Наклонът на допирателната като стойност на производната в точката на допирателна. Ъглов коефициент на тангенса като тангенс на ъгъла на наклон Ъглов коефициент, равен на 1 4

В декартовите координати всяка права линия се определя от уравнение от първа степен и, обратно, всяко уравнение от първа степен определя права линия.

Уравнение на формата

се нарича общо уравнение на права.

Ъгълът, определен, както е показано на фигурата, се нарича ъгъл на наклона на правата спрямо оста Ox. Тангенсът на ъгъла на наклона на правата към оста Ox се нарича ъглов коефициент на правата линия; обикновено се обозначава с буквата k:

Уравнението се нарича уравнение на права линия с наклон; k е ъгловият коефициент, b е стойността на сегмента, който е отрязан от правата линия на оста Oy, като се брои от началото.

Ако една права линия е дадена от общото уравнение

,

тогава неговият ъглов коефициент се определя по формулата

Уравнението е уравнението на права линия, която минава през точката (, ) и има ъглов коефициент k.

Ако права линия минава през точки (, ), (, ), тогава нейният наклон се определя по формулата

Уравнението

е уравнението на права, минаваща през две точки (, ) и (, ).

Ако ъгловите коефициенти на две прави линии са известни, тогава един от ъглите между тези прави линии се определя по формулата

.

Знак за успоредност на две прави линии е равенството на техните ъглови коефициенти:.

Знак за перпендикулярност на две прави линии е отношението или.

С други думи, ъгловите коефициенти на перпендикулярните линии са обратни по абсолютна стойност и противоположни по знак.

4. Общо уравнение на права

Уравнението

Ah+Bu+C=0

(Където А, Б, Вможе да има всякакви стойности, стига коефициентите А, Бне бяха и двете нули наведнъж) представлява права. Всяка права линия може да бъде представена с уравнение от този тип. Затова го наричат общо уравнение на правата.

Ако Ах, тогава представлява права линия, успоредна на оста OX.

Ако IN=0, тоест уравнението не съдържа при, тогава представлява права линия, успоредна на оста OY.

Когла INне е равно на нула, тогава общото уравнение на права линия може да бъде разрешаване спрямо ординатапри , след което се преобразува във формата

(Където a=-A/B; b=-C/B).

По същия начин, когато Аразлично от нула, общото уравнение на права линия може да бъде разрешено по отношение на х.

Ако СЪС=0, т.е. общото уравнение на права не съдържа свободен член, тогава то представлява права, минаваща през началото

5. Уравнение на права, минаваща през дадена точка с даден наклон

Уравнение на права, минаваща през дадена точка А(х 1 , г 1) в дадена посока, определена от наклона к,

г - г 1 = к(х - х 1). (1)

Това уравнение дефинира молив от прави, минаващи през точка А(х 1 , г 1), който се нарича център на лъча.

6. уравнение на права, минаваща през две дадени точки.

. Уравнение на права, минаваща през две точки: А(х 1 , г 1) и б(х 2 , г 2), написано така:

Ъгловият коефициент на права линия, минаваща през две дадени точки, се определя по формулата

7. Уравнение на права в отсечки

Ако в общото уравнение на права , след това разделяйки (1) на , получаваме уравнението на правата в сегменти

Където , . Правата пресича оста в точка , оста в точка .

8. Формула: Ъгъл между прави в равнина

U Цел α между две прави линии, дадени от уравненията: y=k 1 x+b 1 (първи ред) и y=k 2 x+b 2 (втора права линия), може да се изчисли по формулата (ъгълът се измерва от 1-вата права линия до 2-рата обратно на часовниковата стрелка ):

9. Относителното положение на две прави в равнина.

Нека сега и двете уравненияправите линии се записват в общ вид.

Теорема. Позволявам

- са често срещани уравнениядве прави линии на координирамсамолет Oxy. Тогава

1) ако , тогава прави съвпадат;

2) ако , тогава прави и

паралелен;

3) ако , тогава правпресичат се.

Доказателство. Условието е еквивалентно на колинеарност на нормалното векторидиректни данни:

Следователно, ако , тогава правпресичат се.

Ако , след това , , и уравнението правприема формата:

Или , т.е. правсъвпада. Имайте предвид, че коефициентът на пропорционалност, в противен случай всички коефициенти на общ уравненияще бъде равно на нула, което е невъзможно.

Ако правне съвпадат и не се пресичат, тогава случаят остава, т.е. правпаралелен.

Теоремата е доказана.

Числено равен на тангенса на ъгъла (представляващ най-малкото завъртане от оста Ox към оста Oy) между положителната посока на абсцисната ос и дадената права линия.

Тангенсът на ъгъл може да се изчисли като съотношението на срещуположната страна към съседната страна. ке винаги равно на , т.е. производната на уравнението на права линия по отношение на х.

За положителни стойности на наклона ки нулев коефициент на смяна bправата линия ще лежи в първия и третия квадрант (в които хИ гкакто положителни, така и отрицателни). В същото време големи стойности на ъгловия коефициент кпо-стръмната права линия ще съответства, а по-плоската ще съответства на по-малките.

Права и перпендикулярна, ако , и успоредна, ако .

Бележки

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Вижте какво е „Ъглов коефициент на права линия“ в други речници:

наклон (директен)- - Теми нефтена и газова индустрия EN наклон... Ръководство за технически преводач

- (математическо) число k в уравнението на права линия в равнината y = kx+b (вижте Аналитична геометрия), характеризиращо наклона на правата линия спрямо оста x. В правоъгълната координатна система на Великобритания k = tan φ, където φ е ъгълът между ... ... Велика съветска енциклопедия

Клон от геометрията, който изучава най-простите геометрични обекти с помощта на елементарна алгебра, основана на метода на координатите. Създаването на аналитичната геометрия обикновено се приписва на Р. Декарт, който очертава нейните основи в последната глава на своя... ... Енциклопедия на Collier

Измерването на времето за реакция (RT) е може би най-уважаваният предмет в емпиричната психология. Възниква в областта на астрономията, през 1823 г., с измерването на индивидуалните разлики в скоростта на възприемане на звезда, пресичаща линия на телескоп. Тези… Психологическа енциклопедия

Клон от математиката, който предоставя методи за количествено изследване на различни процеси на промяна; се занимава с изучаването на скоростта на промяна (диференциално смятане) и определянето на дължините на кривите, площите и обемите на фигурите, ограничени от извити контури и ... Енциклопедия на Collier

Този термин има други значения, вижте Директен (значения). Правата линия е едно от основните понятия на геометрията, тоест няма точна универсална дефиниция. В систематичното представяне на геометрията правата линия обикновено се приема като една... ... Wikipedia

Изображение на прави линии в правоъгълна координатна система Правата линия е едно от основните понятия на геометрията. В систематичното представяне на геометрията правата линия обикновено се приема като едно от началните понятия, което е само индиректно дефинирано... ... Wikipedia

Изображение на прави линии в правоъгълна координатна система Правата линия е едно от основните понятия на геометрията. В систематичното представяне на геометрията правата линия обикновено се приема като едно от началните понятия, което е само индиректно дефинирано... ... Wikipedia

Да не се бърка с термина "Елипса". Елипса и нейните фокуси Елипса (на старогръцки ἔλλειψις дефицит, в смисъл на липса на ексцентричност до 1) геометричното място на точки M от евклидовата равнина, за които сумата от разстоянията от две дадени точки е F1... ... Уикипедия

Продължение на темата, уравнението на права върху равнина се основава на изучаването на права линия от уроците по алгебра. Тази статия предоставя обща информация по темата за уравнение на права линия с наклон. Нека разгледаме дефинициите, да вземем самото уравнение и да идентифицираме връзката с други видове уравнения. Всичко ще бъде обсъдено с примери за решаване на проблеми.

Преди да напишете такова уравнение, е необходимо да определите ъгъла на наклона на правата към оста O x с техния ъглов коефициент. Да приемем, че е дадена декартова координатна система O x на равнината.

Определение 1

Ъгълът на наклона на правата спрямо оста O x,разположен в декартовата координатна система O x y на равнината, това е ъгълът, който се измерва от положителната посока O x към правата линия обратно на часовниковата стрелка.

Когато правата е успоредна на O x или съвпада в нея, ъгълът на наклон е 0. Тогава ъгълът на наклона на дадената права линия α се определя на интервала [ 0 , π) .

Определение 2

Директен наклоне тангенсът на ъгъла на наклон на дадена права линия.

Стандартното обозначение е k. От дефиницията намираме, че k = t g α . Когато правата е успоредна на Ox, те казват, че наклонът не съществува, тъй като стига до безкрайност.

Наклонът е положителен, когато графиката на функцията нараства и обратно. Фигурата показва различни вариации в местоположението на правия ъгъл спрямо координатната система със стойността на коефициента.

За да намерите този ъгъл, е необходимо да приложите дефиницията на ъгловия коефициент и да изчислите тангенса на ъгъла на наклон в равнината.

Решение

От условието имаме, че α = 120°. По дефиниция наклонът трябва да се изчисли. Нека го намерим по формулата k = t g α = 120 = - 3.

Отговор: k = - 3 .

Ако ъгловият коефициент е известен и е необходимо да се намери ъгълът на наклон спрямо абсцисната ос, тогава трябва да се вземе предвид стойността на ъгловия коефициент. Ако k > 0, тогава правият ъгъл е остър и се намира по формулата α = a r c t g k. Ако к< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .

Пример 2

Определете ъгъла на наклона на дадената права към O x с ъглов коефициент 3.

Решение

От условието имаме, че ъгловият коефициент е положителен, което означава, че ъгълът на наклон към O x е по-малък от 90 градуса. Изчисленията се правят по формулата α = a r c t g k = a r c t g 3.

Отговор: α = a r c t g 3.

Пример 3

Намерете ъгъла на наклона на правата спрямо оста O x, ако наклонът е = - 1 3.

Решение

Ако вземем буквата k като обозначение на ъгловия коефициент, тогава α е ъгълът на наклон към дадена права линия в положителната посока O x. Следователно k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:

α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6.

Отговор: 5 π 6 .

Уравнение от вида y = k x + b, където k е наклонът и b е някакво реално число, се нарича уравнение на права с наклон. Уравнението е типично за всяка права линия, която не е успоредна на оста O y.

Ако разгледаме подробно права линия в равнина във фиксирана координатна система, която се определя от уравнение с ъглов коефициент, който има формата y = k x + b. В този случай това означава, че уравнението съответства на координатите на всяка точка от линията. Ако заместим координатите на точка M, M 1 (x 1, y 1) в уравнението y = k x + b, тогава в този случай правата ще минава през тази точка, в противен случай точката не принадлежи на правата.

Пример 4

Дадена е права линия с наклон y = 1 3 x - 1. Пресметнете дали точките M 1 (3, 0) и M 2 (2, - 2) принадлежат на дадената права.

Решение

Необходимо е да заменим координатите на точката M 1 (3, 0) в даденото уравнение, тогава получаваме 0 = 1 3 · 3 - 1 ⇔ 0 = 0. Равенството е вярно, което означава, че точката принадлежи на правата.

Ако заместим координатите на точката M 2 (2, - 2), тогава получаваме неправилно равенство под формата - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3. Можем да заключим, че точка M 2 не принадлежи на правата.

Отговор: M 1 принадлежи на линията, но M 2 не принадлежи.

Известно е, че правата се определя от уравнението y = k · x + b, минаващо през M 1 (0, b), при заместване получихме равенство от вида b = k · 0 + b ⇔ b = b. От това можем да заключим, че уравнението на права линия с ъглов коефициент y = k x + b в равнината определя права линия, която минава през точката 0, b. Той образува ъгъл α с положителната посока на оста O x, където k = t g α.

Нека разгледаме като пример права линия, дефинирана с помощта на ъглов коефициент, определен във формата y = 3 x - 1. Получаваме, че правата ще минава през точката с координата 0, - 1 с наклон α = a r c t g 3 = π 3 радиана в положителната посока на оста O x. Това показва, че коефициентът е 3.

Уравнение на права линия с наклон, минаваща през дадена точка

Необходимо е да се реши задача, при която е необходимо да се получи уравнението на права линия с даден наклон, минаваща през точката M 1 (x 1, y 1).

Равенството y 1 = k · x + b може да се счита за валидно, тъй като правата минава през точката M 1 (x 1, y 1). За да премахнете числото b, трябва да извадите уравнението с наклона от лявата и дясната страна. От това следва, че y - y 1 = k · (x - x 1) . Това равенство се нарича уравнение на права линия с даден наклон k, минаваща през координатите на точката M 1 (x 1, y 1).

Пример 5

Напишете уравнение за права линия, минаваща през точка M 1 с координати (4, - 1), с ъглов коефициент, равен на - 2.

Решение

По условие имаме, че x 1 = 4, y 1 = - 1, k = - 2. От тук уравнението на правата ще бъде написано по следния начин: y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7 .

Отговор: y = - 2 x + 7 .

Пример 6

Напишете уравнението на права линия с ъглов коефициент, която минава през точката M 1 с координати (3, 5), успоредна на правата линия y = 2 x - 2.

Решение

Съгласно условието имаме, че успоредните прави имат съвпадащи ъгли на наклон, което означава, че ъгловите коефициенти са равни. За да намерите наклона от това уравнение, трябва да запомните неговата основна формула y = 2 x - 2, от което следва, че k = 2. Съставяме уравнение с коефициента на наклон и получаваме:

y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1

Отговор: y = 2 x - 1 .

Преход от уравнение на права линия с наклон към други видове уравнения на права линия и обратно

Това уравнение не винаги е приложимо за решаване на проблеми, тъй като не е много удобно написано. За да направите това, трябва да го представите в различна форма. Например, уравнение във формата y = k · x + b не ни позволява да запишем координатите на насочващия вектор на права линия или координатите на нормален вектор. За да направите това, трябва да се научите да представяте с уравнения от различен тип.

Можем да получим каноничното уравнение на права върху равнина, използвайки уравнението на права с ъглов коефициент. Получаваме x - x 1 a x = y - y 1 a y . Необходимо е членът b да се премести вляво и да се раздели на израза на полученото неравенство. Тогава получаваме уравнение от вида y = k · x + b ⇔ y - b = k · x ⇔ k · x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k.

Уравнението на права с наклон се е превърнало в канонично уравнение на тази права.

Пример 7

Приведете уравнението на права линия с ъглов коефициент y = - 3 x + 12 в каноничен вид.

Решение

Нека изчислим и го представим под формата на канонично уравнение на права линия. Получаваме уравнение от вида:

y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3

Отговор: x 1 = y - 12 - 3.

Общото уравнение на права линия е най-лесно да се получи от y = k · x + b, но за това е необходимо да се направят трансформации: y = k · x + b ⇔ k · x - y + b = 0. Прави се преход от общото уравнение на правата към уравнения от различен тип.

Пример 8

Дадено е уравнение на права линия от вида y = 1 7 x - 2 . Разберете дали векторът с координати a → = (- 1, 7) е нормален вектор?

Решение

За да решим, е необходимо да преминем към друга форма на това уравнение, за това пишем:

y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0

Коефициентите пред променливите са координатите на нормалния вектор на правата. Нека го запишем така: n → = 1 7, - 1, следователно 1 7 x - y - 2 = 0. Ясно е, че векторът a → = (- 1, 7) е колинеарен на вектора n → = 1 7, - 1, тъй като имаме справедливата връзка a → = - 7 · n →. От това следва, че оригиналният вектор a → = - 1, 7 е нормален вектор на правата 1 7 x - y - 2 = 0, което означава, че се счита за нормален вектор за правата y = 1 7 x - 2.

Отговор:Е

Нека решим обратната задача на тази.

Необходимо е да се премине от общата форма на уравнението A x + B y + C = 0, където B ≠ 0, към уравнение с ъглов коефициент. За да направим това, решаваме уравнението за y. Получаваме A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B .

Резултатът е уравнение с наклон, равен на - A B .

Пример 9

Дадено е уравнение на права линия от вида 2 3 x - 4 y + 1 = 0. Получете уравнението на дадена права с ъглов коефициент.

Решение

Въз основа на условието е необходимо да се реши за y, след което получаваме уравнение от формата:

2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .

Отговор: y = 1 6 x + 1 4 .

По подобен начин се решава уравнение от формата x a + y b = 1, което се нарича уравнение на права линия в сегменти или канонично от формата x - x 1 a x = y - y 1 a y. Трябва да го решим за y, само тогава ще получим уравнение с наклона:

x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a · x + b.

Каноничното уравнение може да се сведе до форма с ъглов коефициент. За това:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x · (y - y 1) ⇔ ⇔ a x · y = a y · x - a y · x 1 + a x · y 1 ⇔ y = a y a x · x - a y a x · x 1 + y 1

Пример 10

Има права линия, дадена от уравнението x 2 + y - 3 = 1. Редуцирайте до формата на уравнение с ъглов коефициент.

Решение.

Въз основа на условието е необходимо да се трансформира, тогава получаваме уравнение под формата _формула_. Двете страни на уравнението трябва да се умножат по - 3, за да се получи необходимото уравнение на наклона. Преобразувайки, получаваме:

y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 · y - 3 = - 3 · 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .

Отговор: y = 3 2 x - 3 .

Пример 11

Редуцирайте уравнението на правата линия от формата x - 2 2 = y + 1 5 до форма с ъглов коефициент.

Решение

Необходимо е да се изчисли изразът x - 2 2 = y + 1 5 като пропорция. Получаваме, че 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . Сега трябва да го активирате напълно, за да направите това:

5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x

Отговор: y = 5 2 x - 6 .

За решаване на такива проблеми параметричните уравнения на линията под формата x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ трябва да бъдат намалени до каноничното уравнение на линията, едва след това може да се премине към уравнението с коефициентът на наклона.

Пример 12

Намерете наклона на правата, ако тя е дадена от параметрични уравнения x = λ y = - 1 + 2 · λ.

Решение

Необходимо е да се премине от параметричния изглед към наклона. За да направим това, намираме каноничното уравнение от даденото параметрично:

x = λ y = - 1 + 2 · λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .

Сега е необходимо да се разреши това равенство по отношение на y, за да се получи уравнението на права линия с ъглов коефициент. За да направите това, нека го напишем по следния начин:

x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1

От това следва, че наклонът на правата е 2. Това се записва като k = 2.

Отговор: k = 2.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Научете се да приемате производни на функции.Производната характеризира скоростта на промяна на функция в определена точка, разположена на графиката на тази функция. В този случай графиката може да бъде както права, така и крива линия. Тоест, производната характеризира скоростта на промяна на функция в определен момент от време. Запомнете общите правила, по които се вземат производни, и едва след това преминете към следващата стъпка.

• Прочети статията.
• Описано е как да вземем най-простите производни, например производната на експоненциално уравнение. Изчисленията, представени в следващите стъпки, ще се основават на описаните там методи.

Научете се да различавате задачи, при които коефициентът на наклона трябва да се изчисли чрез производната на функция.Проблемите не винаги изискват от вас да намерите наклона или производната на функция. Например, може да бъдете помолени да намерите скоростта на промяна на функция в точка A(x,y). Може също да бъдете помолени да намерите наклона на тангентата в точка A(x,y). И в двата случая е необходимо да се вземе производната на функцията.

Вземете производната на функцията, която ви е дадена.Тук няма нужда да изграждате графика - трябва ви само уравнението на функцията. В нашия пример вземете производната на функцията f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x). Вземете производното според методите, описани в статията, спомената по-горе:

Заменете координатите на дадената ви точка в намерената производна, за да изчислите наклона.Производната на функция е равна на наклона в определена точка. С други думи, f"(x) е наклонът на функцията във всяка точка (x,f(x)). В нашия пример:

Фигурата показва ъгъла на наклона на правата линия и показва стойността на ъгловия коефициент за различни опции за местоположението на правата линия спрямо правоъгълната координатна система.

Намирането на наклона на права линия с известен ъгъл на наклон към оста Ox не представлява никакви затруднения. За да направите това, достатъчно е да си припомните дефиницията на ъгловия коефициент и да изчислите тангенса на ъгъла на наклон.

Пример.

Намерете наклона на правата, ако нейният ъгъл на наклон спрямо абсцисната ос е равен на .

Решение.

По условие. След това, по дефиниция на наклона на права линия, изчисляваме .

Отговор:

Задачата за намиране на ъгъла на наклона на права линия към оста x с известен наклон е малко по-сложна. Тук е необходимо да се вземе предвид знакът на наклона. Когато ъгълът на наклона на правата е остър и се намира като . Когато ъгълът на наклона на правата е тъп и може да се определи по формулата .

Пример.

Определете ъгъла на наклона на правата спрямо абсцисната ос, ако нейният наклон е равен на 3.

Решение.

Тъй като по условие ъгловият коефициент е положителен, ъгълът на наклона на правата спрямо оста Ox е остър. Изчисляваме го по формулата.

Отговор:

Пример.

Наклонът на правата е . Определете ъгъла на наклона на правата спрямо оста Ox.

Решение.

Нека обозначим k е ъгловият коефициент на правата линия, - ъгълът на наклона на тази права линия спрямо положителната посока на оста Ox. защото , тогава използваме формулата, за да намерим ъгъла на наклона на линията със следната форма . В него заместваме данните от условието: .

Отговор:

Уравнение на права с ъглов коефициент.

Уравнение на права линия с наклонима формата , където k е наклонът на правата, b е някакво реално число. Използвайки уравнението на права линия с ъглов коефициент, можете да посочите всяка права линия, която не е успоредна на оста Oy (за права линия, успоредна на ординатната ос, ъгловият коефициент не е дефиниран).

Нека разберем значението на фразата: „права линия в равнина във фиксирана координатна система се дава от уравнение с ъглов коефициент от вида „.“ Това означава, че уравнението е изпълнено от координатите на която и да е точка от правата и не е удовлетворено от координатите на други точки от равнината. По този начин, ако при заместване на координатите на точка се получи правилното равенство, тогава правата линия минава през тази точка. В противен случай точката не лежи на правата.

Пример.

Правата линия е дадена от уравнение с наклон. Точките също ли принадлежат на тази права?

Решение.

Нека заместим координатите на точката в първоначалното уравнение на правата с наклона: . Получихме правилното равенство, следователно точка M 1 лежи на правата.

При заместване на координатите на точка получаваме неправилно равенство: . Следователно точка M 2 не лежи на права.

Отговор:

Точка M 1 принадлежи на линията, M 2 не принадлежи.

Трябва да се отбележи, че през точката минава права линия, определена от уравнението на права линия с ъглов коефициент, тъй като когато заместим нейните координати в уравнението, получаваме правилното равенство: .

По този начин уравнението на права линия с ъглов коефициент определя на равнината права линия, минаваща през точка и образуваща ъгъл с положителната посока на абсцисната ос, и .

Като пример, нека изобразим права линия, определена от уравнението на права линия с ъглов коефициент от формата . Тази линия минава през точка и има наклон радиани (60 градуса) спрямо положителната посока на оста Ox. Неговият наклон е равен на .

Уравнение на права с наклон, минаваща през дадена точка.

Сега ще решим един много важен проблем: ще получим уравнението на права линия с даден наклон k и минаваща през точката .

Тъй като правата минава през точката, равенството е вярно . Не знаем числото b. За да се отървем от него, изваждаме лявата и дясната страна на последното равенство съответно от лявата и дясната страна на уравнението с наклона. В този случай получаваме . Това равенство е уравнение на права линия с даден наклон k, която минава през дадена точка.

Нека разгледаме един пример.

Пример.

Напишете уравнението на права, минаваща през точката, наклонът на тази права е -2.

Решение.

От състоянието, което имаме . Тогава уравнението на права линия с ъглов коефициент ще приеме формата .

Отговор:

Пример.

Напишете уравнението на права линия, ако е известно, че тя минава през точка и ъгълът на наклон спрямо положителната посока на оста Ox е равен на .

Решение.

Първо, нека изчислим наклона на правата, чието уравнение търсим (решихме този проблем в предишния параграф на тази статия). А-приори . Сега имаме всички данни, за да напишем уравнението на права линия с ъглов коефициент:

Отговор:

Пример.

Напишете уравнението на права с ъглов коефициент, минаваща през точка, успоредна на правата.

Решение.

Очевидно ъглите на наклона на успоредните линии към оста Ox съвпадат (ако е необходимо, вижте статията успоредност на линиите), следователно ъгловите коефициенти на успоредните линии са равни. Тогава наклонът на правата линия, чието уравнение трябва да получим, е равен на 2, тъй като наклонът на правата е равен на 2. Сега можем да създадем необходимото уравнение на права линия с наклон:

Отговор:

Преход от уравнение на права с ъглов коефициент към други видове уравнение на права и обратно.

Въпреки цялото познаване, уравнението на права линия с ъглов коефициент не винаги е удобно за използване при решаване на проблеми. В някои случаи проблемите са по-лесни за решаване, когато уравнението на линия е представено в различна форма. Например, уравнението на права линия с ъглов коефициент не ви позволява незабавно да запишете координатите на насочващия вектор на правата линия или координатите на нормалния вектор на правата линия. Следователно трябва да се научите да преминавате от уравнението на права линия с ъглов коефициент към други видове уравнения на тази права линия.

От уравнението на права линия с ъглов коефициент е лесно да се получи каноничното уравнение на права линия върху равнина от формата . За да направим това, преместваме члена b от дясната страна на уравнението в лявата страна с противоположния знак, след което разделяме двете страни на полученото равенство на наклона k: . Тези действия ни водят от уравнението на права с ъглов коефициент към каноничното уравнение на права.

Пример.

Дайте уравнението на права линия с ъглов коефициент към каноничната форма.

Решение.

Нека извършим необходимите трансформации: .

Отговор:

Пример.

Правата линия се дава от уравнението на права линия с ъглов коефициент. Векторът нормален вектор ли е на тази права?

Решение.

За да разрешим този проблем, нека преминем от уравнението на права линия с ъглов коефициент към общото уравнение на тази права линия: . Знаем, че коефициентите на променливите x и y в общото уравнение на една права са съответните координати на нормалния вектор на тази права, т.е. нормалния вектор на правата . Очевидно е, че векторът е колинеарен на вектора, тъй като връзката е валидна (ако е необходимо, вижте статията). По този начин оригиналният вектор също е нормален вектор , и следователно е нормален вектор и оригиналната линия.

Отговор:

Да, така е.

А сега ще решим обратната задача - задачата за редуциране на уравнението на права линия върху равнина до уравнението на права линия с ъглов коефициент.

От общото уравнение на права линия на формата , в което е много лесно да се стигне до уравнение с коефициент на наклон. За да направите това, трябва да решите общото уравнение на правата по отношение на y. В този случай получаваме. Полученото равенство е уравнение на права линия с ъглов коефициент, равен на .