Решавање на равенката ax2 bx c 0. Решавање квадратни равенки, коренска формула, примери

ВО модерното општествоспособноста да се вршат операции со равенки кои содржат променлива квадрат може да биде корисна во многу области на активност и е широко користена во пракса во научни и технички развој. Доказ за тоа може да се најде во дизајнот на морски и речни бродови, авиони и проектили. Користејќи ги ваквите пресметки, траекториите на движење на повеќето различни тела, вклучувајќи вселенски објекти. Примери со решение квадратни равенкисе користат не само во економското предвидување, при проектирање и изградба на згради, туку и во најобичните секојдневни околности. Можеби ќе бидат потребни во планинарски патувања, на спортски настани, во продавници додека пазарувате и во други многу чести ситуации.

Да го разделиме изразот на неговите составни фактори

Степенот на равенката се одредува со максималната вредност на степенот на променливата што ја содржи изразот. Ако е еднакво на 2, тогаш таквата равенка се нарекува квадратна.

Ако зборуваме на јазикот на формулите, тогаш наведените изрази, без разлика како изгледаат, секогаш може да се доведат до форма кога левата страна на изразот се состои од три члена. Меѓу нив: секира 2 (односно, променлива на квадрат со неговиот коефициент), bx (непозната без квадрат со неговиот коефициент) и c (слободна компонента, односно обичен број). Сето ова од десната страна е еднакво на 0. Во случај кога на таков полином му недостасува еден од неговите составни членови, со исклучок на секирата 2, се нарекува нецелосна квадратна равенка. Прво треба да се разгледаат примери за решавање на такви проблеми, вредностите на променливите во кои лесно се наоѓаат.

Ако изразот изгледа како да има два члена на десната страна, поточно ax 2 и bx, најлесниот начин да се најде x е со ставање на променливата надвор од загради. Сега нашата равенка ќе изгледа вака: x(ax+b). Следно, станува очигледно дека или x=0, или проблемот се сведува на наоѓање променлива од следниот израз: ax+b=0. Ова е диктирано од една од својствата на множење. Правилото вели дека производот на два фактора резултира со 0 само ако еден од нив е нула.

Пример

x=0 или 8x - 3 = 0

Како резултат на тоа, добиваме два корени на равенката: 0 и 0,375.

Равенките од овој вид можат да го опишат движењето на телата под влијание на гравитацијата, кои почнале да се движат од одредена точка земена како потекло на координатите. Овде математичката нотација ја има следната форма: y = v 0 t + gt 2 /2. Замена потребните вредностиСо изедначување на десната страна со 0 и наоѓање можни непознати, можете да го дознаете времето што минува од моментот кога телото се крева до моментот кога паѓа, како и многу други количини. Но, ние ќе зборуваме за ова подоцна.

Факторирање на израз

Правилото опишано погоре овозможува да се решат овие проблеми во посложени случаи. Ајде да погледнеме примери за решавање на квадратни равенки од овој тип.

X 2 - 33x + 200 = 0

Овој квадратен трином е завршен. Прво, да го трансформираме изразот и да го факторизираме. Има два од нив: (x-8) и (x-25) = 0. Како резултат на тоа, имаме два корени 8 и 25.

Примерите со решавање на квадратни равенки во одделение 9 овозможуваат овој метод да најде променлива во изрази не само од вториот, туку дури и од третиот и четвртиот ред.

На пример: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. При множење на десната страна во фактори со променлива, има три од нив, односно (x+1), (x-3) и (x+ 3).

Како резултат на тоа, станува очигледно дека оваа равенка има три корени: -3; -1; 3.

Квадратен корен

Друг случај нецелосна равенкавториот ред е израз претставен во јазикот на буквите на таков начин што десната страна е изградена од компонентите ax 2 и c. Овде, за да се добие вредноста на променливата, слободниот член се пренесува на десната страна, а потоа се извлекува квадратниот корен од двете страни на еднаквоста. Треба да се напомене дека во во овој случајОбично има два корени на равенката. Единствени исклучоци можат да бидат еднаквостите кои воопшто не содржат поим со, каде што променливата е еднаква на нула, како и варијанти на изрази кога десната страна е негативна. Во вториот случај, воопшто нема решенија, бидејќи горенаведените дејства не можат да се извршат со корени. Треба да се разгледаат примери на решенија на квадратни равенки од овој тип.

Во овој случај, корените на равенката ќе бидат броевите -4 и 4.

Пресметка на површина

Потребата за вакви пресметки се појавила уште во античко време, бидејќи развојот на математиката во тие далечни времиња во голема мера бил детерминиран од потребата со најголема точност да се определат површините и периметрите на земјишните парцели.

Треба да разгледаме и примери за решавање на квадратни равенки врз основа на проблеми од овој вид.

Значи, да речеме дека има правоаголна парцела, чија должина е 16 метри поголема од ширината. Треба да ја најдете должината, ширината и периметарот на локацијата ако знаете дека неговата површина е 612 м2.

За да започнете, ајде прво да ја создадеме потребната равенка. Да ја означиме со x ширината на плоштината, тогаш нејзината должина ќе биде (x+16). Од напишаното произлегува дека плоштината се определува со изразот x(x+16), кој според условите на нашата задача е 612. Тоа значи дека x(x+16) = 612.

Решавањето на целосни квадратни равенки, а овој израз е токму тоа, не може да се направи на ист начин. Зошто? Иако левата страна сè уште содржи два фактора, нивниот производ воопшто не е еднаков на 0, па овде се користат различни методи.

Дискриминаторски

Најпрво, тогаш да ги направиме потребните трансформации изгледна овој израз ќе изгледа вака: x 2 + 16x - 612 = 0. Тоа значи дека добивме израз во форма што одговара на претходно наведениот стандард, каде што a=1, b=16, c=-612.

Ова може да биде пример за решавање на квадратни равенки со помош на дискриминатор. Еве потребни пресметкисе произведуваат според шемата: D = b 2 - 4ac. Оваа помошна количина не само што овозможува да се најдат потребните количини во равенка од втор ред, туку и ја одредува количината можни опции. Ако D>0, има два од нив; за D=0 има еден корен. Во случај Д<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

За корените и нивната формула

Во нашиот случај, дискриминаторот е еднаков на: 256 - 4(-612) = 2704. Ова сугерира дека нашиот проблем има одговор. Ако знаете k, решението на квадратните равенки мора да се продолжи со помош на формулата подолу. Тоа ви овозможува да ги пресметате корените.

Тоа значи дека во дадениот случај: x 1 =18, x 2 =-34. Втората опција во оваа дилема не може да биде решение, бидејќи димензиите на парцелата не можат да се мерат во негативни количини, што значи дека x (односно ширината на парцелата) е 18 m Од тука ја пресметуваме должината: 18 +16=34, а периметарот 2(34+ 18)=104(m2).

Примери и задачи

Продолжуваме со нашето проучување на квадратните равенки. Примери и детални решенија за неколку од нив ќе бидат дадени подолу.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Ајде да преместиме сè на левата страна на еднаквоста, да направиме трансформација, односно ќе го добиеме типот на равенката што обично се нарекува стандардна и ќе ја изедначиме на нула.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Додавајќи слични, ја одредуваме дискриминантата: D = 49 - 48 = 1. Ова значи дека нашата равенка ќе има два корени. Да ги пресметаме според горната формула, што значи дека првиот од нив ќе биде еднаков на 4/3, а вториот на 1.

2) Сега да ги решиме мистериите од различен вид.

Ајде да дознаеме дали има корени овде x 2 - 4x + 5 = 1? За да добиеме сеопфатен одговор, да го намалиме полиномот на соодветната вообичаена форма и да ја пресметаме дискриминантната. Во горниот пример, не е неопходно да се реши квадратната равенка, бидејќи тоа воопшто не е суштината на проблемот. Во овој случај, D = 16 - 20 = -4, што значи дека навистина нема корени.

Теорема на Виета

Удобно е да се решаваат квадратни равенки користејќи ги горенаведените формули и дискриминантот, кога квадратниот корен се зема од вредноста на второто. Но, ова не се случува секогаш. Сепак, постојат многу начини да се добијат вредностите на променливите во овој случај. Пример: решавање на квадратни равенки со помош на теоремата на Виета. Таа го добила името по кој живеел во 16 век во Франција и направил блескава кариера благодарение на неговиот математички талент и врските на дворот. Неговиот портрет може да се види во статијата.

Моделот што го забележал славниот Французин бил следниов. Тој докажа дека корените на равенката нумерички се собираат на -p=b/a, а нивниот производ одговара на q=c/a.

Сега да ги погледнеме конкретните задачи.

3x 2 + 21x - 54 = 0

За едноставност, да го трансформираме изразот:

x 2 + 7x - 18 = 0

Да ја користиме теоремата на Виета, ова ќе ни го даде следново: збирот на корените е -7, а нивниот производ е -18. Оттука добиваме дека корените на равенката се броевите -9 и 2. Откако ќе провериме, ќе се увериме дека овие променливи вредности навистина се вклопуваат во изразот.

График на парабола и равенка

Концептите на квадратна функција и квадратни равенки се тесно поврзани. Примери за ова веќе беа дадени претходно. Сега да погледнеме малку подетално неколку математички загатки. Секоја равенка од опишаниот тип може да се претстави визуелно. Таквата врска, нацртана како график, се нарекува парабола. Нејзините различни типови се претставени на сликата подолу.

Секоја парабола има теме, односно точка од која излегуваат нејзините гранки. Ако a>0, тие одат високо до бесконечност, а кога a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Визуелните претстави на функции помагаат да се решат сите равенки, вклучувајќи ги и квадратните. Овој метод се нарекува графички. А вредноста на променливата x е координатата на апсцисата во точките каде што линијата на графикот се сече со 0x. Координатите на темето може да се најдат со помош на формулата штотуку дадена x 0 = -b/2a. И со замена на добиената вредност во оригиналната равенка на функцијата, можете да дознаете y 0, односно втората координата на темето на параболата, која припаѓа на оската на ординатите.

Пресекот на гранките на параболата со оската на апсцисата

Има многу примери за решавање на квадратни равенки, но има и општи обрасци. Ајде да ги погледнеме. Јасно е дека пресекот на графикот со оската 0x за a>0 е возможен само ако 0 зема негативни вредности. И за а<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Во спротивно Д<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Од графикот на параболата можете да ги одредите и корените. Спротивното е исто така точно. Односно, ако не е лесно да се добие визуелна претстава на квадратна функција, можете да ја изедначите десната страна на изразот со 0 и да ја решите добиената равенка. И знаејќи ги точките на пресек со оската 0x, полесно е да се конструира график.

Од историјата

Користејќи равенки што содржат квадратна променлива, во старите денови тие не само што правеле математички пресметки и ги одредувале областите на геометриските фигури. На древните им биле потребни такви пресметки за големи откритија во областа на физиката и астрономијата, како и за правење астролошки прогнози.

Како што сугерираат современите научници, жителите на Вавилон биле меѓу првите кои решиле квадратни равенки. Ова се случи четири века пред нашата ера. Се разбира, нивните пресметки беа радикално различни од моментално прифатените и се покажаа многу попримитивни. На пример, месопотамиските математичари немаа поим за постоењето на негативни броеви. Тие, исто така, не беа запознаени со други суптилности што ги знае секој модерен ученик.

Можеби дури и порано од научниците од Вавилон, мудреецот од Индија Баудхајама започнал да решава квадратни равенки. Ова се случило околу осум века пред Христовата ера. Точно, равенките од втор ред, методите за решавање што ги даде, беа наједноставни. Покрај него, за слични прашања во старите времиња се интересирале и кинески математичари. Во Европа, квадратните равенки почнаа да се решаваат дури на почетокот на 13 век, но подоцна тие беа користени во нивните дела од такви големи научници како Њутн, Декарт и многу други.

Продолжуваме да ја проучуваме темата “ решавање равенки" Веќе се запознавме со линеарни равенки и продолжуваме кон запознавање квадратни равенки.

Прво, ќе погледнеме што е квадратна равенка, како е напишана во општа форма и ќе дадеме сродни дефиниции. После ова, ќе користиме примери за детално да испитаме како се решаваат нецелосните квадратни равенки. Следно, ќе преминеме на решавање на целосни равенки, ќе ја добиеме коренската формула, ќе се запознаеме со дискриминантата на квадратна равенка и ќе разгледаме решенија за типични примери. Конечно, да ги следиме врските помеѓу корените и коефициентите.

Навигација на страница.

Што е квадратна равенка? Нивните типови

Прво треба јасно да разберете што е квадратна равенка. Затоа, логично е да се започне разговор за квадратни равенки со дефиниција на квадратна равенка, како и сродни дефиниции. По ова, можете да ги разгледате главните типови на квадратни равенки: намалени и ненамалени, како и целосни и нецелосни равенки.

Дефиниција и примери на квадратни равенки

Дефиниција.

Квадратна равенкае равенка на формата a x 2 +b x+c=0, каде што x е променлива, a, b и c се некои броеви, а a е не-нула.

Веднаш да кажеме дека квадратните равенки често се нарекуваат равенки од втор степен. Ова се должи на фактот дека квадратната равенка е алгебарска равенкавтор степен.

Наведената дефиниција ни овозможува да дадеме примери на квадратни равенки. Значи 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0, итн. Ова се квадратни равенки.

Дефиниција.

Броеви а, б и в се нарекуваат коефициенти на квадратната равенка a·x 2 +b·x+c=0, а коефициентот a се нарекува прв, или највисок, или коефициент од x 2, b е вториот коефициент, или коефициентот на x, а c е слободен член .

На пример, да земеме квадратна равенка од формата 5 x 2 −2 x −3=0, овде водечкиот коефициент е 5, вториот коефициент е еднаков на −2, а слободниот член е еднаков на −3. Ве молиме имајте предвид дека кога коефициентите b и/или c се негативни, како во штотуку дадениот пример, кратката форма на квадратната равенка е 5 x 2 −2 x−3=0, наместо 5 x 2 +(−2 ) ·x+(−3)=0 .

Вреди да се напомене дека кога коефициентите a и/или b се еднакви на 1 или −1, тогаш тие обично не се експлицитно присутни во квадратната равенка, што се должи на особеностите за пишување на таквите. На пример, во квадратната равенка y 2 −y+3=0 водечкиот коефициент е еден, а коефициентот на y е еднаков на −1.

Намалени и ненамалени квадратни равенки

Во зависност од вредноста на водечкиот коефициент, се разликуваат намалени и ненамалени квадратни равенки. Да ги дадеме соодветните дефиниции.

Дефиниција.

Се нарекува квадратна равенка во која водечкиот коефициент е 1 дадена квадратна равенка. Инаку, квадратната равенка е недопрена.

Според оваа дефиниција, квадратни равенки x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0 итн. – даден, во секој од нив првиот коефициент еднаков на еден. A 5 x 2 −x−1=0, итн. - ненамалени квадратни равенки, нивните водечки коефициенти се различни од 1.

Од секоја ненамалена квадратна равенка, со делење на двете страни со водечкиот коефициент, можете да отидете на намалениот. Ова дејство е еквивалентна трансформација, односно намалената квадратна равенка добиена на овој начин ги има истите корени како и првобитната нередуцирана квадратна равенка или, како неа, нема корени.

Да погледнеме пример како се врши преминот од ненамалена квадратна равенка во намалена.

Пример.

Од равенката 3 x 2 +12 x−7=0 се оди на соодветната намалена квадратна равенка.

Решение.

Треба само да ги поделиме двете страни на првобитната равенка со водечкиот коефициент 3, тој не е нула, за да можеме да ја извршиме оваа акција. Имаме (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, што е исто, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, а потоа (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, од ​​каде . Така ја добивме редуцираната квадратна равенка, која е еквивалентна на првобитната.

Одговор:

Целосни и нецелосни квадратни равенки

Дефиницијата за квадратна равенка го содржи условот a≠0. Овој услов е неопходен така што равенката a x 2 + b x + c = 0 е квадратна, бидејќи кога a = 0 таа всушност станува линеарна равенка од формата b x + c = 0.

Што се однесува до коефициентите b и c, тие можат да бидат еднакви на нула, и поединечно и заедно. Во овие случаи, квадратната равенка се нарекува нецелосна.

Дефиниција.

Се нарекува квадратната равенка a x 2 +b x+c=0 нецелосни, ако барем еден од коефициентите b, c е еднаков на нула.

За возврат

Дефиниција.

Целосна квадратна равенкае равенка во која сите коефициенти се различни од нула.

Ваквите имиња не биле случајно дадени. Ова ќе стане јасно од следните дискусии.

Ако коефициентот b е нула, тогаш квадратната равенка добива форма a·x 2 +0·x+c=0, и е еквивалентна на равенката a·x 2 +c=0. Ако c=0, односно квадратната равенка има форма a·x 2 +b·x+0=0, тогаш може да се препише како a·x 2 +b·x=0. И со b=0 и c=0 ја добиваме квадратната равенка a·x 2 =0. Добиените равенки се разликуваат од целосната квадратна равенка по тоа што нивните леви страни не содржат ниту член со променливата x, ниту слободен член, ниту и двете. Оттука и нивното име - нецелосни квадратни равенки.

Значи равенките x 2 +x+1=0 и −2 x 2 −5 x+0,2=0 се примери за целосни квадратни равенки, и x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 се нецелосни квадратни равенки.

Решавање на нецелосни квадратни равенки

Од информациите во претходниот став произлегува дека постои три вида нецелосни квадратни равенки:

• a·x 2 =0, на него одговараат коефициентите b=0 и c=0;
• a x 2 +c=0 кога b=0 ;
• и a·x 2 +b·x=0 кога c=0.

Да испитаме по ред како се решаваат нецелосните квадратни равенки на секој од овие типови.

a x 2 =0

Да почнеме со решавање на нецелосни квадратни равенки во кои коефициентите b и c се еднакви на нула, односно со равенки од формата a x 2 =0. Равенката a·x 2 =0 е еквивалентна на равенката x 2 =0, која се добива од оригиналот со делење на двата дела со ненула број a. Очигледно, коренот на равенката x 2 =0 е нула, бидејќи 0 2 =0. Оваа равенка нема други корени, што се објаснува со фактот дека за секој ненулти број p важи неравенката p 2 >0, што значи дека за p≠0 никогаш не се постигнува еднаквоста p 2 =0.

Значи, нецелосната квадратна равенка a·x 2 =0 има еден корен x=0.

Како пример го даваме решението на нецелосната квадратна равенка −4 x 2 =0. Тоа е еквивалентно на равенката x 2 =0, нејзиниот единствен корен е x=0, затоа, првобитната равенка има единствен корен нула.

Кратко решение во овој случај може да се напише на следниов начин:
−4 x 2 =0 ,
x 2 =0,
x=0 .

a x 2 +c=0

Сега да погледнеме како се решаваат нецелосни квадратни равенки во кои коефициентот b е нула и c≠0, односно равенки од формата a x 2 +c=0. Знаеме дека поместувањето на член од едната страна на равенката на друга со спротивен знак, како и со делење на двете страни на равенката со ненула број се добива еквивалентна равенка. Затоа, можеме да ги извршиме следните еквивалентни трансформации на нецелосната квадратна равенка a x 2 +c=0:

• поместете го c на десната страна, што ја дава равенката a x 2 =−c,
• и поделете ги двете страни со a, добиваме .

Добиената равенка ни овозможува да извлечеме заклучоци за нејзините корени. Во зависност од вредностите на a и c, вредноста на изразот може да биде негативна (на пример, ако a=1 и c=2, тогаш ) или позитивна (на пример, ако a=−2 и c=6, тогаш ), не е нула, бидејќи по услов c≠0. Ајде да ги разгледаме случаите одделно.

Ако , тогаш равенката нема корени. Оваа изјава произлегува од фактот дека квадратот на кој било број е ненегативен број. Од ова произлегува дека кога , тогаш за кој било број p еднаквоста не може да биде вистина.

Ако , тогаш ситуацијата со корените на равенката е различна. Во овој случај, ако се сетиме за , тогаш коренот на равенката веднаш станува очигледен тоа е бројот, бидејќи . Лесно е да се погоди дека бројот е исто така коренот на равенката, навистина, . Оваа равенка нема други корени, што може да се покаже, на пример, со контрадикција. Ајде да го направиме тоа.

Да ги означиме корените на равенката штотуку објавена како x 1 и −x 1 . Да претпоставиме дека равенката има уште еден корен x 2, различен од наведените корени x 1 и −x 1. Познато е дека заменувањето на неговите корени во равенка наместо x ја претвора равенката во правилна нумеричка равенка. За x 1 и −x 1 имаме , а за x 2 имаме . Својствата на нумеричките еднаквости ни овозможуваат да извршиме одземање по член на точни нумерички равенства, па со одземање на соодветните делови од равенствата се добива x 1 2 −x 2 2 =0. Својствата на операциите со броеви ни овозможуваат да ја преработиме добиената еднаквост како (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Знаеме дека производот на два броја е еднаков на нула ако и само ако барем еден од нив е еднаков на нула. Според тоа, од добиената еднаквост следува дека x 1 −x 2 =0 и/или x 1 +x 2 =0, што е исто, x 2 =x 1 и/или x 2 =−x 1. Така, дојдовме до контрадикција, бидејќи на почетокот рековме дека коренот на равенката x 2 е различен од x 1 и −x 1. Ова докажува дека равенката нема други корени освен и .

Дозволете ни да ги сумираме информациите во овој пасус. Нецелосната квадратна равенка a x 2 +c=0 е еквивалентна на равенката која

• нема корени ако,
• има два корени и ако .

Да разгледаме примери за решавање на нецелосни квадратни равенки од формата a·x 2 +c=0.

Да почнеме со квадратната равенка 9 x 2 +7=0. Откако ќе го преместите слободниот член на десната страна од равенката, тој ќе добие форма 9 x 2 =−7. Поделувајќи ги двете страни на добиената равенка со 9, доаѓаме до . Бидејќи на десната страна испадна негативен број, тогаш оваа равенка нема корени, затоа, првобитната нецелосна квадратна равенка 9 x 2 +7=0 нема корени.

Да решиме уште една нецелосна квадратна равенка −x 2 +9=0. Ја поместуваме деветката на десната страна: −x 2 =−9. Сега ги делиме двете страни со −1, добиваме x 2 =9. На десната страна е позитивен број, од што заклучуваме дека или . Потоа го запишуваме конечниот одговор: нецелосната квадратна равенка −x 2 +9=0 има два корени x=3 или x=−3.

a x 2 +b x=0

Останува да се занимаваме со решението на последниот тип на нецелосни квадратни равенки за c=0. Нецелосните квадратни равенки од формата a x 2 + b x = 0 ви овозможуваат да решите метод на факторизација. Очигледно, можеме, сместени на левата страна на равенката, за што е доволно да го извадиме заедничкиот фактор x од заградите. Ова ни овозможува да преминеме од првичната нецелосна квадратна равенка на еквивалентна равенка од формата x·(a·x+b)=0. И оваа равенка е еквивалентна на множество од две равенки x=0 и a·x+b=0, од ​​кои последната е линеарна и има корен x=−b/a.

Значи, нецелосната квадратна равенка a·x 2 +b·x=0 има два корени x=0 и x=−b/a.

За да го консолидираме материјалот, ќе го анализираме решението на конкретен пример.

Пример.

Решете ја равенката.

Решение.

Со вадење на x од загради се добива равенката . Тоа е еквивалентно на две равенки x=0 и . Решавање на она што го добивме линеарна равенка: , и вршење на делењето мешан бројна заедничка дропка, ние најдовме . Според тоа, корените на првобитната равенка се x=0 и .

По стекнувањето на потребната пракса, решенијата за ваквите равенки може да се напишат накратко:

Одговор:

x=0,.

Дискриминантна, формула за корени на квадратна равенка

За решавање на квадратни равенки, постои коренска формула. Ајде да го запишеме формула за корени на квадратна равенка: , Каде D=b 2 −4 a c- т.н дискриминатор на квадратна равенка. Влезот во суштина значи дека .

Корисно е да се знае како е изведена коренската формула и како се користи при пронаоѓање на корените на квадратните равенки. Ајде да го сфатиме ова.

Изведување на формулата за корените на квадратна равенка

Дозволете ни да ја решиме квадратната равенка a·x 2 +b·x+c=0. Ајде да извршиме некои еквивалентни трансформации:

• Можеме да ги поделиме двете страни на оваа равенка со ненула број a, што ќе резултира со следната квадратна равенка.
• Сега изберете целосен квадратна неговата лева страна: . После ова, равенката ќе добие форма.
• Во оваа фаза, можно е да ги пренесеме последните два члена на десната страна со спротивен знак, имаме .
• И да го трансформираме изразот на десната страна: .

Како резултат на тоа, доаѓаме до равенка која е еквивалентна на првобитната квадратна равенка a·x 2 +b·x+c=0.

Ние веќе решивме равенки слични по форма во претходните ставови, кога испитувавме. Ова ни овозможува да ги извлечеме следните заклучоци во врска со корените на равенката:

• ако , тогаш равенката нема реални решенија;
• ако , тогаш равенката ја има формата, значи, , од која е видлив нејзиниот единствен корен;
• ако , тогаш или , што е исто како или , односно равенката има два корени.

Така, присуството или отсуството на корените на равенката, а со тоа и на првобитната квадратна равенка, зависи од знакот на изразот на десната страна. За возврат, знакот на овој израз се одредува со знакот на броителот, бидејќи именителот 4 a 2 е секогаш позитивен, односно знакот на изразот b 2 −4 a c. Овој израз b 2 −4 a c беше наречен дискриминатор на квадратна равенкаи означени со писмото Д. Оттука е јасна суштината на дискриминаторот - врз основа на неговата вредност и знак, заклучуваат дали квадратната равенка има вистински корени, и ако има, колкав е нивниот број - еден или два.

Да се ​​вратиме на равенката и да ја преработиме користејќи ја дискриминаторната нотација: . И ние извлекуваме заклучоци:

• ако Д<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• ако D=0, тогаш оваа равенка има еден корен;
• конечно, ако D>0, тогаш равенката има два корени или, кои може да се препишат во форма или, и по проширување и намалување на дропките на заеднички именителдобиваме.

Така, ги изведовме формулите за корените на квадратната равенка, тие изгледаат како , каде што дискриминантата D се пресметува со формулата D=b 2 −4·a·c.

Со нивна помош, со позитивна дискриминаторна, можете да ги пресметате двата реални корени на квадратна равенка. Кога дискриминаторот е еднаков на нула, двете формули ја даваат истата вредност на коренот, што одговара на единственото решение на квадратната равенка. И со негативна дискриминантна, кога се обидуваме да ја искористиме формулата за корените на квадратната равенка, се соочуваме со екстракција квадратен коренод негативен број, кој не носи подалеку и училишна наставна програма. Со негативна дискриминанта, квадратната равенка нема вистински корени, туку има пар комплексен конјугаткорени, кои може да се најдат со користење на истите коренски формули што ги добивме.

Алгоритам за решавање на квадратни равенки со помош на коренски формули

Во пракса, кога решавате квадратни равенки, можете веднаш да ја користите коренската формула за да ги пресметате нивните вредности. Но, ова е повеќе поврзано со наоѓање сложени корени.

Меѓутоа, во училишен курсАлгебрата обично не се занимава со сложени, туку со реални корени на квадратна равенка. Во овој случај, препорачливо е, пред да ги користите формулите за корените на квадратната равенка, прво да го пронајдете дискриминаторот, да бидете сигурни дека е ненегативен (во спротивно, можеме да заклучиме дека равенката нема вистински корени). и само тогаш пресметајте ги вредностите на корените.

Горенаведеното расудување ни дозволува да пишуваме алгоритам за решавање на квадратна равенка. За да ја решите квадратната равенка a x 2 +b x+c=0, потребно е:

• користејќи ја формулата за дискриминација D=b 2 −4·a·c, пресметај ја нејзината вредност;
• заклучи дека квадратната равенка нема вистински корени ако дискриминантата е негативна;
• пресметај го единствениот корен од равенката користејќи ја формулата ако D=0;
• најдете два реални корени на квадратна равенка користејќи ја коренската формула ако дискриминантата е позитивна.

Овде само забележуваме дека ако дискриминаторот е еднаков на нула, можете да ја користите и формулата таа ќе ја даде истата вредност како .

Можете да преминете на примери за користење на алгоритам за решавање на квадратни равенки.

Примери за решавање на квадратни равенки

Да разгледаме решенија на три квадратни равенки со позитивна, негативна и нулта дискриминантна. Откако се занимававме со нивното решение, по аналогија ќе биде можно да се реши која било друга квадратна равенка. Да почнеме.

Пример.

Најдете ги корените на равенката x 2 +2·x−6=0.

Решение.

Во овој случај ги имаме следните коефициенти на квадратната равенка: a=1, b=2 и c=−6. Според алгоритмот, прво треба да ја пресметате дискриминаторот за да го направите ова, ги заменуваме наведените a, b и c во формулата за дискриминација, што ја имаме D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Бидејќи 28>0, односно дискриминантата е поголема од нула, квадратната равенка има два реални корени. Ајде да ги најдеме користејќи ја коренската формула, добиваме , тука можете да ги поедноставите добиените изрази со правење поместување на множителот надвор од коренскиот знакпроследено со намалување на фракцијата:

Одговор:

Да преминеме на следниот типичен пример.

Пример.

Решете ја квадратната равенка −4 x 2 +28 x−49=0 .

Решение.

Започнуваме со наоѓање на дискриминаторот: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Според тоа, оваа квадратна равенка има еден корен, кој го наоѓаме како , т.е.

Одговор:

x=3,5.

Останува да се размислува за решавање на квадратни равенки со негативна дискриминантна.

Пример.

Решете ја равенката 5·y 2 +6·y+2=0.

Решение.

Еве ги коефициентите на квадратната равенка: a=5, b=6 и c=2. Ние ги заменуваме овие вредности во формулата за дискриминација, ја имаме D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Дискриминантата е негативна, затоа оваа квадратна равенка нема вистински корени.

Ако треба да наведете комплексни корени, потоа ја применуваме добро познатата формула за корените на квадратна равенка и изведуваме дејствија со сложени броеви :

Одговор:

нема вистински корени, сложени корени се: .

Да забележиме уште еднаш дека ако дискриминантата на квадратна равенка е негативна, тогаш во училиште обично веднаш запишуваат одговор во кој укажуваат дека нема вистински корени, а не се наоѓаат сложени корени.

Корен формула за дури втори коефициенти

Формулата за корените на квадратна равенка, каде што D=b 2 −4·a·c ви овозможува да добиете формула повеќе компактен изглед, што ви овозможува да решавате квадратни равенки со парен коефициент за x (или едноставно со коефициент кој има форма 2·n, на пример, или 14·ln5=2·7·ln5). Ајде да ја извадиме.

Да речеме дека треба да решиме квадратна равенка од формата a x 2 +2 n x+c=0. Ајде да ги најдеме неговите корени користејќи ја формулата што ја знаеме. За да го направите ова, ја пресметуваме дискриминаторот D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), а потоа ја користиме коренската формула:

Да го означиме изразот n 2 −a c како D 1 (понекогаш се означува D "). Тогаш формулата за корените на квадратната равенка што се разгледува со вториот коефициент 2 n ќе ја добие формата , каде што D 1 =n 2 −a·c.

Лесно е да се види дека D=4·D 1, или D 1 =D/4. Со други зборови, D 1 е четвртиот дел од дискриминаторот. Јасно е дека знакот D 1 е ист како знакот D. Односно, знакот D 1 е исто така показател за присуство или отсуство на корени на квадратна равенка.

Значи, за да решите квадратна равенка со втор коефициент 2·n, ви треба

• Пресметај D 1 =n 2 −a·c ;
• Ако Д 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Ако D 1 =0, тогаш пресметајте го единствениот корен од равенката користејќи ја формулата;
• Ако D 1 >0, тогаш пронајдете два вистински корени користејќи ја формулата.

Ајде да размислиме да го решиме примерот користејќи ја коренската формула добиена во овој став.

Пример.

Решете ја квадратната равенка 5 x 2 −6 x −32=0 .

Решение.

Вториот коефициент на оваа равенка може да се претстави како 2·(−3) . Односно, можете да ја преработите првобитната квадратна равенка во форма 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, тука a=5, n=−3 и c=−32 и да го пресметате четвртиот дел од дискриминаторски: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Бидејќи нејзината вредност е позитивна, равенката има два реални корени. Ајде да ги најдеме користејќи ја соодветната формула за корен:

Забележете дека беше можно да се користи вообичаената формула за корените на квадратна равенка, но во овој случај ќе треба да се изврши повеќе пресметковна работа.

Одговор:

Поедноставување на формата на квадратни равенки

Понекогаш, пред да започнете да ги пресметувате корените на квадратната равенка користејќи формули, не е повредено да се постави прашањето: „Дали е можно да се поедностави формата на оваа равенка? Согласете се дека во однос на пресметките ќе биде полесно да се реши квадратната равенка 11 x 2 −4 x−6=0 отколку 1100 x 2 −400 x−600=0.

Вообичаено, поедноставувањето на формата на квадратна равенка се постигнува со множење или делење на двете страни со одреден број. На пример, во претходниот пасус беше можно да се поедностави равенката 1100 x 2 −400 x −600=0 со делење на двете страни со 100.

Слична трансформација се врши со квадратни равенки, чии коефициенти не се . Во овој случај, ние обично ги делиме двете страни на равенката со апсолутни вредностинеговите коефициенти. На пример, да ја земеме квадратната равенка 12 x 2 −42 x+48=0. апсолутни вредности на неговите коефициенти: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Поделувајќи ги двете страни на првобитната квадратна равенка со 6, доаѓаме до еквивалентната квадратна равенка 2 x 2 −7 x+8=0.

И множењето на двете страни на квадратната равенка обично се прави за да се ослободиме од фракционите коефициенти. Во овој случај, множењето се врши со именители на неговите коефициенти. На пример, ако двете страни на квадратната равенка се помножат со LCM(6, 3, 1)=6, тогаш таа ќе добие поедноставен облик x 2 +4·x−18=0.

Како заклучок на оваа точка, забележуваме дека тие речиси секогаш се ослободуваат од минусот на највисокиот коефициент на квадратната равенка со менување на знаците на сите членови, што одговара на множење (или делење) на двете страни со -1. На пример, обично се поместува од квадратната равенка −2 x 2 −3 x+7=0 до решението 2 x 2 +3 x−7=0 .

Врска помеѓу корените и коефициентите на квадратна равенка

Формулата за корените на квадратната равенка ги изразува корените на равенката преку нејзините коефициенти. Врз основа на формулата на коренот, можете да добиете други врски помеѓу корените и коефициентите.

Најпознатите и најприменливите формули од теоремата на Виета се од формата и . Конкретно, за дадената квадратна равенка, збирот на корените е еднаков на вториот коефициент со спротивен знак, а производот на корените е еднаков на слободниот член. На пример, гледајќи ја формата на квадратната равенка 3 x 2 −7 x + 22 = 0, веднаш можеме да кажеме дека збирот на неговите корени е еднаков на 7/3, а производот на корените е еднаков на 22 /3.

Користејќи ги веќе напишаните формули, можете да добиете голем број други врски помеѓу корените и коефициентите на квадратната равенка. На пример, збирот на квадратите на корените на квадратна равенка можете да го изразите преку неговите коефициенти: .

Библиографија.

• Алгебра:тетратка за 8 одделение. општо образование институции / [Ју. Н. Макаричев, Н. Г. Миндјук, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; Изменето од С.А. Телјаковски. - 16-ти изд. - М.: Образование, 2008. - 271 стр. : болен. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А.Г.Алгебра. 8-мо одделение. Во 14 часот Дел 1. Учебник за ученици образовните институции/ А.Г. Мордкович. - 11-то издание, избришано. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 стр.: илустрација. ISBN 978-5-346-01155-2.

Формули за корените на квадратна равенка. Се разгледуваат случаите на реални, повеќекратни и сложени корени. Факторизација квадратен трином. Геометриска интерпретација. Примери за одредување корени и факторинг.

Основни формули

Размислете за квадратната равенка:
(1) .
Корени на квадратна равенка(1) се одредуваат со формулите:
; .
Овие формули може да се комбинираат вака:
.
Кога се познати корените на квадратната равенка, тогаш полиномот од втор степен може да се претстави како производ на фактори (факторирани):
.

Следно, претпоставуваме дека се реални броеви.
Ајде да размислиме дискриминатор на квадратна равенка:
.
Ако дискриминантата е позитивна, тогаш квадратната равенка (1) има два различни реални корени:
; .
Тогаш факторизацијата на квадратниот трином има форма:
.
Ако дискриминаторот е еднаков на нула, тогаш квадратната равенка (1) има два повеќекратни (еднакви) реални корени:
.
Факторизација:
.
Ако дискриминантата е негативна, тогаш квадратната равенка (1) има два сложени конјугирани корени:
;
.
Еве ја имагинарната единица, ;
и се вистинските и имагинарните делови на корените:
; .
Потоа

.

Графичка интерпретација

Ако градите график на функција
,
што е парабола, тогаш точките на пресек на графикот со оската ќе бидат корените на равенката
.
Во , графикот ја пресекува оската x (оската) во две точки.
Кога , графикот ја допира оската x во една точка.
Кога , графикот не ја преминува оската x.

Подолу се дадени примери на такви графикони.

Корисни формули поврзани со квадратна равенка

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Изведување на формулата за корените на квадратна равенка

Вршиме трансформации и применуваме формули (f.1) и (f.3):




,
Каде
; .

Значи, ја добивме формулата за полином од втор степен во форма:
.
Ова покажува дека равенката

изведена во
И .
Тоа е, и се корените на квадратната равенка
.

Примери за одредување на корените на квадратна равенка

Пример 1

(1.1) .

Решение

.
Во споредба со нашата равенка (1.1), ги наоѓаме вредностите на коефициентите:
.
Го наоѓаме дискриминаторот:
.
Бидејќи дискриминаторката е позитивна, равенката има два реални корени:
;
;
.

Од ова ја добиваме факторизацијата на квадратниот трином:

.

График на функцијата y = 2 x 2 + 7 x + 3ја сече оската x на две точки.

Ајде да ја нацртаме функцијата
.
Графикот на оваа функција е парабола. Ја преминува оската на апсцисата (оската) во две точки:
И .
Овие точки се корените на првобитната равенка (1.1).

Одговори

;
;
.

Пример 2

Најдете ги корените на квадратната равенка:
(2.1) .

Решение

Ајде да ја напишеме квадратната равенка во општа форма:
.
Во споредба со оригиналната равенка (2.1), ги наоѓаме вредностите на коефициентите:
.
Го наоѓаме дискриминаторот:
.
Бидејќи дискриминаторот е нула, равенката има два повеќекратни (еднакви) корени:
;
.

Тогаш факторизацијата на триномот има форма:
.

График на функцијата y = x 2 - 4 x + 4ја допира оската x во една точка.

Ајде да ја нацртаме функцијата
.
Графикот на оваа функција е парабола. Ја допира оската x (оската) во една точка:
.
Оваа точка е коренот на првобитната равенка (2.1). Бидејќи овој корен е факторизиран двапати:
,
тогаш таквиот корен обично се нарекува повеќекратен. Тоа е, тие веруваат дека постојат два еднакви корени:
.

Одговори

;
.

Пример 3

Најдете ги корените на квадратната равенка:
(3.1) .

Решение

Ајде да ја напишеме квадратната равенка во општа форма:
(1) .
Ајде да ја преработиме оригиналната равенка (3.1):
.
Во споредба со (1), ги наоѓаме вредностите на коефициентите:
.
Го наоѓаме дискриминаторот:
.
Дискриминаторот е негативен, . Затоа нема вистински корени.

Можете да најдете сложени корени:
;
;
.

Потоа


.

Графикот на функцијата не ја преминува оската x. Нема вистински корени.

Ајде да ја нацртаме функцијата
.
Графикот на оваа функција е парабола. Не ја пресекува оската x (оската). Затоа нема вистински корени.

Одговори

Нема вистински корени. Комплексни корени:
;
;
.

Се надевам дека по проучувањето на оваа статија ќе научите како да ги пронајдете корените на целосна квадратна равенка.

Со помош на дискриминантот, се решаваат само целосни квадратни равенки за решавање на нецелосни квадратни равенки, се користат други методи кои ќе ги најдете во статијата „Решавање на нецелосни квадратни равенки“.

Кои квадратни равенки се нарекуваат целосни? Ова равенки од формата ax 2 + b x + c = 0, каде што коефициентите a, b и c не се еднакви на нула. Значи, за да решиме целосна квадратна равенка, треба да ја пресметаме дискриминантната D.

D = b 2 – 4ac.

Во зависност од вредноста на дискриминаторот, ќе го запишеме одговорот.

Ако дискриминаторот е негативен број (Д< 0),то корней нет.

Ако дискриминаторот е нула, тогаш x = (-b)/2a. Кога дискриминаторот е позитивен број (D > 0),

тогаш x 1 = (-b - √D)/2a, и x 2 = (-b + √D)/2a.

На пример. Решете ја равенката x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Одговор: 2.

Решете ја равенката 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Одговор: нема корени.

Решете ја равенката 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= - 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Одговор: – 3,5; 1.

Значи, да го замислиме решението на целосните квадратни равенки користејќи го дијаграмот на Слика 1.

Користејќи ги овие формули, можете да решите која било целосна квадратна равенка. Само треба да внимавате на равенката беше напишана како полином на стандардната форма

А x 2 + bx + c,во спротивно може да згрешите. На пример, при пишување на равенката x + 3 + 2x 2 = 0, може погрешно да одлучите дека

a = 1, b = 3 и c = 2. Тогаш

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 и тогаш равенката има два корени. И ова не е вистина. (Види решение за пример 2 погоре).

Според тоа, ако равенката не е напишана како полином на стандардната форма, прво мора да се запише целосната квадратна равенка како полином на стандардната форма (на прво место треба да дојде мономот со најголем експонент, т.е. А x 2 , потоа со помалку – bxа потоа и слободен член Со.

При решавање на намалената квадратна равенка и квадратна равенка со парен коефициент во вториот член, можете да користите други формули. Ајде да се запознаеме со овие формули. Ако во целосна квадратна равенка вториот член има парен коефициент (b = 2k), тогаш равенката може да ја решите користејќи ги формулите прикажани на дијаграмот на Слика 2.

Целосна квадратна равенка се нарекува намалена ако коефициентот на x 2 е еднаква на еден и равенката ја зема формата x 2 + px + q = 0. Таква равенка може да се даде за решавање, или може да се добие со делење на сите коефициенти на равенката со коефициентот А, стои во x 2 .

На слика 3 е прикажан дијаграм за решавање на намалениот квадрат
равенки. Ајде да погледнеме пример за примена на формулите дискутирани во овој напис.

Пример. Решете ја равенката

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Ајде да ја решиме оваа равенка користејќи ги формулите прикажани на дијаграмот на Слика 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = -1 + √3

Одговор: –1 – √3; –1 + √3

Можете да забележите дека коефициентот x во оваа равенка парен број, односно b = 6 или b = 2k, од каде k = 3. Потоа да се обидеме да ја решиме равенката користејќи ги формулите дадени на дијаграмот на сликата D 1 = 3 2 – 3 · (– 6) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = - 1 + √3

Одговор: –1 – √3; –1 + √3. Забележувајќи дека сите коефициенти во оваа квадратна равенка се деливи со 3 и извршувајќи го делењето, ја добиваме намалената квадратна равенка x 2 + 2x – 2 = 0 Решете ја оваа равенка користејќи ги формулите за намалениот квадрат
равенки слика 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = - 1 + √3

Одговор: –1 – √3; –1 + √3.

Како што гледаме, при решавање на оваа равенка со различни формулиго добивме истиот одговор. Затоа, откако темелно ги совладавте формулите прикажани на дијаграмот на Слика 1, секогаш ќе можете да решите која било целосна квадратна равенка.

веб-страница, при копирање на материјал во целост или делумно, потребна е врска до оригиналниот извор.

Само. Според формули и јасни, едноставни правила. Во првата фаза

треба да ја намалиме дадената равенка на стандарден поглед, т.е. до формата:

Ако равенката веќе ви е дадена во оваа форма, не треба да ја правите првата фаза. Најважно е да го направите тоа правилно

определи ги сите коефициенти, А, бИ в.

Формула за наоѓање корени на квадратна равенка.

Изразот под знакот на коренот се нарекува дискриминаторски . Како што можете да видите, за да го пронајдеме X, ние

користиме само а, б и в. Оние. коефициенти од квадратна равенка. Само внимателно поставете го

вредности а, б и вНие пресметуваме во оваа формула. Заменуваме со нивнитезнаци!

На пример, во равенката:

А =1; б = 3; в = -4.

Ги заменуваме вредностите и пишуваме:

Примерот е речиси решен:

Ова е одговорот.

Најчести грешки се конфузијата со вредностите на знакот а, бИ Со. Или подобро кажано, со замена

негативни вредностиво формулата за пресметување на корените. Детална снимка на формулата доаѓа на помош овде

со конкретни бројки. Ако имате проблеми со пресметките, направете го тоа!

Да претпоставиме дека треба да го решиме следниов пример:

Еве а = -6; б = -5; в = -1

Опишуваме сè детално, внимателно, без да пропуштиме ништо со сите знаци и загради:

Квадратните равенки често изгледаат малку поинаку. На пример, вака:

Сега имајте предвид практични техники, кои драматично го намалуваат бројот на грешки.

Прв состанок. Немојте да бидете мрзливи порано решавање на квадратна равенкадоведете го во стандардна форма.

Што значи тоа?

Да речеме дека по сите трансформации ја добивате следнава равенка:

Не брзајте да ја напишете коренската формула! Речиси сигурно ќе ги измешате шансите а, б и в.

Правилно конструирај го примерот. Прво, X квадрат, потоа без квадрат, па слободниот член. Како ова:

Ослободете се од минусот. Како? Треба да ја помножиме целата равенка со -1. Добиваме:

Но, сега можете безбедно да ја запишете формулата за корените, да ја пресметате дискриминаторот и да завршите со решавање на примерот.

Одлучете сами. Сега треба да имате корени 2 и -1.

Прием второ.Проверете ги корените! Од страна на Теорема на Виета.

Да се ​​решат дадените квадратни равенки, т.е. ако коефициентот

x 2 +bx+c=0,

Потоаx 1 x 2 =c

x 1 +x 2 =−б

За целосна квадратна равенка во која a≠1:

x 2 +бx+в=0,

подели ја целата равенка со А:

→ →

Каде x 1И x 2 - корени на равенката.

Трет прием. Ако вашата равенка има фракциони коефициенти, ослободете се од дропките! Множете се

равенка со заеднички именител.

Заклучок. Практичен совет:

1. Пред да го решиме, ја доведуваме квадратната равенка во стандардна форма и ја градиме Во право.

2. Ако има негативен коефициент пред квадратот Х, го елиминираме со множење на сè

равенки за -1.

3. Ако коефициентите се фракционо, ги елиминираме дропките со множење на целата равенка со соодветната

фактор.

4. Ако х квадрат е чист, неговиот коефициент е еднаков на еден, решението лесно може да се провери со