Kuinka ymmärtää miksi ";plus"? kohtaan ";miinus"; antaa ";miinus";? Toiminnot miinuksella. Miksi miinus kertaa miinus antaa plussan?

Ohjeet

Matemaattisia operaatioita on neljää tyyppiä: yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku. Siksi esimerkkejä on neljän tyyppisiä. Esimerkin negatiiviset luvut on korostettu, jotta matemaattinen toiminto ei sekoita. Esimerkiksi 6-(-7), 5+(-9), -4*(-3) tai 34:(-17).

Lisäys. Tämä toiminto voi näyttää tältä: 1) 3+(-6)=3-6=-3. Korvaustoiminto: ensin avataan sulut, "+"-merkki muutetaan päinvastaiseksi, sitten suuremmasta (moduuli) numerosta "6" vähennetään pienempi, "3", jonka jälkeen vastaukselle annetaan suurempi merkki, eli "-".
2) -3+6=3. Tämä voidaan kirjoittaa periaatteen mukaisesti ("6-3") tai periaatteella "vähennä pienempi suuresta ja anna vastaukselle suuremman merkki".
3) -3+(-6)=-3-6=-9. Avattaessa summaustoiminto korvataan vähennyksellä, sitten moduulit summataan ja tulokseen annetaan miinusmerkki.

Vähennys.1) 8-(-5)=8+5=13. Sulut avataan, toiminnan merkki käännetään ja saadaan esimerkki lisäyksestä.
2) -9-3=-12. Esimerkin elementit lisätään ja hankitaan yleinen merkki "-".
3) -10-(-5)=-10+5=-5. Sulkuja avattaessa merkki vaihtuu jälleen "+":ksi, jolloin pienempi luku vähennetään suuremmasta ja suuremman luvun merkki otetaan pois vastauksesta.

Kerto- ja jakolasku: Kerto- tai jakolaskua suoritettaessa etumerkki ei vaikuta itse toimintoon. Kun kerrotaan tai jaetaan lukuja vastauksella, annetaan miinusmerkki, jos numeroilla on samat merkit, tulos on aina plusmerkki 1) -4*9=-36; -6:2=-3.
2)6*(-5)=-30; 45:(-5)=-9.
3)-7*(-8)=56; -44:(-11)=4.

Lähteet:

pöytä haitoilla

Miten päättää esimerkkejä? Lapset kääntyvät usein vanhempiensa puoleen tällä kysymyksellä, jos läksyt on tehtävä kotona. Kuinka selittää lapselle oikein ratkaisu esimerkkeihin moninumeroisten lukujen lisäämisestä ja vähentämisestä? Yritetään selvittää tämä.

Tarvitset

1. Matematiikan oppikirja.
2. Paperi.
3. Kahva.

Ohjeet

Lue esimerkki. Tee tämä jakamalla jokainen moniarvo luokkiin. Numeron lopusta alkaen laske kolme numeroa kerrallaan ja laita piste (23.867.567). Muistakaamme, että kolme ensimmäistä numeroa luvun lopusta ovat yksiköitä, seuraavat kolme ovat luokkaa, sitten tulee miljoonia. Luimme luvun: kaksikymmentäkolme kahdeksansataa kuusikymmentäseitsemän tuhatta kuusikymmentäseitsemän.

Kirjoita esimerkki. Huomaa, että kunkin numeron yksiköt kirjoitetaan tiukasti toistensa alle: yksiköt yksiköiden alle, kymmenet kymmenien alle, sadat satojen alle jne.

Suorita yhteen- tai vähennyslasku. Aloita toiminnon suorittaminen yksiköillä. Kirjoita tulos sen kategorian alle, jolla suoritit toiminnon. Jos tulos on numero(), kirjoitamme yksiköt vastauksen tilalle ja lisäämme numeron yksikköihin kymmenien lukumäärän. Jos minkään luvun yksiköiden määrä minuulassa on pienempi kuin aliluvussa, otamme 10 yksikköä seuraavasta numerosta ja suoritamme toiminnon.

Lue vastaus.

Video aiheesta

Huomautus

Estä lastasi käyttämästä laskinta edes esimerkin ratkaisun tarkistamiseen. Yhteenlaskua testataan vähentämällä ja vähennyslaskua lisäämällä.

Hyödyllinen neuvo

Jos lapsi hallitsee hyvin kirjallisten laskutoimitusten tekniikat 1000: n sisällä, toimi sitten moninumeroisia lukuja, joka suoritetaan samalla tavalla, ei aiheuta vaikeuksia.
Kilpaile lapsellesi, kuinka monta esimerkkiä hän pystyy ratkaisemaan 10 minuutissa. Tällainen koulutus auttaa automatisoimaan laskentatekniikoita.

Kertominen on yksi neljästä matemaattisesta perusoperaatiosta, joka on monien muiden taustalla monimutkaiset toiminnot. Lisäksi kertolasku perustuu itse asiassa yhteenlaskutoimintoon: tämän tietämyksen avulla voit ratkaista minkä tahansa esimerkin oikein.

Kertolaskuoperaation olemuksen ymmärtämiseksi on otettava huomioon, että siihen liittyy kolme pääkomponenttia. Yhtä niistä kutsutaan ensimmäiseksi tekijäksi ja se on luku, joka on kertolaskuoperaation alainen. Tästä syystä sillä on toinen, hieman vähemmän yleinen nimi - "kertojattavissa". Kertolaskuoperaation toista komponenttia kutsutaan yleensä toiseksi tekijäksi: se edustaa lukua, jolla kertolasku kerrotaan. Molempia komponentteja kutsutaan siis kertojiksi, mikä korostaa niiden yhtäläisyyttä sekä sitä, että ne voidaan vaihtaa keskenään: kertolasku ei muutu. Lopuksi kertolaskuoperaation kolmatta komponenttia, joka johtuu sen tuloksesta, kutsutaan tuloksi.

Kertolaskuoperaation järjestys

Kertolaskuoperaation olemus perustuu yksinkertaisempaan aritmeettiseen operaatioon -. Itse asiassa kertolasku on ensimmäisen tekijän eli kertolaskujen summaus, useita kertoja, jotka vastaavat toista tekijää. Jos esimerkiksi haluat kertoa 8:lla 4:llä, sinun on lisättävä luku 8 4 kertaa, jolloin tuloksena on 32. Tämän menetelmän avulla sen lisäksi, että se antaa ymmärryksen kertolaskuoperaation olemuksesta, sitä voidaan käyttää saadun tuloksen tarkistamiseen. haluttua tuotetta laskettaessa. On syytä muistaa, että tarkastuksessa oletetaan välttämättä, että summaukseen liittyvät termit ovat identtisiä ja vastaavat ensimmäistä tekijää.

Kertolaskuesimerkkien ratkaiseminen

Näin ollen kertolaskutarpeeseen liittyvän ongelman ratkaisemiseksi voi riittää, että tarvittava määrä ensimmäisiä kertoimia lisätään tietyn määrän kertoja. Tämä menetelmä voi olla kätevä lähes kaikkien tähän toimintoon liittyvien laskelmien suorittamiseen. Samanaikaisesti matematiikassa on melko usein vakiolukuja, jotka sisältävät tavallisia yksinumeroisia kokonaislukuja. Niiden laskemisen helpottamiseksi luotiin ns. kertolasku, joka sisältää täydellinen lista positiivisten yksinumeroisten kokonaislukujen tulot eli luvut 1-9. Siten, kun olet oppinut , voit merkittävästi helpottaa kertolaskuesimerkkien ratkaisua tällaisten lukujen käyttöön perustuen. Monimutkaisempia vaihtoehtoja varten tämä matemaattinen operaatio on kuitenkin suoritettava itse.

Video aiheesta

Lähteet:

Kertomus vuonna 2019

Kertominen on yksi neljästä aritmeettisesta perusoperaatiosta, jota käytetään usein sekä koulussa että sisällä Jokapäiväinen elämä. Kuinka voit nopeasti kertoa kaksi numeroa?

Monimutkaisimpien matemaattisten laskelmien perustana ovat neljä aritmeettista perusoperaatiota: vähennys-, yhteen-, kerto- ja jakolasku. Lisäksi riippumattomuudestaan huolimatta nämä toiminnot osoittavat lähemmin tarkasteltuna olevan yhteydessä toisiinsa. Tällainen yhteys on olemassa esimerkiksi yhteen- ja kertolaskujen välillä.

Numeroiden kertolaskutoiminto

Kertolaskussa on kolme pääelementtiä. Ensimmäinen näistä, jota yleensä kutsutaan ensimmäiseksi kertoimeksi tai kertojaksi, on luku, joka on kertolaskuoperaation kohteena. Toinen, jota kutsutaan toiseksi tekijäksi, on luku, jolla ensimmäinen tekijä kerrotaan. Lopuksi suoritetun kertolaskuoperaation tulosta kutsutaan useimmiten tuloksi.

On muistettava, että kertolaskuoperaation olemus perustuu itse asiassa yhteenlaskemiseen: sen suorittamiseksi on tarpeen laskea yhteen tietty määrä ensimmäisiä kertoimia, ja tämän summan termien lukumäärän on oltava yhtä suuri kuin toinen. tekijä. Sen lisäksi, että lasketaan kyseisten kahden tekijän tulo, tätä algoritmia voidaan käyttää myös tuloksen tarkistamiseen.

Esimerkki kertolaskutehtävän ratkaisemisesta

Katsotaanpa ratkaisuja kertolaskutehtäviin. Oletetaan, että tehtävän ehtojen mukaan on tarpeen laskea kahden luvun tulo, joista ensimmäinen on 8 ja toinen on 4. Kertolaskutoiminnon määritelmän mukaan tämä tarkoittaa itse asiassa sitä, että täytyy lisätä numero 8 4 kertaa. Tulos on 32 - tämä on kyseessä olevien lukujen tulo, eli niiden kertolasku.

Lisäksi on muistettava, että kertolaskuoperaatioon pätee ns. kommutatiivinen laki, jonka mukaan tekijöiden paikan muuttaminen alkuperäisessä esimerkissä ei muuta sen tulosta. Voit siis lisätä numeron 4 8 kertaa, jolloin saadaan sama tuote - 32.

Kertotaulu

On selvää, että ratkaista tällä tavalla suuri määrä samantyyppisten esimerkkien piirtäminen on melko ikävä tehtävä. Tämän tehtävän helpottamiseksi keksittiin niin sanottu kertolasku. Itse asiassa se on luettelo positiivisten yksinumeroisten kokonaislukujen tuloista. Yksinkertaisesti sanottuna kertotaulukko on joukko tuloksia kertomisesta keskenään 1:stä 9:ään. Kun olet oppinut tämän taulukon, sinun ei enää tarvitse turvautua kertolaskuun joka kerta, kun sinun on ratkaistava esimerkki tällaisesta alkuluvut, mutta muista vain sen tulos.

Video aiheesta

Kuunnellessaan matematiikan opettajaa, useimmat oppilaat näkevät materiaalin aksioomana. Samanaikaisesti harvat yrittävät päästä sen pohjaan ja selvittää, miksi "miinus" "plus":lla antaa "miinus"-merkin, ja kun kerrotaan kaksi negatiivista lukua, saadaan positiivinen tulos.

Matematiikan lait

Useimmat aikuiset eivät pysty selittämään itselleen tai lapsilleen, miksi näin tapahtuu. He hallitsivat tämän materiaalin tiukasti koulussa, mutta eivät edes yrittäneet selvittää, mistä tällaiset säännöt tulivat. Mutta turhaan. Usein nykyajan lapset eivät ole niin herkkäuskoisia, että heidän on ymmärrettävä, miksi "plus" ja "miinus" antavat "miinuksen". Ja joskus pojat kysyvät tarkoituksella hankalia kysymyksiä nauttiakseen hetkestä, jolloin aikuiset eivät voi antaa ymmärrettävää vastausta. Ja se on todella katastrofi, jos nuori opettaja joutuu vaikeuksiin...

Muuten on huomattava, että edellä mainittu sääntö pätee sekä kerto- että jakolaskuihin. Negatiivisen ja positiivisen luvun tulo antaa vain "-" -merkillä varustetun numeron, niin tulos on positiivinen numerot on negatiivinen, osamäärässä on myös "-"-merkki ".

Tämän matematiikan lain oikeellisuuden selittämiseksi on tarpeen muotoilla renkaan aksioomat. Mutta ensin sinun on ymmärrettävä, mikä se on. Matematiikassa rengasta kutsutaan yleensä joukoksi, jossa on mukana kaksi operaatiota kahdella elementillä. Mutta on parempi ymmärtää tämä esimerkin avulla.

Renkaan aksiooma

Matemaattisia lakeja on useita.

Ensimmäinen niistä on kommutatiivinen, sen mukaan C + V = V + C.
Toista kutsutaan assosiatiiviseksi (V + C) + D = V + (C + D).

Myös kertolasku (V x C) x D = V x (C x D) noudattaa niitä.

Kukaan ei ole kumonnut sääntöjä, joiden mukaan sulut avataan (V + C) x D = V x D + C x D, on myös totta, että C x (V + D) = C x V + C x D.

Lisäksi on todettu, että renkaaseen voidaan lisätä erityinen, additioneutraali elementti, jota käytettynä pitää paikkansa: C + 0 = C. Lisäksi jokaiselle C:lle on vastakkainen elementti, joka voi merkitään (-C). Tässä tapauksessa C + (-C) = 0.

Aksioomien johtaminen negatiivisille luvuille

Hyväksyttyään yllä olevat lausumat, voimme vastata kysymykseen: "Plus ja miinus antavat minkä merkin?" Kun tiedetään negatiivisten lukujen kertomista koskeva aksiooma, on tarpeen varmistaa, että todellakin (-C) x V = -(C x V). Ja myös, että seuraava yhtälö on totta: (-(-C)) = C.

Tätä varten sinun on ensin todistettava, että jokaisella elementillä on vain yksi vastakkainen "veli". Harkitse seuraavaa esimerkkiä todisteesta. Yritetään kuvitella, että C:lle kaksi lukua ovat vastakkaisia - V ja D. Tästä seuraa, että C + V = 0 ja C + D = 0, eli C + V = 0 = C + D. kommutaatiosta ja luvun 0 ominaisuuksista voidaan tarkastella kaikkien kolmen luvun summaa: C, V ja D. Yritetään selvittää V:n arvo. On loogista, että V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D, koska C + D:n arvo, kuten yllä oletettiin, on yhtä suuri kuin 0. Tämä tarkoittaa V = V + C + D.

D:n arvo johdetaan samalla tavalla: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Tämän perusteella käy selväksi, että V = D.

Ymmärtääksesi, miksi "plus" - "miinus" antaa silti "miinus", sinun on ymmärrettävä seuraava. Joten elementille (-C) C ja (-(-C)) ovat vastakkaisia, eli ne ovat keskenään yhtä suuria.

Silloin on selvää, että 0 x V = (C + (-C)) x V = C x V + (-C) x V. Tästä seuraa, että C x V on (-)C x V:n vastakohta, mikä tarkoittaa (- C) x V = -(C x V).

Täydellisen matemaattisen tarkkuuden saavuttamiseksi on myös tarpeen varmistaa, että 0 x V = 0 mille tahansa elementille. Jos noudatat logiikkaa, niin 0 x V = (0 + 0) x V = 0 x V + 0 x V. Tämä tarkoittaa, että tulon 0 x V lisääminen ei muuta määritettyä määrää millään tavalla. Loppujen lopuksi tämä tuote on nolla.

Kun tiedät kaikki nämä aksioomit, voit päätellä paitsi kuinka paljon "plus" ja "miinus" antaa, vaan myös mitä tapahtuu, kun kerrot negatiiviset luvut.

Kahden luvun kertominen ja jakaminen "-"-merkillä

Jos et mene syvälle matemaattisiin vivahteisiin, voit kokeilla enemmän yksinkertaisella tavalla selitä toimintasäännöt negatiivisia lukuja.

Oletetaan, että C - (-V) = D, tämän perusteella C = D + (-V), eli C = D - V. Siirretään V ja saadaan C + V = D. C + V = C- (-V). Tämä esimerkki selittää, miksi lausekkeessa, jossa on kaksi "miinusta" peräkkäin, mainitut merkit tulisi muuttaa "plussiksi". Katsotaan nyt kertolaskua.

(-C) x (-V) = D, voit lisätä ja vähentää lausekkeeseen kaksi identtistä tuotetta, jotka eivät muuta sen arvoa: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) = D.

Muistamalla sulkeiden kanssa työskentelyn säännöt, saamme:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;

3) (-C) x 0 + C x V = D;

Tästä seuraa, että C x V = (-C) x (-V).

Samoin voidaan todistaa, että jakamalla kaksi negatiivista lukua saadaan positiivinen luku.

Yleiset matemaattiset säännöt

Tämä selitys ei tietenkään sovellu alakoululaisille, jotka ovat juuri alkaneet oppia abstrakteja negatiivisia lukuja. Heidän on parempi selittää näkyvissä esineissä ja manipuloida termiä tutun lasin takana. Siellä sijaitsevat esimerkiksi keksityt, mutta olemattomat lelut. Ne voidaan näyttää "-"-merkillä. Kahden peiliobjektin kertominen siirtää ne toiseen maailmaan, joka rinnastetaan todelliseen maailmaan, eli seurauksena meillä on positiivisia lukuja. Mutta abstraktin negatiivisen luvun kertominen positiivisella antaa vain tuloksen, joka on tuttu kaikille. Loppujen lopuksi "plus" kerrottuna "miinuksella" antaa "miinuksen". Totta, lapset eivät todellakaan yritä ymmärtää kaikkia matemaattisia vivahteita.

Vaikka totta puhuen, monille ihmisille, jopa kanssa korkeampi koulutus Monet säännöt jäävät mysteeriksi. Kaikki pitävät itsestäänselvyytenä, mitä opettajat heille opettavat, ilman vaikeuksia sukeltaa kaikkiin monimutkaisiin matematiikkaan. "Miinus" tarkoittaa "miinus" antaa "plus" - kaikki poikkeuksetta tietävät tämän. Tämä pätee sekä kokonaislukuihin että murtolukuja.

Huomio, vain TÄNÄÄN!

Lajittelumenetelmät ohjelmoinnissa: kuplalajittelu

1) Miksi miinus yksi kertaa miinus yksi on plus yksi?
2) Miksi miinus yksi kertaa plus yksi on yhtä kuin miinus yksi?

"Viholliseni vihollinen on ystäväni."

Helpoin vastaus on: "Koska nämä ovat negatiivisten lukujen käytön säännöt." Säännöt, jotka opimme koulussa ja joita sovelletaan koko elämämme ajan. Oppikirjoissa ei kuitenkaan selitetä, miksi säännöt ovat sellaisia kuin ne ovat. Yritämme ensin ymmärtää tätä aritmetiikan kehityshistorian perusteella, ja sitten vastaamme tähän kysymykseen modernin matematiikan näkökulmasta.

Kauan sitten ihmiset tiesivät vain luonnollisia lukuja: 1, 2, 3, ... Niitä käytettiin laskemaan välineitä, ryöstöä, vihollisia jne. Mutta itse luvut ovat melko hyödyttömiä - sinun täytyy osata käsitellä niitä. Yhteenlasku on selkeää ja ymmärrettävää, ja lisäksi kahden luonnollisen luvun summa on myös luonnollinen luku (matemaatikko sanoisi, että luonnollisten lukujen joukko on suljettu yhteenlaskuoperaatiossa). Kertominen on olennaisesti sama kuin yhteenlasku, jos puhumme luonnollisista luvuista. Elämässä teemme usein näihin kahteen operaatioon liittyviä toimia (esimerkiksi ostoksia tehdessämme lisäämme ja kerromme), ja on outoa ajatella, että esi-isämme kohtasivat niitä harvemmin - ihmiskunta hallitsi yhteen- ja kertolaskua hyvin pitkään. sitten. Usein joudut jakamaan joitain määriä toisilla, mutta tässä tulosta ei aina ilmaista luonnollisena lukuna - näin murtoluvut ilmestyivät.

Ilman vähennyslaskua ei tietenkään voi tehdä. Mutta käytännössä vähennämme yleensä pienemmän luvun suuresta, eikä negatiivisia lukuja tarvitse käyttää. (Jos minulla on 5 karkkia ja annan siskolleni 3, minulla on 5 - 3 = 2 karkkia jäljellä, mutta en voi antaa hänelle 7 karkkia, vaikka haluaisinkin.) Tämä voi selittää, miksi ihmiset eivät ole käyttäneet negatiivisia lukuja pitkä aika.

Intialaisissa asiakirjoissa on esiintynyt negatiivisia lukuja 700-luvulta lähtien; Kiinalaiset alkoivat ilmeisesti käyttää niitä vähän aikaisemmin. Niitä käytettiin velkojen selvittämiseen tai välilaskuissa yhtälöiden ratkaisun yksinkertaistamiseksi - se oli vain työkalu myönteisen vastauksen saamiseksi. Se, että negatiiviset luvut, toisin kuin positiiviset luvut, eivät ilmaise minkään kokonaisuuden läsnäoloa, aiheutti voimakasta epäluottamusta. Ihmiset kirjaimellisesti välttelivät negatiivisia lukuja: jos ongelmaan oli kielteinen vastaus, he uskoivat, ettei vastausta ollut ollenkaan. Tämä epäluottamus jatkui hyvin pitkään, ja jopa Descartes - yksi modernin matematiikan "perustajista" - kutsui niitä "vääriksi" (1600-luvulla!).

Harkitse esimerkiksi yhtälöä 7x - 17 = 2x - 2. Se voidaan ratkaista näin: siirrä termit tuntemattomilla vasemmalle ja loput oikealle, niin se selviää 7x - 2x = 17 - 2 , 5x = 15 , x = 3. Tällä ratkaisulla emme edes kohdanneet negatiivisia lukuja.

Mutta se oli mahdollista vahingossa tehdä toisin: siirrä termit tuntemattomalla oikealle puolelle ja saat 2-17 = 2x - 7x, (–15) = (–5) x. Tuntemattoman löytämiseksi sinun on jaettava yksi negatiivinen luku toisella: x = (–15)/(–5). Mutta oikea vastaus tiedetään, ja se on vielä pääteltävä (–15)/(–5) = 3 .

Mitä tämä yksinkertainen esimerkki osoittaa? Ensinnäkin, logiikka, joka määritti negatiivisten lukujen käytön säännöt, käy selväksi: näiden toimien tulosten tulee vastata toisella tavalla saatuja vastauksia ilman negatiivisia lukuja. Toiseksi, sallimalla negatiivisten lukujen käytön, pääsemme eroon tylsästä (jos yhtälö osoittautuu monimutkaisemmaksi, suuri numero termit) etsivät ratkaisupolkua, jossa kaikki toiminnot suoritetaan vain luonnolliset luvut. Lisäksi emme ehkä enää joka kerta ajattele muunnettujen suureiden merkityksellisyyttä - ja tämä on jo askel kohti matematiikan muuttamista abstraktiksi tieteeksi.

Negatiivisten lukujen käytön säännöt eivät muodostuneet heti, vaan niistä tuli yleistys lukuisista esimerkeistä, jotka syntyivät sovellettavia ongelmia ratkaistaessa. Yleisesti ottaen matematiikan kehitys voidaan jakaa vaiheisiin: jokainen seuraava vaihe eroaa edellisestä uudella abstraktiotasolla objekteja tutkittaessa. Niinpä 1800-luvulla matemaatikot ymmärsivät, että kokonaisluvuilla ja polynomeilla on kaikista ulkoisista eroistaan huolimatta paljon yhteistä: molempia voidaan lisätä, vähentää ja kertoa. Näitä operaatioita koskevat samat lait - sekä lukujen että polynomien tapauksessa. Mutta kokonaislukujen jakaminen keskenään niin, että tuloksena saadaan jälleen kokonaislukuja, ei ole aina mahdollista. Sama on polynomien kanssa.

Sitten löydettiin muita joukko matemaattisia objekteja, joille tällaisia operaatioita voitiin suorittaa: muodolliset potenssisarjat, jatkuvat funktiot... Lopulta tuli ymmärrys, että jos tutkii itse operaatioiden ominaisuuksia, niin tuloksia voidaan sitten soveltaa kaikkiin nämä esinejoukot (tämä lähestymistapa on tyypillinen kaikelle nykyaikaiselle matematiikalle).

Tuloksena syntyi uusi konsepti: rengas. Se on vain joukko elementtejä ja toimintoja, jotka voidaan suorittaa niille. Perussäännöt tässä ovat säännöt (niitä kutsutaan aksioomia), joille toimet ovat riippuvaisia, ei joukon elementtien luonne (tässä se on, uusi taso abstraktioita!). Halutaen korostaa, että juuri aksioomien esittelyn jälkeen syntyvä rakenne on tärkeä, matemaatikot sanovat: kokonaislukujen rengas, polynomien rengas jne. Aksioomista alkaen voidaan päätellä renkaiden muita ominaisuuksia.

Muotoilemme renkaan aksioomit (jotka ovat tietysti samanlaisia kuin kokonaislukujen kanssa toimimisen säännöt) ja todistamme sitten, että missä tahansa renkaassa miinuksen kertominen miinuksella tuottaa plussan.

Rengas on joukko kahdella binäärioperaatiolla (eli jokaisessa operaatiossa on kaksi renkaan elementtiä), joita kutsutaan perinteisesti yhteen- ja kertolaskuksi, ja seuraavat aksioomit:

renkaan elementtien lisääminen on kommutatiivisen ( A + B = B + A mille tahansa elementille A Ja B) ja assosiatiivinen ( A + (B + C) = (A + B) + C) lait; renkaassa on erityinen elementti 0 (neutraali elementti lisäyksellä) siten, että A+0=A, ja mille tahansa elementille A on vastakkainen elementti (merkitty (–A)), Mitä A + (–A) = 0 ;
kertolasku noudattaa yhdistelmälakia: A·(B·C) = (A·B)·C ;
Yhteen- ja kertolasku liittyvät seuraaviin sulkujen avaamissääntöihin: (A + B) C = A C + B C Ja A (B + C) = A B + A C .

Huomaa, että renkaat, eniten yleinen suunnittelu, eivät vaadi kertomisen vaihdettavuutta tai sen käännettävyyttä (eli aina ei voi jakaa) tai yksikön olemassaoloa - neutraali elementti kertolaskussa. Jos esittelemme nämä aksioomit, saamme erilaisia algebrallisia rakenteita, mutta niissä kaikki renkaille todistetut lauseet ovat tosia.

Nyt todistamme sen kaikille elementeille A Ja B mielivaltainen rengas on totta, ensinnäkin, (–A) B = – (A B), ja toiseksi (–(–A)) = A. Lausunnot yksiköistä seuraa helposti tästä: (–1) 1 = – (1 1) = –1 Ja (–1)·(–1) = –((–1)·1) = – (–1) = 1 .

Tätä varten meidän on vahvistettava joitain tosiasioita. Ensin todistetaan, että jokaisella elementillä voi olla vain yksi vastakohta. Itse asiassa, anna elementin A on kaksi vastakohtaa: B Ja KANSSA. Tuo on A + B = 0 = A + C. Mietitäänpä summaa A+B+C. Käyttämällä assosiatiivisia ja kommutatiivisia lakeja sekä nollan ominaisuutta saadaan, että toisaalta summa on yhtä suuri B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, ja toisaalta se on yhtä suuri C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. tarkoittaa, B=C .

Pankaamme nyt merkille se A, Ja (–(–A)) ovat saman elementin vastakohtia (–A), joten niiden on oltava samanarvoisia.

Ensimmäinen tosiasia menee näin: 0 = 0 B = (A + (–A)) B = A B + (–A) B, tuo on (–A)·B vastapäätä A·B, mikä tarkoittaa, että se on yhtä suuri – (A B) .

Ollaksemme matemaattisesti tarkkoja, selitetään myös miksi 0·B = 0 mille tahansa elementille B. Todellakin, 0 · B = (0 + 0) B = 0 · B + 0 · B. Eli lisäys 0·B ei muuta määrää. Tämä tuote on siis nolla.

Ja se, että renkaassa on täsmälleen yksi nolla (aksioomit sanovat, että sellainen elementti on olemassa, mutta sen ainutlaatuisuudesta ei sanota mitään!), jätämme lukijalle yksinkertaisena harjoituksena.

Vastattu: Jevgeni Epifanov

Näytä kommentit (37)

Tiivistä kommentit (37)

Hyvä vastaus. Mutta lukion fuksi tasolle. Minusta näyttää siltä, että se voidaan selittää yksinkertaisemmin ja selkeämmin käyttämällä esimerkkiä kaavasta "etäisyys = nopeus * aika" (luokka 2).

Oletetaan, että kävelemme tietä pitkin, auto ohittaa meidät ja alkaa edetä. Aika kasvaa - ja etäisyys siihen kasvaa. Pidämme tällaisen koneen nopeutta positiivisena, se voi olla esimerkiksi 10 metriä sekunnissa. Muuten, kuinka monta kilometriä tunnissa tämä on? 10/1000(km)*60(s)*60(min)= 10*3,6 = 36 km/h. Vähän. Tie on varmaan huono...

Mutta meitä kohti tuleva auto ei lähde pois, vaan lähestyy. Siksi on kätevää pitää sen nopeutta negatiivisena. Esimerkiksi -10 m/s. Etäisyys pienenee: 30, 20, 10 metriä vastaantulevaan autoon. Jokainen sekunti on miinus 10 metriä. Nyt on selvää, miksi nopeus on miinus? Joten hän lensi ohi. Mikä on etäisyys siihen sekunnissa? Aivan oikein, -10 metriä, ts. "10 metriä takana."

Tässä olemme saaneet ensimmäisen lausunnon. (-10 m/s) * (1 s) = -10 m.
Miinus (negatiivinen nopeus) plus (positiivinen aika) antoi miinuksen (negatiivinen etäisyys, auto on takanani).

Ja nyt huomio - miinus miinus. Missä vastaan tuleva auto oli sekunti ENNEN kuin se ohitti? (-10 m/s) * (-1 s) = 10 m.
Miinus (negatiivinen nopeus) miinuksella (negatiivinen aika) = plus (positiivinen etäisyys, auto oli 10 metriä nenäni edessä).

Onko tämä selvä, vai tietääkö joku vielä yksinkertaisemman esimerkin?

Vastaus

Kyllä, voit todistaa sen helpommin! 5*2 piirretään kahdesti numeroviivalle in positiivinen puoli, numero 5, ja sitten saadaan numero 10. jos 2*(-5), niin lasketaan kahdesti luvun 5 mukaan, mutta jo negatiivinen puoli, ja hanki numero (-10), kuvittele nyt 2*(-5) muodossa
2*5*(-1)=-10, kirjoitamme vastauksen uudelleen kohteesta edellinen laskelma, ja sitä ei saada tässä, Joten voidaan sanoa, että kun luku kerrotaan (-1), tapahtuu numeerisen kaksinapaisen akselin käänteissuunta, ts. käänteinen napaisuus. Se, mitä laitoimme positiiviseen osaan, muuttui negatiiviseksi ja päinvastoin. Nyt (-2)*(-5), kirjoitamme sen muodossa (-1)*2*(-5)=(-1)*(-10), jättäen syrjään numeron (-10) ja muuttamalla napaisuutta akselista, koska . kerrotaan (-1), saamme +10, en tiedä onko se helpompaa?

Vastaus

Luulen että olet oikeassa. Yritän vain näyttää näkemyksesi yksityiskohtaisemmin, koska... Huomaan, että kaikki eivät ymmärtäneet tätä.
Miinus tarkoittaa ota pois. Jos sinulta otettiin kerran 5 omenaa, niin lopulta sinulta otettiin 5 omenaa, mikä on perinteisesti merkitty miinuksella, ts. – (+5). Loppujen lopuksi sinun on jotenkin osoitettava toiminta. Jos 1 omena valittiin 5 kertaa, niin lopulta valittiin sama: – (+5). Samaan aikaan valituista omenoista ei tullut kuvitteellisia, koska Aineen säilymislakia ei ole kumottu. Positiiviset omenat menivät vain sille, joka ne otti. Tämä tarkoittaa, että kuvitteellisia lukuja ei ole olemassa, aineen suhteellinen liike tapahtuu +- tai -merkillä. Mutta jos on, niin merkintä: (-5) * (+1) = -5 tai (+5) * (-1) = -5 ei heijasta tarkasti todellisuutta, vaan merkitsee sitä vain ehdollisesti. Koska kuvitteellisia lukuja ei ole, koko tulo on aina positiivinen → “+” (5*1). Seuraavaksi positiivinen tulo negoidaan, mikä tarkoittaa vähennyslaskua → "- +" (5*1). Tässä miinus ei kompensoi plussaa, vaan kumoaa sen ja ottaa sen paikan. Sitten loppujen lopuksi saamme: -(5*1) = -(+5).
Kahdella miinuksella voit kirjoittaa: "- -" (5*1) = 5. Merkki "- -" tarkoittaa "+", ts. pakkolunastajien pakkolunastus. Ensin omenat otettiin sinulta, ja sitten otit ne rikoksentekijältäsi. Tämän seurauksena kaikki omenat pysyivät positiivisina, mutta valintaa ei tapahtunut, koska tapahtui sosiaalinen vallankumous.
Yleisesti ottaen se tosiasia, että kieltämisen kieltäminen eliminoi kieltämisen ja kaiken, mihin negatiivinen viittaa, on lapsille selvää ja ilman selitystä, koska Se on ilmeistä. Sinun tarvitsee vain selittää lapsille, mitä aikuiset ovat keinotekoisesti sekoittaneet, niin paljon, etteivät he itse ymmärrä sitä. Ja hämmennys piilee siinä, että toiminnan kumoamisen sijaan otettiin käyttöön negatiivisia lukuja, ts. negatiivinen asia. Joten lapset ovat ymmällään, miksi negatiivista ainetta lisättäessä summa osoittautuu negatiiviseksi, mikä on varsin loogista: (-5) + (-3) = -8, ja kertomalla sama negatiivinen aine: (-5) * (-3) = 15 , se on yhtäkkiä positiivinen, mikä ei ole loogista! Loppujen lopuksi negatiivisen aineen kanssa kaiken pitäisi tapahtua samalla tavalla kuin positiivisella aineella, vain eri merkillä. Siksi lapsille näyttää loogisemmalta, että kun negatiivinen aine moninkertaistuu, negatiivisen aineen pitäisi lisääntyä.
Mutta täälläkään kaikki ei ole sujuvaa, koska negatiivisen aineen kertomiseen riittää, että vain yksi luku on negatiivinen. Tässä tapauksessa yksi tekijöistä, joka ei tarkoita materiaalisisältöä, vaan valitun aineen toistoaikoja, on aina positiivinen, koska ajat eivät voi olla negatiivisia, vaikka negatiivinen (valittu) aine toistuisi. Siksi kertomalla (jakamalla) on oikeampaa sijoittaa merkit koko tuotteen (jako) eteen, jotka näytimme yllä: “- +” (5*1) tai “- -” (5*1).
Ja jotta miinusmerkkiä ei pidettäisi kuvitteellisen luvun merkkinä, ts. negatiivinen asia, ja tekona aikuisten on ensin sovittava keskenään, että jos miinusmerkki on luvun edessä, niin se tarkoittaa negatiivista toimintaa luvun kanssa, joka on aina positiivinen, ei kuvitteellinen. Jos miinusmerkki on toisen merkin edessä, se tarkoittaa negatiivista toimintaa ensimmäisellä merkillä, ts. muuttaa sen päinvastaiseksi. Sitten kaikki loksahtaa paikoilleen luonnollisesti. Sitten sinun täytyy selittää tämä lapsille, ja he ymmärtävät ja oppivat tämän täydellisesti selkeä sääntö aikuisia. Loppujen lopuksi nyt kaikki aikuiset keskusteluun osallistujat itse asiassa yrittävät selittää selittämätöntä, koska... Tälle ongelmalle ei ole fyysistä selitystä, se on vain sopimus, sääntö. Mutta abstraktion selittäminen abstraktiolla on tautologiaa.
Jos miinusmerkki kumoaa luvun, se on fyysinen toiminta, mutta jos se kieltää itse toiminnon, se on yksinkertaisesti ehdollinen sääntö. Eli aikuiset yksinkertaisesti sopivat, että jos valinta evätään, kuten käsiteltävänä olevassa asiassa, valintaa ei ole, vaikka kuinka monta kertaa! Samalla kaikki, mitä sinulla oli, jää sinulle, oli se sitten vain numero, olkoon se numeroiden tulo, ts. monia valintayrityksiä. Siinä kaikki.
Jos joku on eri mieltä, niin ajattele uudelleen rauhallisesti. Loppujen lopuksi esimerkki autoista, joissa on negatiivinen nopeus ja negatiivinen aika sekunti ennen tapaamista, on vain viitejärjestelmään liittyvä ehdollinen sääntö. Toisessa vertailukehyksessä sama nopeus ja sama aika muuttuvat positiiviseksi. Ja esimerkki lasista liittyy sadun sääntöön, jossa miinuksesta, joka heijastuu peiliin vain ehdollisesti, mutta ei ollenkaan fyysisesti, tulee plus.

Vastaus

Kaikki näyttää selvältä matemaattisten haittojen kanssa. Mutta kielessä, kun kysytään negatiivinen kysymys, miten vastaat siihen? Olin esimerkiksi aina ymmälläni tästä kysymyksestä: "Haluaisitko teetä?" Miten voin vastata tähän, jos haluan teetä? Näyttää siltä, että jos sanot "kyllä", he eivät anna sinulle teetä (se on kuin + ja -), jos ei, heidän pitäisi antaa sinulle (- ja -), ja jos "ei, en halua" ”???

Vastaus

Vastatakseen tähän lasten kysymys, sinun on ensin vastattava pariin aikuisten kysymykseen: "Mikä on miinus matematiikassa?" ja "Mitä kertominen ja jako ovat?" Ymmärtääkseni tästä alkavat ongelmat, jotka lopulta johtavat soittoihin ja muuhun hölynpölyyn, kun vastataan niin yksinkertaiseen lapselliseen kysymykseen.

Vastaus

Vastaus ei selvästikään ole tavallisille koululaisille!
Peruskoulussa luin ihanan kirjan - kääpiöisyydestä ja Al-Jebrasta, ja ehkä matematiikkapiirissä he antoivat esimerkin - he laittoivat päälle eri puolia kahden ihmisen yhtäläisyysmerkki omenoiden kanssa eri värejä ja tarjoutuivat antamaan toisilleen omenoita. Sitten pelin osallistujien väliin asetettiin muita merkkejä - plus, miinus, enemmän, vähemmän.

Vastaus

Lapsellinen vastaus, vai mitä??))
Saattaa kuulostaa julmalta, mutta kirjoittaja ei itse ymmärrä miksi miinus miinuksella antaa plussan :-)
Kaikki maailmassa voidaan selittää visuaalisesti, koska abstraktioita tarvitaan vain maailman selittämiseen. He ovat sidoksissa todellisuuteen, eivätkä elä itsestään harhaanjohtavissa oppikirjoissa.
Vaikka selitystä varten sinun on tiedettävä ainakin fysiikka ja joskus biologia yhdistettynä ihmisen neurofysiologian perusteisiin.

Mutta siitä huolimatta ensimmäinen osa antoi toivoa ymmärtää ja selitti erittäin selvästi negatiivisten lukujen tarpeen.
Mutta toinen liukastui perinteisesti skitsofreniaan. A ja B - näiden täytyy olla todellisia esineitä! joten miksi kutsua heitä näillä kirjaimilla, kun voit ottaa esimerkiksi leipää tai omenoita
Jos... jos se olisi mahdollista... kyllä?))))))

Ja... jopa käyttämällä oikealla pohjalla ensimmäisestä osasta (tuo kertolasku on sama kuin yhteenlasku) - miinuksilla saamme ristiriidan))
-2 + -2 = -4
Mutta
-2 * -2 =+4))))
ja vaikka otamme huomioon, että tämä on miinus kaksi, otettu miinus kaksi kertaa, se osoittautuu
-2 -(-2) -(-2) = +2

Pelkästään kannatti myöntää, että koska luvut ovat virtuaalisia, niin suhteellisen oikeaan kirjanpitoon piti keksiä virtuaalisia sääntöjä.
Ja tämä olisi TOTUUS, ei soimaa hölynpölyä.

Vastaus

Esimerkissään Academon teki virheen:
Itse asiassa (-2)+(-2) = (-4) on 2 kertaa (-2), ts. (-2) * 2 = (-4).
Mitä tulee kahden negatiivisen luvun kertomiseen, ilman ristiriitaa, tämä on sama summa, vain numerorivin "0":n toisella puolella. Nimittäin:
(-2) * (-2) = 0 – (-2) – (-2) = 2 + 2 = 4. Joten kaikki laskee yhteen.
Mitä tulee negatiivisten lukujen todellisuuteen, mitä pidät tästä esimerkistä?
Jos minulla on esimerkiksi 1000 dollaria taskussani, mielialaani voidaan kutsua "positiiviseksi".
Jos 0 dollaria, tilaksi tulee "ei mitään".
Entä jos (-1000)$ on velka, joka pitää maksaa, mutta rahaa ei ole...?

Vastaus

Miinus miinukselle - aina tulee plussaa,
Miksi näin tapahtuu, en osaa sanoa.

Miksi -na-=+ ihmetteli minua koulussa, 7. luokalla (1961). Yritin keksiä toisen, "reilumman" algebran, jossa +na+=+ ja -na-=-. Minusta tuntui, että se olisi rehellisempää. Mutta mitä sitten tehdä +na- ja -na+:lla? En halunnut menettää xy=yx:n kommutatiivisuutta, mutta muuta tapaa ei ole.
Entä jos et ota kahta merkkiä vaan kolmea, esimerkiksi +, - ja *. Tasainen ja symmetrinen.

LISÄYS
(+a)+(-a),(+a)+(*a),(*a)+(-a) eivät laske yhteen(!), kuten kompleksiluvun reaali- ja imaginaariosat.
Mutta sille (+a)+(-a)+(*a)=0.

Mikä on esimerkiksi (+6)+(-4)+(*2)?

(+6)=(+2)+(+2)+(+2)
(-4)=(-2)+(-2)
(*2)=(*2)
(+2)+(-2)+(*2)=0
(+6)+(-4)+(*2)=(+2)+(+2)+(+2)+(-2)+(-2)+(*2)=(+2)+(+2)+(-2)= (+4)+(-2)
Se ei ole helppoa, mutta siihen voi tottua.

Nyt KERTOJA.
Oletetaan:
+na+=+ -na-=- *na*=* (reilua?)
+na-=-na+=* +na*=*na+=- -na*=*na-=+ (reilua!)
Vaikuttaa siltä, että kaikki on hyvin, mutta kertominen ei ole assosiatiivista, ts.
a(bc) ei ole yhtä suuri kuin (ab)c.

Ja jos niin
+on+=+ -on-=* *päällä*=-
+na-=-na+=- +na*=*na+=* -na*=*na-=+
Taas epäreilu, + valittu erityiseksi. MUTTA syntyi UUSI ALGEBRA kolmella merkillä. Kommutatiivinen, assosiatiivinen ja distributiivinen. Sillä on geometrinen tulkinta. Se on isomorfinen Monimutkaiset luvut. Sitä voidaan laajentaa edelleen: neljä merkkiä, viisi...
Tätä ei ole tapahtunut ennen. Ottakaa ihmiset, käyttäkää sitä.

Vastaus

Lapsen kysymys on yleensä lapsen vastaus.
Maailmassamme kaikki on plussaa: omenat, lelut, kissat ja koirat, ne ovat todellisia. Voit syödä omenan, voit silittää kissaa. Ja on myös kuvitteellinen maailma, katselasi. Siellä on myös omenoita ja leluja, lasin läpi, voimme kuvitella niitä, mutta emme voi koskea niihin - ne on keksitty. Voimme päästä maailmasta toiseen käyttämällä miinusmerkkiä. Jos meillä on kaksi oikeaa omenaa (2 omenaa) ja laitamme miinusmerkin (-2 omenaa), saamme näkölasin läpi kaksi kuvitteellista omenaa. Miinusmerkki vie meidät maailmasta toiseen, edestakaisin. Maailmassamme ei ole peiliomenoita. Voimme kuvitella niitä kokonaisen joukon, jopa miljoonan (miinus miljoona omenaa). Mutta et voi syödä niitä, koska meillä ei ole miinusomenoita, kaikki myymälöissämme olevat omenat ovat plus omenoita.
Kertominen tarkoittaa joidenkin objektien järjestämistä suorakulmion muotoon. Otetaan kaksi pistettä ":" ja kerrotaan ne kolmella, saadaan: ": : :" - yhteensä kuusi pistettä. Voit ottaa oikean omenan (+I) ja kertoa sen kolmella, saamme: "+YAYA" - kolme oikeaa omenaa.
Kerrotaan nyt omena miinus kolmella. Saamme jälleen kolme omenaa “+YAYA”, mutta miinusmerkki vie meidät lasiin, ja meillä on kolme lasiomenaa (miinus kolme omenaa -YAYA).
Kerrotaan nyt miinus omena (-I) miinus kolmella. Eli otamme omenan ja jos sen edessä on miinus, siirrämme sen lasille. Siinä kerromme sen kolmella. Nyt meillä on kolme lasiomenaa! Mutta on vielä yksi haittapuoli. Hän siirtää vastaanotetut omenat takaisin maailmaamme. Tuloksena saamme kolme todellista herkullisia omenoita+YAYA joka voidaan niellä.

Vastaus

Kaikki on hyvin viimeiseen vaiheeseen asti. Kun kerrotaan miinus yhdellä kolmesta peiliomenasta, meidän on heijastettava nämä omenat toisessa peilissä. Niiden sijainti on sama kuin todelliset, mutta ne ovat yhtä kuvitteellisia kuin ensimmäiset peilit ja yhtä syömäkelvottomia. Eli (-1)*(-1)= -1<> 1.
Itse asiassa minua hämmentää toinen negatiivisten lukujen kertomiseen liittyvä seikka, nimittäin:
Onko tasa-arvo totta:
((-1)^1,5)^2 = ((-1)^2)^1,5 = (-1)^3 ?
Tämä kysymys syntyi yrityksestä ymmärtää funktion y=x^n kaavion käyttäytymistä, jossa x ja n ovat reaalilukuja.
Osoittautuu, että funktion kuvaaja sijoittuu aina 1. ja 3. neljännekseen, paitsi niissä tapauksissa, joissa n on parillinen. Tässä tapauksessa vain kaavion kaarevuus muuttuu. Mutta pariteetti n on suhteellinen arvo, koska voimme ottaa toisen viitejärjestelmän, jossa n = 1,1*k, niin saadaan
y = x^(1,1*k) = (x^1,1)^k
ja pariteetti täällä on erilainen...
Ja lisäksi ehdotan lisättäväksi argumenttiin, mitä tapahtuu funktion y = x^(1/n) kuvaajalle. Oletan, ei turhaan, että funktion kaavion tulee olla symmetrinen y = x^n kaavion kanssa suhteessa funktion y = x kuvaajaan.

Vastaus

On olemassa useita tapoja selittää sääntö "miinus antaa plussa". Tässä on yksinkertaisin. Kertominen luonnollisilla. luku n on janan venytys (sijaitsee numeroakselilla) n kertaa. Kertominen -1:llä on heijastus segmentistä suhteessa alkupisteeseen. Lyhyin selitys sille, miksi (-1)*(-1) = +1, tämä menetelmä on sopiva.

Vastaus

Voit mennä selittämään kompleksiluvuista
yleisempänä lukujen esittämisen muotona
Kompleksiluvun trigonometrinen muoto
Eulerin kaava
Merkki on tässä tapauksessa vain argumentti (kiertokulma)
Kerrottaessa kulmat lisätään
0 astetta vastaa +
180 astetta vastaa -
Kertomalla - kertomalla - vastaa 180+180=360=0

Vastaus

Toimiiko tämä?

Kieltäminen on päinvastoin. Yksinkertaisuuden vuoksi, jotta voimme siirtyä väliaikaisesti pois miinuksista, korvaamme lausunnot ja suurennamme lähtökohtaa. Aloitetaan laskeminen ei nollasta, vaan 1000:sta.

Oletetaan, että kaksi ihmistä on minulle velkaa kaksi ruplaa: 2_people*2_rubles=4_rubles on minulle velkaa yhteensä. (saldoni on 1004)

Nyt käänteiset (negatiiviset luvut, mutta käänteiset/positiiviset lauseet):

miinus 2 henkilöä = se tarkoittaa, että he eivät ole velkaa minulle, mutta minä olen velkaa (olen velkaa enemmän ihmisille kuin he minulle). Esimerkiksi, olen velkaa 10 henkilöä, mutta olen velkaa vain 8. Keskinäisiä laskelmia voidaan vähentää, eikä niitä oteta huomioon, mutta voit pitää tämän mielessä, jos on mukavampaa työskennellä positiivisten lukujen kanssa. Eli kaikki antavat rahaa toisilleen.

miinus 2 ruplaa = samanlainen periaate - sinun on otettava enemmän kuin annat. Olen siis kaikille velkaa kaksi ruplaa.

-(2_people)*2_rubles=I_ow_2_jollekin_=-4 minulta. Saldoni on 996 ruplaa.

2_henkilöä*(-2_ruplaa) = kahden_pitäisi ottaa_2_ruplaa_minulta=- 4 minulta. Saldoni on 996 ruplaa.

-(2_ihmisiä)*(-2_ruplaa) = kaikkien_pitäisi_ottaa_minulta_vähemmän_kuin_annata_2_ruplaa

Yleisesti ottaen, jos kuvittelet, että kaikki ei pyöri 0:n, vaan esimerkiksi 1000:n ympärillä, ja he jakavat rahaa 10 portaan, ottavat pois 8 portaan, voit tehdä johdonmukaisesti kaikki rahan antamisen toiminnot ottamalla sen pois ja tulen siihen tulokseen, että jos kaksi ylimääräistä (vähennämme loput keskinäisellä kompensaatiolla) vievät minulta kaksi ruplaa vähemmän kuin he palauttavat, niin hyvinvointini kasvaa positiivisella luvulla 4.

Vastaus

Etsimässä SIMPLE ( lapsiystävällinen) vastaus esitettyyn kysymykseen ("Miksi miinus miinuksella antaa plussan"), luin huolellisesti sekä kirjoittajan ehdottaman artikkelin että kaikki kommentit. Pidän onnistuneimpana vastauksena epigrafiin sisältyvää vastausta: "Viholliseni vihollinen on ystäväni." Paljon selkeämpi! Yksinkertaista ja loistavaa!

Tietty matkustaja saapuu saarelle, jonka asukkaista hän tietää vain yhden asian: jotkut heistä kertovat vain totuuden, toiset vain valheita. Ulkoisesti niitä on mahdotonta erottaa. Matkustaja laskeutuu rannalle ja näkee tien. Hän haluaa tietää, johtaako tämä tie kaupunkiin. Tiellä näkeminen paikallinen asukas, hän kysyy häneltä VAIN YHDEN kysymyksen, jolloin hän saa selville, että tie johtaa kaupunkiin. Miten hän kysyi tätä?

Ratkaisu on kolme riviä alempana (vain pysähtyä ja antaa teille aikuisille mahdollisuuden pysähtyä miettimään tätä ihanaa ongelmaa!) Kolmasluokkalainen pojanpoikani piti ongelmaa vielä hieman liian suurena hänelle, mutta vastauksen ymmärtäminen toi hänet epäilemättä. lähempänä tulevaisuuden matematiikan viisauden ymmärtämistä, kuten "miinus miinuksesta antaa plussan".

Joten vastaus on:

"Jos kysyisin, johtaako tämä tie kaupunkiin, mitä vastaisit minulle?"

"Algebrallinen" selitys ei voinut horjuttaa palavaa rakkauttani isääni kohtaan eikä syvää kunnioitustani hänen tiedettä kohtaan. Mutta vihasin ikuisesti aksiomaattista menetelmää sen motivoimattomien määritelmien kanssa.

On mielenkiintoista, että tämä I.V. Arnoldin vastaus lapsen kysymykseen osui käytännössä samaan aikaan hänen kirjansa "Negatiiviset luvut algebran kurssilla" julkaisun kanssa. Siellä (luvussa 7) annetaan täysin erilainen vastaus, mielestäni hyvin selkeä. Kirja on saatavilla osoitteessa sähköisessä muodossa http://ilib.mccme.ru/djvu/klassik/neg_numbers.htm

Vastaus

Jos on paradoksi, sinun on etsittävä perusasioista virheitä. Kertolaskun muotoilussa on kolme virhettä. Tästä se "paradoksi" tulee. Sinun tarvitsee vain lisätä nolla.

(-3) x (-4) = 0 - (-3) - (-3) - (-3) - (-3) = 0 + 3 + 3 + 3 + 3 = 12

Kertominen on nollan lisäämistä (tai vähentämistä) yhä uudelleen ja uudelleen.

Kerroin (4) näyttää yhteen- tai vähennysoperaatioiden lukumäärän (miinus- tai plusmerkkien lukumäärä, kun kertolasku jaetaan yhteenlaskuksi).

Kertoimen (4) miinus- ja plusmerkit osoittavat joko kertojan vähentämistä nollasta tai kertojan lisäämistä nollaan.

Tässä nimenomaisessa esimerkissä (-4) tarkoittaa, että sinun on vähennettävä ("-") nollasta kertoja (-3) neljä kertaa (4).

Korjaa sanamuoto (kolme loogisia virheitä). Lisää vain nolla. Aritmeettiset säännöt eivät tästä syystä muutu.

Lisätietoja aiheesta täällä:

http://mnemonikon.ru/differ_pub_28.htm

Mikä on tämä tapa mekaanisesti uskoa oppikirjoja? Myös omat aivot pitää olla. Varsinkin jos on paradokseja, sokeita kulmia, ilmeisiä ristiriitoja. Kaikki tämä on seurausta teoriavirheistä.

Kahden negatiivisen luvun tuloa on mahdotonta jakaa termeiksi nykyisen kertolaskumuodon mukaan (ilman nollaa). Eikö tämä haittaa ketään?

Millainen kertolaskuformulaatio tämä on, joka tekee kertolaskun suorittamisen mahdottomaksi? :)

Ongelma on myös puhtaasti psykologinen. Sokea luottamus auktoriteettiin, haluttomuus ajatella itse. Jos oppikirjoissa niin sanotaan, jos niin opetetaan koulussa, tämä on lopullinen totuus. Kaikki muuttuu, myös tiede. Muuten sivilisaation kehitystä ei tapahtuisi.

Korjaa kertolaskujen sanamuoto kaikissa oppikirjoissa! Aritmeettiset säännöt eivät tästä syystä muutu.

Lisäksi, kuten yllä linkitetystä artikkelista seuraa, korjattu kertolasku on samanlainen kuin luvun nostaminen potenssiksi. Sielläkään he eivät kirjoita yksikköä ylös, kun ne nostetaan positiiviseen tehoon. Kuitenkin yksi kirjoitetaan, kun luku nostetaan negatiiviseen potenssiin.

Matematiikan herrat, äitisi, sinun on aina kirjoitettava ylös nolla ja yksi, vaikka tulos ei muutu heidän poissaolon vuoksi.

Lyhennettyjen merkintöjen merkitys muuttuu (tai jopa katoaa). Ja koululaisilla on ongelmia ymmärryksen kanssa.

Vastaus

Kirjoita kommentti

Matematiikan lait

Muuten on huomattava, että edellä mainittu sääntö pätee sekä kerto- että jakolaskuihin. Negatiivisen ja positiivisen luvun tulo antaa vain "miinus". Jos puhumme kahdesta numerosta "-" -merkillä, tulos on positiivinen luku. Sama koskee jakoa. Jos jokin luvuista on negatiivinen, osamäärässä on myös "-"-merkki.

Renkaan aksiooma

Matemaattisia lakeja on useita.

Ensimmäinen niistä on kommutatiivinen, sen mukaan C + V = V + C.
Toista kutsutaan assosiatiiviseksi (V + C) + D = V + (C + D).

Myös kertolasku (V x C) x D = V x (C x D) noudattaa niitä.

Kukaan ei ole kumonnut sääntöjä, joiden mukaan sulut avataan (V + C) x D = V x D + C x D, on myös totta, että C x (V + D) = C x V + C x D.

Aksioomien johtaminen negatiivisille luvuille

Tätä varten sinun on ensin todistettava, että jokaisella elementillä on vain yksi "veli" sitä vastapäätä. Harkitse seuraavaa esimerkkiä todisteesta. Yritetään kuvitella, että C:lle kaksi lukua ovat vastakkaisia - V ja D. Tästä seuraa, että C + V = 0 ja C + D = 0, eli C + V = 0 = C + D. kommutaatiosta ja luvun 0 ominaisuuksista voidaan tarkastella kaikkien kolmen luvun summaa: C, V ja D. Yritetään selvittää V:n arvo. On loogista, että V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D, koska C + D:n arvo, kuten yllä oletettiin, on yhtä suuri kuin 0. Tämä tarkoittaa V = V + C + D.

D:n arvo johdetaan samalla tavalla: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Tämän perusteella käy selväksi, että V = D.

Ymmärtääksesi, miksi "plus" - "miinus" antaa silti "miinus", sinun on ymmärrettävä seuraava. Joten elementille (-C) C ja (-(-C)) ovat vastakkaisia, eli ne ovat keskenään yhtä suuria.

Silloin on selvää, että 0 x V = (C + (-C)) x V = C x V + (-C) x V. Tästä seuraa, että C x V on (-)C x V:n vastakohta, mikä tarkoittaa (- C) x V = -(C x V).

Kun tiedät kaikki nämä aksioomit, voit päätellä paitsi kuinka paljon "plus" ja "miinus" antavat, vaan myös mitä tapahtuu negatiivisia lukuja kerrottaessa.

Kahden luvun kertominen ja jakaminen “-”-merkillä

Jos et syvenny matemaattisiin vivahteisiin, voit yrittää selittää negatiivisten lukujen käytön säännöt yksinkertaisemmin.

(-C) x (-V) = D, voit lisätä ja vähentää lausekkeeseen kaksi identtistä tuotetta, jotka eivät muuta sen arvoa: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) = D.

Muistamalla sulkeiden kanssa työskentelyn säännöt, saamme:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;

3) (-C) x 0 + C x V = D;

Tästä seuraa, että C x V = (-C) x (-V).

Samoin voidaan todistaa, että jakamalla kaksi negatiivista lukua saadaan positiivinen luku.

Yleiset matemaattiset säännöt

Tämä selitys ei tietenkään sovellu alakoululaisille, jotka ovat juuri alkaneet oppia abstrakteja negatiivisia lukuja. Heidän on parempi selittää näkyvissä esineissä ja manipuloida termiä tutun lasin takana. Siellä sijaitsevat esimerkiksi keksityt, mutta olemattomat lelut. Ne voidaan näyttää "-"-merkillä. Kahden peiliobjektin kertominen siirtää ne toiseen maailmaan, joka rinnastetaan todelliseen maailmaan, eli tuloksena meillä on positiivisia lukuja. Mutta abstraktin negatiivisen luvun kertominen positiivisella antaa vain tuloksen, joka on tuttu kaikille. Loppujen lopuksi "plus" kerrottuna "miinuksella" antaa "miinuksen". Totta, lapset eivät todellakaan yritä ymmärtää kaikkia matemaattisia vivahteita.

Vaikka totuuden edessä, monille ihmisille, jopa korkea-asteen koulutuksen saaneille, monet säännöt jäävät mysteeriksi. Kaikki pitävät itsestäänselvyytenä, mitä opettajat heille opettavat, ilman vaikeuksia sukeltaa kaikkiin monimutkaisiin matematiikkaan. "Miinus" tarkoittaa "miinus" antaa "plus" - kaikki poikkeuksetta tietävät tämän. Tämä pätee sekä kokonais- että murtolukuihin.

1) Miksi miinus yksi kertaa miinus yksi on plus yksi?

2) Miksi miinus yksi kertaa plus yksi on yhtä kuin miinus yksi?

Viholliseni vihollinen on ystäväni

Harkitse esimerkiksi yhtälöä 7x - 17 = 2x - 2. Se voidaan ratkaista näin: siirrä termit tuntemattomilla vasemmalle ja loput oikealle, niin se selviää 7x - 2x = 17 - 2, 5x = 15, x = 3. Tällä ratkaisulla emme edes kohdanneet negatiivisia lukuja.

Mitä tämä yksinkertainen esimerkki osoittaa? Ensinnäkin, logiikka, joka määritti negatiivisten lukujen käytön säännöt, käy selväksi: näiden toimien tulosten tulee vastata toisella tavalla saatuja vastauksia ilman negatiivisia lukuja. Toiseksi, sallimalla negatiivisten lukujen käytön, pääsemme eroon ikävästä (jos yhtälö osoittautuu monimutkaisemmaksi, suurella määrällä termejä) etsimällä ratkaisua, jossa kaikki toiminnot suoritetaan vain luonnollisille luvuille. Lisäksi emme ehkä enää joka kerta ajattele muunnettujen suureiden merkityksellisyyttä - ja tämä on jo askel kohti matematiikan muuttamista abstraktiksi tieteeksi.

Tuloksena syntyi uusi konsepti: rengas. Se on vain joukko elementtejä ja toimintoja, jotka voidaan suorittaa niille. Perussäännöt tässä ovat säännöt (niitä kutsutaan aksioomia), joihin kohdistuu toimia, ei joukon elementtien luonnetta (tässä se on, abstraktion uusi taso!). Halutaen korostaa, että juuri aksioomien esittelyn jälkeen syntyvä rakenne on tärkeä, matemaatikot sanovat: kokonaislukujen rengas, polynomien rengas jne. Aksioomista alkaen voidaan päätellä renkaiden muita ominaisuuksia.

Rengas on joukko kahdella binäärioperaatiolla (eli jokaisessa operaatiossa on kaksi renkaan elementtiä), joita kutsutaan perinteisesti yhteen- ja kertolaskuksi, ja seuraavat aksioomit:

renkaan elementtien lisääminen on kommutatiivisen ( A + B = B + A mille tahansa elementille A Ja B) ja assosiatiivinen ( A + (B + C) = (A + B) + C) lait; renkaassa on erityinen elementti 0 (neutraali elementti lisäyksellä) siten, että A+0=A, ja mille tahansa elementille A on vastakkainen elementti (merkitty (–A)), Mitä A + (–A) = 0;
kertolasku noudattaa yhdistelmälakia: A·(B·C) = (A·B)·C;
Yhteen- ja kertolasku liittyvät seuraaviin sulkujen avaamissääntöihin: (A + B) C = A C + B C Ja A (B + C) = A B + A C.

Huomaa, että renkaat, yleisimmässä rakenteessa, eivät vaadi kertomisen vaihdettavuutta tai sen käännettävyyttä (eli jakoa ei aina voida tehdä) tai yksikön - neutraalin elementin - olemassaoloa kertomisessa. Jos esittelemme nämä aksioomit, saamme erilaisia algebrallisia rakenteita, mutta niissä kaikki renkaille todistetut lauseet ovat tosia.

Tätä varten meidän on vahvistettava joitain tosiasioita. Ensin todistetaan, että jokaisella elementillä voi olla vain yksi vastakohta. Itse asiassa, anna elementin A on kaksi vastakohtaa: B Ja KANSSA. Tuo on A + B = 0 = A + C. Mietitäänpä summaa A+B+C. Käyttämällä assosiatiivisia ja kommutatiivisia lakeja sekä nollan ominaisuutta saadaan, että toisaalta summa on yhtä suuri B:B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, ja toisaalta se on yhtä suuri C:A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. tarkoittaa, B=C.

Pankaamme nyt merkille se A, Ja (–(–A)) ovat saman elementin vastakohtia (–A), joten niiden on oltava samanarvoisia.

Ensimmäinen tosiasia menee näin: 0 = 0 B = (A + (–A)) B = A B + (–A) B, tuo on (–A)·B vastapäätä A·B, mikä tarkoittaa, että se on yhtä suuri – (A B).