एक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की ज्या का निर्धारण। त्रिकोणमिति में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट: परिभाषाएँ, उदाहरण

गणित के जिन क्षेत्रों में छात्रों को सबसे अधिक परेशानी होती है उनमें से एक है त्रिकोणमिति। यह आश्चर्य की बात नहीं है: ज्ञान के इस क्षेत्र में स्वतंत्र रूप से महारत हासिल करने के लिए, आपको स्थानिक सोच, सूत्रों का उपयोग करके साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटैंजेंट खोजने की क्षमता, अभिव्यक्तियों को सरल बनाना और संख्या पाई का उपयोग करने में सक्षम होना चाहिए। गणना. इसके अलावा, आपको प्रमेयों को सिद्ध करते समय त्रिकोणमिति का उपयोग करने में सक्षम होना चाहिए, और इसके लिए या तो एक विकसित गणितीय स्मृति या जटिल तार्किक श्रृंखलाएं प्राप्त करने की क्षमता की आवश्यकता होती है।

त्रिकोणमिति की उत्पत्ति

इस विज्ञान से परिचित होना किसी कोण की ज्या, कोज्या और स्पर्शरेखा की परिभाषा से शुरू होना चाहिए, लेकिन पहले आपको यह समझने की जरूरत है कि सामान्य तौर पर त्रिकोणमिति क्या करती है।

ऐतिहासिक रूप से, गणितीय विज्ञान की इस शाखा में अध्ययन का मुख्य उद्देश्य समकोण त्रिभुज था। 90 डिग्री के कोण की उपस्थिति विभिन्न ऑपरेशनों को अंजाम देना संभव बनाती है जो दो पक्षों और एक कोण या दो कोणों और एक पक्ष का उपयोग करके प्रश्न में आकृति के सभी मापदंडों के मूल्यों को निर्धारित करने की अनुमति देती है। अतीत में, लोगों ने इस पैटर्न पर ध्यान दिया और इमारतों के निर्माण, नेविगेशन, खगोल विज्ञान और यहां तक कि कला में भी इसका सक्रिय रूप से उपयोग करना शुरू कर दिया।

प्रथम चरण

प्रारंभ में, लोग विशेष रूप से समकोण त्रिभुजों के उदाहरण का उपयोग करके कोणों और भुजाओं के बीच संबंध के बारे में बात करते थे। फिर विशेष सूत्रों की खोज की गई जिससे उपयोग की सीमाओं का विस्तार करना संभव हो गया रोजमर्रा की जिंदगीगणित की यह शाखा.

आज स्कूल में त्रिकोणमिति का अध्ययन समकोण त्रिभुजों से शुरू होता है, जिसके बाद छात्र भौतिकी में अर्जित ज्ञान का उपयोग करते हैं और अमूर्त त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करते हैं, जो हाई स्कूल में शुरू होता है।

गोलाकार त्रिकोणमिति

बाद में, जब विज्ञान विकास के अगले स्तर पर पहुंच गया, तो गोलाकार ज्यामिति में साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट वाले सूत्रों का उपयोग किया जाने लगा, जहां विभिन्न नियम लागू होते हैं, और त्रिकोण में कोणों का योग हमेशा 180 डिग्री से अधिक होता है। इस अनुभाग का अध्ययन स्कूल में नहीं किया जाता है, लेकिन कम से कम इसके अस्तित्व के बारे में जानना आवश्यक है पृथ्वी की सतह, और किसी भी अन्य ग्रह की सतह उत्तल है, जिसका अर्थ है कि कोई भी सतह चिह्न त्रि-आयामी अंतरिक्ष में "चाप-आकार" होगा।

ग्लोब और धागा ले लो. धागे को ग्लोब पर किन्हीं दो बिंदुओं पर जोड़ें ताकि वह तना हुआ रहे। कृपया ध्यान दें - इसने एक चाप का आकार ले लिया है। गोलाकार ज्यामिति ऐसे रूपों से संबंधित है, जिसका उपयोग भूगणित, खगोल विज्ञान और अन्य सैद्धांतिक और व्यावहारिक क्षेत्रों में किया जाता है।

सही त्रिकोण

त्रिकोणमिति का उपयोग करने के तरीकों के बारे में थोड़ा जानने के बाद, आइए बुनियादी त्रिकोणमिति पर वापस लौटें ताकि यह समझ सकें कि साइन, कोसाइन, टेंगेंट क्या हैं, उनकी मदद से कौन सी गणना की जा सकती है और किन सूत्रों का उपयोग करना है।

पहला कदम समकोण त्रिभुज से संबंधित अवधारणाओं को समझना है। सबसे पहले, कर्ण 90 डिग्री के कोण के विपरीत भुजा है। यह सबसे लंबा है. हमें याद है कि पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, यह अंकीय मूल्यअन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के मूल के बराबर।

उदाहरण के लिए, यदि दोनों भुजाएँ क्रमशः 3 और 4 सेंटीमीटर हैं, तो कर्ण की लंबाई 5 सेंटीमीटर होगी। वैसे, प्राचीन मिस्रवासियों को इसके बारे में साढ़े चार हजार साल पहले ही पता था।

शेष दो भुजाएँ, जो एक समकोण बनाती हैं, पैर कहलाती हैं। इसके अलावा, हमें यह याद रखना चाहिए कि एक आयताकार समन्वय प्रणाली में त्रिभुज के कोणों का योग 180 डिग्री के बराबर होता है।

परिभाषा

अंत में, ज्यामितीय आधार की दृढ़ समझ के साथ, कोई व्यक्ति किसी कोण की ज्या, कोज्या और स्पर्शरेखा की परिभाषा की ओर मुड़ सकता है।

किसी कोण की ज्या विपरीत पाद (अर्थात वांछित कोण के विपरीत भुजा) और कर्ण का अनुपात है। किसी कोण की कोज्या आसन्न भुजा और कर्ण का अनुपात है।

याद रखें कि न तो साइन और न ही कोसाइन एक से बड़ा हो सकता है! क्यों? क्योंकि कर्ण डिफ़ॉल्ट रूप से सबसे लंबा होता है, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि पैर कितना लंबा है, यह कर्ण से छोटा होगा, जिसका अर्थ है कि उनका अनुपात हमेशा एक से कम होगा। इस प्रकार, यदि किसी समस्या के उत्तर में आपको 1 से अधिक मान वाली साइन या कोसाइन मिलती है, तो गणना या तर्क में त्रुटि की तलाश करें। यह उत्तर स्पष्ट रूप से ग़लत है.

अंततः, किसी कोण की स्पर्श रेखा विपरीत भुजा और आसन्न भुजा का अनुपात होती है। ज्या को कोज्या से विभाजित करने पर वही परिणाम प्राप्त होगा। देखिए: सूत्र के अनुसार, हम भुजा की लंबाई को कर्ण से विभाजित करते हैं, फिर दूसरी भुजा की लंबाई से विभाजित करते हैं और कर्ण से गुणा करते हैं। इस प्रकार, हमें स्पर्शरेखा की परिभाषा के समान ही संबंध मिलता है।

कोटैंजेंट, तदनुसार, कोने से सटे पक्ष का विपरीत पक्ष से अनुपात है। एक को स्पर्शरेखा से विभाजित करने पर हमें वही परिणाम प्राप्त होता है।

इसलिए, हमने साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की परिभाषाओं पर गौर किया है, और हम सूत्रों पर आगे बढ़ सकते हैं।

सबसे सरल सूत्र

त्रिकोणमिति में आप सूत्रों के बिना काम नहीं कर सकते - इनके बिना साइन, कोसाइन, टेंगेंट, कोटैंजेंट कैसे खोजें? लेकिन समस्याओं को हल करते समय बिल्कुल यही आवश्यक है।

त्रिकोणमिति का अध्ययन शुरू करते समय आपको जो पहला सूत्र जानना आवश्यक है, वह कहता है कि किसी कोण की ज्या और कोज्या के वर्गों का योग एक के बराबर होता है। यह सूत्र पाइथागोरस प्रमेय का प्रत्यक्ष परिणाम है, लेकिन यदि आपको भुजा के बजाय कोण का आकार जानने की आवश्यकता है तो यह समय बचाता है।

कई विद्यार्थियों को दूसरा फार्मूला याद नहीं रहता, जो हल करते समय काफी लोकप्रिय भी है स्कूल के कार्य: कोण की स्पर्शरेखा के वर्ग और एक का योग कोण की कोज्या के वर्ग से विभाजित एक के बराबर होता है। बारीकी से देखें: यह वही कथन है जो पहले सूत्र में था, केवल पहचान के दोनों पक्षों को कोज्या के वर्ग से विभाजित किया गया था। यह पता चला है कि एक सरल गणितीय ऑपरेशन त्रिकोणमितीय सूत्र को पूरी तरह से पहचानने योग्य नहीं बनाता है। याद रखें: यह जानकर कि साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट क्या हैं, परिवर्तन नियम और कई बुनियादी सूत्र, आप किसी भी समय कागज के एक टुकड़े पर आवश्यक अधिक जटिल सूत्र प्राप्त कर सकते हैं।

दोहरे कोणों के सूत्र और तर्कों का योग

दो और सूत्र जो आपको सीखने की जरूरत है, वे कोणों के योग और अंतर के लिए ज्या और कोज्या के मानों से संबंधित हैं। उन्हें नीचे दिए गए चित्र में प्रस्तुत किया गया है। कृपया ध्यान दें कि पहले मामले में, साइन और कोसाइन को दोनों बार गुणा किया जाता है, और दूसरे में, साइन और कोसाइन का जोड़ीवार गुणनफल जोड़ा जाता है।

दोहरे कोण वाले तर्कों से जुड़े सूत्र भी हैं। वे पूरी तरह से पिछले वाले से व्युत्पन्न हैं - अभ्यास के रूप में, अल्फा कोण को बीटा कोण के बराबर लेकर उन्हें स्वयं प्राप्त करने का प्रयास करें।

अंत में, ध्यान दें कि साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा अल्फा की शक्ति को कम करने के लिए दोहरे कोण सूत्रों को पुन: व्यवस्थित किया जा सकता है।

प्रमेयों

बुनियादी त्रिकोणमिति में दो मुख्य प्रमेय साइन प्रमेय और कोसाइन प्रमेय हैं। इन प्रमेयों की सहायता से, आप आसानी से समझ सकते हैं कि साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा, और इसलिए आकृति का क्षेत्रफल, और प्रत्येक पक्ष का आकार, आदि कैसे ज्ञात करें।

साइन प्रमेय बताता है कि त्रिभुज की प्रत्येक भुजा की लंबाई को विपरीत कोण से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है एक जैसी संख्या. इसके अलावा, यह संख्या परिबद्ध वृत्त की दो त्रिज्याओं के बराबर होगी, अर्थात वह वृत्त जिसमें किसी दिए गए त्रिभुज के सभी बिंदु होंगे।

कोसाइन प्रमेय पाइथागोरस प्रमेय को सामान्यीकृत करता है, इसे किसी भी त्रिकोण पर प्रक्षेपित करता है। यह पता चला है कि दोनों पक्षों के वर्गों के योग से, आसन्न कोण के दोहरे कोसाइन से गुणा किए गए उनके उत्पाद को घटाएं - परिणामी मान तीसरी तरफ के वर्ग के बराबर होगा। इस प्रकार, पाइथागोरस प्रमेय कोसाइन प्रमेय का एक विशेष मामला बन जाता है।

लापरवाह गलती

यह जानते हुए भी कि साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा क्या हैं, अनुपस्थित-दिमाग या सरलतम गणनाओं में त्रुटि के कारण गलती करना आसान है। ऐसी गलतियों से बचने के लिए आइए सबसे लोकप्रिय गलतियों पर एक नजर डालें।

सबसे पहले, आपको अंतिम परिणाम मिलने तक भिन्नों को दशमलव में नहीं बदलना चाहिए - आप उत्तर को ऐसे ही छोड़ सकते हैं सामान्य अंश, जब तक कि शर्तों में अन्यथा न कहा गया हो। इस तरह के परिवर्तन को गलती नहीं कहा जा सकता, लेकिन यह याद रखना चाहिए कि समस्या के प्रत्येक चरण में नई जड़ें उभर सकती हैं, जिन्हें लेखक के विचार के अनुसार कम किया जाना चाहिए। ऐसे में आप अनावश्यक गणितीय कार्यों में अपना समय बर्बाद करेंगे। यह विशेष रूप से तीन की जड़ या दो की जड़ जैसे मूल्यों के लिए सच है, क्योंकि वे हर कदम पर समस्याओं में पाए जाते हैं। यही बात "बदसूरत" संख्याओं को पूर्णांकित करने के लिए भी लागू होती है।

इसके अलावा, ध्यान दें कि कोसाइन प्रमेय किसी भी त्रिभुज पर लागू होता है, लेकिन पाइथागोरस प्रमेय पर नहीं! यदि आप गलती से भुजाओं के गुणनफल को उनके बीच के कोण की कोज्या से दोगुना घटाना भूल जाते हैं, तो आपको न केवल पूरी तरह से गलत परिणाम मिलेगा, बल्कि आप विषय की समझ की पूरी कमी भी प्रदर्शित करेंगे। यह एक लापरवाह गलती से भी बदतर है.

तीसरा, साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटैंजेंट के लिए 30 और 60 डिग्री के कोणों के मानों को भ्रमित न करें। इन मानों को याद रखें, क्योंकि 30 डिग्री की ज्या 60 की कोज्या के बराबर है, और इसके विपरीत। उन्हें भ्रमित करना आसान है, जिसके परिणामस्वरूप आपको अनिवार्य रूप से एक गलत परिणाम मिलेगा।

आवेदन

कई छात्र त्रिकोणमिति का अध्ययन शुरू करने की जल्दी में नहीं हैं क्योंकि वे इसका व्यावहारिक अर्थ नहीं समझते हैं। एक इंजीनियर या खगोलशास्त्री के लिए साइन, कोसाइन, टेंगेंट क्या है? ये ऐसी अवधारणाएँ हैं जिनकी मदद से आप दूर के तारों की दूरी की गणना कर सकते हैं, किसी उल्कापिंड के गिरने की भविष्यवाणी कर सकते हैं, या किसी अन्य ग्रह पर एक शोध जांच भेज सकते हैं। उनके बिना, एक इमारत बनाना, एक कार डिजाइन करना, किसी सतह पर भार या किसी वस्तु के प्रक्षेपवक्र की गणना करना असंभव है। और ये तो सबसे स्पष्ट उदाहरण हैं! आख़िरकार, संगीत से लेकर चिकित्सा तक हर जगह किसी न किसी रूप में त्रिकोणमिति का उपयोग किया जाता है।

अंत में

तो आप साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा हैं। आप उनका उपयोग गणनाओं में कर सकते हैं और स्कूल की समस्याओं को सफलतापूर्वक हल कर सकते हैं।

त्रिकोणमिति का पूरा मुद्दा इस तथ्य पर आता है कि त्रिकोण के ज्ञात मापदंडों का उपयोग करके आपको अज्ञात की गणना करने की आवश्यकता है। कुल छह पैरामीटर हैं: तीन भुजाओं की लंबाई और तीन कोणों का आकार। कार्यों में एकमात्र अंतर इस तथ्य में निहित है कि अलग-अलग इनपुट डेटा दिए गए हैं।

अब आप जानते हैं कि पैरों या कर्ण की ज्ञात लंबाई के आधार पर साइन, कोसाइन, टेंगेंट कैसे खोजें। चूँकि इन शब्दों का मतलब अनुपात से अधिक कुछ नहीं है, और अनुपात एक अंश है, मुख्य लक्ष्यत्रिकोणमितीय समस्या एक साधारण समीकरण या समीकरणों की प्रणाली की जड़ें ढूंढना बन जाती है। और यहां नियमित स्कूली गणित आपकी मदद करेगा।

कर्ण के विपरीत भुजा का अनुपात कहलाता है तीव्र कोण का साइनससही त्रिकोण।

\sin \alpha = \frac(a)(c)

एक समकोण त्रिभुज के न्यून कोण की कोज्या

निकटवर्ती पैर का कर्ण से अनुपात कहलाता है एक न्यून कोण की कोज्यासही त्रिकोण।

\cos \alpha = \frac(b)(c)

एक समकोण त्रिभुज के न्यूनकोण की स्पर्शरेखा

विपरीत भुजा का आसन्न भुजा से अनुपात कहलाता है एक न्यून कोण की स्पर्शरेखासही त्रिकोण।

tg \alpha = \frac(a)(b)

एक समकोण त्रिभुज के न्यून कोण का कोटैंजेंट

आसन्न भुजा का विपरीत भुजा से अनुपात कहलाता है एक न्यून कोण का कोटैंजेंटसही त्रिकोण।

सीटीजी \alpha = \frac(b)(a)

एक मनमाने कोण की ज्या

इकाई वृत्त पर एक बिंदु की कोटि, जिससे कोण \alpha संगत होता है, कहलाती है एक मनमाने कोण की ज्यारोटेशन \alpha .

\sin \alpha=y

एक मनमाना कोण की कोज्या

इकाई वृत्त पर एक बिंदु का भुज जिससे कोण \alpha संगत होता है, कहलाता है एक मनमाना कोण की कोज्यारोटेशन \alpha .

\cos \alpha=x

एक मनमाना कोण की स्पर्श रेखा

किसी मनमाने घूर्णन कोण \alpha की ज्या और उसकी कोज्या का अनुपात कहलाता है एक मनमाना कोण की स्पर्शरेखारोटेशन \alpha .

tan \alpha = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

एक मनमाना कोण का कोटैंजेंट

किसी मनमाने घूर्णन कोण \alpha की कोज्या और उसकी ज्या का अनुपात कहलाता है एक मनमाना कोण का कोटैंजेंटरोटेशन \alpha .

सीटीजी\अल्फा =x_(ए)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

एक मनमाना कोण खोजने का एक उदाहरण

यदि \alpha कोई कोण AOM है, जहाँ M इकाई वृत्त पर एक बिंदु है, तो

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

उदाहरण के लिए, यदि \कोण AOM = -\frac(\pi)(4), तो: बिंदु M की कोटि बराबर है -\frac(\sqrt(2))(2), भुज बराबर है \frac(\sqrt(2))(2)और यही कारण है

\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);

टीजी;

सीटीजी \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-1.

कोटैंजेंटों की स्पर्शज्याओं की कोज्याओं के मानों की तालिका

मुख्य बार-बार आने वाले कोणों के मान तालिका में दिए गए हैं:

	0^(\circ) (0)	30^(\circ)\left(\frac(\pi)(6)\right)	45^(\circ)\left(\frac(\pi)(4)\right)	60^(\circ)\left(\frac(\pi)(3)\right)	90^(\circ)\left(\frac(\pi)(2)\right)	180^(\circ)\left(\pi\right)	270^(\circ)\left(\frac(3\pi)(2)\right)	360^(\circ)\left(2\pi\right)
\पाप\अल्फ़ा	0	\frac12	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac(\sqrt 3)(2)	1	0	−1	0
\cos\अल्फ़ा	1	\frac(\sqrt 3)(2)	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac12	0	−1	0	1
टीजी\अल्फा	0	\frac(\sqrt 3)(3)	1	\sqrt3	—	0	—	0
सीटीजी\अल्फा	—	\sqrt3	1	\frac(\sqrt 3)(3)	0	—	0	—

शिक्षकों का मानना है कि हर छात्र को गणना करने में सक्षम होना चाहिए, जानिए त्रिकोणमितीय सूत्र, लेकिन हर शिक्षक यह नहीं बताता कि साइन और कोसाइन क्या हैं। इनका क्या अर्थ है, इनका प्रयोग कहां होता है? हम त्रिभुजों के बारे में क्यों बात कर रहे हैं, लेकिन पाठ्यपुस्तक एक वृत्त दिखाती है? आइए सभी तथ्यों को एक साथ जोड़ने का प्रयास करें।

स्कूल के विषय

त्रिकोणमिति का अध्ययन आमतौर पर कक्षा 7-8 में शुरू होता है हाई स्कूल. इस समय, छात्रों को समझाया जाता है कि साइन और कोसाइन क्या हैं और इन कार्यों का उपयोग करके ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए कहा जाता है। बाद में, अधिक जटिल सूत्र और अभिव्यक्तियाँ सामने आईं जिन्हें बीजगणितीय रूप से बदलने की आवश्यकता है (दोहरे और आधे कोण सूत्र, शक्ति कार्य), त्रिकोणमितीय वृत्त के साथ कार्य किया जाता है।

हालाँकि, शिक्षक हमेशा प्रयुक्त अवधारणाओं के अर्थ और सूत्रों की प्रयोज्यता को स्पष्ट रूप से समझाने में सक्षम नहीं होते हैं। इसलिए, छात्र को अक्सर इस विषय में बात समझ में नहीं आती है, और याद की गई जानकारी जल्दी ही भूल जाती है। हालाँकि, एक बार जब आप एक हाई स्कूल के छात्र को समझाते हैं, उदाहरण के लिए, एक फ़ंक्शन और दोलन गति के बीच संबंध, तो तार्किक संबंध कई वर्षों तक याद रखा जाएगा, और विषय की बेकारता के बारे में चुटकुले अतीत की बात बन जाएंगे।

प्रयोग

जिज्ञासा के लिए, आइए भौतिकी की विभिन्न शाखाओं पर नज़र डालें। क्या आप प्रक्षेप्य की सीमा निर्धारित करना चाहते हैं? या आप किसी वस्तु और किसी निश्चित सतह के बीच घर्षण बल की गणना कर रहे हैं? पेंडुलम को घुमाना, कांच से गुजरने वाली किरणों को देखना, प्रेरण की गणना करना? त्रिकोणमितीय अवधारणाएँ लगभग किसी भी सूत्र में दिखाई देती हैं। तो साइन और कोसाइन क्या हैं?

परिभाषाएं

किसी कोण की ज्या विपरीत भुजा और कर्ण का अनुपात है, कोज्या उसी कर्ण की आसन्न भुजा का अनुपात है। यहां बिल्कुल भी कुछ भी जटिल नहीं है। शायद छात्र आमतौर पर त्रिकोणमिति तालिका पर देखे गए मानों से भ्रमित होते हैं क्योंकि इसमें वर्गमूल शामिल होते हैं। हाँ, उनसे दशमलव प्राप्त करना बहुत सुविधाजनक नहीं है, लेकिन किसने कहा कि गणित में सभी संख्याएँ समान होनी चाहिए?

वास्तव में, आप त्रिकोणमिति समस्या पुस्तकों में एक अजीब संकेत पा सकते हैं: यहां अधिकांश उत्तर सम और अंदर हैं सबसे खराब मामलादो या तीन की जड़ शामिल करें. निष्कर्ष सरल है: यदि आपका उत्तर "बहु-कहानी" अंश निकला, तो गणना या तर्क में त्रुटियों के लिए समाधान की दोबारा जांच करें। और सबसे अधिक संभावना है कि आप उन्हें ढूंढ लेंगे।

क्या याद रखना है

किसी भी विज्ञान की तरह, त्रिकोणमिति में डेटा होता है जिसे सीखने की आवश्यकता होती है।

सबसे पहले, आपको याद रखना चाहिए संख्यात्मक मानज्याओं के लिए, एक समकोण त्रिभुज की कोज्याएँ 0 और 90, साथ ही 30, 45 और 60 डिग्री। ये संकेतक स्कूल की दस में से नौ समस्याओं में पाए जाते हैं। पाठ्यपुस्तक में इन मूल्यों को देखने से, आपका बहुत सारा समय बर्बाद हो जाएगा, और परीक्षण या परीक्षा के दौरान उन्हें देखने के लिए कहीं नहीं होगा।

यह याद रखना चाहिए कि दोनों कार्यों का मान एक से अधिक नहीं हो सकता। यदि आपकी गणना में कहीं भी आपको 0-1 की सीमा से बाहर का मान मिलता है, तो रुकें और समस्या का पुनः प्रयास करें।

ज्या और कोज्या के वर्गों का योग एक के बराबर होता है। यदि आपको पहले से ही एक मान मिल गया है, तो शेष को खोजने के लिए इस सूत्र का उपयोग करें।

प्रमेयों

बुनियादी त्रिकोणमिति में दो बुनियादी प्रमेय हैं: साइन और कोसाइन।

पहले में कहा गया है कि त्रिभुज की प्रत्येक भुजा का विपरीत कोण की ज्या से अनुपात समान होता है। दूसरा यह है कि किसी भी भुजा का वर्ग शेष दो भुजाओं के वर्गों को जोड़कर और उनके बीच स्थित कोण की कोज्या से गुणा करके उनके दोहरे गुणनफल को घटाकर प्राप्त किया जा सकता है।

इस प्रकार, यदि हम कोसाइन प्रमेय में 90 डिग्री के कोण का मान प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें पाइथागोरस प्रमेय मिलता है। अब, यदि आपको किसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करने की आवश्यकता है जो एक समकोण त्रिभुज नहीं है, तो आपको अब चिंता करने की ज़रूरत नहीं है - चर्चा किए गए दो प्रमेय समस्या के समाधान को काफी सरल बना देंगे।

लक्ष्य और उद्देश्य

त्रिकोणमिति सीखना बहुत आसान हो जाएगा जब आपको एक साधारण तथ्य का एहसास होगा: आपके द्वारा किए जाने वाले सभी कार्यों का उद्देश्य केवल एक लक्ष्य प्राप्त करना है। यदि आप इसके बारे में न्यूनतम जानकारी जानते हैं तो किसी त्रिभुज का कोई भी पैरामीटर पाया जा सकता है - यह एक कोण का मान और दो भुजाओं की लंबाई या, उदाहरण के लिए, तीन भुजाओं का मान हो सकता है।

किसी भी कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्शज्या ज्ञात करने के लिए ये आंकड़े पर्याप्त हैं और इनकी सहायता से आप आकृति के क्षेत्रफल की गणना आसानी से कर सकते हैं। लगभग हमेशा, उत्तर के लिए उल्लिखित मानों में से एक की आवश्यकता होती है, और उन्हें समान सूत्रों का उपयोग करके पाया जा सकता है।

त्रिकोणमिति सीखने में विसंगतियाँ

एक भ्रमित करने वाला प्रश्न जिससे छात्र बचना पसंद करते हैं वह है त्रिकोणमिति में विभिन्न अवधारणाओं के बीच संबंध की खोज करना। ऐसा प्रतीत होता है कि त्रिभुजों का उपयोग कोणों की ज्याओं और कोज्याओं का अध्ययन करने के लिए किया जाता है, लेकिन किसी कारण से प्रतीक अक्सर एक वृत्त वाली आकृति में पाए जाते हैं। इसके अलावा, एक पूरी तरह से समझ से बाहर तरंग जैसा ग्राफ है जिसे साइन तरंग कहा जाता है, जिसका किसी वृत्त या त्रिकोण से कोई बाहरी समानता नहीं है।

इसके अलावा, कोणों को या तो डिग्री या रेडियन में मापा जाता है, और पाई संख्या, जिसे केवल 3.14 (बिना इकाइयों के) के रूप में लिखा जाता है, किसी कारण से 180 डिग्री के अनुरूप सूत्रों में दिखाई देती है। यह सब कैसे जुड़ा है?

इकाइयों

पाई बिल्कुल 3.14 क्यों है? क्या आपको याद है इसका मतलब क्या है? यह अर्ध वृत्त पर एक चाप में फिट होने वाली त्रिज्याओं की संख्या है। यदि वृत्त का व्यास 2 सेंटीमीटर है, तो परिधि 3.14 * 2, या 6.28 होगी।

दूसरा बिंदु: आपने "रेडियन" और "रेडियस" शब्दों के बीच समानता देखी होगी। तथ्य यह है कि एक रेडियन संख्यात्मक रूप से वृत्त के केंद्र से एक त्रिज्या लंबे चाप पर लिए गए कोण के बराबर होता है।

अब हम अर्जित ज्ञान को जोड़ेंगे और समझेंगे कि त्रिकोणमिति में निर्देशांक अक्ष के शीर्ष पर "आधे में पाई" और बाईं ओर "पाई" क्यों लिखा जाता है। यह रेडियन में मापा गया एक कोणीय मान है, क्योंकि एक अर्धवृत्त 180 डिग्री या 3.14 रेडियन होता है। और जहां डिग्री हैं, वहां साइन और कोसाइन हैं। इससे त्रिभुज बनाना आसान है वांछित बिंदु, खंडों को केंद्र की ओर और समन्वय अक्ष पर रखना।

आइए भविष्य पर नजर डालें

स्कूल में पढ़ी जाने वाली त्रिकोणमिति, एक रेक्टिलिनियर समन्वय प्रणाली से संबंधित है, जहां, चाहे यह कितना भी अजीब क्यों न लगे, एक सीधी रेखा एक सीधी रेखा होती है।

लेकिन अंतरिक्ष के साथ काम करने के और भी जटिल तरीके हैं: यहां त्रिभुज के कोणों का योग 180 डिग्री से अधिक होगा, और हमारे विचार में सीधी रेखा एक वास्तविक चाप की तरह दिखेगी।

आइए शब्दों से कार्य की ओर चलें! एक सेब लीजिए. चाकू से तीन कट लगाएं ताकि ऊपर से देखने पर आपको एक त्रिकोण मिले। सेब के परिणामी टुकड़े को बाहर निकालें और "पसलियों" को देखें जहां छिलका समाप्त होता है। वे बिलकुल भी सीधे नहीं हैं. आपके हाथ में मौजूद फल को परंपरागत रूप से गोल कहा जा सकता है, लेकिन अब कल्पना करें कि सूत्र कितने जटिल होंगे जिनकी सहायता से आप कटे हुए टुकड़े का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं। लेकिन कुछ विशेषज्ञ हर दिन ऐसी समस्याओं का समाधान करते हैं।

जीवन में त्रिकोणमितीय कार्य

क्या आपने देखा है कि हमारे ग्रह की सतह पर बिंदु ए से बिंदु बी तक हवाई जहाज के लिए सबसे छोटे मार्ग में एक स्पष्ट चाप आकार होता है? कारण सरल है: पृथ्वी गोलाकार है, जिसका अर्थ है कि आप त्रिभुजों का उपयोग करके अधिक गणना नहीं कर सकते - आपको अधिक जटिल सूत्रों का उपयोग करना होगा।

आप अंतरिक्ष से संबंधित किसी भी प्रश्न में न्यून कोण की ज्या/कोज्या के बिना काम नहीं चला सकते। यह दिलचस्प है कि बहुत सारे कारक यहां एक साथ आते हैं: वृत्तों, दीर्घवृत्तों और अधिक जटिल आकृतियों के विभिन्न प्रक्षेप पथों के साथ ग्रहों की गति की गणना करते समय त्रिकोणमितीय कार्यों की आवश्यकता होती है; रॉकेट, उपग्रह, शटल लॉन्च करने, अनुसंधान वाहनों को अनडॉक करने की प्रक्रिया; दूर के तारों का अवलोकन करना और आकाशगंगाओं का अध्ययन करना जिन तक मनुष्य निकट भविष्य में नहीं पहुंच पाएगा।

सामान्य तौर पर, त्रिकोणमिति जानने वाले व्यक्ति के लिए गतिविधि का क्षेत्र बहुत व्यापक है और जाहिर तौर पर समय के साथ इसका विस्तार ही होगा।

निष्कर्ष

आज हमने सीखा, या कम से कम दोहराया कि साइन और कोसाइन क्या हैं। ये ऐसी अवधारणाएँ हैं जिनसे आपको डरने की ज़रूरत नहीं है - बस उन्हें जानें और आप उनका अर्थ समझ जाएंगे। याद रखें कि त्रिकोणमिति कोई लक्ष्य नहीं है, बल्कि केवल एक उपकरण है जिसका उपयोग वास्तविक को संतुष्ट करने के लिए किया जा सकता है मानव की जरूरतें: घर बनाएं, यातायात सुरक्षा सुनिश्चित करें, यहां तक कि ब्रह्मांड की विशालता का पता लगाएं।

वास्तव में, विज्ञान स्वयं उबाऊ लग सकता है, लेकिन जैसे ही आप इसमें अपने लक्ष्यों और आत्म-प्राप्ति को प्राप्त करने का एक तरीका खोज लेंगे, सीखने की प्रक्रिया दिलचस्प हो जाएगी, और आपकी व्यक्तिगत प्रेरणा बढ़ जाएगी।

जैसा गृहकार्यगतिविधि के उस क्षेत्र में त्रिकोणमितीय कार्यों को लागू करने के तरीके खोजने का प्रयास करें जिसमें आपकी व्यक्तिगत रुचि हो। कल्पना करें, अपनी कल्पना का प्रयोग करें और तब आप संभवतः पाएंगे कि नया ज्ञान भविष्य में आपके लिए उपयोगी होगा। और इसके अलावा, गणित के लिए उपयोगी है सामान्य विकाससोच।

एक विज्ञान के रूप में त्रिकोणमिति की उत्पत्ति प्राचीन पूर्व में हुई थी। पहला त्रिकोणमितीय अनुपात खगोलविदों द्वारा सितारों द्वारा सटीक कैलेंडर और अभिविन्यास बनाने के लिए प्राप्त किया गया था। ये गणनाएँ गोलाकार त्रिकोणमिति से संबंधित हैं, जबकि स्कूल पाठ्यक्रम में वे एक समतल त्रिभुज की भुजाओं और कोणों के अनुपात का अध्ययन करते हैं।

त्रिकोणमिति गणित की एक शाखा है जो त्रिकोणमितीय कार्यों के गुणों और त्रिभुजों की भुजाओं और कोणों के बीच संबंधों से संबंधित है।

पहली सहस्राब्दी ईस्वी में संस्कृति और विज्ञान के उत्कर्ष के दौरान, ज्ञान का प्रसार हुआ प्राचीन पूर्वग्रीस में। लेकिन त्रिकोणमिति की मुख्य खोजें अरब खलीफा के लोगों की योग्यता हैं। विशेष रूप से, तुर्कमेन वैज्ञानिक अल-मरज़वी ने स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट जैसे कार्यों की शुरुआत की, और साइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के लिए मूल्यों की पहली तालिकाएँ संकलित कीं। साइन और कोसाइन की अवधारणाएँ भारतीय वैज्ञानिकों द्वारा प्रस्तुत की गईं। यूक्लिड, आर्किमिडीज़ और एराटोस्थनीज जैसी प्राचीन काल की महान हस्तियों के कार्यों में त्रिकोणमिति पर बहुत ध्यान दिया गया।

त्रिकोणमिति की मूल मात्राएँ

एक संख्यात्मक तर्क के मूल त्रिकोणमितीय कार्य साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट हैं। उनमें से प्रत्येक का अपना ग्राफ है: साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट।

इन मात्राओं के मानों की गणना के सूत्र पाइथागोरस प्रमेय पर आधारित हैं। स्कूली बच्चों को यह सूत्रीकरण बेहतर ज्ञात है: "पायथागॉरियन पैंट, सभी दिशाओं में समान," क्योंकि प्रमाण एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के उदाहरण का उपयोग करके दिया गया है।

साइन, कोसाइन और अन्य रिश्ते किसी भी समकोण त्रिभुज के न्यून कोण और भुजाओं के बीच संबंध स्थापित करते हैं। आइए हम कोण A के लिए इन मात्राओं की गणना के लिए सूत्र दें और त्रिकोणमितीय कार्यों के बीच संबंधों का पता लगाएं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, tg और ctg व्युत्क्रम फलन हैं। यदि हम पैर ए को पाप ए और कर्ण सी के उत्पाद के रूप में कल्पना करते हैं, और पैर बी को कॉस ए * सी के रूप में कल्पना करते हैं, तो हमें स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के लिए निम्नलिखित सूत्र प्राप्त होते हैं:

त्रिकोणमितीय वृत्त

ग्राफ़िक रूप से, उल्लिखित मात्राओं के बीच संबंध को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

परिधि, में इस मामले में, कोण α के सभी संभावित मानों का प्रतिनिधित्व करता है - 0° से 360° तक। जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, प्रत्येक फ़ंक्शन एक नकारात्मक या लेता है सकारात्मक मूल्यकोण के आकार पर निर्भर करता है. उदाहरण के लिए, यदि α वृत्त की पहली और दूसरी तिमाही से संबंधित है, यानी यह 0° से 180° की सीमा में है, तो पाप α में "+" चिह्न होगा। α के लिए 180° से 360° (III और IV तिमाही) तक, पाप α केवल एक नकारात्मक मान हो सकता है।

आइए विशिष्ट कोणों के लिए त्रिकोणमितीय तालिकाएँ बनाने का प्रयास करें और मात्राओं का अर्थ जानें।

30°, 45°, 60°, 90°, 180° इत्यादि के बराबर α के मान विशेष मामले कहलाते हैं। उनके लिए त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की गणना की जाती है और विशेष तालिकाओं के रूप में प्रस्तुत किया जाता है।

इन कोणों को यादृच्छिक रूप से नहीं चुना गया था। तालिकाओं में पदनाम π रेडियन के लिए है। रेड वह कोण है जिस पर किसी वृत्त के चाप की लंबाई उसकी त्रिज्या से मेल खाती है। यह मान एक सार्वभौमिक निर्भरता स्थापित करने के लिए पेश किया गया था, जब रेडियन में गणना की जाती है, तो सेमी में त्रिज्या की वास्तविक लंबाई कोई मायने नहीं रखती है।

त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए तालिकाओं में कोण रेडियन मानों के अनुरूप होते हैं:

इसलिए, यह अनुमान लगाना कठिन नहीं है कि 2π है पूर्ण वृत्तया 360°.

त्रिकोणमितीय फलनों के गुण: ज्या और कोज्या

साइन और कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मूल गुणों पर विचार करने और तुलना करने के लिए, उनके कार्यों को चित्रित करना आवश्यक है। इसे द्वि-आयामी समन्वय प्रणाली में स्थित वक्र के रूप में किया जा सकता है।

विचार करना तुलना तालिकासाइन और कोसाइन के गुण:

साइन लहर	कोज्या
y = सिनक्स	y = क्योंकि x
ओडीजेड [-1; 1]	ओडीजेड [-1; 1]
पाप x = 0, x = πk के लिए, जहाँ k ϵ Z	क्योंकि x = 0, x = π/2 + πk के लिए, जहां k ϵ Z
पाप x = 1, x = π/2 + 2πk के लिए, जहाँ k ϵ Z	cos x = 1, x = 2πk पर, जहां k ϵ Z
पाप x = - 1, x = 3π/2 + 2πk पर, जहाँ k ϵ Z	cos x = - 1, x = π + 2πk के लिए, जहां k ϵ Z
पाप (-x) = - पाप x, अर्थात फलन विषम है	cos (-x) = cos x, अर्थात फलन सम है
	कार्य आवधिक है, सबसे छोटी अवधि- 2π
पाप x › 0, x के साथ पहली और दूसरी तिमाही से संबंधित या 0° से 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, जिसमें x I और IV क्वार्टर से संबंधित है या 270° से 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
पाप x ‹ 0, x के साथ तीसरी और चौथी तिमाही से संबंधित या 180° से 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, x के साथ दूसरी और तीसरी तिमाही से संबंधित या 90° से 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
अंतराल में वृद्धि [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	अंतराल पर बढ़ता है [-π + 2πk, 2πk]
अंतराल पर घटती है [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	अंतराल पर घटता जाता है
व्युत्पन्न (sin x)' = cos x	व्युत्पन्न (cos x)' = - पाप x

यह निर्धारित करना कि कोई फ़ंक्शन सम है या नहीं, बहुत सरल है। त्रिकोणमितीय मात्राओं के संकेतों के साथ एक त्रिकोणमितीय वृत्त की कल्पना करना और ओएक्स अक्ष के सापेक्ष ग्राफ को मानसिक रूप से "गुना" करना पर्याप्त है। यदि चिह्न मेल खाते हैं, तो फलन सम है, अन्यथा विषम है।

रेडियन का परिचय और साइन और कोसाइन तरंगों के मूल गुणों की सूची हमें निम्नलिखित पैटर्न प्रस्तुत करने की अनुमति देती है:

यह सत्यापित करना बहुत आसान है कि सूत्र सही है। उदाहरण के लिए, x = π/2 के लिए, ज्या 1 है, जैसा कि x = 0 की कोज्या है। जाँच तालिकाओं से परामर्श करके या दिए गए मानों के लिए फ़ंक्शन वक्रों का पता लगाकर की जा सकती है।

टैंगेंजेंटोइड्स और कोटेंजेंटोइड्स के गुण

स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट कार्यों के ग्राफ़ साइन और कोसाइन फ़ंक्शन से काफी भिन्न होते हैं। मान tg और ctg एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं।

वाई = टैन एक्स.
स्पर्शरेखा x = π/2 + πk पर y के मानों की ओर प्रवृत्त होती है, लेकिन उन तक कभी नहीं पहुँचती है।
स्पर्शरेखा का सबसे छोटा धनात्मक आवर्त π है।
Tg (- x) = - tg x, अर्थात फलन विषम है।
Tg x = 0, x = πk के लिए।
कार्य बढ़ रहा है.
टीजी x › 0, x ϵ (πk, π/2 + πk) के लिए।
टीजी x ‹ 0, x ϵ के लिए (- π/2 + πk, πk)।
व्युत्पन्न (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x.

पाठ में नीचे कोटैंजेंटॉइड की ग्राफ़िक छवि पर विचार करें।

कोटैंजेंटोइड्स के मुख्य गुण:

वाई = खाट एक्स.
साइन और कोसाइन फ़ंक्शंस के विपरीत, स्पर्शरेखा में Y सभी वास्तविक संख्याओं के सेट के मान ले सकता है।
कोटैंजेंटॉइड x = πk पर y के मान की ओर प्रवृत्त होता है, लेकिन उन तक कभी नहीं पहुंचता है।
कोटैंगेंटोइड की सबसे छोटी सकारात्मक अवधि π है।
सीटीजी (- एक्स) = - सीटीजी एक्स, यानी फ़ंक्शन विषम है।
सीटीजी x = 0, x = π/2 + πk के लिए।
कार्य कम हो रहा है.
सीटीजी x › 0, x ϵ (πk, π/2 + πk) के लिए।
सीटीजी x ‹ 0, x ϵ (π/2 + πk, πk) के लिए।
व्युत्पन्न (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x सही

त्रिकोणमिति गणितीय विज्ञान की एक शाखा है जो त्रिकोणमितीय कार्यों और ज्यामिति में उनके उपयोग का अध्ययन करती है। त्रिकोणमिति का विकास प्राचीन ग्रीस में शुरू हुआ। मध्य युग के दौरान, मध्य पूर्व और भारत के वैज्ञानिकों ने इस विज्ञान के विकास में महत्वपूर्ण योगदान दिया।

यह लेख समर्पित है बुनियादी अवधारणाओंऔर त्रिकोणमिति की परिभाषाएँ। यह बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषाओं पर चर्चा करता है: साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट। इनका अर्थ ज्यामिति के सन्दर्भ में समझाया एवं दर्शाया गया है।

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प्रारंभ में, त्रिकोणमितीय फलनों की परिभाषाएँ, जिनका तर्क एक कोण है, एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के रूप में व्यक्त की गई थीं।

त्रिकोणमितीय फलनों की परिभाषाएँ

किसी कोण की ज्या (sin α) इस कोण के विपरीत पैर और कर्ण का अनुपात है।

कोण की कोज्या (cos α) आसन्न पैर और कर्ण का अनुपात है।

कोण स्पर्शरेखा (टी जी α) - विपरीत पक्ष का आसन्न पक्ष से अनुपात।

कोण कोटैंजेंट (सी टी जी α) - आसन्न पक्ष का विपरीत पक्ष से अनुपात।

ये परिभाषाएँ समकोण त्रिभुज के न्यूनकोण के लिए दी गई हैं!

चलिए एक उदाहरण देते हैं.

समकोण C वाले त्रिभुज ABC में, कोण A की ज्या भुजा BC और कर्ण AB के अनुपात के बराबर है।

साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की परिभाषा आपको त्रिभुज की भुजाओं की ज्ञात लंबाई से इन कार्यों के मूल्यों की गणना करने की अनुमति देती है।

याद रखना महत्वपूर्ण है!

साइन और कोसाइन के मानों की सीमा -1 से 1 तक होती है। दूसरे शब्दों में, साइन और कोसाइन का मान -1 से 1 तक होता है। स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मानों की सीमा संपूर्ण संख्या रेखा होती है, अर्थात्, ये फ़ंक्शन कोई भी मान ले सकते हैं।

ऊपर दी गई परिभाषाएँ न्यून कोणों पर लागू होती हैं। त्रिकोणमिति में, एक घूर्णन कोण की अवधारणा पेश की जाती है, जिसका मान, एक न्यून कोण के विपरीत, 0 से 90 डिग्री तक सीमित नहीं होता है। डिग्री या रेडियन में घूर्णन कोण - ∞ से + ∞ तक किसी भी वास्तविक संख्या द्वारा व्यक्त किया जाता है .

इस संदर्भ में, हम मनमाने परिमाण के कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट को परिभाषित कर सकते हैं। आइए हम एक इकाई वृत्त की कल्पना करें जिसका केंद्र कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के मूल में है।

निर्देशांक (1, 0) के साथ प्रारंभिक बिंदु A एक निश्चित कोण α के माध्यम से इकाई वृत्त के केंद्र के चारों ओर घूमता है और बिंदु A 1 पर जाता है। परिभाषा बिंदु A 1 (x, y) के निर्देशांक के संदर्भ में दी गई है।

घूर्णन कोण की ज्या (पाप)।

घूर्णन कोण α की ज्या बिंदु A 1 (x, y) की कोटि है। पाप α = y

घूर्णन कोण का कोसाइन (cos)।

घूर्णन कोण α की कोज्या बिंदु A 1 (x, y) का भुज है। क्योंकि α = x

घूर्णन कोण की स्पर्शरेखा (टीजी)।

घूर्णन कोण α की स्पर्श रेखा बिंदु A 1 (x, y) की कोटि और इसके भुज का अनुपात है। टी जी α = वाई एक्स

घूर्णन कोण का कोटैंजेंट (सीटीजी)।

घूर्णन कोण α का कोटैंजेंट बिंदु A 1 (x, y) के भुज और उसकी कोटि का अनुपात है। सी टी जी α = x y

किसी भी घूर्णन कोण के लिए ज्या और कोज्या को परिभाषित किया गया है। यह तर्कसंगत है, क्योंकि घूर्णन के बाद किसी बिंदु का भुज और कोटि किसी भी कोण पर निर्धारित किया जा सकता है। स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के साथ स्थिति भिन्न है। स्पर्शरेखा अपरिभाषित होती है जब घूर्णन के बाद एक बिंदु शून्य भुज (0, 1) और (0, - 1) वाले बिंदु पर जाता है। ऐसे मामलों में, स्पर्शरेखा t g α = y x के लिए अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि इसमें शून्य से विभाजन होता है। कोटैंजेंट के साथ भी स्थिति ऐसी ही है। अंतर यह है कि कोटैंजेंट को उन मामलों में परिभाषित नहीं किया जाता है जहां किसी बिंदु की कोटि शून्य हो जाती है।

याद रखना महत्वपूर्ण है!

साइन और कोसाइन को किसी भी कोण α के लिए परिभाषित किया गया है।

स्पर्शरेखा को α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) को छोड़कर सभी कोणों के लिए परिभाषित किया गया है।

कोटैंजेंट को α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z) को छोड़कर सभी कोणों के लिए परिभाषित किया गया है।

निर्णय लेते समय व्यावहारिक उदाहरण"घूर्णन कोण की ज्या α" न कहें। शब्द "घूर्णन कोण" को हटा दिया गया है, जिसका अर्थ है कि संदर्भ से यह पहले से ही स्पष्ट है कि क्या चर्चा की जा रही है।

नंबर

किसी संख्या की ज्या, कोज्या, स्पर्शज्या और कोटैंजेन्ट की परिभाषा के बारे में क्या, न कि घूर्णन के कोण के बारे में?

किसी संख्या की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा, कोटैंजेंट

किसी संख्या की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट टीएक संख्या है जो क्रमशः साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के बराबर है टीरेडियन.

उदाहरण के लिए, संख्या 10 π की ज्या 10 π rad के घूर्णन कोण की ज्या के बराबर है।

किसी संख्या की ज्या, कोज्या, स्पर्शज्या और कोटैंजेन्ट निर्धारित करने का एक और तरीका है। आइए इस पर करीब से नज़र डालें।

कोई वास्तविक संख्या टीयूनिट सर्कल पर एक बिंदु आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के मूल में केंद्र से जुड़ा हुआ है। इस बिंदु के निर्देशांक के माध्यम से साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट निर्धारित किए जाते हैं।

वृत्त पर प्रारंभिक बिंदु निर्देशांक (1, 0) के साथ बिंदु A है।

सकारात्मक संख्या टी

ऋणात्मक संख्या टीउस बिंदु से मेल खाता है जिस पर प्रारंभिक बिंदु जाएगा यदि यह सर्कल के चारों ओर वामावर्त दिशा में घूमता है और पथ टी से गुजरता है।

अब जब एक संख्या और एक वृत्त पर एक बिंदु के बीच संबंध स्थापित हो गया है, तो हम साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की परिभाषा पर आगे बढ़ते हैं।

टी का साइन (पाप)।

किसी संख्या की ज्या टी- संख्या के अनुरूप इकाई वृत्त पर एक बिंदु का कोटि टी। पाप टी = वाई

टी का कोसाइन (कॉस)।

किसी संख्या की कोज्या टी- संख्या के अनुरूप इकाई वृत्त के बिंदु का भुज टी। क्योंकि t = x

टी की स्पर्शरेखा (टीजी)।

किसी संख्या की स्पर्शरेखा टी- संख्या के अनुरूप इकाई वृत्त पर एक बिंदु के भुज तक कोटि का अनुपात टी। टी जी टी = वाई एक्स = पाप टी क्योंकि टी

नवीनतम परिभाषाएँ इस पैराग्राफ की शुरुआत में दी गई परिभाषा के अनुरूप हैं और इसका खंडन नहीं करती हैं। संख्या के अनुरूप वृत्त पर बिंदु अंकित करें टी, उस बिंदु से मेल खाता है जिस पर एक कोण से मुड़ने के बाद प्रारंभिक बिंदु जाता है टीरेडियन.

कोणीय और संख्यात्मक तर्क के त्रिकोणमितीय कार्य

कोण α का प्रत्येक मान इस कोण की ज्या और कोज्या के एक निश्चित मान से मेल खाता है। ठीक उसी तरह जैसे α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) के अलावा अन्य सभी कोण एक निश्चित स्पर्शरेखा मान के अनुरूप होते हैं। जैसा कि ऊपर कहा गया है, कोटैंजेंट को α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z) को छोड़कर सभी α के लिए परिभाषित किया गया है।

हम कह सकते हैं कि पाप α, cos α, t g α, c t g α कोण अल्फा के कार्य हैं, या कोणीय तर्क के कार्य हैं।

इसी प्रकार, हम संख्यात्मक तर्क के कार्यों के रूप में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के बारे में बात कर सकते हैं। प्रत्येक वास्तविक संख्या टीकिसी संख्या की ज्या या कोज्या के एक निश्चित मान से मेल खाता है टी. π 2 + π · k, k ∈ Z के अलावा अन्य सभी संख्याएँ एक स्पर्शरेखा मान के अनुरूप हैं। इसी तरह, कोटैंजेंट को π · k, k ∈ Z को छोड़कर सभी संख्याओं के लिए परिभाषित किया गया है।

त्रिकोणमिति के बुनियादी कार्य

साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्य हैं।

यह आमतौर पर संदर्भ से स्पष्ट होता है कि हम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन (कोणीय तर्क या संख्यात्मक तर्क) के किस तर्क से निपट रहे हैं।

आइए शुरुआत में दी गई परिभाषाओं और अल्फा कोण पर वापस लौटें, जो 0 से 90 डिग्री तक की सीमा में है। साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट की त्रिकोणमितीय परिभाषाएँ पूरी तरह से सुसंगत हैं ज्यामितीय परिभाषाएँ, एक समकोण त्रिभुज के पक्षानुपात का उपयोग करके दिया गया है। चलिए दिखाते हैं.

आइए एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में एक केंद्र के साथ एक इकाई वृत्त लें। आइये इसे पलट दें प्रस्थान बिंदू A (1, 0) को 90 डिग्री तक का कोण बनाएं और परिणामी बिंदु A 1 (x, y) से भुज पर एक लंब बनाएं। प्राप्त में सही त्रिकोणकोण ए 1 ओ एच कोण के बराबरα मोड़ें, पैर O H की लंबाई बिंदु A 1 (x, y) के भुज के बराबर है। कोण के विपरीत पैर की लंबाई बिंदु A 1 (x, y) की कोटि के बराबर है, और कर्ण की लंबाई एक के बराबर है, क्योंकि यह इकाई वृत्त की त्रिज्या है।

ज्यामिति की परिभाषा के अनुसार, कोण α की ज्या विपरीत भुजा और कर्ण के अनुपात के बराबर होती है।

पाप α = ए 1 एच ओ ए 1 = वाई 1 = वाई

इसका मतलब यह है कि पहलू अनुपात के माध्यम से एक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की ज्या का निर्धारण करना घूर्णन कोण α की ज्या निर्धारित करने के बराबर है, जिसमें अल्फा 0 से 90 डिग्री की सीमा में होता है।

इसी प्रकार, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के लिए परिभाषाओं का पत्राचार दिखाया जा सकता है।

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