ซม. และหน้าฐาน b = 2 ซม. จงหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิด
ขั้นแรกให้หาพื้นที่ของใบหน้าด้านใดด้านหนึ่ง ในกรณีนี้มันจะเป็น:
แทนค่าลงในสูตร:
เนื่องจากในปิรามิดปกติทุกด้านจะเท่ากัน พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดจะเท่ากับผลรวมของพื้นที่ทั้งสามหน้า ตามลำดับ:

พื้นที่ของปิรามิดที่ถูกตัดทอน

ถูกตัดทอนปิระมิดคือรูปทรงหลายเหลี่ยมที่เกิดจากปิรามิดและมีหน้าตัดขนานกับฐาน
สูตรสำหรับพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดที่ถูกตัดทอนนั้นง่ายมาก พื้นที่เท่ากับผลคูณของผลรวมครึ่งหนึ่งของเส้นรอบวงของฐานและเส้นตั้งฉากในฐาน:

ในหลักสูตรโรงเรียนเรื่อง Stereometry จะมีการศึกษาคุณสมบัติของตัวเลขเชิงพื้นที่ต่างๆ หนึ่งในนั้นคือปิรามิด บทความนี้เกี่ยวข้องกับคำถามเกี่ยวกับวิธีการค้นหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิด มีการกล่าวถึงคำถามในการกำหนดพื้นที่นี้สำหรับปิรามิดที่ถูกตัดทอนด้วย

ปิรามิดคืออะไร?

เมื่อได้ยินคำว่า "ปิรามิด" หลายๆ คนก็นึกถึงโครงสร้างอันยิ่งใหญ่ของอียิปต์โบราณทันที อันที่จริงหลุมฝังศพของ Cheops และ Khafre นั้นเป็นปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมทั่วไป อย่างไรก็ตาม ปิระมิดก็เป็นรูปจัตุรมุขเช่นกัน ซึ่งเป็นรูปที่มีฐานเป็นรูปห้าเหลี่ยม หกเหลี่ยม หรือรูปไม่มีเหลี่ยม

คุณอาจสนใจ:

ในเรขาคณิต แนวคิดของปิรามิดถูกกำหนดไว้อย่างชัดเจน ตัวเลขนี้เข้าใจว่าเป็นวัตถุในอวกาศที่เกิดขึ้นจากการเชื่อมต่อจุดหนึ่งกับมุมของ n-gon แบน โดยที่ n คือจำนวนเต็ม ภาพด้านล่างแสดงปิรามิดสี่ปิรามิดที่มีจำนวนมุมต่างกันที่ฐาน

จุดที่จุดยอดทั้งหมดของมุมของฐานเชื่อมต่อกันไม่อยู่ในระนาบ เรียกว่ายอดปิรามิด ถ้าเราวาดเส้นตั้งฉากกับฐาน เราจะได้ความสูง ตัวเลขที่ความสูงตัดฐานที่จุดศูนย์กลางเรขาคณิตเรียกว่าเส้นตรง บางครั้งปิรามิดตรงก็มีฐานปกติ เช่น สี่เหลี่ยมจัตุรัส สามเหลี่ยมด้านเท่า และอื่นๆ ในกรณีนี้เรียกว่าถูกต้อง

เมื่อคำนวณพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดจะสะดวกในการทำงานกับตัวเลขที่ถูกต้อง

พื้นที่ผิวของรูปด้านข้าง

จะหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดได้อย่างไร? คุณสามารถเข้าใจสิ่งนี้ได้หากคุณแนะนำคำจำกัดความที่เหมาะสมและพิจารณาการพัฒนาบนเครื่องบินสำหรับตัวเลขนี้

ปิรามิดใด ๆ เกิดขึ้นจากใบหน้าที่แยกจากกันด้วยขอบ ฐานคือใบหน้าที่เกิดจากเอ็นกอน ใบหน้าอื่นๆ ทั้งหมดเป็นรูปสามเหลี่ยม ไม่มีเลย และเมื่อรวมกันเป็นพื้นผิวด้านข้างของรูปนั้น

หากคุณตัดพื้นผิวตามขอบด้านข้างแล้วคลี่ออกบนระนาบ คุณจะได้รับการพัฒนาแบบปิรามิด ตัวอย่างเช่น ด้านล่างแสดงการพัฒนาของปิรามิดหกเหลี่ยม

จะเห็นได้ว่าพื้นผิวด้านข้างประกอบด้วยรูปสามเหลี่ยมที่เหมือนกันหกรูป

ตอนนี้เดาได้ไม่ยากว่าจะหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดได้อย่างไร เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้บวกพื้นที่ของสามเหลี่ยมทั้งหมด ในกรณีของปิรามิดปกติแบบ n-gonal ด้านข้างของฐานมีค่าเท่ากับ a สำหรับพื้นผิวที่พิจารณา เราสามารถเขียนสูตรได้:

โดยที่ hb คือจุดกึ่งกลางของพีระมิด นั่นคือความสูงของรูปสามเหลี่ยมลดลงจากด้านบนของรูปไปทางด้านข้างของฐาน หากไม่ทราบระยะกึ่งกลางระหว่างระนาบ ก็สามารถคำนวณได้โดยการรู้พารามิเตอร์ของ n-gon และค่าความสูง h ของรูป

ปิรามิดที่ถูกตัดทอนและพื้นผิวของมัน

ตามที่คุณสามารถเดาได้จากชื่อ ปิรามิดที่ถูกตัดทอนสามารถหาได้จากร่างธรรมดา ในการทำเช่นนี้คุณจะต้องตัดส่วนบนออกโดยให้ระนาบขนานกับฐาน รูปด้านล่างแสดงให้เห็นถึงกระบวนการนี้สำหรับรูปทรงหกเหลี่ยม

พื้นผิวด้านข้างคือผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วที่เหมือนกัน สูตรพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิดที่ถูกตัดทอน (ปกติ) คือ:

Sb = hb*n*(a1 + a2)/2

โดยที่ hb คือจุดกึ่งกลางของรูป ซึ่งก็คือความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู ปริมาณ a1 และ a2 คือความยาวของฐานด้านข้าง

การคำนวณพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดสามเหลี่ยม

เราจะแสดงวิธีหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปิรามิด สมมติว่าเรามีรูปสามเหลี่ยมปกติ ลองดูตัวอย่างปัญหาเฉพาะเจาะจงกัน เป็นที่รู้กันว่าด้านฐานซึ่งเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ามีความสูง 10 ซม.

การพัฒนาของปิรามิดนี้แสดงไว้ในภาพ หากต้องการใช้สูตรสำหรับ Sb คุณต้องหาจุดกึ่งกลาง hb ก่อน เมื่อพิจารณาถึงสามเหลี่ยมมุมฉากภายในปิรามิด ซึ่งสร้างจากด้าน hb และ h ความเท่าเทียมกันสามารถเขียนได้ดังนี้:

hb = √(h2+a2/12)

เราแทนที่ข้อมูลแล้วพบว่า hb 15.275 ซม.

ตอนนี้คุณสามารถใช้สูตรสำหรับ Sb:

Sb = n*a*hb/2 = 3*10*15.275/2 = 229.125 cm2

โปรดทราบว่าฐานของปิรามิดรูปสามเหลี่ยมมีลักษณะคล้ายหน้าด้านข้าง ประกอบด้วยรูปสามเหลี่ยม อย่างไรก็ตาม เมื่อคำนวณพื้นที่ Sb จะไม่นำรูปสามเหลี่ยมนี้มาพิจารณา