Центростремительное ускорение при движении по окружности. Ускорение при равномерном движении тел по окружности (центростремительное ускорение). Ускорение центростремительное при движении по окружности

Источник задания: Решение 3553.-20. ОГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов.

Задание 18. На диаграмме показано распределение земель по категориям Уральского, Приволжского, Южного и Дальневосточного федеральных округов. Определите по диаграмме, в каком округе доля земель сельскохозяйственного назначения наименьшая.

1) Уральский ФО

2) Приволжский ФО

3) Южный ФО

4) Дальневосточный ФО

Решение.

Земли сельскохозяйственного назначения окрашены сектором в виде горизонтальных линий (см. рисунок). Нужно выбрать округ, в котором площадь такого сектора минимальная. Анализ рисунка показывает, что это Дальневосточный федеральный округ.

Ответ: 4.

Задание 19. У бабушки 20 чашек: 10 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

Решение.

Так как чашек с синими цветами ровно 20-10=10 штук, а всего чашек 20, то вероятность выбора наугад чашки с синими цветами, будет равна

Ответ: 0,5.

Задание 20. Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с2) можно вычислить по формуле a=w^2*R где w - угловая скорость (в с-1), a R - радиус окружности. Пользуясь этой формулой, найдите радиус R (в метрах), если угловая скорость равна 7,5 с-1, а центростремительное ускорение равно 337,5 м/с2.

Решение.

Из формулы выразим радиус окружности, получим:

и вычислим его, подставив в формулу данные , , имеем.

При изучении движения в физике важную роль играет понятие траектории. Именно она определяет во многом тип перемещения объектов и, как следствие, вид формул, с помощью которых описывают это перемещение. Одной из распространенных траекторий движения является окружность. В данной статье рассмотрим, центростремительное при движении по окружности.

Понятие о полном ускорении

Прежде чем характеризовать при движении по окружности центростремительное ускорение рассмотрим понятие полного ускорения. Под ним полагают физическую величину, которая одновременно описывает изменение значения абсолютного и вектора скорости. В математическом виде это определение выглядит так:

Ускорение является полной производной скорости по времени.

Как известно, скорость v¯ тела в каждой точке траектории направлена по касательной. Этот факт позволяет представить ее в виде произведения модуля v на единичный касательный вектор u¯, то есть:

Тогда можно вычислить следующим образом:

a¯ = d(v*u¯)/dt = dv/dt*u¯ + v*du¯/dt

Величина a¯ представляет собой сумму векторную двух слагаемых. Первое слагаемое направлено по касательной (как скорость тела) и называется Оно определяет быстроту изменения модуля скорости. Второе слагаемое - Рассмотрим его подробнее далее в статье.

Полученное выше выражение для нормальной компоненты ускорения a n ¯ запишем в явном виде:

a n ¯ = v*du¯/dt = v*du¯/dl*dl/dt = v 2 /r*r e ¯

Здесь dl - пройденный телом вдоль траектории путь за время dt, r e ¯ - единичный вектор, направленный к центру кривизны траектории, r - радиус это кривизны. Полученная формула приводит к нескольким важным особенностям компоненты a n ¯ полного ускорения:

Величина a n ¯ растет как квадрат скорости и убывает обратно пропорционально радиусу, что отличает ее от тангенциальной компоненты. Последняя не равна нулю только в случае изменения модуля скорости.
Нормальное ускорение направлено всегда к центру кривизны, поэтому оно называется центростремительным.

Таким образом, главным условием существования ненулевой величины a n ¯ является кривизна траектории. Если такой кривизны не существует (прямолинейное перемещение), то a n ¯ = 0, так как r->∞.

Ускорение центростремительное при движении по окружности

Окружность - геометрическая линия, все точки которой находятся на одном расстоянии от некоторой точки. Последняя называется центром окружности, а упомянутое расстояние - это ее радиус. Если скорость тела во время вращения не изменяется по модулю, то говорят о равнопеременном движении по окружности. Ускорение центростремительное в этом случае легко рассчитать по одной из двух формул ниже:

Где ω - угловая скорость, измеряется в радианах в секунду (рад/с). Второе равенство получено благодаря формуле связи между угловой и линейной скоростями:

Силы центростремительная и центробежная

При равномерном движении тела по окружности ускорение центростремительное возникает за счет действия соответствующей центростремительной силы. Ее вектор всегда направлен к центру окружности.

Природа этой силы может быть самой разнообразной. Например, когда человек раскручивает привязанный к веревке камень, то на своей траектории его удерживает сила натяжения веревки. Другим примером действия центростремительной силы является гравитационное взаимодействие между Солнцем и планетами. Именно оно заставляет двигаться по круговым орбитам все планеты и астероиды. Центростремительная сила не способна изменить кинетическую энергию тела, поскольку направлена она к его скорости перпендикулярно.

Каждый человек мог обратить внимание на то, что во время поворота автомобиля, например, налево, пассажиров прижимает к правому краю салона транспортного средства. Этот процесс является результатом действия центробежной силы вращательного движения. На самом деле эта сила является ненастоящей, поскольку обусловлена инерционными свойствами тела и его стремлением двигаться по прямой траектории.

Центробежная и центростремительная силы равны друг другу по величине и противоположны по направлению. Если бы этого не было, то круговая траектория движения тела нарушилась бы. Если учесть второй закон Ньютона, то можно утверждать, что при вращательном движении ценробежное ускорение равно центростремительному.

Так как линейная скорость равномерно меняет направление, то движение по окружности нельзя назвать равномерным , оно является равноускоренным .

Угловая скорость

Выберем на окружности точку 1 . Построим радиус. За единицу времени точка переместится в пункт 2 . При этом радиус описывает угол. Угловая скорость численно равна углу поворота радиуса за единицу времени.

Период и частота

Период вращения T - это время, за которое тело совершает один оборот.

Частота вращение - это количество оборотов за одну секунду.

Частота и период взаимосвязаны соотношением

Связь с угловой скоростью

Линейная скорость

Каждая точка на окружности движется с некоторой скоростью. Эту скорость называют линейной. Направление вектора линейной скорости всегда совпадает с касательной к окружности. Например, искры из-под точильного станка двигаются, повторяя направление мгновенной скорости.

Рассмотрим точку на окружности, которая совершает один оборот, время, которое затрачено - это есть период T . Путь , который преодолевает точка - это есть длина окружности.

Центростремительное ускорение

При движении по окружности вектор ускорения всегда перпендикулярен вектору скорости, направлен в центр окружности.

Используя предыдущие формулы, можно вывести следующие соотношения

Точки, лежащие на одной прямой исходящей из центра окружности (например, это могут быть точки, которые лежат на спице колеса), будут иметь одинаковые угловые скорости, период и частоту. То есть они будут вращаться одинаково, но с разными линейными скоростями. Чем дальше точка от центра, тем быстрей она будет двигаться.

Закон сложения скоростей справедлив и для вращательного движения. Если движение тела или системы отсчета не является равномерным, то закон применяется для мгновенных скоростей. Например, скорость человека, идущего по краю вращающейся карусели, равна векторной сумме линейной скорости вращения края карусели и скорости движения человека.

Земля участвует в двух основных вращательных движениях: суточном (вокруг своей оси) и орбитальном (вокруг Солнца). Период вращения Земли вокруг Солнца составляет 1 год или 365 суток. Вокруг своей оси Земля вращается с запада на восток, период этого вращения составляет 1 сутки или 24 часа. Широтой называется угол между плоскостью экватора и направлением из центра Земли на точку ее поверхности.

Согласно второму закону Ньютона причиной любого ускорения является сила. Если движущееся тело испытывает центростремительное ускорение, то природа сил, действием которых вызвано это ускорение, может быть различной. Например, если тело движется по окружности на привязанной к нему веревке, то действующей силой является сила упругости.

Если тело, лежащее на диске, вращается вместе с диском вокруг его оси, то такой силой является сила трения. Если сила прекратит свое действие, то далее тело будет двигаться по прямой

Рассмотрим перемещение точки на окружности из А в В. Линейная скорость равна v A и v B соответственно. Ускорение - изменение скорости за единицу времени. Найдем разницу векторов.

Так как линейная скорость равномерно меняет направление, то движение по окружности нельзя назватьравномерным , оно являетсяравноускоренным .

Угловая скорость

Выберем на окружности точку1 . Построим радиус. За единицу времени точка переместится в пункт2 . При этом радиус описывает угол. Угловая скорость численно равна углу поворота радиуса за единицу времени.

Период и частота

Период вращенияT - это время, за которое тело совершает один оборот.

Частота вращение - это количество оборотов за одну секунду.

Частота и период взаимосвязаны соотношением

Связь с угловой скоростью

Линейная скорость

Каждая точка на окружности движется с некоторой скоростью. Эту скорость называют линейной.Направление вектора линейной скорости всегда совпадает с касательной к окружности. Например, искры из-под точильного станка двигаются, повторяя направление мгновенной скорости.

Рассмотрим точку на окружности, которая совершает один оборот, время, которое затрачено - это есть периодT .Путь , который преодолевает точка - это есть длина окружности.

Центростремительное ускорение

Используя предыдущие формулы, можно вывести следующие соотношения

Рассмотрим перемещение точки на окружности из А в В. Линейная скорость равна

Теперь перейдем в неподвижную систему, связанную с землей. Полное ускорение точки А останется прежним и по модулю, и по направлению, так как при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой ускорение не меняется. С точки зрения неподвижного наблюдателя траектория точки А - уже не окружность, а более сложная кривая (циклоида), вдоль которой точка движется неравномерно.

Равномерное движение по окружности характеризуется движением тела вдоль окружности. При этом меняется только направление скорости, а ее модуль остаётся постоянным.

В общем случае тело движется по криволинейной траектории, и его сложно описать. Для упрощения описания криволинейного движения его разбивают на более простые виды движения. В частности один из таких видов и является равномерное движение по окружности. Любую кривую траекторию движения можно разбить на участки достаточно малой величины, на которых тело будет приближённо двигаться по дуге являющуюся частью окружности.

При движении тела по окружности линейная скорость направлена по касательной. Следовательно, даже если тело движется по дуге с постоянной по модулю скоростью, то направление движения в каждой точке будет разным. Таки образом всякое движение по окружности является движением с ускорением.

Представьте себе окружность, по которой движется материальная точка. В нулевой момент времени она находится в положении A. Через некоторый интервал времени она оказывается в точке B. Если провести два радиус вектор из центра окружности к точке A и точке B, то между ними получится некоторый угол. Назовем его угол фи. Если за одинаковые промежутки времени точка поворачивается на одинаковый угол фи, то такое движение называется равномерным, а скорость называется угловой.

Рисунок 1 - угловая скорость.

Угловая скорость измеряется в оборотах в секунду. Один оборот в секунду это когда точка проходит вдоль всей окружности и возвращается в начальное положение, затратив на это одну секунду. Такой оборот называется периодом обращения. Величина обратная периоду вращения называется частота вращения. То есть сколько оборотов успевает совершить точка в течении одной секунды. Угол образованный двумя радиус векторами измеряется в радианах. Радиан это угол между двумя радиус векторами, которые вырезают на поверхности окружности дугу длинной в радиус.

Скорость движения точки по окружности можно измерять и в радианах в с секунду. В таком случае перемещение точки на один радиан в секунду и называется скоростью. Такая скорость называется угловой. То есть на какое количество единичных углов успевает повернуться радиус вектор в течении одной секунды. При равномерном движении по окружности угловая скорость постоянна.

Для определения ускорения движения по окружности построим на рисунке вектора скорости точек А и В. Угол между этими векторами равен углу между радиус векторами. Так как ускорение это разница между скоростями, взятыми через определенный интервал времени деленная на этот интервал. То с помощью параллельного переноса перенесем начало вектора скорости в точке А в точку В. Разностью этих векторов будет вектор дельта V. Если его разделить на хорду соединяющую точки А и В, при условии что расстояние между точками бесконечно мало, то мы и получим вектор ускорения направленный к центру окружности. Который так же называют центростремительным ускорением.